3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN

Literatura Pomocnicza:

1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN

3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN

4. D.Cox, J.Little, D.O’Shea, Ideals, varieties and algorithms, Springer- Verlag

5. S.Lang, Algebra, PWN

1 Pierścienie, algebry

Niech P b¸edzie przemiennym pierścieniem z jedynk¸ a. Wtedy

• 1 = 0 ⇔ P jest zbiorem jednoelementowym

• 0 jest jedynym elementem neutralnym dla dodawania

• 1 jest jedynym elementem neutralnym dla mnożenia

• ∀ x ∈ P, 0 · x = 0

Każde ciało K jest pierścieniem. Zbiór wielomianów K[X] = K[X ¹ , . . . , X n ] jest pierścieniem.

Definicja. Odwzorowanie pierścieni h : P → S nazywamy homomor- fizmem jeżeli ∀ x, y ∈ P

h(x + y) = h(x) + h(y) h(x · y) = h(x) · h(y)

h(1) = 1

• h(0) = 0

• ker h = {x ∈ P | h(x) = 0} – j¸adro h

• Im h = {s ∈ S | ∃ x ∈ P s = h(x)} – obraz h

• Homomorfizm h : P → S jest izomorfizmem, jeżeli istnieje homo- morfizm odwrotny g : S → P , tzn. g ◦ h = id _P , h ◦ g = id _S

• Homomorfizm h jest izomorfizmem

⇔ h jest wzajemnie jednoznaczny, tzn. różnowartościowy i ”na”

⇔ ker h = {0} oraz Im h = S

Definicja. Jeżeli istnieje homomorfizm η : R → P , to pierścień P nazywamy R–algebr¸ a.

• Pierścień wielomianów K[X] jest K–algebr¸a

• Jeżeli P jest K–algebr¸a a K jest ciałem, to P jest w naturalny sposób przestrzeni¸ a wektorow¸ a nad K. Dla r ∈ K oraz p ∈ P definiujemy iloczyn r · p = η(r) · p.

W szczególności K[X] jest K–przestrzeni¸a wektorow¸a.

Definicja. Element p ∈ P nazywamy

• odwracalnym, jeżeli istnieje taki s ∈ P , że ps = 1

• dzielnikiem zera, jeżeli istnieje taki s ∈ P, s 6= 0, że ps = 0 (Jeżeli p 6= 0 to p jest właściwym dzielnikiem zera.)

• nilpotentnym, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n ≥ 1, że p ⁿ = 0.

(Przyjmujemy, że jeżeli p 6= 0 to p ⁰ = 1.)

Definicja. P ^∗ – zbiór elementów odwracalnych w P . (Zawsze 1 ∈ P ^∗ ; 0 6∈ P ^∗ o ile 1 6= 0.)

Fakt 1.1 Jeżeli a ⁿ = 0 oraz p jest odwracalny, to p + a też jest odwra- calny.

Definicja. Jeżeli P nie zawiera właściwych dzielników zera, to nazy- wamy go pierścieniem bez dzielników zera (lub dziedzin¸ a całkowitości).

Fakt 1.2 Każdy element p ∈ P \ {0} jest odwracalny

⇔ P jest ciałem.

Ćwiczenia.

1. Element odwracalny nie jest dzielnikiem zera (o ile 1 6= 0).

2. Dzielnik zera nie jest odwracalny (o ile 1 6= 0).

3. Jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera, to zbiór elementów odwracalnych w P jest zbiorem elementów odwracalnych w P [X].

4. Jeżeli iloczyn p · q jest odwracalny, to p oraz q s¸ a odwracalne.

5. Jeżeli p jest nieodwracalny, to dla dowolnego q, element p · q jest nieodwracalny.

6. W pierścieniu Z/4Z, element ”3” jest odwracalny, element ”2” jest właściwym dzielnikiem zera i elementem nilpotentnym.

7. Każdy właściwy element nilpotentny jest właściwym dzielnikiem zera.

8. Dowolny pierścień jest Z–algebr¸a.

9. Z ^∗ = {±1}.

10. (Z/4Z) ^∗ = {1, 3}.

2 Ideały

Definicja. Ideałem pierścienia P nazywamy każdy podzbiór I ⊂ P spełniaj¸ acy warunki:

(a) r, s ∈ I ⇒ r + s ∈ I (b) r ∈ I, p ∈ P ⇒ r · p ∈ I

• {0}, P s¸a ideałami. Każdy ideał I 6= P nazywamy właściwym

• Ideał I zawiera element odwracalny ⇔ I = P

• Wybierzmy p ₁ , . . . , p k ∈ P . Wtedy

I = {p ₁ a ₁ + · · · + p _k a _k | p ₁ , . . . , p _k ∈ P }

jest ideałem. Mówimy, że I jest generowany przez a 1 , . . . , a k , i oznaczamy I = (a 1 , . . . , a _k ).

Jeżeli I ma jeden generator a, to mówimy że I = (a) jest ideałem głównym.

• W ciele K istniej¸a tylko dwa ideały: {0}, K. Jeżeli P 6= {0}

posiada tylko dwa ideały {0} oraz P , to P jest ciałem

• Jeżeli h : P → S jest homomorfizmem pierścieni, to ker h jest ideałem

• Jeżeli V ⊂ K ⁿ to

I(V ) = {f ∈ K[X] | f |V ≡ 0}

jest ideałem w K[X].

