Zbiór aksjomatów teorii mnogości, na którym się oprzemy, zaproponował matematyk niemiecki Ernst Zermelo w roku 1908. W kształtowanie się aksjomatów teorii mnogości istotny wkład miał też izraelski matematyk Abraham Fraenkel (rys. 4.3). W rozdziale tym zaprezentujemy jeden z wariantów wywodzącej się od tych matematyków aksjomatyki teorii mnogości zwanej aksjomatyką Zermelo-Fraenkla.
ZF1. Aksjomat jednoznaczności.
∀x ∀y x = y ⇒ (∀A x ∈ A ⇔ y ∈ A).
Aksjomat jednoznaczności mówi, że jeśli dwa zbiory są identyczne, to jeden z nich może być elementem jakieś rodziny wtedy i tylko wtedy gdy również drugi z nich jest elementem tej rodziny.
ZF2. Aksjomat zbioru pustego. Klasa { x | x 6= x } jest zbiorem. Formalnie ∃E ∀x x ∈ E ⇔ x 6= x.
Zbiór, którego istnienie postuluje aksjomat zbioru pustego oznaczamy ∅ i nazywamyzbiorem pustym. Nazwa tę uzasadnia następująca uwaga.
Uwaga 4.3.1
∀x x 6∈ ∅.
Dowód: Ustalmy dowolne x. Ze wzoru (4.1) wnosimy, że x = x. Zatem x 6∈ ∅. Generalizując względem x otrzymujemy
tezę.
Powiemy, że formuła ϕ(x, y) o zmiennych wolnych x i y ma własność jednoznaczności względem y, jeżeli ∀x∃z∀y ϕ(x, y) ⇔ y = z.
Nasz kolejny aksjomat, to w rzeczywistości schemat, który dostarcza po jednym aksjomacie dla każdej formuły ϕ(x, y) z własnością jednoznaczności względem y.
4.3. AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI. 79 ZF3. Schemat aksjomatów zastępowania. Dla każdej formuły ϕ o
zmien-nych wolzmien-nych x, y i własności jednoznaczności względem Y i dla każdego zbioru A klasa
{ y | ∀x ∈ A ϕ(x, y) } jest zbiorem. Formalnie:
(∀x∃z∀y ϕ(x, y) ⇔ y = z) ⇒ ∀A∃B∀y (y ∈ B ⇔ ∀x ∈ A ϕ(x, y)).
Schemat aksjomatów zastępowania mówi, że dla każdej rozważanej formuły i dla każdego zbioru A można utworzyć zbiór B obejmujący dokładnie te elementy y, dla których istnieje element x ∈ A taki, że zachodzi ϕ(x, y).
Ważną konsekwencją tego schematu aksjomatów jest następujące metatwierdzenie będące schematem twierdzeń po jed-nym dla każdej formuły ϕ.
Metatwierdzenie 4.3.2 (o specyfikowaniu podzbiorów) Niech ϕ(y) będzie formułą o zmiennej wolnej y. Dla dowolnego zbioru X klasa
{ y | y ∈ X ∧ ϕ(y) } jest zbiorem. Formalnie:
∀X ∃Y ∀y y ∈ Y ⇔ y ∈ X ∧ ϕ(y).
Dowód: Rozważmy najpierw przypadek, gdy nie istnieje x ∈ X taki, że ϕ(x). Wtedy y ∈ X ∧ ϕ(y) ⇔ y ∈ ∅, zatem poszukiwany zbiór Y istnieje, bo jest nim zbiór pusty. Natomiast jeśli istnieje x0∈ X taki, że ϕ(x0), to definiujemy formułę ψ o zmiennych wolnych x i y następująco:
ψ(x, y) := (ϕ(x) ∧ x = y) ∨ (¬ϕ(x) ∧ x = x0).
Założenia aksjomatu zastępowania dla tej formuły są ewidentnie spełnione. Na mocy tego aksjomatu zbiorowi X odpowiada
zbiór, którego elementami są dokładnie takie y, że y ∈ X oraz ϕ(y).
Na mocy tego metatwierdzenia, nawet jeśli klasa { x | ϕ(x) } nie jest zbiorem, to analogiczna klasa, ale ograniczona do pewnego zbioru daje już zbiór. Na podstawie tego metatwierdzenia dla danego zbioru X możemy wprowadzić oznaczenie
{ x ∈ X | ϕ(x) } := { x | x ∈ X ∧ ϕ(x) },
które zawsze definiuje zbiór. Podkreślmy jednak, że w oznaczeniu tym zakładamy, że X jest zbiorem. Jest to powszechan metoda definiowania zbiorów w matematyce. Wymaga jednak dysponowania zbiorem X, do którego zawężamy nasze zain-teresowanie formułą ϕ.
