Indukcja matematyczna

(1)

Indukcja matematyczna / strona 1 z 15

Indukcja matematyczna

(2)

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna będzie przez nas używana jako metoda dowodzenia twierdzeń.

Zazwyczaj są to twierdzenia dotyczące liczb naturalnych, ale wiele różnych twierdzeń, pozornie nie dotyczących liczb naturalnych, można sformułować tak, by można było je poddać dowodowi indukcyjnemu.

Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z zasady minimum:

Lemat I. 1. Zasada Minimum

Dowolny niepusty podzbiór 𝑆 ⊆ ℕ zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą.

Założenie, że zbiór 𝑆 nie jest pusty jest oczywiście konieczne, gdyż w zbiorze pustym nie istnieje żadna liczba.

(3)

Indukcja matematyczna

Przykład I. 1.

Wykorzystując Zasadę Minimum pokazać, że suma początkowych 𝑛 liczb nieparzystych wynosi 𝑛^!, tzn.:

1 + 3 + 5 + … + (2𝑛 − 1) = 𝑛^! (1) Zależność ta została udowodniona przez Francesca Maurolio (1494-1575) w 1575 roku.

Jest to pierwszy znany dowód używający indukcji.

Łatwo sprawdzić, że dla wybranej wartości 𝑛 równość (1) zachodzi.

Na przykład:

(4)

Dowód równości Maurolio (1) cd.

Ale jak pokazać, że jest to prawdą dla wszystkich liczb?

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = 𝑛^! (1) Załóżmy, że rozważana równość (1) nie zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych

(dowód nie wprost).

Wówczas niepusty byłby zbiór:

𝑆 = { 𝑛 ∈ ℕ ∶ 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) ≠ 𝑛^!}.

Z Zasady Minimum 𝑆 miałby liczbę najmniejszą. Niech s ∈ 𝑆 to najmniejszy element z 𝑆.

Sprawdziliśmy, że s ≠ 1, 2, 3, 4, 5. Podobnie s ≠ 0 (0 = 0^!). Czyli s > 5.

Skoro s to najmniejszy element z 𝑆, to s − 1 spełnia (1) tzn.

1 + 3 + 5 + … + (2s − 3) = (𝑠 − 1)^!.

Dodając teraz do obu stron równości kolejną liczbę nieparzystą, czyli 2𝑠 + 1, dostajemy 1 + 3 + 5 + … + 2s − 3 + 2s − 1 = 𝑠 − 1 ^! + 2s − 1 = s^!,

co znaczy, że s ∉ 𝑆 (sprzeczność).

Tym samym 𝑠 nie może być najmniejszą liczbą w zbiorze kontrprzykładów, a więc w ogóle taki kontrprzykład istnieć nie może, i wobec tego wszystkie liczby naturalne spełniają

równość Maurolio.

(5)

Indukcja matematyczna

Rozumowanie przeprowadzone na przykładzie równości Maurolio wskazuje, że jeśli tylko 𝑍 ⊆ ℕ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

• w którym jest zero (O ∈ 𝑍),

• oraz ∀

_!∈!

𝑘 + 1 ∈ 𝑍,

to wtedy 𝑍 musi już zawierać wszystkie liczby naturalne, tzn. 𝑍 = ℕ.

(6)

Indukcja matematyczna

Przykład I. 2.

Pokażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej 𝑛 zachodzi:

0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = ^!(!!!)_! dla 𝑛 ≥ 0 (2) Podobnie jak poprzednio łatwo udowodnić, że (2) zachodzi dla konkretnych 𝑛, np. 𝑛 = 1,2,3.

Jednak te wszystkie równości nie dowodzą, iż jest to prawda dla dowolnego 𝑛 ∈ ℕ.

Niech

𝑍 = { 𝑛 ∈ ℕ ∶ 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = ^!(!!!)_! }.

Widać, że O ∈ 𝑍.

Niech 𝑘 ∈ 𝑍, tzn.