• Jeżeli I ⊂ K[X] jest ideałem, to definiujemy

V (I) = {p ∈ K ⁿ | ∀ f ∈ I f (p) = 0}

• Przekrój dowolnej rodziny ideałów jest ideałem. W szczególno- ści, dla dowolnego zbioru A ⊂ P istnieje najmniejszy ideał w P zawieraj¸ acy A, równy przekrojowi rodziny wszystkich ideałów za- wieraj¸ acych A.

Nazywamy go ideałem generowanym przez A, i oznaczamy: (A) Jeżeli A = {a 1 , . . . , a k }, wtedy (A) = (a ₁ , . . . , a k )

• Ideał (A) składa si¸e z tych elementów, które można przedstawić w postaci p ₁ a ₁ +. . .+p _s a _s , gdzie s ≥ 1, a ₁ , . . . , a _s ∈ A, p ₁ , . . . , p _s ∈ P

• Niech I ₁ , I ₂ b¸ed¸ a ideałami. Wtedy

I ₁ + I ₂ = {a ₁ + a ₂ | a ₁ ∈ I ₁ , a ₂ ∈ I ₂ } jest najmniejszym ideałem zawieraj¸ acym I ₁ oraz I ₂

• Pierścień P nazywamy pierścieniem ideałów głównych, gdy wszyst- kie ideały w P s¸ a główne. Z oraz pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] s¸ a pierścieniami ideałów głównych.

Ćwiczenia.

1. r, s ∈ I ⇒ r − s ∈ I

2. Niech x 0 ∈ R. Wtedy I = {f ∈ R[X] | f(x ⁰ ) = 0} jest ideałem właściwym generowanym przez X − x 0

3. Niech x ₁ , . . . , x _k ∈ R. Wtedy

I = {f ∈ R[X] | f (x 1 ) = · · · = f (x _k ) = 0}

jest ideałem właściwym. Jakie s¸ a generatory I? Czy I jest główny?

4. Niech p = (p ₁ , . . . , p _n ) ∈ K ⁿ , K = R, C. Używaj¸ac wzoru Taylora pokaż, że I({p}) jest generowany przez X 1 − p ₁ , . . . , X n − p _n

5. Jeżeli I ⊂ P jest ideałem, P jest K– algebr¸ a, to I jest K–podprzestrzeni¸ a liniow¸ a w P

6. Ideał I ⊂ K[X] jest właściwy ⇔ I nie zawiera żadnej stałej 7. h : Z → R, h(m) = m, jest homomorfizmem, ale h((2)) nie jest

ideałem.

8. Jeżeli I ⊂ J to I + J = J .

9. Czy X ² ∈ K[X, Y ] należy do ideałów (X ³ , X ⁴ ), (X ³ , Y ⁴ ), (X + 1, Y + 1), (X ² + Y, Y ), (X ³ + 1, X ² + X + 1)

10. I · J = {a 1 b ₁ + · · · + a _s b _s | a _i ∈ I, b _i ∈ J} jest ideałem.

Czy I · J = {ab | a ∈ I, b ∈ J }?

11. I · J ⊂ I oraz I · J ⊂ J .

12. Jeżeli I ₁ , . . . , I _n s¸ a ideałami, to zdefiniowany indukcyjnie zbiór I ₁ · · · I _n = (I ₁ · · · I _n−1 ) · I _n jest ideałem.

13. Którym z symboli "⊂", "=", "⊃"można zawsze zast¸ apić symbol

"?"we wzorze

I 1 · · · I _n ? I 1 ∩ . . . ∩ I _n

3 Kongruencje, pierścień ilorazowy

Niech I b¸edzie ideałem w pierścieniu P .

• Relacja a ≡ b ⇔ a − b ∈ I jest relacj¸a równoważności.

• p ≡ 0 ⇔ p ∈ I.

• Jeżeli a ₁ ≡ a ₂ oraz b 1 ≡ b ₂ , to wtedy a 1 + b 1 ≡ a ₁ + b 2 oraz a ₁ b ₁ ≡ a ₂ b ₂ .

• Klasy abstrakcji relacji ”≡” nazywamy warstwami. Warstwa sto- warzyszna z elementem p jest zbiorem postaci {p + a | a ∈ I}.

Oznaczac j¸ a b¸edziemy symbolem p + I lub [p].

• Zbiór klas abstrakcji, oznaczany symbolem P/I, jest pierścieniem z działaniami zdefiniowanymi w naturalny sposób na reprezentantach warstw:

[p] + [q] = [p + q]

[p] · [q] = [p · q]

Pierscień P/I jest nazywany pierścieniem ilorazowym.

• Odwzorowanie κ : P → P/I zdefiniowane jako κ(p) = [p] jest surjektywnym homomorfizmem, ker κ = I. Odwzorowanie κ jest nazywane kanonicznym homomorfizmem.

• Niech h : P → S b¸edzie homomorfizmem. Załóżmy, że I = ker h.

Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm h ^∗ : P/I → S, taki ze h = h ^∗ ◦ κ. Nazywamy go homomorfizmem indukowanym.

• Jeżeli P jest R algebr¸a, to P/I też jest R algebr¸a. A wi¸ec jeżeli R = K jest ciałem, to wtedy P/I jest przestrzeni¸ a wektorow¸ a nad ciałem K, a homomorfizm kanoniczny κ : P → P/I jest odwzorowaniem K–liniowym.

• Niech h : P → S b¸edzie surjektywnym homomorfizmem K–

algebr (K–ciało), niech I = ker h. Wtedy h ^∗ : P/ ker h → S jest izomorfizmem, oraz

dim _K S = dim _K P/I.

• Jeżeli J ⊂ I są ideałami, to istnieje surjektywny homomorfizm h : P/J → P/I. Wtedy:

h jest izomorfizmem ⇔ J = I ⇔ dim _K P/J = dim _K P/I.

Ćwiczenia.

1. Jeżeli I = (m) ⊂ Z, to Z/I = Z/mZ.

2. Niech I ⊂ K[X] (K – ciało). Wtedy istnieje wielomian h taki, że I = (h).

Weźmy f, g ∈ K[X]. Dziel¸ ac te wielomiany z reszt¸ a przez h otrzy- mamy:

f = ph + r ₁ , deg(r ₁ ) < deg(h), g = qh + r ₂ , deg(r ₂ ) < deg(h).

Wtedy f ≡ g ⇔ r ₁ = r 2 .

3. R[X]/(X + 7) jest izomomorficzny z R.

4. R[X]/(X ² + 5) jest izomorficzny z C.

5. R[X]/(X ² − 3) jest izomorficzny z R × R.

6. Jeżeli 0 6= h ∈ R[X] jest wielomianem posiadającym tylko jedno- krotne pierwiastki, to R[X]/(h) jest izomorficzny (jako R–agebra!) z

R × · · · × R

| {z }

r

× C × · · · × C

| {z }

s

,

gdzie r jest liczbą pierwiastków rzeczywistych, s jest połową liczby pierwiastków nie leżących na osi rzeczywistej. Czy można podobnie opisać R[X]/(h) jeżeli dopuścimy istnienie pierwiastków wielokrot- nych?

4 Chińskie twierdzenie o resztach

Jeżeli P 1 , . . . , P _n s¸ a pierścieniami, to ich iloczyn kartezjański

P ₁ × · · · × P _n , z naturalnie zdefiniowamymi działaniami, jest też pier- ścieniem.

Uwaga. Jeżeli P 1 , . . . , P _n s¸ a ciałami, to P 1 × · · · × P _n nie musi być ciałem.

B¸ edziemy od teraz zakładać, że wszystkie pierścienie s¸ a K-

algebrami dla ustalonego ciała K.

Skoro teraz każdy P i jest K–algebr¸ a, to P 1 × · · · × P _n jest też K–

algebr¸ a.

Niech I ₁ , . . . , I _n b¸ed¸ a ideałami w pierścieniu P . Dla 1 ≤ k ≤ n oraz p ∈ P , [p] _k oznaczać b¸edzie warstw¸e elementu p w P/I _k .

Ćwiczenie.

1. Odwzorowanie h : P → P/I ₁ × · · · × P/I _n : h(p) = ([p] ₁ , . . . , [p] _n ) jest homomorfizmem K–algebr.

Twierdzenie 4.1 (Chińskie twierdzenie o resztach) Załóżmy, że

∀ k 6= `, I <sub>k</sub> + I <sub>`</sub> = P . Wtedy (i) I ₁ ∩ . . . ∩ I _n = I ₁ · · · I _n .

(ii) Istnieje kanoniczny izomorfizm K–algebr

P/I 1 ∩ . . . ∩ I _n ' P/I ₁ × · · · × P/I _n zdefiniowany wzorem p + I 1 ∩ . . . ∩ I _n 7→ ([p] ₁ , . . . , [p] _n ).

Przykład. Jeżeli m ₁ , . . . , m _n s¸ a wzgl¸ednie pierwszymi liczbami całkowi- tymi, to

Z/m ¹ · · · m _n ' Z/m ¹ Z × · · · × Z/m ⁿ Z.

Wniosek 4.2 Załóżmy, że ∀ k 6= `, I <sub>k</sub> + I <sub>`</sub> = P . Wtedy dim _K P/I ₁ ∩ . . . ∩ I _k < ∞

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ 1 ≤ k ≤ n dim _K P/I _k < ∞.

Wniosek 4.3 Jeżeli ∀ k 6= `, I <sub>k</sub> + I <sub>`</sub> = P oraz I ₁ ∩ . . . ∩ I _n = I ₁ · · · I _n = {0} to

P ' P/I ₁ × · · · × P/I _n .

5 Ideały pierwsze i maksymalne

Definicja. Ideał I ⊂ P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych ele- mentów a, b ∈ P :

ab ∈ I ⇒ a ∈ I lub b ∈ I.

• Jeżeli I jest pierwszy, a ₁ · · · a _n ∈ I to ∃ 1 ≤ i ≤ n a _i ∈ I.

• Jeżeli P → S jest homomorfizmem oraz S jest pierścieniem bez dzielników zera, to ker h jest ideałem pierwszym.

