Sprawozdania z posiedzeń naukowych Polskiego Towarzystwa Matematycznego
S p r o s t o w a n i e . Streszczenie referatów B. Knastera w tomie I „Prac Matematycznych” wydrukowano z błędami rzeczowymi. Na str. 433 w wierszu 7 od dołu zamiast „półciągły” powinno być „ciągły”, a w wierszu następnym za
miast „ciągła” powinno być „przekształceniem wewnętrznym”. Na str. 435 w wierszu 15 od góry zamiast „zwany” powinno być „zwarty” i zamiast „półciągły” po
winno być „ciągły” .
Oddział Gdański
15. X. 1954. K. Mo s i n g i e wi c ż , Z rozważań o dokładności przy
bliżonego całkowania krzywych okrętowych.
15. X. 1954. J. B i n m, Przegląd niektórych prac matematyków radzieckich.
27. XI. 1954. L. D u b i k a j t i s (Toruń), O rozwiązywaniu równań wektorowych i o ich zastosowaniu do geometrii analitycznej.
29. X II. 1954. J. BIum, Zwrot układu wektorów a kąt zorientowany i jego miara.
27. I. 1955. J. S o ł t y s i a k , Taksonomia Wrocławska.
18. II. 1955. M. S t e f a n i u k , Uwagi o metodzie operatorowej J. Miku- sińskiego.
18. II. 1955. E. T a r n a ws k i , Omówienie wyników konferencji dyda
ktycznej w Krynicy w 1954 r.
2. V. 1955. W. X o wi e k i , Problematyka matematyczna w teletransmisji przewodowej.
3. Y. 1955. C. Norek, Zagadnienie aproksymacji funkcją wymierną w teorii elektrycznych układów liniowych o danych charakterystykach czę
stotliwości.
31. V. 1955. M. K r z y ż a ń s k i (Kraków), Jednoznaczność rozwiązań zagadnień brzegowych dla równań typu eliptycznego.
Referent przedstawił twierdzenia o kresach rozwiązań równania liniowego eliptycznego z uwzględnieniem najnowszych osiągnięć w tej dziedzinie (C. Miranda, O. Olejnik) oraz zastosowanie tych twierdzeń w dowodach jednoznaczności rozwią
zań zagadnień brzegowych.
12*
180 O d d z ia ł G d a ń sk i
2.VI. 1955. E. Ta r n a ws k i , O przestrzeni funkcyj spełniających waru
nek Diniego.
Określa się DM jako przestrzeń wszystkich funkcji okresowych f ( x) ciągłych, o okresie l = 1, spełniających dla każdego x warunek Diniego
i
/ {\ f ( x+t ) ~f ( x)\ / w(t )) dt < 1, o
gdzie przez w(t) oznaczono funkcję ciągłą, określoną i różną od zera dla t > 0, mo
nofonicznie niemalejącą i zdążającą do zera dla ź->+0, Definiuje się przy tym od
ległość dwóch elementów Д (x), f2 (x) przestrzeni:
d ( / i ,/ 2) = max J/i(a?)—/ 2(ж)|.
Tak określona przestrzeń D w jest zupełna.
Niech 8 oznacza zbiór funkcji należących do przestrzeni Dw i spełniających dla każdego x warunek
i
S i \ Hx + t ) ~ f ( x ) \ l w 1{ t ) ) d t = o o , o
gdzie wx(t) ma podobne własności co funkcja w(t); w szczególności jest
(1) lim Wi(t) = 0. ^
l-H-0
Oznacza się przy tym odpowiednio
i i
W (t) = J( l / w( 6) ) d6, W A t ) = J (lM (6 ))d 0 .
t i
Przyjmując dla funkcji w(t) i (t) założenia
i i
(2) f (t/w(t))dt < oo, f (tjwx(t))dt
0 0
(3) lim W (t)w (t) /< > 1,
<—>+o
(4) lim lwi(2t)/w1(t)) < oo,
»->+o
dowodzi się, że jeżeli w(t) spełnia warunek
lim (wx (t)jw [t)) = 0,
i - » + 0
to zbiór 8 jest zbiorem residudlnym, tzn. że jego dopełnienie w tej przestrzeni jest w niej zbiorem pierwszej kategorii.
Okazuje się, że założenie (2) co do funkcji Wx(t) można pominąć nakładając na przestrzeń Dw warunek ograniczający lim (t2\\ogt\r/w (0) = 0 dla pewnego y > 1.
t—>+o
Twierdzenie pozostaje słuszne także wtedy, gdy przestrzeń D w zastąpimy przestrzenią O wszystkich funkcji ciągłych. Wówczas wystarczy, by był spełniony dla Wx(t) oprócz warunku (1) jedynie warunek (4). W tym ostatnim przypadku otrzy
mujemy uogólnienie twierdzenia Kaczmarza (S. K aczm arz, Integrate vom D ini- echen Typus, Studia Math. 3 (1931), str. 189-199).
Sprawozdania z posiedzeń naukowych PTM 181
2. VI. 1955. J. Żuk, O pewnym ciągu wielomianów ekstremalnych w danym zbiorze.
Wprowadza się definicję uogólnionej rozwartości zbioru i wielomianów ekstre
malnych względem funkcji tworzącej
|w(«. У)I = \ z*~y2\-
Dowody twierdzeń o wielomianach ekstremalnych, przy pewnych dodatkowych założeniach, są analogiczne do dowodów podanych przez F. Leję (F. L eja, Funkcje analityczne (skrypt), Kraków 1948).
3. VI. 1955. J. B y t e r s k i , Delta-funkcja Diraca, pewne jej wła
sności i zastosowania.
4. VI. 1955. B. K o w a l c z y k , Zastosowanie metody zmodyfikowanej relaksacji do numerycznego rozwiązywania równań całkowych Fredholma drugiego rodzaju.
