Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna

Matematyka dyskretna

Indukcja  matematyczna  

Indukcja  matematyczna  będzie  przez  nas  używana  jako  metoda  dowodzenia  twierdzeń.  

Zazwyczaj  są  to  twierdzenia  dotyczące  liczb  naturalnych,  ale  wiele  różnych  twierdzeń,   pozornie  nie  dotyczących  liczb  naturalnych,  można  sformułować  tak,  by  można  było  je   poddać  dowodowi  indukcyjnemu.  

Poprawność  indukcji  matematycznej  wynika  z  dobrego  uporządkowania  liczb  naturalnych,   czyli  z  zasady  minimum:

Lemat  I.  1.  Zasada  Minimum  

Dowolny  niepusty  podzbiór  𝑆   ⊆ ℕ  zbioru  liczb  naturalnych  ma  w  sobie  liczbę  najmniejszą.  

Założenie,  że  zbiór    nie  jest  pusty  jest  oczywiście  konieczne,  gdyż  w  zbiorze  pustym  nie   istnieje  żadna  liczba.  

Indukcja  matematyczna  

Rozumowanie  przeprowadzone  na  przykładzie  równości  Maurolio   wskazuje,  że  jeśli  tylko  𝑍 ⊆ ℕ    jest  jakimś  zbiorem  liczb  naturalnych,  

• w  którym  jest  zero  (O ∈ 𝑍),  

• oraz  ∀

𝑘 + 1   ∈ 𝑍,  

to  wtedy  𝑍  musi  już  zawierać  wszystkie  liczby  naturalne,  tzn.  𝑍 = ℕ.  

Twierdzenie  I.  2.    

Zasada  Indukcji  Matematycznej

Jeśli  𝑍 ⊆ ℕ    jest  jakimś  zbiorem  liczb  naturalnych,  

• w  którym  jest  𝑘_!  (𝑘_! ∈ 𝑍),  

• oraz  ∀_!!!!𝑘 ∈ 𝑍 ⟹ 𝑘 + 1   ∈ 𝑍,  

to  wtedy  𝑍  zawiera  wszystkie  liczby  naturalne  𝑛 ≥ 𝑘_! (𝑍 ⊇ ℕ\{0,1, … , 𝑘! − 1}).  

Pierwszy  warunek  nazywamy  bazą  indukcji.  

W  drugim  warunku  najpierw  dokonujemy  założenia  indukcyjnego  (o  tym,  że  𝑘 ∈ 𝑍),  aby   wykonać  krok  indukcyjny  dowodząc,  że 𝑘 + 1 ∈ 𝑍.

Często   używaną   ilustracją   indukcji   matematycznej   jest   efekt   domina.   Załóżmy,   że   ułożyliśmy   bardzo   dużo   kostek   domina,   jedna   za   drugą.   Upewniliśmy   się   też,   że   jeśli   przewróci   się   dowolna   z   nich   (założenie   indukcyjne)   to   przewróci   się   też   następna   (krok   indukcyjny).  Wtedy,  jeśli  ktoś  nam  powie,  że  przewrócił  czwartą  kostkę  (baza  indukcji)  to   wiemy,   iż   wszystkie   następne   (poza   być   może   pierwszymi   trzema)   też   się   przewróciły.  

W indukcji   matematycznej   liczby   naturalne   są   niejako   kostkami   domina   ułożonymi   dostatecznie  blisko  siebie.  

Twierdzenie  I.  3.  

Zasada  Indukcji  Zupełnej

Jeśli  𝑍 ⊆ ℕ    jest  jakimś  zbiorem  liczb  naturalnych,  

• który  wraz  z  każdym  początkowym  fragmentem  zbioru  ℕ  postaci  {0, … , 𝑘 − 1}  

zawiera  również  kolejną  liczbę  𝑘,  tzn.    

 ∀_!∈ℕ(∀_𝑙!!  𝑙 ∈ 𝑍 ⟹ 𝑘 ∈ 𝑍),  

to  wtedy  𝑍  zawiera  wszystkie  liczby  naturalne, tzn. 𝑍 = ℕ.  

Zasada  Indukcji  Zupełnej  pozwala  skorzystać  w  dowodzie  kroku  indukcyjnego  (𝑘 ∈ 𝑍)  ze   znacznie  szerszego  założenia  indukcyjnego,  że  𝑙 ∈ 𝑍  dla  wszystkich  𝑙 < 𝑘  (a  nie  tylko  dla   𝑘 − 1  jak  w  indukcji  matematycznej).  

Zwróćmy  uwagę,  że  w  Zasadzie  Indukcji  Zupełnej  nie  ma  wyróżnionego  kroku  bazowego.  

Jest  on  ukryty  w  warunku  dla  𝑘 = 0.

Zazwyczaj  w  dowodach  przez  indukcję  zupełną  dowód  tego  brzegowego  warunku   (bazowego)  jest  odrębny.  

Twierdzenie  I.  4.  