Zauważmy, że w szczególności z metatwierdzenia o specyfikowaniu podzbiorów wynika, że klasa pełna V nie może być zbiorem. Gdyby bowiem była zbiorem, to klasa
{ x ∈ V | x 6∈ x } byłaby zbiorem, a wiemy, że nie jest.
ZF4. Aksjomat zbioru podzbiorów. Jeśli X jest zbiorem, to klasa { A | A ⊂ X }
jest zbiorem. Formalnie
Zauważmy, że P(∅) ma dokładnie jeden element, mianowicie ∅ ∈ P(∅). Natomiast P(P(∅)) ma dokładnie dwa elementy: ∅, P (∅) ∈ P (P (∅)).
Twierdzenie 4.3.3 (o istnieniu singletona i dubletona) Dla dowolnych zbiorów a, b klasa { x | x = a ∨ x = b }
jest zbiorem. Formalnie:
∀a ∀b ∃X ∀x x ∈ X ⇔ x = a ∨ x = b. Dowód: Rozważmy formułę
ϕ(x, y) := (x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x = P(∅) ∧ y = b).
Założenia aksjomatu zastępowania dla tej formuły są ewidentnie spełnione. Rozważmy zbiór A := P(P(∅)). Na mocy aksjomatu zastępowania odpowiada mu zbiór, którego elementami są dokładnie a oraz b. Twierdzenie 4.3.3 mówi, że dla dowolnych zbiorów a i b istnieje zbiór, którego elementami są dokładnie a oraz b. Oznacza-my go {a, b}. Gdy a 6= b nazywaOznacza-my godubletonemelementów a, b. W przeciwnym razie nazywamy gosingletonemelementu a.
ZF5. Aksjomat unii. Dla dowolnej rodziny zbiorów A klasa { x | ∃A ∈ A x ∈ A }
jest zbiorem. Formalnie
∀A ∃U ∀a a ∈ U ⇔ ∃A ∈ A a ∈ A.
Aksjomat unii mówi, że jeśli A jest rodziną zbiorów, to można utworzyć zbiór U , którego elementami są wszystkie elementy zbiorów w rodzinie A i tylko te elementy. Nazywamy gouniąlubsumąrodziny A i oznaczamy S A. W szczególności, jeśli A i B są zbiorami, to przyjmujemy oznaczenie
A ∪ B :=[{A, B}, a zbiór A ∪ B nazywamysumąlubuniązbiorów A i B.
Rozważmy teraz wyrażenie klasowe
\
A := { x | ∀A ∈ A x ∈ A }.
Metatwierdzenie 4.3.4 Jeśli rodzina A jest niepusta, toT A jest zbiorem. Natomiast T ∅ jest klasą pełną V, a więc nie jest zbiorem.
Dowód: Jeśli A0∈ A, to x ∈T A implikuje x ∈ A0, więc \
A := { x ∈ A0| ∀A ∈ A x ∈ A },
a zatemT A jest zbiorem na mocy metatwierdzenia o specyfikowaniu zbiorów. Jeśli A = ∅ to implikacja A ∈ A ⇒ x ∈ A zachodzi dla dowolnego x, bo poprzednik jest fałszywy. ZatemT
∅ jest klasą pełną. Dla niepustej rodziny A zbiórT A nazywamyprzecięciemlubiloczynemrodziny zbiorów A.
4.3. AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI. 81 Dla dwóch zbiorów A i B przyjmujemy oznaczenie
A ∩ B :=\{A, B},
a zbiór A ∩ B nazywamyiloczynemlubprzecięciemzbiorów A i B. Definiujemy teżróżnicęiróżnicę symetrycznązbiorów A i B odpowiednio jako
A \ B := { x ∈ A | x 6∈ B }, A B := (A \ B) ∪ (B \ A). Mówimy, że A, B sąrozłącznejeżeli A ∩ B = ∅.
Przyjęte do tej pory aksjomaty ani nie wykluczają, ale też nie gwarantują istnienia zbiorów nieskończonych. Jeśli jednak chcemy skonstruować na gruncie teorii mnogości liczby naturalne, musimy przyjąć jakiś aksjomat, który zagwarantuje istnienie choć jednego zbioru nieskończonego. Jak zobaczymy, konstrukcja zbioru liczb naturalnych opiera się na operacji
następnika zbioruA zdefiniowanej następująco;
S(A) := A ∪ {A}. Mamy S(∅) = {∅} S(S(∅)) = {∅, {∅}} S(S(S(∅))) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} S(S(S(S(∅)))) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}} ...
