38, s. 87-94, Gliwice 2009
CIŚNIENIE W PŁASKIM ŁOŻYSKU ŚLIZGOWYM SMAROWANYM OLEJEM MIKRPOLARYM
PAWEŁ KRASOWSKI
Katedra Podstaw Techniki, Akademia Morska w Gdyni e-mail: pawkras@am.gdynia.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono rozwiązanie numeryczne równania Reynoldsa opisującego laminarny, stacjonarny przepływ oleju smarującego o strukturze mikropolarnej w płaskim łożysku ślizgowym. Założono stałą gęstość oraz lepkości dynamiczne oleju mikropolarnego. Wyniki przedstawiono w postaci rozkładu ciśnienia, jego wartości maksymalnej w zależności od liczby sprzężenia N2 oraz bezwymiarowego parametru długości Λ1 cieczy mikropolarnej.
Rozwiązanie dotyczy izotermicznego modelu łożyska o nieskończonej szerokości.
1. WSTĘP
Rozwój inżynierii materiałowej oraz tribologii umożliwia wprowadzanie jako czynników smarujących olejów o złożonej strukturze, w tym o strukturze mikropolarnej. Wymagania eksploatacyjne skłaniają konstruktorów maszyn do stosowania specjalnych dodatków uszlachetniających do olejów i powodujących zmianę ich własności lepkościowych. Jak wykazują badania doświadczalne, większość uszlachetnionych czynników smarujących zaliczyć można do płynów o własnościach nienewtonowskich z mikrostrukturą [3,4,6]. Przedstawione w pracy rozważania dotyczą laminarnego, stacjonarnego przepływu w szczelinie poprzecznego płaskiego łożyska ślizgowego. Czynnikiem smarującym jest ciecz nienewtonowska o strukturze mikropolarnej. Lepkość dynamiczna izotropowego płynu mikropolarnego charakteryzowana jest pięcioma lepkościami: lepkością ścinania η (znaną przy płynach newtonowskich), lepkością sprzężenia κ oraz trzema lepkościami rotacyjnymi, które są związane z rotacją wokół osi układu współrzędnych. Taka charakterystyka lepkościowa cieczy mikropolarnej wynika z rozważanych związków konstytutywnych omówionych w [3,4].
Z uwagi na ograniczoną objętość pracy zainteresowanych odsyłam do tych prac.
W odróżnieniu od klasycznego oleju o własnościach newtonowskich płyn mikropolarny charakteryzowany jest gęstością mikrobezwładności elementu płynu oraz polem prędkości mikrorotacji. Fakt ten powoduje dodatkową rozbudowę układu równań opisujących przepływ płynu mikropolarnego o równania momentu pędu, w wyniku czego następuje sprzężenie pola prędkości przepływu z polem prędkości mikrorotacji. W omawianym przepływie pominięto wpływ sił bezwładności czynnika smarującego oraz pole zewnętrznych jednostkowych sił masowych [3,4]. Rozpatrzono przepływ płynu nieściśliwego oraz przyjęto, że współczynniki lepkości dynamicznej charakteryzującej płyn mikropolarny są stałe. Wobec powyższego pole takiego przepływu jest niezależne od pola temperatur a równanie pędu, momentu pędu oraz
równanie ciągłości przepływu stanowią zamknięty układ równań ruchu. Powyższe równania są wyprowadzone i szczegółowo omówione w pracach [2,3]. Elementami nowości w niniejszej pracy jest uzyskanie rozwiązania analityczno numerycznego, zbieżnego w przypadku granicznym do rozwiązania przy smarowaniu olejem newtonowskim. Rozwiązanie dotyczy łożyska płaskiego o nieskończonej szerokości.
2. RÓWNANIE REYNOLDSA
W pracy przyjęto stałe wartości lepkości oleju mikropolarnego, niezależne od warunków termicznych i ciśnieniowych w łożysku. Wielkości współczynników lepkości uzależniono od lepkości dynamicznej ścinania η, która jest decydującą lepkością w przypadku płynów newtonowskich. Ciśnienie odniesienia p0 jest też określone na podstawie tej lepkości, aby uzyskane wyniki dla olejów mikropolarnych można było porównać z olejem newtonowskim.