Referent podał nową metodę przybliżonego rozwiązywania układów algebra
icznych równań liniowych. Metoda ta, nazwana przez autora metodą zmodyfikowanej relaksacji, nadaje się szczególnie do zagadnień, w których przy każdym kroku itera- cyjnym zmieniają się wartości wyrazów wolnych układu. Postępowanie relaksyjne przy rozwiązywaniu układu równań liniowych składa się z następujących faz:
1. Przekształcenie danego układu na układ operacyjny.
2. Utworzenie tabeli operacyjnej.
3. Utworzenie za pomocą tabeli operacyjnej operacji grupowych.
4. Zastosowanie operacji grupowych w tabeli relaksacyjnej.
Metodę tę zastosowano do numerycznego rozwiązywania równań całkowych Fredholma drugiego rodzaju:
ь
(1) <p{x)—J i f k ( x , y)<p{y)dy = f(x).
a
Stosując wzór Gregory’ego
b n
f y>(x)dx = A ky> (ag -f A (x) ,
k a Jfc-1
gdzie A (x) (poprawka różnic) jest funkcją różnic funkcji podcałkowej w danym przedziale całkowania, doprowadzono równanie (1) do układu n równań liniowych o n niewiadomych
n
(2) <P(ag-A £ A kk(x{, xk)<p(xk) = f(xt) +XAif i = l , 2 ... », Dalszy tok postępowania jest następujący:
1° rozwiązujemy układ (2) za pomocą metody zmodyfikowanej relaksacji, z po
minięciem poprawki różnic;
2° różnicujemy wartości funkcji podcałkowej i obliczamy poprawki różnic;
3° podstawiamy znalezione wartości poprawek różnic do układu (2) i za po
mocą metody zmodyfikowanej relaksacji rozwiązujemy skorygowany układ.
Kilkakrotne powtórzenie procesów 2° i 3° pozwala szybko znaleźć wartości funkcji w punktach węzłowych przedziału całkowania.
182- Od d z i a ł G d a ń s k i
4. VI. 1955. T. Mi ch nie wicz, 0 uogólnieniu metody Newtona przy
bliżonego rozwiązywania równań.
Oddział Gliwicki
13. X. 1954. Posiedzenie poświęcone matematyce radzieckiej (z okazji Miesiąca Pogłębienia Przyjaźni Polsko-Eadzieckiej) z referatami C. Klu- c z ne g o , K. S z a ł a j k i i A. Wa k n l l c z a .
6. XI. 1954. A. W a k u l i c z , Wyniki Goedla i ich znaczenie dla aryt
metyki i teorii mnogości.
6. X I. 1954. A. Wa k u l i c z , O równaniu 2X — 5^+3.
Streszczenie referatu ukazało się w Mathesis 64 (1955), str. 133.
18. X II. 1954. A. Wa k u l i c z , Uogólnienie metody regresji w związku z pewnymi równaniami.
Referent omówił równania x3Ą-yz = 2zz i a6±&6 = c2, rozwiązując zagadnienie postawione w Coll. Math. 3 (1954), str. 116.
18. X II. 1954. 0. K l u c z n y , Teoria macierzy w zastosowaniu do ukła
dów równań różniczkowych liniowych zwyczajnych.
18. X II: 1954. A. Za wa d z k i , Uogólnienie metody Monge'a rzutów prostokątnych na rzuty ukośnokątne (część II).
5. II. 1955. M. K r z y ż a ń s k i (Kraków), Pewne zagadnienia teorii matematycznej przewodnictwa cieplnego.
5. III. 1955. S. D r ó b ot (Wrocław), Podstawy i zastosowania analizy wymiarowej.
2. IV. 1955. S. Go ł ą b (Kraków), 0 równaniu funkcyjnym f(xik)X x f{yik) = f ( 2 X i j y jk).
i
Referent przedstawił rozwiązanie podanego w tytule równania funkcyjnego w przypadku, gdy zmienną niezależną funkcji / jest macierz kwadratowa o czterech elementach, a wartości funkcji / są skalarami. Rozwiązania są kompletne, to znaczy o funkcji / spełniającej dane równanie funkcyjne nie czyni się żadnych założeń regu
larności.
Wszystkie rozwiązania są zawarte we wzorze /(*«) = 9>[Det(®tt)],
gdzie funkcja <p(u) jednej zmiennej niezależnej jest dowolnym rozwiązaniem równania funkcyjnego go(u)<p(v) =<p{uv).
(Porównaj streszczenie referatu w dniu 11. III. 1955 w sprawozdaniach Oddziału Wrocławskiego.)
7. V. 1955. A. Czar no ta, Warunki konieczne i dostateczne na mo- n—1
duły w kongruencji JC P1^1 = — 1 (mod a).
<=i
Zobacz niniejszy zeszyt, str. 172-178.
Sprawozdania z posiedzeń naukowych PTM 183
21. У. 1955. M. Kr z y ż a ń s k i , Metody klasyczne w teorii równań o pochodnych cząstkowych.
Oddział Krakowski
28. IX . 1954. J. S z ars ki, Nierówności różniczkowe i ich zastosowania.
12. X. 1954. Posiedzenie z okazji Miesiąca Pogłębienia Przyjaźni Polsko-Badzieckiej z odczytami:
1. J. S z ars ki, Omówienie książki I. Pietrowskiego ,,Równania róż
niczkowe cząstkowe” .
2. A. Pl is, Omówienie książki W. W. Stiepanowa i W. W. Niemy - ckiego, ,,Jakościowa teoria równań różniczkowych”.
3. J. Górski , Prace Mergeliana o aproksymacji.
2. XI. 1954. T. Wa ż e w s k i , Uwagi z ostatniego Międzynarodowego Kongresu Matematyków w Amsterdamie.
14. XII. 1954. У. J a r n i k (Praha), O aproksymacjach diofantycznych liniowych.
21. X II. 1954. M. H a i m o v i c i (Cluj), O geometrycznym całkowaniu układów Pfaffa.
15. III. 1955. A. B i e l e c k i (Lublin), Zastosowanie metody kolejnych przybliżeń do równań różniczkowych cząstkowych 1-go rzędu.