• {0} ⊂ P jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy P jest pierścieniem bez dzielników zera.

• Ideał I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest pierścieniem bez dzieników zera.

• Jeżeli h : P → S jest homomorfizmem oraz J ⊂ S ideałem pierwszym, to h ⁻¹ (J ) ⊂ P jest ideałem pierwszym.

Definicja. Ideał właściwy I ⊂ P nazywamy maksymalnym, gdy dla każdego ideału J ⊂ P :

I ⊂ J ⇒ J = I lub J = P.

• I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest ciałem.

• Ideał maksymalny jest pierwszy.

• Każdy ideał zawiera si¸e w pewnym ideale maksymalnym.

Ćwiczenia

1. Załóżmy, że h : P → S jest surjektywnym homomorfizmem oraz I ⊂ P jest ideałem pierwszym. Czy h(I) ⊂ S jest zawsze pierwszy?

2. (n) ⊂ Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb¸a pierwsz¸ a.

3. Niech f ∈ Z[X] b¸edzie wielomianem stopnia 2 . Ideał (f ) jest

maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy f nie ma pierwiastków rze-

czywistych.

4. Niech h : P → S b¸edzie surjektywnym homomorfizmem oraz niech I ⊂ P będzie ideałem maksymalnym. Czy h(I) ⊂ S jest zawsze ideałem maksymalnym?

5. Niech P b¸edzie pierścieniem ideałów głównych bez dzielników zera.

Niezerowy ideał właściwy I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy I jest maksymalny.

6 Pierścienie noetherowskie

Definicja Pierścień nazywamy noetherowskim, gdy każdy ideał tego pierścienia jest skończenie generowany.

• Każdy pierścień ideałów głównych jest noetherowski.

• Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim Twierdzenie 6.1 Poniższe warunki s¸ a równoważne:

(i) P jest noetherowski,

(ii) Każdy wst¸epuj¸ acy ci¸ ag ideałów I 1 ⊂ I ₂ ⊂ · · · stabilizuje si¸e, tzn.

dla pewnego n: I _n = I _n+1 = · · · .

(iii) Każda niepusta rodzina ideałów posiada element maksymalny ze wzgl¸edu na relacje zawierania.

Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hilberta o bazie) Jeżeli P jest no- etherowski, to pierścień wielomianów P [X] jest też noetherowski.

Wi¸ec pierścień wielomianów n–zmiennych K[X] = K[X 1 , . . . , X _n−1 ][X _n ] o współczynnikach w ciele K jest noetherowski.

Ćwiczenia.

1. Z[X] nie jest pierścieniem ideałów głównych.

2. Niech I b¸edzie ideałem w pierścieniu noetherowskim P . Wtedy pierścień P/I jest noetherowski.

3. Niech I, J b¸eda takimi ideałami w pierścieniem noetherowskim P , że:

∀ f ∈ I ∃ k > 0 f ^k ∈ J,

∀ g ∈ J ∃ ` > 0 g <sup>`</sup> ∈ I.

Wtedy istniej¸ a stałe r, s > 0 takie, że I ^r = I · · · I

| {z }

r

⊂ J, J ^s ⊂ I.

4. Niech f α b¸edzie dowoln¸ a rodzin¸ a wielomianów w K[X]. Oznaczmy V = \

α

f _α ⁻¹ (0).

Każdy zbiór tej postaci nazywamy zbiorem algebraicznym. Pokaż, że istnieje skończony podzbiór indeksów α ₁ , . . . , α _m taki, że

V =

m

\

i=1

f _α ⁻¹

(0),

a wi¸ec każdy zbi ˙or algebraiczny może być opisany za pomoc¸ a skoń- czonej ilości równań.

7 Twierdzenie Hiberta o zerach

Twierdzenie 7.1 Załóżmy, że m ⊂ C[X] jest ideałem maksymalnym.

Wtedy istnieje jednoznacznie wyznaczony punkt p = (p ₁ , . . . , p _n ) ∈ C ⁿ taki, że

m = m _p = {f ∈ C[X] | f (p) = 0} = (X 1 − p ₁ , . . . , X _n − p _n ).

Wniosek 7.2 Jeżeli m ⊂ C[X] jest ideałem maksymalnym, to C[X]/m ' C.

Przykład. Ideał (X ² + 1) ⊂ R[X] jest maksymalny, ale R[X]/(X ² + 1) 6' R.

Definicja. Jeżeli I jest ideałem, to

rad(I) = {p ∈ P | ∃ n > 0 p ⁿ ∈ I}

jest ideałem. Nazywamy go radykałem ideału I.

Twierdzenie 7.3 (Tw. Hilberta o zerach I) Niech f ₁ , . . . , f _r ∈ C[X].

Wtedy układ równań f ₁ = · · · = f _r = 0 ma rozwiazanie w C ⁿ wtedy i

tylko wtedy, gdy ideał (f ₁ , . . . , f _r ) ⊂ C[X] jest właściwy, tzn. nie za-

wiera żadnego elementu odwracalnego, czyli niezerowej stałej.