W olejach mikropolarnych decydujące znaczenie [1,3] ma wartość lepkości dynamicznej sprzężenia κ. W niektórych pracach dotyczących smarowania łożysk olejem mikropolarnym można spotkać sumę tych dwóch lepkości jako efektywną lepkość dynamiczną smarowania mikropolarnego. W niniejszej pracy lepkość sprzężenia scharakteryzowano liczbą sprzężenia N2, która dla oleju newtonowskiego jest równa zero:
k + h
= k
N 0£N<1 (1)
Wartość N2 w przypadku cieczy mikropolarnej określa udział lepkości sprzężenia w efektywnej lepkości dynamicznej oleju. Z liczby sprzężenia N2 można wyznaczyć stosunek obu lepkości dynamicznych, który jest bezwymiarową lepkością sprzężenia κ1:
2
2
1 1 N
N
= - h
= k
k k1³0 (2)
Z dynamicznych lepkości rotacyjnych przy laminarnym smarowaniu poszczególne lepkości porównywalne są w stosunku do lepkości γ, którą wielu autorów [3] uważa za najważniejszą.
Jej stosunek do lepkości ścinania η związany jest z charakterystyczną długością mikropolarną Λ przepływu, który w przypadku płynu newtonowskiego przyjmuje wartość zero.
Bezwymiarowa wielkość Λ1 długości mikropolarnej oraz długość mikropolarna Λ zdefiniowane są następująco:
h
= g
L ; LL1=e (3)
Bezwymiarowa długość mikropolarna Λ1 w przypadku oleju newtonowskiego dąży do nieskończoności.Analizę przepływu w szczelinie smarnej płaskiego łożyska przeprowadzono w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z, gdzie współrzędna x określa kierunek wzdłużny łożyska, współrzędna y kierunek wysokości szczeliny smarnej a współrzędna
z określa kierunek szerokości łożyska płaskiego. Schemat przekroju poprzecznego szczeliny smarnej pokazano na rys.1. Szczelinę smarną opisano następującymi parametrami
geometrycznymi: maksymalną wysokością szczeliny ho, minimalną wysokością szczeliny he, długością L szczeliny oraz szerokością b. W niniejszej pracy założono, że obie powierzchnie współpracujące zachowują identyczne wymiary szczeliny smarnej wzdłuż jej szerokości, czyli że nie występuje przekoszenie w łożysku. Ze względu na założenie braku przekoszenia
Rys. 1. Schemat szczeliny smarnej łożyska płaskiego
współpracujących powierzchni wysokość szczeliny smarnej nie zależy od współrzędnej y.
Wysokość szczeliny smarnej po długości opisano następującą zależnością w postaci bezwymiarowej:
h1
( )
x1 =e-(
e-1)
x1 dla 0£x1£1 (4) Wprowadzono [1,2] bezwymiarowe wielkości charakteryzujące szczelinę smarną: współrzędną długości x1, bezwymiarową współrzędną wysokości szczeliny h1, bezwymiarowy współczynnik zbieżności ε szczeliny według schematu:
m e m
1
1 h
; h h h h L;
x = x = e= (5)
Równanie Reynoldsa dla przepływu stacjonarnego, laminarnego płynu mikropolarnego w szczelinie poprzecznego cylindrycznego łożyska ślizgowego można przedstawić [1,2,7]
w postaci wymiarowej:
dx 6dh z ) p h , N , h (
z x ) p h , N , h (
x
3
3 ÷÷ø=
ö ççè
æ
¶ L ¶
h F
¶ + ¶
÷÷ø ö ççè
æ
¶ L ¶
h F
¶
¶ (6)
Funkcja Φ(Λ,N,h) przyjmuje postać (7) i w przypadku płynu newtonowskiego ma wartość 1.
W tej sytuacji równanie Reynoldsa (6) przechodzi w równanie dla płynu newtonowskiego.