22. III. 1955. H. L e w a n d o w s k a (Warszawa), O rozwiązaniu pod
stawowym dla równań parabolicznych.
22. III. 1955. M. K r z y ż a ń s k i , O pewnej metodzie konstrukcji roz
wiązania podstawowego dla równań parabolicznych.
W druku w Annali di Matematica pura et applicata, numer poświęcony jubi
leuszowi prof. M. Picone.
3. У. 1955. F. Leja, O nieswobodnych rozkładach punktów ekstremal
nych na zbiorach płaskich.
Praca pt. Distributions libr es et restreintes des points extremaux dans les ensem
bles plans ukaże się w Ann. Pol. Math. 3 (1956).
10. У. 1955. M. B i e r n a c k i (Lublin), O pewnych własnościach funkcji odległości.
W druku w Ann. UMCS, A, 8 (1954).
17. У. 1955. L. D u b i k a j t i s (Toruń), O pewnych simplicjalnych rozkładach trójkąta.
W druku w Rocznikach P.T.M., seria II, Wiadomości Matematyczne.
25. У. 1955. M. W a r m u s (Wrocław), Rachunek przybliżony.
Praca pt. Calculus of Approximations ukazała się w Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. III, 4(1956), str. 253-259.
184 O d d z i a ł K r a k o w s k i
26. V. 1955. S. J a ś k o ws k i (Toruń), Teoria rozstrzygalności w pe
wnych zagadnieniach matematyki klasycznej.
1. VI. 1955. O. B o r u v k a (Brno), Teoria dyspersji w równaniach różniczkowych liniowych.
7. VI. 1955. O. B o r u v k a (Brno), O przekształceniach całek równań różniczkowych liniowych.
17. VI. 1955. W. P o g o r z e l s k i (Warszawa), Prace własne nad rów
naniami całkowymi mocno osobliwymi i równaniami różniczkowymi typu eliptycznego.
Oddział Lubelski
8. X. 1954. K. T a t a r k i e w i c z , O pewnych nowszych wynikach z teorii wielomianów Czebyszewa.
15. X. 1954. J. Kr z y ż , 1 . 1. Priwałow.
29. X. 1954. K. T a t a r k i e w i c z , O potęgach liczb całkowitych.
Praca ukaże się w Ann. UMCS, A, 8 (1954).
19. XI. 1954. F. J a k ó b c z y k , O pewnym zastosowaniu funkcji Xg{n).
27. X I. 1954. L. J e ś m a n o w i c z (Toruń), O średnich N&rlunda.
4. X II. 1954. W. P o g o r z e l s k i (Warszawa), Badanie równań całko
wych metodą punktu niezmienniczego.
Streszczenie referatu ukazało się w Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. III, 3 (1955). W ca
łości praca ukaże się w Ann. Pol. Math. 3 (1956).
1 4 . 1 . 1955. К. T a t a r k i e w i c z , O pewnej błędnej zasadzie mechaniki.
16. II. 1955. Z. C h a r z y ń s k i (Łódź), O funkcjach algebraicznych i jednolistnych.
Praca ukaże się w Rozprawach Mat. 13.
17.11.1955. W. J a n o w s k i (Łódź), Obszar zmienności współczynni
ków a2 i az w rodzinie funkcji jednolistnych i ograniczonych.
18. III. 1955. K. T a t a r k i e w i c z , Nowy sposób przedstawienia ra
chunku różniczkowego i całkowego.
Uwagi o skrypcie K. Mengera, Calculus — a modern aproach, Chicago 1953.
30. IV. 1955. L. W ł o d a r s k i (Łódź), O borelowskich metodach sumo- walności.
3. VI. 1955. Uroczyste setne posiedzenie naukowe Oddziału Lubel
skiego Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Wygłoszono nastę
pujące komunikaty:
1. A. B i e l e c k i , O pewnym twim'dzeniu z teorii równań typu hiper- bolicznego.
Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M 185
2. M. Bi e r n a c k i , Uogólnienie zasady argumentu.
Streszczenie odczytu wygłoszonego na posiedzeniu Oddziału Poznańskiego PTM w dniu 27. V. 1955.
3. J. Kr z y ż , O maksimum modułu funkcji jednolistnych.
W druku w Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. III.
4. K. T a t a r k i e w i c z , O pewnej nierówności całkowej.
Praca ukazała się w Ann. UMCS. ser. A, 7 (1953) str. 83-87.
4. VI. 1955. W. J a n k o w s k i (Poznań), O zastosowaniu zasady argu
mentu w algebrze.
4. YI. 1965. J. K o p e ć (Poznań), O funkcjach wektorowych prawie periodycznych.
Oddział Łódzki
13. XI. 1954. L. Wł o d a r s k i , Rozwój analizy funkcjonalnej w Związku Radzieckim.
22. XI. 1954. H. Za ho r s ka , O zbiorze punktów rozbieżności całki Poissona dla funkcji brzegowej, całkowalnej w sensie Riemanna.
Funkcję harmoniczną nazywamy riemannowską, jeśli jej wartość brzegowa (po ewentualnym rozszerzeniu na cały obwód) jest całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by zbiór N był zbiorem wszystkich punktów, w których nie istnieje granica wzdłuż promienia funkcji harmonicznej riemannowskiej, ograniczonej wewnątrz kola jednostkowego, jest, żeby
00 _
N = , gdzie N keGd, Nk- N г = O {dla к Ф 1) i |Y*| = 0.
k=i
21. III. 1955. Z. C h a r z y ń s k i i W. J a n o w s k i , Obszar zmienności współczynników A 2 i A z funkcji jednolistnych ograniczonych.
Rozważamy funkcje holomorficzne jednolistne w kole \z\ < 1 postaci
(1) ' F ( z ) = z+ A 2z* + A 3z* + . . .