0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = ^𝑘⁽^𝑘_!^!!). Rozważamy sumę

0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 = 𝑘 𝑘 + 1

2 + 𝑘 + 1 = 𝑘 𝑘 + 1 + 2 𝑘 + 1

2 =

𝑘 + 1 𝑘 + 2

2 = 𝑘 + 1 ( 𝑘 + 1) + 1 2

a to znaczy, że 𝑘 + 1 ∈ 𝑍.

A stąd już możemy wnosić, podobnie jak w przypadku równości Maurolio, że 𝑍 = ℕ.

(7)

Indukcja matematyczna

Przykład I. 3.

Niech

𝑍 = { 𝑛 ∈ ℕ ∶ 0^! + 1^! + 2^! + ⋯ + 𝑛^! = !(!!!)(!!!!)

! }.

Pokażemy, że 𝑍 = ℕ.

Widać, że O ∈ 𝑍.

Niech 𝑘 ∈ 𝑍. Rozważamy sumę

co świadczy o tym, że że 𝑘 + 1 ∈ 𝑍.

(8)

Twierdzenie I. 2.

Zasada Indukcji Matematycznej

Jeśli 𝑍 ⊆ ℕ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

• w którym jest 𝑘_! (𝑘_! ∈ 𝑍),

• oraz ∀_!!!_!𝑘 ∈ 𝑍 ⟹ 𝑘 + 1 ∈ 𝑍,

to wtedy 𝑍 zawiera wszystkie liczby naturalne 𝑛 ≥ 𝑘_! (𝑍 ⊇ ℕ\{0,1, … , 𝑘! − 1}).

Pierwszy warunek nazywamy bazą indukcji.

W drugim warunku najpierw dokonujemy założenia indukcyjnego (o tym, że 𝑘 ∈ 𝑍), aby wykonać krok indukcyjny dowodząc, że 𝑘 + 1 ∈ 𝑍.

Często używaną ilustracją indukcji matematycznej jest efekt domina. Załóżmy, że ułożyliśmy bardzo dużo kostek domina, jedna za drugą. Upewniliśmy się też, że jeśli przewróci się dowolna z nich (założenie indukcyjne) to przewróci się też następna (krok indukcyjny). Wtedy, jeśli ktoś nam powie, że przewrócił czwartą kostkę (baza indukcji) to wiemy, iż wszystkie następne (poza być może pierwszymi trzema) też się przewróciły.

W indukcji matematycznej liczby naturalne są niejako kostkami domina ułożonymi dostatecznie blisko siebie.

(9)

Zasada Indukcji Matematycznej

Przykład I. 4.

Pokażemy, że 𝑛^! < 2^! dla 𝑛 ≥ 5.

Pokazaliśmy, że 2𝑛 + 1 < 2^! dla 𝑛 ≥ 3.

Teraz

◦ zauważamy, że 5^! = 25 < 32 = 2^!, (baza indukcji: dla 𝑘_! = 5)

◦ oraz, że

(𝑘 + 1)^! = 𝑘^! + 2𝑘 + 1 < 2^! + (2𝑘 + 1) < 2^!+2^! = 2^!!!

tzn. jeśli 𝑘 spełnia to 𝑘 + 1 spełnia, czyli założenie i krok indukcyjny .

(10)

Przykład I. 5. nierówność Bernoulliego

∀_!∈ℝ,!!!!∀_!∈ℕ (1 + 𝛼)^! ≥ 1 + 𝑛𝛼

• baza: (1 + 𝛼)^! = 1 = 1 + 0 ∙ 𝛼,

• z założenia indukcyjnego (1 + 𝛼)^! ≥ 1 + 𝑘𝛼,

poprzez wymnożenie stronami przez nieujemną liczbę rzeczywistą 1 + 𝛼, dostajemy

(11)

Przykład I. 6.

Pokażemy, że

2^!^! = 10𝑥 + 6, 𝑥 ∈ ℕ, dla 𝑛 ≥ 2, tzn. liczba postaci 2^!^! ma na końcu w zapisie dziesiętnym cyfrę 6.