÷
ø ç ö è æ
L - L
+ L
= L
F 2
coth Nh h 6N 12h
1 ) h , N ,
( 2
2
(7)
Równanie Reynoldsa (6) można przedstawić w postaci bezwymiarowej [1], [7]. Stosując przedstawiony wcześniej sposób przekształceń, opisane wyżej wielkości otrzymamy w postaci:
dx 6dh z
) p h , N , z (
L 1 x ) p h , N ,
x ( 1
1 1
1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1
÷÷= ø çç ö
è æ
¶ L ¶
¶ F + ¶
÷÷ø çç ö
è æ
¶ L ¶
¶ F
¶ (8)
dla 0£x1£1; 0£y1£h1; -1£z1£1
gdzie: ÷
ø ç ö
è
æ L
- L + L
=
F 2
N coth h 6Nh
12h
h 1 1
1 12 2
1 3 1
1
1 (9) Dodatkowo przyjęto [2] wielkość bezwymiarową dla ciśnienia p1 , szerokości L1 szczeliny oraz pozostałych współrzędnych y1 oraz z1 według następujących oznaczeń:
, y h y , z b z
L L b , p p p
1 e 1
1 1
0
=
=
=
= (10)
Ciśnienie odniesienia po wywołane ruchem posuwistym suwaka z prędkością liniową U przyjęto w postaci (11) uwzględniającej lepkość dynamiczną ścinania η oraz luz względny ψ łożyska (10-4 £y£10-3):
L p0 U
y
= h L he
=
y (11)
3. CIŚNIENIE HYDRODYNAMICZNE
Poniżej przedstawiono rozwiązanie równania (8) dla łożyska płaskiego o nieskończonej szerokości. Funkcja rozkładu ciśnienia w przypadku smarowania mikropolarnego w rozważanym przypadku przyjmuje postać:
( )
1x
0 1 1 1
1 1 1
1 dx
h , N ,
C 6 h
) x (
p ò1
L F
= - ;
ò ò
F
=1F
0 1
1 1
0 1
1 1
1 1 dx
h dx
C (12)
W przypadku granicznym smarowania płynem newtonowskim (N→0, Λ1→∞) funkcja rozkładu ciśnienia przyjmuje postać ciśnienia p1N(x1).
13 0 1
Nlim h
1
= F
¥
® L
® lim C1 1
0 N
1
=
¥
® L
® x 1
0 3
1 1 1
N
1 dx
h 1 6 h
) x (
p = ò1 -
(13) 2
1 1
1 N 1
1 ( 1)( x x )
x ) x 1 )(
1 ( p 6
+ e - e + e
- -
= e
Przykładowe obliczenia numeryczne wykonano dla łożyska o optymalnej zbieżności εopt = 1+ 2 oraz o zbieżności ε=1, 4 oznaczonymi linią ciągłą i przerywaną.
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
p1
x1
N =0 N =0,1 N =0,3
N =0,9 N =0,5
N =0,7
2
2
2
2 2
2
L =201
eopt e=1,4
Rys.2. Rozkład ciśnienia p1 w kierunku wzdłużnym łożyska przy smarowaniu płynem mikropolarnym (N2>0) oraz newtonowskim (N2=0) ,długości mikropolarnej Λ1=20 i zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Na rys. 2 przedstawiono rozkłady ciśnień dla poszczególnych liczb sprzężenia N2 przy stałej długości mikropolarnej Λ1 =20. Wzrost rozkładu ciśnienia spowodowany jest zwiększeniem efektywnej lepkości dynamicznej oleju wynikającej z lepkości sprzężenia κ. Przy N2= 0,5 lepkość sprzężenia jest równa lepkości ścinania. Wykresy ciśnienia przedstawione na rys.2 dla smarowania olejem mikropolanym (N2>0) są położone powyżej wykresu ciśnienia przy smarowaniu olejem newtonowskim (N2=0). Jest to spowodowane wzrostem efektywnej lepkości dynamicznej oleju. Na wykresach (rys. 3) przedstawiono analogiczne przebiegi ciśnienia p1 dla kilku wartości długości mikropolarnej Λ1.
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
p1
x1
1 2
3
4 5
N =0,42
eopt e=1,4
Rys.3. Rozkład ciśnienia p1w kierunku wzdłużnym łożyska w łożysku w zależności od długości mikropolarnej Λ1:1) olej newtonowski, 2) Λ1=40, 3) Λ1=30, 4) Λ1=20, 5) Λ1=10, przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4 oraz liczbie sprzężenia N2=0,4
Zmniejszanie się wartości tego parametru oznacza wzrost lepkości dynamicznej rotacyjnej oleju mikropolarnego. Rozkłady ciśnienia przedstawiono przy stałej liczbie sprzężenia N2=0,4.