Niech M będzie dowolną liczbą większą od 1, a Fm rodziną wszystkich funkcji postaci (1) , spełniających warunek \ F ( z ) \ < M .
Przyporządkujmy każdej funkcji rodziny Fm punkt
(2) { X3, X 3, T 2, T 3), gdzie J 2 = Х 2+ г Г 2, A 3 = X 3-\-iT 3.
Rozważamy z kolei zbiór U3 м punktów postaci (2) i jego brzeg.
Brzeg zbioru Vz м składa się z trzech hiperpowierzchni J7X, Пг i TI3. Równania ich otrzymujemy w następującej postaci:
I. Niech będzie O < q < 1, —%л oraz Gi (g + U2
2Q COSę?, c2 =
2 в siny,
186 O d d z i a ł Ł ó d z к i
о ( 1 + т)2 (y — l)2 (t—l) 2
Я = 6 V ° g + T + Ct (<p-ip) + — g- — cos< p - T— —— cosy,
„ , eU- * ) 2 rr n , ^ , (e + 1)2 . m (7+1)2 . n = (J2log —---— Т - б ^ у - у Н --- --- sin( p - 2 —---- smу,
' r ( l — q)2 2 g 2t
gdzie r oraz у są pierwiastkami układu równań
(e + i )2 (r + i )2
--- cosy = T---cosy,
0 T
( p - 1 ) 2 (r— l)2 --- siny = T--- siny (0 < t < 1, —\ n ^ у ^ -|л), a T = l j M .
Wówczas równania parametryczne hiperpowierzchni II1 są postaci A2 : Я -{-i/л,
W . . . 1 1
.Аз = (Я-f-i/х)2- f - ( O i (Я-(-ifi)-f-(q-f- - -f-cos2y — 272 (T-f- —- -j-cos2y)).
Q T
II. Niech 0 < у ^ \n i niech т (0 < r < 1) będzie pierwiastkiem równania T(r-\- l) 2/2r = 2cosy, gdzie T — 1/Ж.
Wówczas równania parametryczne hiperpowierzchni П 2 są postaci A2 = Я -f- ,
(4)
przy czym
Az = (Я + г//)2 + 2 (Я + г^сову+ 2cos2y + 1 — T2 (r-f--- [-1)>1
T
Я = 2 (log cosy— l)cosy + 2T, . — 2 (siny — у cosy) ^ ^ 2(siny — ycosy).
III. Niech 0 ^ у ^ i niech у (0 ^ у < |л ) będzie pierwiastkiem równania cosy = T cosy, gdzie T = 1/Ж.
Wówczas równania parametryczne hiperpowierzchni II г są jiostaci A 2 — Я + г/i,
(5)
A3 = (Я + '1/а)2 + 2(Я + г/м)со8у-(-1 —T2, przy czym
Я = 2 (cos у) log T,
— 2(siny — ycosy — T(siny — ycosy)) ^ /г ^ 2(siny — ycosy — T(siny — y cosy)).
Niech T ->0; wówczas istnieją granice
« 2 = limJ.2, a3 = limJ.*
T-)0 T-yO
Sprawozdania z posiedzeń naukowych P T M 187
i odpowiednie hiperpowierzchnie graniczne IIlf H 2 mają równania identyczne z odpo
wiednimi równaniami brzegu obszaru zmienności współczynników A 2 i A 3 funkcji jedholistnych nieograniczonych (x), a hiperpowierzchnia II3 redukuje się do linii o rów
naniach
a2 — ifi, a3 — — p,2 -j- 1 (— 2 2).
Niech T~>1; wówczas istnieją granice Л2— lim
r-> i A 2
1 - T A lim
T-> i
A3 1 - T i przy tym odpowiednio w przypadkach I, II i III mamy
I. 1 2 = —2e~'i(P, II. A2 = — 2, III. A2 = —2co3<p->r i[i, A3 = — 2e~2U>; A3 = —2; A3 = — 2008299 + 2^00899.
18. IY. 1955. Z. Cha r z y ń s k i , Teoria funkcji analitycznych jedno- Ustnych (część I).
2. У. 1955. Z. Zahors ki , Nowy dowód twierdzenia Kołmogorowa- - Seliwestrowa-Plessnera.
Jak wiadomo, dowód tego twierdzenia opiera się na oszacowaniu
2л ____
J max \Sk(x)\dx < A]/logn.
W referacie podano nowy dowód tej nierówności oraz nierówności
2n
j m&xSk(x)2dx < Bl ogn, o
gdzie
к oo
Sk(x) = |a„ + £ (afcosjx + b^mijx), ^ + + 1,
/ = 1 7=1
rozważając maksimum formy liniowej współczynników aj, bj / O (a?) *0 И + / i (ж) + (*) + ••■ +/„ (x) sn (x) w kuli
ffl0 + £ ^ 1
fc=i
oraz względem różnych funkcji f 0, f i , gdzie funkcje /,(ж) są nieujemne, prze
działami stałe oraz / 0+ / i + - • .+/„ ^ 1 lub ewentualnie
2ji
/ (/0 + / 1 + • • • + fn)2dx ^ 1. o
13. V. 1955. Z. C h a r z y ń s k i , Teoria funkcji analitycznych jedno- Ustnych (część II).
O Por. A. C. S ch aeffer and D. C. Spencer, The coefficients of schlicht func
tions, III Nat. Ac. of Sc. 1946.
188 O d d z ia ł Ł ó d z k i
13. У. 1955. W. Kr y s i c k i , Uwagi o prawie Poissona.
27. V. 1955. Z. Ch a r z y ń s k i , Teoria funkcji analitycznych jednoli
stnych (część III).
20. VI. 1955. L. S i e wi e r s k i , O funkcjach jednolistnych algebraicznych w półpłaszczyźnie.
27. YI. 1955. B. Z a wa d z k i , Równanie funkcji ekstremalnych w ro
dzinie funkcji jednolistnych algebraicznych, nieograniczonych w kole jednost
kowym.
