Lista 11. Indukcja matematyczna

(1)

Wyobra¹my sobie, »e mamy dla ka»dej liczby naturalnej n ∈ N pewne zdanie twierdz¡c¦ Ψ(n). Ka»de takie zdanie Ψ(n) jest prawdziwe lub faªszywe. Dla przykªadu zdanie Ψ(n) mo»e by¢ nast¦puj¡ce:

• Ψ(n) ="Prawdziwe jest, »e n³− 6n < 100.",

• Ψ(n) ="We Wrocªawiu »yje wi¦cej ni» n kotów.",

• Ψ(n) ="Liczba n + 1 jest wi¦ksza od n.".

Indukcja to pewna sprytna metoda pokazywania, »e pewne takie zdanie zdanie Ψ(n) jest zawsze praw- dziwe, gdy niekoniecznie potramy sprawdzi¢ to zdanie dla ka»dego konkretnego n ∈ N.

Twierdzenie (Zasada Indukcji Matematycznej). Zdanie Ψ(n) jest speªnione je±li speªnione s¡ oba wa- runki:

1. Ψ(1) jest speªnione, (to zwykle ªatwo sprawdzi¢, bo to tylko jeden, konkretny przypadek)

2. Dla ka»dego n ∈ N z prawdziwo±ci Ψ(n) mo»na wywnioskowa¢ prawdziwo±¢ Ψ(n + 1). Formalnie:

∀n ∈ N Ψ(n) ⇒ Ψ(n + 1).

1. Udowodnij wzory:

(a) 1 + 2 + ... + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ , (b) 2 + 2²+ ... + 2ⁿ= 2ⁿ⁺¹− 1,

(c) 1²+ 2²+ ... + n²= n(n+1)(2n+1)

6 ,

(d) 1³+ 2³+ ... + n³= ⁿ²⁽ⁿ⁺¹⁾₄ ²,

(e) 1 · 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1.

2. Policz warto±¢ poni»szego wyra»enia dla n = 1, 2, 3, 4, 5, zgadnij wzór dla dowolnego n i udowodnij go indukcyjnie.

1 1 · 2+ 2

2 · 3+ ... + n n · (n + 1)

3. Dygresja: wymy±l na nowo wzór na wyra»enie z poprzedniego zadania korzystaj¡c z równo±ci:

1

k(k+1) = ¹_k−_k+1¹ . Potem podobnie policz sum¦:

1 2 · 5+ 1

5 · 8+ ... + 1

(3n − 1) · (3n + 2). 4. Udowodnij (korzystaj¡c z indukcji, cho¢ umiesz ju» inaczej), »e:

(a) 5|n⁵− n, (b) 6|n³+ 5n,

(c) 19|(5 · 2³ⁿ⁻²+ 3³ⁿ⁻¹). 5. Udowodnij nierówno±ci:

(a) 2ⁿ> 2n + 1 (n > 2),

(b) (1 + x)ⁿ  1 + nx (x > −1, jest to tzw. nierówno±¢ Bernoulliego), (c) n(n + 1) ¬ 2ⁿ+ 4,

(d) ^√¹₁+^√¹

2+ ... +^√¹_n >√ n, (e) 4ⁿ> n³,

(f) (n + 1)ⁿ< nⁿ⁺¹(n > 3).

6. Na ile cz¦±ci rozcina pªaszczyzn¦ n prostych z których »adne dwie nie s¡ równolegªe, a »adne trzy nie przecinaj¡ si¦ w jednym punkcie?

1

(2)

7. Policz indukcyjnie, »e zbiór, który ma n elementów, ma dokªadnie 2ⁿ podzbiorów.

8. Udowodni¢ indukcyjnie, »e ka»d¡ kwot¦ n zª (n 4) mo»na rozmieni¢ na dwuzªotówki i pi¦ciozªo- tówki.

9. Ci¡g an zadany jest rekurencyjnie:

a₀= −1, a₁= 0, a_n+1= 5an− 6an−1dla n 1.

Udowodnij, »e

a_n= 2 · 3ⁿ− 3 · 2ⁿ. 10. Ci¡g fn (Fibbonecciego) zadany jest rekurencyjnie:

f0= 1, f1= 1, fn+1= fn+ fn−1 dla n 1.

(tak wi¦c f2= 2, f3= 3, f4= 5, f5= 8, f6= 13itd. ka»dy wyraz jest sum¡ dwóch poprzednich).

Udowodnij, »e

fn= 1

√5





1 +√ 5 2

!n+1

− 1 −√ 5 2

!n+1

. 11. Ci¡g an zadany jest rekurencyjnie:

a0= 0, a1= 1, an+1= 3an− 2an−1.

Policz kilka pocz¡tkowych wyrazów tego ci¡gu, zgadnij wzór na n-ty wyraz, a nast¦pnie udowodnij ten wzór u»ywaj¡c indukcji.

12. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb dodatnich a1, a₂, . . . , a_n zachodzi nierówno±¢

a₁+ a₂+ . . . + a_n

n √ⁿ

a1a2. . . an

wedle nast¦puj¡cego planu:

(a) udowodnij j¡ dla n = 2,

(b) udowodnij, »e je±li jest ona prawdziwa dla n = k, to jest te» prawdziwa dla n = 2k,

(c) udowodnij, »e je±li k < ` i nierówno±¢ jest prawdziwa dla n = ` to jest te» prawdziwa dla n = k,

(d) wyci¡gnij konkluzj¦.

13. Zaªó»my, »e x + _x¹ jest liczb¡ caªkowit¡. Udowodnij, »e xⁿ+ _x¹n jest liczb¡ caªkowit¡ dla ka»dego n ∈ N.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2