Ciśnienie oleju newtonowskiego przedstawia przebieg o numerze 1. Wzrost lepkości rotacyjnej oznacza wzrost rozkładu ciśnienia i jest on spowodowany tym, że prędkości przepływu oleju i prędkości mikorotacji są ze sobą sprzężone. Wartości liczb sprzężenia N2 oraz bezwymiarowych długości mikropolarnych Λ1, dla których wykonano przedstawione obliczenia zaczerpnięto z prac [1,7].
0,175 0,2 0,225 0,25 0,275 0,3 0,325 0,35 0,375 0,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
p1m
N2 1
2
3 4
eopt e=1,4
Rys.4. Maksymalne ciśnienie p1m w funkcji liczby sprzężenia N2 i długości mikropolarnej Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30, 4) Λ1=40 przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4 Na podstawie uzyskanych rozkładów ciśnienia hydrodynamicznego p1 po długości łożyska x1
wyznaczono numerycznie wartości maksymalnych ciśnień p1m oraz współrzędną x1m położenia maksimum. Wielkości p1m przedstawiono na wykresach rys.4 w funkcji liczby sprzężenia N2 dla wybranych długości mikropolarnych Λ1. Wszystkie linie wychodzą z punktu maksymalnego ciśnienia w przypadku przepływu cieczy newtonowskiej. Wzrost ciśnienia maksymalnego obserwujmy gdy rośnie liczba sprzężenia N2 (wzrasta lepkość sprzężenia κ) oraz maleje długość mikropolarna Λ1 (wzrasta lepkość rotacyjna γ).
0,175 0,2 0,225 0,25 0,275 0,3 0,325 0,35 0,375 0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 p1m
k1
2 3 4
eopt e=1,4
Rys.5. Maksymalne ciśnienie p1m w funkcji lepkości sprzężenia κ1 i długości mikropolarnej
Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30, 4) Λ1=40 przy zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Pełny zakres zmienności liczby sprzężenia N2 obejmujący przedział [0; 1) dotyczy zmienności lepkości sprzęgającej κ od wartości małych do bardzo dużych. Większość autorów wykresy parametrów hydrodynamicznych łożyska przedstawiają w funkcji N2, która stanowi nieliniową skalę dla lepkości sprzężenia κ1. Na rys. 5 przedstawiono ten sam wykres w funkcji bezwymiarowej lepkości sprzężenia κ1, liniowej skali lepkości. Zakres zmiany N2 z rys.4 odpowiada zmianom κ1 na rys.5. Zdaniem autora przebiegi ciśnienia maksymalnego przedstawione na wykresach (rys. 5) mogą lepiej obrazować przebiegi, szczególnie dla małych wartości κ1. Współrzędna x1p położenia maksimum bezwymiarowego ciśnienia p1m zwiększa się w przypadku smarowania mikropolarnego. Na wykresach (rys. 6) przedstawiono zmianę (przesunięcie) współrzędnej położenia Δx1p w funkcji kwadratu liczby sprzężenia N2 dla wybranych długości mikropolarnych Λ1. Przesunięcie Δx1p współrzędnej wzdłużnej położenia ciśnienia maksymalnego określono następująco:
Dx1p =x1pm -x1pN (14) gdzie: x1pm – współrzędna maximum ciśnienia przy oleju mikropolarnym
x1pN – współrzędna maximum ciśnienia przy oleju newtonowskim
0 0,0025 0,005 0,0075 0,01 0,0125 0,015 0,0175 0,02 0,0225 0,025
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 Dx1p
N2
2 3
4 eopt e=1,4
Rys.6. Zmiana współrzędnej Δx1p położenia maksymalnego ciśnienia p1m w funkcji liczby sprzężenia N2 dla długości mikropolarnej Λ1: 1) Λ1=10, 2) Λ1=20, 3) Λ1=30, 4) Λ1=40 i zbieżności szczeliny εopt oraz ε =1,4
Wzrost współrzędnej Δx1p położenia maksimum ciśnienia obserwujmy gdy rośnie liczba sprzężenia N2 (wzrasta lepkość sprzężenia κ) oraz maleje długość mikropolarna Λ1 (wzrasta lepkość rotacyjna γ). Linie wykresów na rys. 6 są opisane nieliniową skalą zmienności bezwymiarowej lepkości sprzężenia κ1.