27. VI. 1955. T. Ś w i ą t k o w s k i , O zbiorze kierunków osobliwych.
Oddział Poznański
22. IX . 1954. T. L e ż a ń s k i (Warszawa), Przybliżone rozwiązywanie równań liniowych metodą gradientu.
29. IX . 1954. J. A l b r y c h t , O pewnych własnościach przestrzeni Mar- cinkiewicza-Orlicza.
W przygotowaniu dla Bull. Acad. Pol. Sci., Cl. III.
29. IX . 1954. S. K n a p o w s k i , O rozkładach liczb pierwszych w ciągach liczb naturalnych.
Niech {<%} hędzie ciągiem rosnącym liczb naturalnych i niech к (ж, {aw}) oznacza ilość liczh pierwszych ciągu (anj, nie przewyższających x.
Referent wyprowadza wzory asymptotyczne dla n(x, {an}), zakładając pewne własności następujących funkcji:
OO OO
Я (*) = Z (■A Ю K ) > 9 i ( s ) = Z ( Я Ю Ю ’
n = l n= 1
gdzie s = aĄ-it, Л(п) jest funkcją Mangoldta, A (w) = Л (n)/logn.
Szeregi powyższe mają tę samą odciętą zbieżności k.
Niech к będzie liczbą dodatnią, a funkcja g(s) niech spełnia następujące zało
żenia :
1. g(s) jest meromorficzna w zbiorze
a > k — ^og*»(jt| + 3) (£ > 0, 0 < г] < 1, £,r) stałe) i ma w tym zbiorze skończoną ilość biegunów (wszystkie jednokrotne).
2. g(8) = 0 (log^(|<| + 3)) w zbiorze
k — f/log^d^l+ 3) ^ 0 ^ ł + ^/log^(|i|-f 3), dla wielkich \t\.
Niech dla к ^ \ ciąg {anj ma tę własność, że jeśli pm jest jego wyrazem, to p również {p jest liczbą pierwszą).
Przy tych założeniach jest г [ж]
т ф , {an}) = JP B bm £ (vbM- 1/logn + 0 ( x * e x p ( - p ( l o g x ) 1^4));
m—1 re«=2 _
(blf b2, . . . , br) oznaczają wszystkie bieguny funkcji g(s) leżące na prostej a — k, a Rbl t Bb3 , . . . , Вь , — odpowiednie residua.
Sprawozdania z posiedzeń naukowych PTM 189
Jeżeli w szczególności r = 1, Ъг = k, to
n{x, {«„})' x к logx
W przypadku, gdy к — 0, podobne założenia o funkcji ^(s) i o ciągu |a n} dają wzór asymptotyczny
7Г(Ж> {ЙЛ) = -R0loga;-f 0(1) (B0 = res</!(«))• N s = 0
Dalej referent pokazuje, jak można uczynić zadość założeniom (1) i (2) za po
mocą przedstawienia funkcji charakterystycznej ciągu |an} jako kombinacji liniowej funkcji multiplikatywnych y(n) oraz badania przedłużenia analitycznego i rzędu
OO wzrastania funkcji, określonych szeregami £ ( y { n ) / n ‘).
fl=l
16. X. 1954. A. Al e x i ewi cz, Nowsze osiągnięcia matematyków ra
dzieckich w analizie funkcjonalnej.
16. X. 1954. S. K n a p o w s k i , Osiągnięcia matematyków radzieckich w teorii liczb.
29. X. 1954. Zebranie poświęcone zagadnieniom dydaktyki mate
matyki w uniwersytetach:
1. A. A l e x i e wi cz, Uwagi o wprowadzeniu równania obwiedni danej rodziny krzywych.
2. J. Ko p e ć , Uwagi o wyprowadzeyiiu wzoru na pole powierzchni obrotowej.
3. J. Ko p e ć , O pewnych analogiach wzorów w geometrii analitycznej.
4. J. Mus i e l a k, O kryterium określoności form kwadratowych.
5. R. Ta b e r s ki, Uwagi dotyczące kryterium Raabe’go i szeregów rozbieżnych.
18. XI. 1954. S. Goł ąb (Kraków), Kilka uwag o pojęciu gradientu.
Referent podaje konkretny przykład pola skalarnego ciągłego, z ograniczonymi pochodnymi cząstkowymi, którego pochodne cząstkowe przedstawiają — nie w każdym punkcie — wektor (gradientu).
Autor formułuje pewne twierdzenie (wspólne z M. Kucharzewskim) będące ilustracją geometryczną kierunku gradientu. Na tej podstawie zostaje sformułowana nowa definicja gradientu, czysto geometryczna i ogólniejsza od definicji analitycznej.
Kilka przykładów ilustruje stosunek nowej definicji do klasycznej.
20. XI. 1954. K. U r b a n i k (Wrocław), Metody analizy funkcjo
nalnej w teorii procesów stochastycznych stacjonarnych.
Uwagi o reprezentacji spektralnej procesów stochastycznych stacjonarnych (na prostej oraz ogólnie, na grupach topologicznych lokalnie zwartych i abelowych) oraz o zagadnieniu ekstrapolacji i filtracji tych procesów.
27. XI. 1954. M. B i e r n a c k i (Lublin), O współczynnikach Taylora funkcji jednolistnych.
190 O d d z ia ł P o z n a ń s k i
8. III. 19 55. J. A l b r y c h t , O uogólnieniach funkcji prawie perio
dycznych.
8. III. 1955. S. K n a p o w s k i , O liczbach pierwszych przedstawialnych przez pewne formy kwadratowe.
Niech liczba D całkowita dodatnia spełnia następujące warunki:
1° D Ф 3 (mod 4);
2° T) nie jest podzielna przez kwadrat żadnej liczby pierwszej;
3° w ciele B (\/ — D) każdy ideał jest główny (B jest ciałem liczb wymiernych).