Zasada  Maksimum  

Dowolny  niepusty  i  ograniczony  od  góry  podzbiór 𝑆 ⊆ ℕ  zbioru  liczb  naturalnych   ma  w  sobie  liczbę  największą.  

Twierdzenie  I.  5.  

Następujące  zasady  są  równoważne:  

• Zasada  Minimum,  

• Zasada  Indukcji  Zupełnej,  

• Zasada  Indukcji  Matematycznej,  

• Zasada  Maksimum.  

Zadania  

Wykaż  indukcyjnie:  

10  |   𝑛^!  –  𝑛

12  |  (10^𝑛  –  4)  dla  𝑛 > 1  

(2𝑛)!   >   (2^𝑛)^𝑛  dla  𝑛 > 0  

2𝑛

𝑛 = 𝑛

𝑘 𝑛

𝑛 − 𝑘

!

!!!

𝑘^! = (𝑛

2(𝑛 + 1))^!  

!

!!!

(1   + 1 𝑛)^𝑛     ≤  𝑛 + 1    dla    𝑛 > 0  

Zadania  

Udowodnij,  że:

10    |    37!"" − 37^!"  

10    |    37!"" − 1     7    |    11^𝑛 − 4^𝑛    dla    𝑛 > 0   73    |  8^!!! + 9^!!!!    dla    𝑛 > 0   Dla  jakich  liczb  zachodzi  wzór  

4𝑛   ≤   𝑛^! − 7  ?

Weźmy  zdanie  𝑝(𝑛)  postaci  „𝑛^! + 5𝑛 + 1  jest  liczbą  nieparzystą”.  

Udowodnij,  że  dla  każdego  naturalnego  𝑘 > 0  z  𝑝(𝑘)  wynika  𝑝(𝑘 + 1).  

Dla  jakich  liczb  prawdziwe  jest  p(k)?  

Niech  𝐴 ⊆ ℕ będzie  zbiorem  wszystkich  tych  liczb  naturalnych    ,  dla  których  liczba   𝑛^!  –  3𝑛   + 3  jest  parzysta.  

Pokaż,  że  jeśli 𝑛 ∈ 𝐴  to  𝑛 + 1 ∈ 𝐴.  Jakie  liczby  należą  więc  do  𝐴  ?

Liczba  𝝅  

Odkryta  przez  Archimedesa  (225  p.n.e.)  

W  1768  Johann  Lambert  udowodnił,  że  jest  niewymierna.  

W  1882  Ferdinand  von  Lindemann  wykazał,  że  jest  „przestępna”,  tzn.  nie jest  pierwiastkiem   żadnego  równania  algebraicznego.  

Znane  przybliżenia:  

22 7   =  3,14𝟐𝟖  . . .   10   =  3,1𝟔𝟐𝟐. . .   9801

4412· 2   =  3,14159𝟐𝟕𝟑. . .  

Liczba  𝝅  

Rozwinięcia 𝜋 szeregi:  

𝜋

4   =  1 −  1

3  +  1

5 −  1

7  +  1

9  –   1

11  + ⋯ 𝜋^!

4   =  1 +   1

2^!  +   1

3^!  +   1

4^!  +   1

5^!  + ⋯  

Obliczenia:  

1853  -­‐  W. Shanks  ogłosił  𝜋  z  dokładnością  do  607  miejsc  (527)   1949  -­‐  ENIAC  z  dokładnością  do  2037  miejsc  (70  godzin  obliczeń)   2002  -­‐  znane  1,2  bln  cyfr

[jeśli  poprzedni  wynik  da  się  zapisać  ręcznie  na  14  metrach,  to ostatni   będzie  62  razy  okrążał  Ziemię]  

Liczba  e  (liczba  Eulera  /  Nepera)  

Wkładamy  do  banku  1  zł  z  odsetkami  100%  rocznie.  Po  roku  mamy  2  zł.  Jeśli  zmniejszymy   odsetki  do  50%  ale  będziemy  je  naliczać  co  pół  roku,  to  otrzymamy  2,25  zł.  Jeśli  do  25%  i   naliczymy  je  kwartalnie,  to  2,4141...  Po  doprowadzeniu  tego  rozumowania  do  granicy   otrzymamy  liczbę  𝑒,  czyli  około  2,72  zł.  

Jest  to  granica  ciągu    

𝑒   =  2,7  1828  1828  4590  4523   …    

Znane  przybliżenia:    

87 32   =  2,718𝟕𝟓 …       878

323   =  2,7182𝟔  . . .   𝑒   =  2, (𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑤  𝐽𝑎𝑐𝑘𝑠𝑜𝑛)

!  !"#$%&#'(

(𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒𝑤  𝐽𝑎𝑐𝑘𝑠𝑜𝑛)

!"#"

   Znane  szeregi:  

𝑒 =  1 +   1

1!  +   1

2!  +   1

3!  +   1

4!  + ⋯    

Niewymierność  –  Leonard  Euler  1737  

Przestępność  –  Charles  Hermie  1873  (jego  metodę  dowodu  wykorzystał  10  lat  później   Lindemann  dla  liczby  𝜋)