Każdy kolejny zbiór jest nadzbiorem właściwym zbioru poprzedniego, więc w szczególności zbiory te są różne. Jest ich nieskończenie wiele. W aksjomacie nieskończoności postulujemy, że istnieje zbiór, który te wszystkie zbiory zawiera.
ZF6. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów A taka, że ∅ ∈ A oraz dla każdego zbioru A ∈ A jego następnik S(A) ∈ A. Formalnie:
∃A ∅ ∈ X ∧ ∀A ∈ A ∃B ∈ A ∀x x ∈ B ⇔ x ∈ A ∨ x = A.
4.3.1 Elementarne własności operacji mnogościowych
Wzięcie sumy, iloczynu, różnicy czy różnicy symetrycznej dwóch zbiorów określamy ogólnie mianemoperacji mnogościowej. Uwaga 4.3.5 Niech A, B, C będą zbiorami. Operacje mnogościowe mają następujące własności.
A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C, A \ A = ∅, A \ ∅ = A, A ∪ A = A, A ∩ A = A, A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A, A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Rysunek 4.4: Kazimierz Kuratowski, 1896-1980
Definicja 4.3.6 Jeśli A ⊂ X to zbiór X \ A nazywamyuzupełnieniemA do X i oznaczamy CXA. Gdy X jest ustalony i znany z kontekstu, to często nazywamy goprzestrzeną a uzupełnienie A do X oznaczamy po prostu CA lub \A.
Uwaga 4.3.7 Niech A, B ⊂ X będą zbiorami w przestrzeni X. Uzupełnienie do przestrzeni X ma następujące wła-sności.
A \ B = A ∩ (\B),
\(\A) = A, \(A ∪ B) = (\A) ∩ (\B), \(A ∩ B) = (\A) ∪ (\B),
A ⊂ B ⇔ \A ⊃ \B.
4.4 Iloczyn kartezjański
4.4.1 Para
Parąelementów a i b nazywamy zbiór {{a, b}, {b}} oznaczany krótko (a, b).
Powy˙zsz ˛a, powszechnie dzi´s u˙zywan ˛a definicj˛e pary podał w 1921 roku polski matematyk Kazimierz Kuratowski (rys. 4.4). Wcze´sniejsze, bardziej skompliko-wane definicje si˛e nie przyj˛eły.
Kluczową własnością pary, której nie ma dubleton, jest Uwaga 4.4.1
4.4. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI 83
W poni˙zszym dowodzie trzykrotnie zastosowano schemat dowodowy zwany dowodem przez przypadki. W dowodzie przez przypadki zamiast jednego dowodu przedstawiamy dwa lub wi˛ecej dowodów, ka˙zdy z pewnym dodatkowym nieudowodnionym zało˙zeniem. Dowód jest kompletny, je´sli dodatkowo potrafimy udowodni´c, ˙ze przynajmniej jedno z tych dodatkowych zało˙ze ´n musi by´c prawdziwe. Ten ostatni fakt cz˛esto sprawdzi´c jest bardzo łatwo, bo rozwa˙zane przypadki wzajemnie si˛e dopełniaj ˛a: na przykład jeden przypadek tox > 0, a drugix ¬ 0. Zalet ˛a takiego podej´scia jest mo˙zliwo´s´c odmiennego poprowadzenia dowodu w ka˙zdym z przypadków.
Dowód: Choć własność wydaje się oczywista, to jednak jej w miarę formalny dowód jest pracochłonny. Aby udowodnić, że
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d. wystarczy podać oddzielnie dowód implikacji
(a, b) = (c, d) ⇒ a = c ∧ b = d oraz implikacji
a = c ∧ b = d ⇒ (a, b) = (c, d).
Podamy dowód pierwszej z tych implikacji. Dowód drugiej jest znacznie łatwiejszy i zostawiamy go jako ćwiczenie.
Załóżmy zatem, że (a, b) = (c, d), co zgodnie z naszą definicją pary oznacza, że {{a, b}, {b}} = {{c, d}, {d}}. Ponieważ {b} jest elementem zbioru {{a, b}, {b}}, więc jest on też elementem zbioru = {{c, d}, {d}}. Zatem albo {b} = {{c, d}} albo {b} = {d}. Dalszą część dowodu możemy zatem poprowadzić przez przypadki.