Dla 𝑛 = 2 mamy

2^!^! = 16 = 10 + 6.

Niech 2^!^! = 10𝑥 + 6, 𝑥 ∈ ℕ, Wówczas

2^!^!!! = 2^!^!^∙! = (2^!^!)^! =

= (10𝑥 + 6)^! = 100𝑥^! + 120𝑥 + 36 = = 10 10𝑥^! + 12𝑥 + 3 + 6

(12)

Twierdzenie I. 3.

Zasada Indukcji Zupełnej

Jeśli 𝑍 ⊆ ℕ jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,

• który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru ℕ postaci {0, … , 𝑘 − 1}

zawiera również kolejną liczbę 𝑘, tzn.

∀_!∈ℕ(∀_!!! 𝑙 ∈ 𝑍 ⟹ 𝑘 ∈ 𝑍),

to wtedy 𝑍 zawiera wszystkie liczby naturalne, tzn. 𝑍 = ℕ.

Zasada Indukcji Zupełnej pozwala skorzystać w dowodzie kroku indukcyjnego (𝑘 ∈ 𝑍) ze znacznie szerszego założenia indukcyjnego, że 𝑙 ∈ 𝑍 dla wszystkich 𝑙 < 𝑘 (a nie tylko dla 𝑘 − 1 jak w indukcji matematycznej).

Zwróćmy uwagę, że w Zasadzie Indukcji Zupełnej nie ma wyróżnionego kroku bazowego.

Jest on ukryty w warunku dla 𝑘 = 0.

Zazwyczaj w dowodach przez indukcję zupełną dowód tego brzegowego warunku (bazowego) jest odrębny.

(13)

Zasada Indukcji Zupełnej

Przykład I. 7.

Mamy prostokątną czekoladę złożona z 𝑁 = 𝑎𝑏 (𝑎, 𝑏 > 0) kwadratowych kawałków.

Przez wykonanie cięcia (ułamanie czekolady) rozumiemy rozcięcie jej jakiejkolwiek spójnej części wzdłuż którejś z linii pomiędzy kawałkami, tak by dostać dwa znów prostokątne

kawałki. Ile razy trzeba ułamać czekoladę aby rozdzielić jej wszystkie kwadraciki?

Stosując indukcję zupełną względem liczby 𝑁 (kwadracików w czekoladzie) pokażę, że niezależnie od kolejności wykonywanych cięć potrzeba i wystarcza dokładnie 𝑁 − 1 cięć.

• Jeśli czekolada ma tylko 1 kawałek, to nie trzeba niczego dzielić, więc 0 cięć wystarcza,

• Gdy czekolada ma 𝑘 kawałków, to pierwsze jej cięcie podzieli ją na dwa prostokąty o odpowiednio 𝑘_! i 𝑘_! kawałkach, przy czym 𝑘_! + 𝑘_! = 𝑘 i 𝑘_!, 𝑘_! < 𝑘.

Korzystając teraz z założenia indukcyjnego wiemy, że aby połamać te mniejsze kawałki potrzeba i wystarcza odpowiednio 𝑘_! − 1 i 𝑘_! − 1 cięć.

W sumie wykonaliśmy więc

1 + (𝑘_! − 1) + (𝑘_! − 1) = 𝑘_! + 𝑘_! − 1 = 𝑘 − 1 (ckd.).

Zauważmy, że w tym rozumowaniu istotnie skorzystaliśmy z możliwości indukcji zupełnej używając w dowodzie założenia indukcyjnego dla dowolnego 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘.

(14)

Twierdzenie I. 4.

Zasada Maksimum

Dowolny niepusty i ograniczony od góry podzbiór 𝑆 ⊆ ℕ zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę największą.

(15)

Twierdzenie I. 5.

Następujące zasady są równoważne:

• Zasada Minimum,

• Zasada Indukcji Zupełnej,

• Zasada Indukcji Matematycznej,

• Zasada Maksimum.