Oznaczmy przez tz(x, D) ilość liczb pierwszych ^ x, które dadzą się przedstawić w postaci formy kwadratowej tt2JrDv*. Wówczas jest
n(x, D) — i f (du/logu) + 0 (#exp (— c, j/łoga?)),
2
oraz
V(x) = £ logp = i x + О (жехр( — c2\/\ogx)),
p ^ X
p = u$-\-Dv 2
gdzie cl5 c2 oznaczają stałe dodatnie, a p — liczby pierwsze.
W szczególności warunki l°-3° są spełnione dla I) = 1 i I) — 2.
Oznaczmy przez ©jy kres dolny tych liczb a, dla których r](x) — i x = 0( xa),
a przez &d kres górny części rzeczywistych pierwiastków następującej ^-funkcji De- dekinda:
fjD(e) =2 {T(k) - T{k— l ))l h(D)V* (s = 0+ it,<7> 1),
gdzie т(к) oznacza ilość punktów kratowych wewnątrz elipsy u2 + Dc2 ^ k, j 4 dla D — 1,
h {T>) — \
| 2 dla I) > 1.
Oczywiście jest i ^ 0d ^ 1; wówczas, jeżeli © D ~ i > to ©d^ ©d- leżeli ©& > i, to ©d = ©d ■
5. III. 1955. P. S z e p t y c k i (Warszawa), Teoria Moreya-Calkina całek wielokrotnych rachunku wariacyjnego.
Praca ukaże się w Studia Mathematica.
22. III. 1955. J. Ko p e ć , O analitycznych wektorowych funkcjach pra
wie periodycznych.
Praca ukaże się w Zeszytach Naukowych Uniwersytetu Poznańskiego.
22. III. 1955. J. Mu s i e l a k i W. Orlicz, O funkcjonałach w pewnych przestrzeniach Saksa.
Praca ukaże się w Studia Mathematica.
Sprawozdania z powiedzeń naukowych P T M 191
28. III. 1055. J. A lb r y c h t , O pewnym układzie równań całkowych nieliniowych.
Praca ukaże się w Zeszytach Naukowych Uniwersytetu Poznańskiego.
28. III. 1955. J. R a d e c k i, 0 pewnej własności funkcji liniowej.
Praca ukaże się w Rocznikach P.T.M., seria II, Wiadomości Matematyczne.
28. III. 1955. Z. S e m a d e n i, O zbiorach spełniających warunek Denjoy.
Referent uogólnia twierdzenie Frecheta (Fund. Math. 10 (1927), str. 341) na przypadek takiego ciągu Fn (x) funkcji wektorowych, że pseudonorma ||Fw(a:)|| ma punkty nieograniczoności w zbiorze A n , spełniającym warunek Denjoy względem siebie, oraz jest Anr \A m = 0 dla n < m.
28. III. 1955. 8. К пароле ski, O uogólnieniu twierdzenia Bohra.
Ukaże się w Rocznikach PTM, seria II, Wiadomości Matematyczne.
27. IY. 1955. 8. H a r t m a n (Wrocław), O podzielności w grupach topologicznych abelowych.
Patrz sprawozdania Oddziahi Toruńskiego, 21. Y. 1955.
27. IY. 1955. S. H a r t m a n i S. K n a p o w s k i (Wrocław), O pewnym zagadnieniu 8. Knapowskiego z teorii liczb.
Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.
3. Y. 1955. M. A lt m a n (Warszawa), O metodzie Newtona.
7. Y. 1955. 1ST. L a n d s b e r g (Drezno), Tiber alls E n dom,or phis me n linear er Rdume (część I).
9. Y. 1955. N. L a n d s b e r g (Drezno), Tiber alle Endomorphismen linearer Rdume (część II).
13. Y. 1955. J. Ł oś (Toruń), O składnikach prostych grup abelowych.
27. Y. 1955. M. B ie r n a c k i (Lublin), Uogólnienie zasady argumentu.
Twierdzenie. Dany jest układ równań
(*) y ) + f ( x > У) = 0, G(x, y ) +g { x , y) = 0,
gdzie F i G są wielomianami jednorodnymi odpowiednio stopni p i q, a / i g są wielo
mianami stopni mniejszych odpowiednio od p i q. Jeśli wzdłuż okręgu х 2Р у 2 = 1 miejsca zerowe wielomianów F i G są pojedyncze i jeśli F ma na tym okręgu 2p' miejsc zerowych, przy czym między kolejnymi miejscami zerowymi F jest zawsze nieparzysta liczba miejsc zerowych G, to układ (*) ma co najmniej p' rozwiązań rzeczywistych.
Przypadkiem szczególnym tego twierdzenia jest zasadnicze twierdzenie algebry.
Referent uogólnił swój wynik też na układ 3 równań o 3 niewiadomych.
Oddział Toruński
8. X. 1954. Uroczyste posiedzenie z okazji Miesiąca Pogłębienia Przyjaźni Polsko-Radzieckiej z referatami:
1. 8. J a ś k o w s k i, Prace o podstawach matematyki w Z 88R .
192 O d d z ia ł T o r u ń s k i
2. L. J e ś m a n o w i c z , Zeszyty filozoficzne Marksa.
I. X. 1954. L. D u b i k a j t i s , O podziałach simpłicjalnych.
Praca ukaże się w Coll. Math. 4.
25. X. 1954. F. L e ja (Kraków), O pracach krakowskiego ośrodka matematycznego.
8. XI. 1954. L. D u b i k a j t i s , O przystawaniu zbiorów.
Sprawozdanie z książki W. Sierpińskiego pod tymże tytułem.
6. XII. 1954. A. Ś n i a t y c k i , Olimpiada matematyczna w ZSSB.
8. I. 1955. A. M o s t o w s k i (Warszawa), O bazach grup abełowych.
Praca ukaże się w Bull. Acad. Pol. Sci. Cl. III.
8 . 1 . 1955. A. E h r e n f e u c h t (Warszawa), O przestrzeniach m-zwartych.