Załóżmy najpierw, że {b} = {{c, d}}. Ponieważ tak c jak i d należą do dubletona {{c, d}}, a dubleton {{c, d}} jest w tym przypadku równy singletonowi {b}, więc c i d należą do singletona {b}. Zgodnie z definicją singletona jest to możliwe tylko wtedy gdy c = b i d = b. Zatem również c = d co oznacza w szczególności, że dubleton {c, d} pokrywa się z singletonem {d}, a w konsekwencji mamy
(c, d) = {{c, d}, {d}} = {{d}, {d}} = {{d}}.
Zatem {{a, b}, {b}} = {{d}}. Ponieważ {a, b} należy do lewej strony tej równości, więc należy też do prawej strony. Stąd {a, b} = {d}. To oznacza, że d = a i d = b. Pokazaliśmy zatem, że a = b = c = d, więc w szczególności a = c i b = d. Kończy to dowód w przypadku gdy {b} = {{c, d}}.
By rozważyć drugi przypadek przyjmijmy, że {b} = {d}. Wtedy b = d i pozostaje pokazać, że a = c. Z b = d wynika, że (a, b) = (c, b). Ponieważ {a, b} ∈ (a, b), więc również {a, b} ∈ (c, b). Mamy zatem do rozpatrzenia dwa podprzypadki: albo {a, b} = {c, b} albo {a, b} = {b}. W pierwszym podprzypadku dostajemy a = c lub a = b. Podpodprzypadek a = c nie wymaga już dalszego rozumowania, bo chcieliśmy właśnie pokazać, że a = c. Natomiast jeśli a = b, to {a} = {c, b}, skąd również wynika, że a = c.
Pozostaje jeszcze rozważyć podprzypadek {a, b} = {b}. Wtedy a = b, skąd (a, b) = {{a}}. Zatem {c, d} ∈ {{a}}, skąd a = c = d. Tak więc w tym podprzypadku znów dostajemy, że wszsytkie cztery elementy są równe, skąd w szczególności
a = c i b = d.
4.4.2 Iloczyn kartezjański
Zauważmy, że jeśli X i Y są zbiorami, x ∈ X, y ∈ Y , to
(x, y) = {{x, y}, {y}} ∈ P(P(X ∪ Y )).
Iloczynem kartezjańskimzbiorów X i Y nazywamy zbiór
X × Y := { u ∈ P(P(X ∪ Y )) | ∃x ∈ X∃y ∈ Y u = (x, y) }.
(i) Jeśli A 6= ∅ 6= B, to
A × B ⊂ X × Y ⇔ A ⊂ X i B ⊂ Y, (ii) Dla dowolnych zbiorów A1, A2, B mamy
(A1× B) ∪ (A2× B) = (A1∪ A2) × B, (A1× B) ∩ (A2× B) = (A1∩ A2) × B, (iii) Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D mamy
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
4.5 Relacje
4.5.1 Relacje
Relacjąw zbiorach X i Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ X × Y . Gdy X = Y , mówimy krótko o relacji w X. Trady-cyjnie piszemy xRy zamiast (x, y) ∈ R. Zbiór pusty i X × X to odpowiedniorelacja pusta i relacja pełnaw X. Relacją identycznościowąw X jest
∆X:= idX:= { (x, x) | x ∈ X }.
4.5.2 Własności relacji
Niech R ⊂ X × X będzie relacją w X. Podane już w rozdziale ... własności relacji definiujemy przy użyciu następujących wzorów formalnych. R zwrotna : ⇔ ∀x ∈ X x R x, R symetryczna : ⇔ ∀x, y ∈ X x R y ⇒ y R x, R antysymetryczna : ⇔ ∀x, y ∈ X x R y ∧ y R x ⇒ x = y, R przechodnia : ⇔ ∀x, y, z ∈ X x R y ∧ y R z ⇒ x R z, R spójna : ⇔ ∀x, y ∈ X x R y ∨ y R x.
4.5.3 Złożenie relacji
Definicja 4.5.1 Dla relacji R w X × Y i relacji S w Y × Z definiujemy obłożenie relacji R przez relację S zwane równieżpodstawieniem relacji R w relacji S jako
S ◦ R := { (x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y xRy i ySz }. Definiujemy równieżrelację odwrotną do relacji Rjako
4.6. RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI 85
Twierdzenie 4.5.2 Niech Q będzie relacją w W × X, R relacją w X × Y , a S relacją w Y × Z. Wtedy (S ◦ R) ◦ Q = S ◦ (R ◦ Q),
(S ◦ R)−1= R−1◦ S−1, (R−1)−1= R, ∆−1X = ∆X.