Twierdzenie 7.4 (Tw. Hilberta o zerach II) Niech I ⊂ C[X] b¸edzie ideałem, niech V = V (I). Załóżmy, że g ∈ C[X] jest takim wielomia- nem, że g _|V ≡ 0.

Wtedy istnieje m > 0 takie, że g ^m ∈ I (czyli g ∈ rad(I)).

Ćwiczenia. Dla K = C:

1. V (f ₁ , . . . , f _r ) = V (g ₁ , . . . , g _s ) ⇔ rad(f ₁ , . . . , f _r ) = rad(g ₁ , . . . , g _s ), czyli

V (I) = V (J ) ⇔ rad(I) = rad(J ).

2. I ⊂ J ⇒ V (I) ⊃ V (J).

3. V (I) ⊃ V (J ) ⇒ rad(I) ⊂ rad(J).

4. V (I ∩ J ) = V (I) ∪ V (J ).

5. V (I · J ) = V (I) ∪ V (J ).

6. V (I ^k ) = V (I).

7. V (I + J ) = V (I) ∩ V (J ).

8. Jeżeli V (I) = V (J ), to istniej¸ a k, ` > 0 takie, że I <sup>k</sup> ⊂ J oraz J <sup>`</sup> ⊂ I.

9. W których z powyższych zadań można zast¸ apić ciało C przez R?

8 Rozszerzenia całkowite

Niech B b¸edzie pierścieniem bez dzielników zera.

Definicja. Podzbiór A ⊂ B nazywamy podpierścieniem, jeżeli A z działaniami indukowanymi z B jest pierścieniem.

Załóżmy, że A ⊂ B jest podpierścieniem.

Definicja. Mówimy, że element b ∈ B jest całkowity wzgl¸edem A, jeżeli istnieje taki wielomian unormowany f ∈ A[X], że f (b) = 0, tzn.:

b ⁿ + a n−1 b ⁿ⁻¹ + · · · + a 0 = 0

dla pewnych a ₀ , . . . , a _n−1 ∈ A.

B nazywamy rozszerzeniem całkowitym pierścienia A, jeżeli każdy ele- ment b ∈ B jest całkowity wzgl¸edem A.

Podzbiór M ⊂ B nazywamy skończenie generowanym A–modułem, je- żeli istniej¸ a b 1 , . . . , b s ∈ B, takie że

M = {a 1 b 1 + · · · + a s b s | a _i ∈ A} = A b ₁ + · · · + A b s .

Ćwiczenia.

1. Jeżeli M jest skończenie generowanym A–modułem, to m 1 , m 2 ∈ M ⇒ m ₁ + m 2 ∈ M ,

a ∈ A, m ∈ M ⇒ a · m ∈ M . 2. Jeżeli b ₁ , . . . , b _s ∈ B to

A[b ₁ , . . . , b _s ] = {f (b ₁ , . . . , b _s ) | f ∈ A[X ₁ , . . . , X _s ]}

jest podpierścieniem w B. Wyjaśnij, jaka jest różnica pomi¸edzy A[b ₁ , . . . , b _s ] oraz A b ₁ + · · · + A b _s .

3. Niech k ⊂ L b¸ed¸ a ciałami. Wtedy b ∈ L jest całkowity wzgl¸edem k wtedy i tylko wtedy, gdy b jest algebraiczny wzgl¸edem k.

Lemat 8.1 Jeżeli b ∈ B jest całkowity wzgl¸edem A, to A[b] = {h(b) | h ∈ A[X]} jest skończenie generowanym A–modułem.

Twierdzenie 8.2 Poniższe warunki s¸ a równoważne:

(i) B jest rozszerzeniem całkowitym A,

(ii) jeżeli b ₁ , . . . , b _s ∈ B, to A[b ₁ , . . . , b _s ] jest skończenie generowanym A–modułem,

(iii) każdy skończony podzbiór zbioru B jest zawarty w pewnym podpier- ścieniu C ⊂ B, który jest skończenie generowanym A–modułem.

Wniosek 8.3 Jeżeli B jest skończenie generowanym A–modułem, to B jest rozszerzeniem całkowitym A.

Wniosek 8.4 Zbiór wszystkich elementów w B cakowitych wzgl¸edem A

jest podpierścieniem w B.

Twierdzenie 8.5 Jezeli A ⊂ B ⊂ C s¸ a pierścieniami bez dzielników zera, B jest rozszerzeniem całkowitym A oraz C jest rozszerzeiem cał- kowitym B, to C jest rozszerzeniem całkowitym A.

Niech k b¸edzie ciałem, zaś k[X] pierścieniem wielomianów. Niech k(X) =  f (x)

g(x) | f, g ∈ k[X], g 6= 0



b¸edzie ciałem funkcji wymiernych. Oczywiście istnieje naturalne zanu- rzenie k[X] ⊂ k(X).

Twierdzenie 8.6 Jeżeli h ∈ k(X) jest całkowity wzgl¸edem k[X], to h ∈ k[X].

Wniosek 8.7 Załóżmy, że ciało k jest podciałem ciała L.Załóżmy, że element b ∈ L jest przest¸epny wzgl¸edem ciała k, tzn. b nie jest pier- wiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o współczynnikach z k. Wtedy

k[X] ' k[b], k(X) ' k(b).