Przestrzeń topologiczna jest m-zwarta, jeśli z każdego pokrycia zbiorami otwar
tymi daje się wybrać pokrycie mocy m. Referent wykazał, że twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni dwuzwartych nie przenosi się na przestrzenie w-zwarte.
8. 1. 1955. M. K ról, O porządkowaniu iloczynów wolnych.
Dany jest iloczyn wolny dwóch grup O = A * B; komutant К grupy O jest ilo
czynem wolnym grup К = G0*Ka*Kb , gdzie K A jest komutantem grupy А , К в grupy В, a G0 jest wzajemnym komutantem grup A i B. Dzielnik normalny G0 grupy G, generowany przez elementy postaci aóa-1ó-1, gdzie a e A i beB, jest grupą wolną, a zbiór wszystkich elementów aba^b^1 jest jego zbiorem generatorów wolnych.
Każdy element g grupy G daje się w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci g = wab, gdzie tveG0, a e A, beB, a nadto jeśli g = a^b^1... a^b^, to a — a^ . . . a * , b =
Jeśli grupy i i В są grupami uporządkowanymi liniowo i jeśli założymy, że w grupie wolnej G0 można wprowadzić porządek liniowy niezmienniczy względem wewnętrznych transformacji grupy G, to można uporządkować iloczyn wolny A*B, porządkując jego elementy g = wab w sposób leksykograficzny.
17.1.1955. J. Ł oś, Sprawozdanie z podróży naukowej do Węgier.
18. III. 1955. J. Ł o ś , O składnikach prostych grup abelowych.
25. III. 1955. S. J a ś k o w sk i, Teoria relacji w modelu uniwersalnym.
II. У. 1955. J. M y c i e ls k i (Wrocław), Paradoksy wynikające z istnie
nia grupy wolnej obrotów sfery.
11. У. 1955. J. M y c i e ls k i (Wrocław), O grach nieskończonych.
12. V. 1955. B. S u s z k o (Poznań), O sumowaniu wzrastających ciągów modeli.
12. V. 1955. A. E h r e n f e u c h t (Warszawa), Pewne twierdzenie o nie
zmiennikach dla zwartych grup homeomorfizmów.
21. У. 1955. J. Ł oś, O pracach grupy algebry.
21. У. 1955. A. M o s t o w s k i (Warszawa), Uwagi o bazach normalnych.
21. V. 1955. W. O r lic z i J. M u s ie la k (Poznań), Funkcjonały w prze
strzeniach funkcji ciągłych.
Sprawozdania z posiedzeń naukowych PT M 193
21. V. 1955. S. H a r tm a n (Wroclaw), O podzielności w grupach topologicznych abelowych.
Referent postawił zagadnienie, czy w grupie abelowej zwartej i spójnej dla każdego elementu x zbiór ilorazów xjn (n — 1 , 2 ,. .. ) skupia się w zerze. Dla grup beztorsyjnych odpowiedź pozytywna byłaby równoważna z.pewnym twierdzeniem z arytmetyki liczb wymiernych.
Uzupełnienie przy korekcie: Autor komunikuje, że znalazł wraz z C. Ryll-Nar- dzewskim odpowiedź pozytywną. Rozwiązanie znajdzie się w pracy obu tych autorów:
Zur Theorie der lokal-kompakten ahelschen Gruppen (w przygotowaniu dla Coll. Math.)
2 1. Y. 1955. C. Ry 1 1-N a r d z e w sk i (Lublin), O kategoryczno ści teorii elementarnej w mocy
24. V. 1955. A. A l e x i e w i c z (Poznań), O równaniach hiperbolicznych.
17. VI. 1955. A. S u liń s k i, Radykały w dowolnych pierścieniach i sumy podproste pierścieni.
Oddział Wrocławski
18. VI. 1954. J. B a t t e k i J. Perkal, O rozwoju drzew i drzewostanów 18. VI. 1954. J. P er k a l, O rozwoju cech morfologicznych głowy.
18. VI. 1954. H. S t e in h a u s , O granicznej wariancji liczby punktów kratowych wpadających w dany obszar (zagadnienie).
7. X. 1954. Posiedzenie z okazji Miesiąca Pogłębienia Przyjaźni Polsko-Radzieckiej z referatami:
1. S. P as z к o w s к i, Radziecka szkoła konstruktywnej teorii funkcyj.
2. S. H a r tm a n , O książce Lewitana ,,Teoria funkcyj prawie okre
sowych'”.
3. A. G oetz, O książce Winogradowa ,,Elementy teorii liczb”.
15. X 1954. A. Z ięba, O pewnym zagadnieniu Steinhausa z teorii gier.
W przygotowaniu dla Zastosowań Matematyki.
15. X. 1954. S. Z u b r z y c k i, O pewnej grze z przeliczalną ilością po
sunięć.
Praca flkaże się pt. On the game of Banach and Mazur w Coll. Math.
22. X. 1954. J. A c z e l (Debrecen) i S. Z u b r z y c k i, O pewnym za
daniu z teorii liczb związanym, z rozkładem binormalnym.
Zob. Sur un probleme de la theorie des nombres lie a la distribution binomiale, Coll. Math. 4 (1955), str. 56-67.
22. X. 1954. S. H a r tm a n , Uwagi o grze Banacha-Mazura.
26. X. 1^54. S. Z u b r z y c k i, O taksonomii Wrocławskiej.
26. X. 1954. W. S a d o w s k i (Warszawa), O asortymencie kształtowni
ków walcowania.
Roczniki P. T. M.- Prace Matematyczne TI 13
194 O d d z i a ł W r o c ł a w s k i
29. X. 1954. S. H a r tm a n , O pewnym typie lakunarności.
Praca ukajała się w Le Matematiclie 10 (1955), str. 57-61.
29. X. 1954. A. Zięba, Elementarny dowód twierdzenia von Neu- manna o grach.
Praca ukaże się pt. Elementary proof of v. Neumann’s minimax theorem, w Oollo- qium Matliematicum.