4.5.4 Charakterystyka własności relacji
Następujące twierdzenie opisuje własności relacji w języku zbiorów. Twierdzenie 4.5.3 Niech R ⊂ X × X będzie relacją. Wtedy:
R zwrotna ⇔ ∆X⊂ R, R symetryczna ⇔ R−1= R, R anysymetryczna ⇔ R ∩ R−1⊂ ∆X, R przechodnia ⇔ R ◦ R ⊂ R, R spójna ⇔ R ∪ R−1= X × X.
4.6 Relacje równoważności
4.6.1 Relacja równoważności
Definicja 4.6.1 Relację w klasie X, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamyrelacją równoważności. Dla x ∈ X zbiór
[x]R:= { y ∈ X | xRy } nazywamyklasą równoważnościelementu x.
Twierdzenie 4.6.2 Niech R będzie relacją równoważności w X. Jeśli x, y ∈ X oraz xRy, to [x]R= [y]R. Innymi słowy, klasy równoważności równoważnych elementów są identyczne. Ponadto dla dowolnych x, y ∈ X albo [x]R= [y]R, albo [x]R∩ [y]R= ∅, to znaczy klasy równoważności dwóch elementów są albo równe, albo rozłączne.
4.7 Funkcje
4.7.1 Relacje jednolistne
Definicja 4.7.1 Niech R ⊂ X × Y będzie relacją. Mówimy, że R jestjednolistnajeżeli (x, y) ∈ R ∧ (x, y0) ∈ R ⇒ y = y0.
Rysunek 4.5: Graf relacji niejednolistnej i jednolistnej
4.7. FUNKCJE 87
Przykładowy graf relacji niejednolistnej (po lewej) i jednolistnej (po prawej) przedstawiono na rys. 4.5. Wykresy tych relacji (niejednolistnej po lewej, jednolistnej po prawej) przedstawiono na rys. 4.6.
Relacja jednolistna nie mo˙ze by´c jeszcze uznana za funkcj˛e, bo własno´s´c jednolistno´sci nie gwarantuje, ˙ze ka˙zdy elementx ∈ Xpozostaje w relacji z jakim´s elementemy ∈ Y. Jednak nim zajmiemy si˛e definicj ˛a funkcji zauwa˙zmy najpierw, ˙ze czasami mamy do czynienia z sytuacj ˛a, w której pewnym argumentom nie chcemy b ˛ad´z nie potrafimy w rozs ˛adny sposób przypisa´c warto´sci. Mówimy wtedy o funkcjach cz˛e´sciowych.
4.7.2 Funkcje częściowe
Definicja 4.7.2 Mówimy, że trójka (X, f, Y ) jestfunkcją częściową z X do Y jeżeli f jest relacją jednolistną w X ×Y . Tradycyjnie piszemy f : X−→◦ Y na oznaczenie funkcji częściowej z X do Y . Jeśli para (x, y) jest elementem funkcji częściowej f z X do Y , to element y jest wyznaczony jednoznacznie przez element x. Oznaczamy go f (x) := y i nazywamywartością funkcji częściowej f w x.Dziedzinęfunkcji częściowej f definiujemy jako
dom f := { x ∈ X | ∃y ∈ Y (x, y) ∈ f }.
Obrazfunkcji częściowej f definiujemy jako
im f := { y ∈ Y | ∃x ∈ X (x, y) ∈ f }.
Uwaga 4.7.3 Dwie funkcje częściowe (X1, f1, Y1) i (X2, f2, Y2) są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy X1 = X2 i f1= f2 i Y1= Y2.
Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest funkcją częściową. Na przykład pisząc
rR = R e l a t i o n [ { a , b , c } , {b −> b , c −> c , b −> a } ] I s P a r t i a l F u n c t i o n [ rR ]
otrzymamy odpowiedź False.
4.7.3 Funkcje
Aby funkcja cz˛e´sciowaf była funkcj ˛a musimy jeszcze doda´c warunek, ˙ze dla ka˙zdegox ∈ Xistniejey ∈ Y taki, ˙ze(x, y) ∈ f. Wykorzystuj ˛ac poj˛ecie dziedziny, mo˙zemy ten wymóg sformułowa´c nast˛epuj ˛aco:
Definicja 4.7.4 Jeżeli dla funkcji częściowej (X, f, Y ) spełniony jest warunek dom f = X, to piszemy f : X → Y
i mówimy, że (X, f, Y ) jestfunkcjąz X do Y lubodwzorowaniemz X do Y lubprzekształceniem X w Y . Często, od strony formalnej niepoprawnie, mówimy, że to f jest funkcją, rozumiejąc, że jest jasne o jakie X i Y chodzi.