Jeżeli f ∈ k(b) jest całkowity wzgl¸edem k[b], to f ∈ k[b]. (Oczywiście k[b] ⊂ k(b).)

9 Pierścienie lokalne

Definicja. Pierścień A nazywamy lokalnym, gdy zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny m. Np. każde ciało jest pierścieniem lokalnym, m = {0}.

Fakt 9.1 Jeżeli I jest ideałem właściwym w pierścieniu lokalnym A, to A/I jest pierścieniem lokalnym.

Twierdzenie 9.2 Poniższe warunki s¸ a równoważne:

(i) A jest pierścieniem lokalnym,

(ii) zbiór elementów nieodwracalnych w A jest ideałem (właściwym) Twierdzenie 9.3 (Lemat Nakayamy I) Niech I, J b¸ed¸ a ideałami w pierścieniu lokalnym (A, m).

Załóżmy, że I jest skończenie generowany oraz I ⊂ J + m · I. Wtedy

I ⊂ J .

Wniosek 9.4 (Lemat Nakayamy II) Jeżeli I jest takim skończenie generowanym ideałem w pierściniu lokalnym (A, m), że I = m · I, to wtedy I = {0}.

Wniosek 9.5 Jeżeli A jest lokalnym pierścieniem noetherowskim, to dla dowolnych ideałów I, J ⊂ A:

(i) I ⊂ J + m · I ⇒ I ⊂ J , (ii) I = m · I ⇒ I = {0}.

Twierdzenie 9.6 Załóżmy, że (A, m) jest pierścieniem lokalnym i K–

algebr¸ a, gdzie K ' A/m. Załóżmy też, że ideał maksymalny m jest skończenie generowany oraz I jest ideałem w A.

Wtedy poniższe warunki s¸ a równoważne:

(1) dim _K A/I < ∞ (2) ∃ ` m <sup>`</sup> ⊂ I

(3) ∃ ` m <sup>`</sup> + I = m ^`+1 + I

Symbolem N oznaczmy zbiór złożony z zera i liczb naturalnych, tzn.

N = {0, 1, 2, . . .}.

Definicja. Każdy napis X

α

a α X ^α = X

α

a α X ₁ ^α

· · · X _n ^α

,

gdzie α = (α ₁ , . . . , α _n ) ∈ N ⁿ oraz a _α ∈ K, nazywamy formalnym szere- giem pot¸egowym.

Zbiór szeregów pot¸egowych oznaczamy symbolem K[[X]] = K[[X 1 , . . . , X _n ]].

K[[X]] z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia jest K- algebr¸ a.

Twierdzenie 9.7 K[[X]] jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym.

Ideał maksymalny m składa si¸e z tych szeregów, których wyraz wolny

jest równy zero.

Ćwiczenie. Dla dowolnego ideału I ⊂ K[X] i punktu p ∈ V (I); niech m _p = {f ∈ K[X] | f (p) = 0} = (X 1 − p ₁ , . . . , X _n − p _n ) ⊂ K[X]

b¸edzie ideałem maksymalnym stowarzyszonym z punktem p. Wtedy dla każdej liczby naturalnej k;

1. pierścień ilorazowy K[X]/(I +m ^k p ) jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym, gdzie jedynym ideałem maksymalnym jest

[m _p ] = (I + m _p )/(I + m ^k _p ),

2. f = f (X) jest odwracalny w K[X]/(I + m ^k p ) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz wolny f (p) 6= 0,

3. znajdź (2 + X ₁ ² − X ₂ ) ⁻¹ w K[X]/m ⁶ 0 , 4. znajdź (2 + X ₁ ² − X ₂ ) ⁻¹ w K[[X]].

10 Algebry skończenie wymiarowe

Niech I ⊂ K[X] będzie ideałem. Niech

V (I) = V (I) _K = {p ∈ K ⁿ | ∀ f ∈ I, f (p) = 0}, oznacza zbiór zer ideału I. Niech

A = A _K = K[X]/I

oznacza K-algebrę stowarzyszoną z ideałem I. (Symbolu V (I) K lub A K

używa się aby podkreślić jakie ciało K rozpatrujemy.) Twierdzenie 10.1 (i) dim K A = 0 ⇒ V (I) = ∅,

(ii) dim K A < ∞ ⇒ V (I) jest zbiorem skończonym, (iii) K = C oraz V (I) C = ∅ ⇒ dim _C A _C = 0,

(iv) V (I) _C – skończony ⇒ dim _C A _C < ∞.

Definicja. Algebra A jest skończenie wymiarowa, jeżeli

dim _K A < ∞.

Ćwiczenia.

1. Załóżmy, że X ³ − XY oraz Y ² + X − Y należą do ideału I ⊂ K[X, Y ]. Pokaż, że dim _K A ≤ 6.

2. Niech f _i ∈ K[X] = K[X ¹ , . . . , X _n ] będą takimi wielomianami, że f _i = X _i ^k(i) + p _i (1 ≤ i ≤ n)

gdzie wielomian p i ma stopień < k(i). Niech

f ₁ , . . . , f _n ∈ I ⊂ K[X], A = K[X]/I . Pokaż, że dim _K A < ∞.