4. WNIOSKI
Przedstawiony w pracy przykład rozwiązania równania Reynoldsa dla przepływu stacjonarnego laminarnego nienewtonowskiego oleju smarującego o strukturze mikropolarnej umożliwia wstępną ocenę rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego jako podstawowego parametru eksploatacyjnego łożyska ślizgowego. W porównaniu z olejem newtonowskim oleje
o strukturze mikropolarnej mogą być stosowane w celu zwiększenia ciśnienia hydrodynamicznego, a tym samym nośności łożyskowego węzła tarcia. Zastosowanie cieczy mikropolarnych umożliwia w dwojaki sposób wzrost ciśnienia ze względu na własności lepkościowe. Następuje wzrost efektywnej lepkości cieczy (wzrost lepkości sprzężenia) oraz wzrost lepkości rotacyjnej (wzrost charakterystycznego parametru długości Λ). Autor ma świadomość, że przyjęte w pracy założenia upraszczające modelu węzła łożyskowego i dotyczące przyjęcia stałych parametrów charakteryzujących własności lepkościowe oleju nie zmieniają jakościowo rozkładu ciśnienia, a jedynie ilościowo jego wartości. Autorowi nieznane są prace uwzględniające zmianę lepkości dynamicznych płynu mikropolarnego z temperaturą i ciśnieniem. Mimo że prezentowany przykład obliczeniowy dotyczy łożyska o nieskończonej szerokości, to uzyskane wyniki mogą być przydatne do oceny rozkładu ciśnienia i siły nośnej przy laminarnym, stacjonarnym smarowaniu płaskich łożysk ślizgowych o skończonej szerokości. Przedstawione wyniki badań i modele rozwiązań mogą być wykorzystane jako wartości porównawcze w dalszych pracach autora dotyczących numerycznego modelowania laminarnych, niestacjonarnych przepływów płynów nienewtonowskich w szczelinach smarnych poprzecznych łożysk ślizgowych.
LITERATURA
1. Das S., Guha S.K., Chattopadhyay A.K.: Linear stability analysis of hydrodynamic journal bearings under micropolar lubrication. “Tribology International” 2005, 38 p.500-507.
2. Krasowski P.: Stacjonarny, laminarny przepływ mikropolarnego czynnika smarującego w szczelinie smarnej poprzecznego łożyska ślizgowego. Gdynia : Akademia Morska, 2003. Zeszyty Naukowe nr 49, s. 72-90.
3. Łukaszewicz G.: Micropolar fluids : theory and applications. Boston : Birkhäuser, 1999.
4. Walicka A.: Reodynamika przepływu płynów nienewtonowskich w kanałach prostych i zakrzywionych. Zielona Góra : Uniwersytet Zielonogórski, 2002.
5. Walicka A.: Inertia effects in the flow of a micropolar fluid in a slot between rotating suffrages of revolution.” International Journal of Mechanics and Engineering”
2001,Vol.6, No. 3, p. 731-790.
6. Wierzcholski K.: Mathematical methods in hydrodynamic theory of lubrication. Szczecin : Technical University Press, 1993.
7. Xiao-Li Wang, Ke-Qin Zhu: A study of the lubricating effectiveness of micropolar fluids in a dynamically loaded journal bearing. “Tribology International” 2004, 37, p.481-490.
PRESSURE IN JOURNAL PLANE BEARINGLUBRICATED WITH MICROPOLAR OIL
Summary. The paper presents results of numerical solution of the Reynolds equation for laminar, steady oil flow in a slide bearing gap. Lubrication oil is fluid with micropolar stucture. The results of hydrodynamic pressure are shown on the diagrams in dimensionless form. They depend on the coupling number N2 and characteristic dimensionless length of micropolar fluid Λ1. Presented calculations are limited to isothermal models of bearing with infinite breadth.