29. X. 1954. H. S t e in h a u s , О kinetycznym modelu gazu w czworo
ścianie (zagadnienie).
Ruch cząsteczki odbijającej się elastycznie od ścian sześcianu, wewnątrz któ
rego biegnie bez sił zewnętrznych, jest dobrze znany (por. np. D. Kónig et A. Sztics, Rend. Palermo 36 (1913), str. 79-83). Wiadomo, że tor jest wtedy gęsty w całym sześcianie lub w pewnym płaskim przekroju sześcianu, a jeżeli nie, to ruch jest perio
dyczny a tor jest wielobokiem zamkniętym, wiadomo nawet znacznie więcej, co tu pomijamy. Otóż wiedza o analogicznym zagadnieniu, w którym zamiast sześcianu występuje czworościan foremny, najprostszy z wielościanów platońskich, jest taka nikła, że nawet nie znajdujemy przykładów toru zamkniętego, którego wierzchołki leżałyby wszystkie na ścianach (a więc nie na krawędziach lub wierzchołkach).
29. X. 1954. K. U r b a n ik , O pewnym zagadnieniu Wolibnera.
Istnieje taki homeomorfizm <p płaszczyzny zespolonej na siebie, że transformacja y> (z) = <p (z) Ą-z przekształca pewien zbiór rzadki w całą płaszczyznę.
2. XI. 1954. H. S t e in h a u s , Wrażenia z pobytu w Berlinie.
2. XI. 1954. S. P a s z k o w s k i , O pewnej klasie zbiorów na prostej.
W przygotowaniu dla Coll. Math.
2. XI. 1954. H. S t e in h a u s , Pewna własność funkcji złożonych.
Ciągła funkcja f{x, y) ma własność (W) w obszarze Z), gdy przez każdy punkt obszaru D przechodzi tylko jedna całka równania dyjdx = f ( x , y ) . Referent stawia następujące zagadnienie:
Dla jakich funkcji F(u) funkcja F ( f , x , y ) ma własność (W) przy założeniu, że ma ją funkcja f ( x, y) .
4. XI. 1954. S. K n a p o w s k i (Poznań), 0 rozkładach liczb pierwszych w ciągach liczb naturalnych.
Patrz sprawozdanie Oddziału Poznańskiego, 29. IX. 1954.
12. XI. 1954. J. M ik u s iń s k i, O szeregach Dirichleta.
Praca ukaże się w Ann. Pol. Math.
12. XI. 1954. Z. Z ie le ź n y , O pewnym paradoksie w statyce budowli.
12. XI. 1954. H. S t e in h a u s , o liczbie punktów kratowych chwytanych przez kolo o promieniu r.
Oznaczmy przez K ( P , r) liczbę punktów kratowych wewnątrz koła o środku P i o promieniu r.
I. Istnieje taki punkt P, że K ( P , r) przybiera wszystkie wartości całkowite 0, 1, 2, ..., gdy r rośnie.
Sprawozdania z posiedziń naukowych РТЫ 195
11. Jeżeli r~7i — k, przy czym к jest liczbą naturalną, to istnieje taki punkt P, że К (P, r) — k.
III. Istnieje taka prosta, że przy poruszaniu się punktu P wzdłuż niej funkcja K ( P , t ) przybiera wszystkie wartości, jakie może przybrać w ogóle przy danym r, przy czym funkcja nie ma innych skoków jak 1 i —I.
Niech Ij{r) oznacza, liczbę różnych wartości, jakie przybiera K( P , r ) , gdy P przebiega całą płaszczyznę: należy udowodnić monotoniczność funkcji L(r) i zbadać, czy istnieje limX(r)/r; te i podobne zagadnienia były celem komunikatu.
r - » - o o
12. XI. 1954. J. M ik u s iń s k i i K. U rb a n ik , O ciągu wielomianów stopnia ograniczonego.
19. XI. 1954. Jan M y c ie ls k i, Twierdzenia o grupach wolnych.
19. XI. 1954. K. U r b a n ik , Funkcja Phragmena-Lindelóffa niektórych parzystych iloczynów kanonicznych.
3. XII. 1954. S. D rób ot, Trzysta posiedzeń Oddziału Wrocławskiego Polskiego Towarzystwa Matematycznego.
3. XII. 1954. A. K o s i ń s k i (Warszawa), O pewnym zagadnieniu topologicznym Steinhausa.
3. XII. 1954. Jan M y c i e ls k i i A. Zięba, O grach typu, Banacha- M ażur a.
Praca ukazała się pt. On infinite games w Bull. Ac. Pol. Sc. Cl. III. 3 (1955), str. 133-136.
3. XII. 1954. J. M ik u s iń s k i, O podnoszeniu do n-tej potęgi macierzy kwadratowej czteroelementowej.
10. XII. 1954. S. P a s z k o w s k i , Twierdzenie Weierstassa dla apro
ksymacji z węzłami.
W przygotowaniu dla Colloquium Mathematicum.
10. XII. 1954. E. M a r c z e w sk i, TJwagi o niezależności stochastycznej.
10. XII. 1954. K. U r b a n ik , O funkcji delta Diraca.
Reprezentacja dystrybucji <5 (ж) Diraca przez jądra transformacji unitarnych przestrzeni L 2.
17. XII. 1954. Y. J a r n ik (Praha), Zastosowanie miar Hausdorffa do ułamków łańcuchowych.
29. XII. 1954. A. S p a c e k (Praha), Tiber gewisse wahrscheinlich- keitstheoretische Probleme in der Radiotechnik.
29. XII. 1954. J. L i t w i n i s z y n (Kraków), Przemieszczenie ośrodków sypkich jako proces stochastyczny.
7.1.1955. S. H a r t m a n i C. E y ll - X a r d z e w s k i (Lublin), Genera
tory grup abelowych.
7. I. 1955. J. B a lc e r z y k , O zbiorach wolnych iv grupach topologicznych.
13*