3. Niech I = (X ² +Y, XY −1) ⊂ K[X, Y ]. Pokaż,że dim _K K[X, Y ]/I <

∞.

Ćwiczenia

1. Jeżeli f = P c _α X ^α ∈ C[X], to ¯ f = P c _α X ^α ∈ C[X] oraz ˜ f =

1

2 P(c _α + c _α )X ^α ∈ R[X].

2. Jeżeli f ∈ C[X] to: f ∈ R[X] ⇔ f = ¯ f ⇔ f = ˜ f .

Fakt 10.2 Niech g, f ₁ , . . . , f _r ∈ R[X]. Oznaczmy:

I _R – ideał generowany przez f ₁ , . . . , f _r w R[X]

I _C – ideał generowany przez f ₁ , . . . , f _r w C[X]

Wtedy

(i) g ∈ I _R ⇔ g ∈ I _C , więc I _R = I _C ∩ R[X].

(ii) I _R = R[X] ⇔ I C = C[X].

Fakt 10.3 Niech I R (odp. I C ) będzie ideałem w R[X] (odp. w C[X]) generowanym przez f 1 , . . . , f _r ∈ R[X]. Wtedy

dim _R R[X]/I ^R = dim _C C[X]/I ^C , oraz

dim R C[X]/I ^C = 2 dim C C[X]/I ^C = 2 dim R R[X]/I ^R .

Twierdzenie 10.4 Niech f 1 , . . . , f r ∈ K[X]. Jeżeli 0 < dim _K K[X]/(f 1 , . . . , f _r ) < ∞ to r ≥ n.

Ćwiczenie. Udowodnij powyższe Twierdzenie, gdy n = 2.

Definicja. Wielomian h ∈ K[X] jest jednorodny stopnia k jeżeli wszyst- kie jego jednomiany są stopnia k, tzn.

h = X

α

a _α X ^α , |α| = k.

(Przyjmujemy że wielomian zerowy ma dowolny stopień!)

• Każdy wielomian f stopnia p daje się jednoznacznie przedstawić jako suma

f = (f ) 0 + (f ) 1 + · · · + (f ) p ,

gdzie (f ) _k jest sumą jednomianów z f stopnia k, oraz (f ) _p 6= 0.

• Jeżeli h jest jednorodny stopnia k ≥ 1, to 0 ∈ h ⁻¹ (0).

• Wielomiany jednorodne stopnia 0 są stałymi.

Ćwiczenia.

1. Niech h ₁ , . . . , h _s będą wielomianami jednorodnymi. Jeżeli x ₀ ∈ h ⁻¹ ₁ (0) ∩ . . . ∩ h ⁻¹ _s (0), x ₀ 6= 0

to prosta K · x 0 jest zawarta w h ⁻¹ ₁ (0) ∩ . . . ∩ h ⁻¹ _s (0). Więc h ⁻¹ ₁ (0) ∩ . . . ∩ h ⁻¹ _s (0) jest

– zbiorem pustym jeżeli jeden z h i 6= 0 jest stopnia 0, – = {0}, albo

– jest zbiorem nieskończonym. (Jeżeli n = 2 to w trzecim wypadku

jest to skończona suma prostych przechodzących przez początek

układu 0.)

2. Jednorodny wielomian h ∈ C[X, Y ] daje się jednoznacznie (z do- kładnością do niezerowej stałej) rozłożyć na iloczyn składników li- niowych postaci aX + bY .

Twierdzenie 10.5 (Bézout I) Jeżeli h 1 , . . . , h n ∈ C[X] = C[X ¹ , . . . , X n ] są jednorodne stopni k 1 , . . . , k _n to poniższe warunki są równoważne:

(i) h ⁻¹ ₁ (0) ∩ . . . ∩ h ⁻¹ _n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[X]/(h ¹ , . . . , h n ) < ∞,

(iii) dim C C[X]/(h ¹ , . . . , h _n ) = k ₁ · · · k _n .

Twierdzenie 10.6 (Bézout II) Niech g ₁ , . . . , g _n ∈ K[X] = K[X ¹ , . . . , X _n ] będą stopnia k ₁ , . . . , k _n (K = C lub K = R). Niech h 1 = (g ₁ ) _k

, . . . , h _n = (g _n ) _k

.

Jeżeli {z ∈ C ⁿ | h ₁ (z) = · · · = h _n (z) = 0} jest skończony (tzn.

= {0}), to

dim _K K[X]/(g 1 , . . . , g _n ) = k ₁ · · · k _n .

Twierdzenie 10.7 (Bézout I, wersja lokalna) Jeżeli h 1 , . . . , h n ∈ C[X] = C[X ¹ , . . . , X n ] są jednorodne stopni k 1 , . . . , k n to poniższe warunki są

równoważne:

(i) h ⁻¹ ₁ (0) ∩ . . . ∩ h ⁻¹ _n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[[X]]/(h ¹ , . . . , h n ) < ∞,

(iii) dim C C[[X]]/(h ¹ , . . . , h _n ) = k ₁ · · · k _n .

Twierdzenie 10.8 (Bézout II, wersja lokalna) Niech g ₁ , . . . , g _n ∈ K[X] = K[X 1 , . . . , X _n ] będą niezerowymi wielomianami. Wtedy istnieją niezerowe jednorodne wielomiany h _i stopnia ` _i takie, że

g _i = h _i + jednomiany stopnia > ` _i .

Jeżeli {z ∈ C ⁿ | h ₁ (z) = · · · = h _n (z) = 0} jest skończony (tzn.

= {0}), to

dim K K[[X]]/(g ¹ , . . . , g n ) = ` 1 · · · ` _n .

11 Bazy Gröbnera dla dwóch zmiennych

W zbiorze N ² można wprowadzić tzw. porządek leksykograficzny z gra- dacją:

Definicja. Jeżeli α = (α ₁ , α ₂ ), β = (β ₁ , β ₂ ) należą do N ² to α > β jeśli |α| > |β|, lub |α| = |β| i α ₁ > β ₁ .

Dla niezerowego wielomianu f = P

α a _α X ^α ∈ K[X, Y ] oznaczmy

• multideg(f ) = max(α | a _α 6= 0),

• LC(f ) = amultideg ^{(f )} ,

• LM(f ) = Xmultideg ^{(f )} ,

• LT(f ) = amultideg ^{(f )} X multideg (f ) .

Fakt 11.1 • multideg(f · g) = multideg(f ) + multideg(g),

• LC(f · g) = LC(f ) · LC(g),

• LM(f · g) = LM(f ) · LM(g),

• LT(f · g) = LT(f ) · LT(g).

Definicja. Niech I ⊂ K[X] będzie niezerowym ideałem. Oznaczmy:

• LT(I) = {LT(f ) | f ∈ I \ {0}},

• < LT(I) > – ideał generowany przez LT(I).

Fakt 11.2 Jeżeli jednomian X ^α ∈ < LT(I) >, to dla każdego β ∈ N ² jednomian X ^α · X ^β = X ^α+β ∈ < LT(I) >.

Twierdzenie 11.3 (i) Istnieją g ₁ , . . . , g _s ∈ I takie, że ideał < LT(I) >

jest generowany przez LM(g ₁ ), . . . , LM(g _s ),

(ii) g ₁ , . . . , g _s generują ideał I,

(iii) dla dowolnego f ∈ K[X] istnieje dokładnie jeden wielomian g = g(f ) oraz dokładnie jeden wielomian r = r(f ) takie, że

f = r(f ) + g(f ) = r + f,

g ∈ I oraz żaden jednomian wielomianu r nie dzieli się przez żaden z jednomianów LM(g ₁ ), . . . , LM(g _s ).

Definicja. Wielomiany g ₁ , . . . , g _s nazywamy bazą Gröbnera ideału I.

Wielomian r(f ) nazywamy postacią normalną wielomianu f . (Uwaga:

nie każdy zbiór generatorów ideału jest jego bazą Gröbnera!)

Wniosek 11.4 • Każdy element pierścienia ilorazowego K[X]/I daje się jednoznacznie przedstawić jako skończona K–liniowa kombina- cja jednomianów które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g ₁ ), . . . , LM(g _s ),

• wymiar dim _K K[X]/I jest równy ilości jednomianównie które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g ₁ ), . . . , LM(g _s ).

Ćwiczenie. Niech f 1 , f 2 ∈ K[X] = K[X, Y ] będą takimi wielomianami, że

f ₁ = X ^k(1) + p ₁ , f ₂ = Y ^k(2) + p ₂ , gdzie wielomian p _i ma stopień < k(i). Niech

I = (f ₁ , f ₂ ) ⊂ K[X].

Pokaż, że f 1 , f 2 są bazą Gröbnera ideału I. (Można skorzystać z Twier- dzenia Bézout.)

12 Dziedziny z jednoznacznością rozkładu

Niech P będzie dziedziną całkowitości.

Element a 6= 0 nazywamy nierozkładalnym, jeżeli nie jest odwracalny,

i jeżeli a = bc, to b lub c jest odwracalny.

zbiór elementow rozkładalnych.

Element nieodwracalny jest pierwszy, jeżeli:

a|bc ⇒ a|b lub a|c . Fakt 12.1 Elementy pierwsze są nieodwracalne.

Dziedzinę całkowitości P nazywamy dziedziną z jednoznacznością rozkładu, jeżeli

(a) każdy element rozkładalny jest iloczynem pewnej liczby elementow nierozkładalnych,

(b) przedstawienie w postaci iloczynu jest jednoznaczne z dokładnością do porządku i stowarzyszenia.

Twierdzenie 12.2 P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy

(i) każdy element rozkładalny jest iloczynem elementów nierozkładal- nych,

(ii) każdy element nierozkładalny jest pierwszy.

Twierdzenie 12.3 Jeżeli P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to pierścień wielomianów P [x] jest dziedziną z jednoznacznością roz- kładu.

Twierdzenie 12.4 Jeżeli K jest ciałem ułamków dziedziny z jedno- znacznością rozkładu P i element a ∈ P [x] jest nierozkładalny w P [x], to a jest nierozkładalny w K[x] lub a ∈ P i a jest nierozkładalny w P .

(Więc jeżeli a jest rozkładalny w K[x], to jest też rozkładalny w P [x].)