Na zbiór funkcji z X do Y stosujemy oznaczenie
YX := { f | f : X → Y - funkcja z X do Y }
Przykład 4.7.5 1. Niech c ∈ Y . Wtedy { (x, c) | x ∈ X } jest funkcją z X do Y . Nazywamy ją funkcją stałą. 2. Relacja identycznościowa ∆X jest funkcją ∆X: X → X.
Rysunek 4.7: Zawieranie funkcji
4.7.4 (*)Zawieranie się funkcji
Uwaga 4.7.6 Niech f, g : X−→◦ Y . Wtedy warunek f ⊂ g jest równoważny koniunkcji warunków dom f ⊂ dom g i ∀x ∈ dom f f (x) = g(x).
Przykład zawierania się funkcji przedstawiono na rys. 4.7
Definicja 4.7.7 Niech f, g będą fukcjami częściowymi z X do Y . Mówimy, że f jestzawężeniemg lub g jest rozsze-rzeniemf jeżeli f ⊂ g.
Niech f : X → Y , A ⊂ X.Zawężeniemfunkcji f do A nazywamy funkcję f|A:= f ∩ A × Y.
4.7.5 Sklejenie funkcji
Uwaga 4.7.8 Niech f, g będą fukcjami częściowymi z X do Y . Suma f ∪ g jest funkcją częsciową z X do Y wtedy i tylko wtedy gdy
∀x ∈ dom f ∩ dom g f (x) = g(x).
Definicja 4.7.9 Jeśli f, g : X−→◦ Y są funkcjami częściowymi z X do Y i f ∪ g jest funkcją to nazywamy jąsklejeniem
funkcji f i g.
4.7. FUNKCJE 89
Rysunek 4.8: Sklejenie funkcji
4.7.6 (*)Zestawienie i iloczyn kartezjański funkcji
Definicja 4.7.10 Niech f : X → Y i g : X → Z.Zestawieniemfunkcji f i g nazywamy funkcję (f, g) : X 3 x 7→ (f (x), g(x)) ∈ X × Y.
Definicja 4.7.11 Niech f : X1→ Y1, a g : X2→ Y2.Iloczynem kartezjańskimfunkcji f i g nazywamy funkcję f × g : X1× X23 (x1, x2) → (f (x1), g(x2)) ∈ Y1× Y2.
Oznaczenie na zestawienie i iloczyn kartezjański funkcji koliduje z parą funkcji i iloczynem kartezjańskim funkcji potraktowanych jako zbiory. Jednak w tym drugim znaczeniu oznaczeń tych praktycznie się nie używa, więc ryzyko błędnej interpretacji jest minimalne.
4.7.7 Obrazy i przeciwobrazy
Niech f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y .Obrazemzbioru A nazywamy
f (A) := { y ∈ Y | ∃x ∈ A y = f (x) }.
Przeciwobrazemzbioru B nazywamy
f−1(B) := { x ∈ X | f (x) ∈ B }.
Uwaga 4.7.12 Niech f : X → Y , a A, A1, A2⊂ X i B, B1, B2⊂ Y będą zbiorami. Wtedy A1⊂ A2 ⇒ f (A1) ⊂ f (A2),
B1⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2), f (A1∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2), f−1(B1∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2),
f (A1∩ A2) ⊂ f (A1) ∩ f (A2), f−1(B1∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2),
f (f−1(B)) = B ∩ im f, f−1(f (A)) ⊃ A.
4.7.8 Złożenie funkcji
Twierdzenie 4.7.13 Niech f : X−→◦ Y , g : Y −→◦ Z będą funkcjami częściowymi. Wtedy g ◦ f jest funkcją częściową z X do Z,
dom g ◦ f = f−1(dom g), oraz dla x ∈ dom g ◦ f
g ◦ f (x) = g(f (x)). Co więcej, jeśli f i g są funkcjami, to g ◦ f jest funkcją.
4.7.9 Injekcje, surjekcje, i bijekcje.
Relacja odwrotna do relacji jednolistnej nie musi być jednolistna. Zatem relacja odwrotna do funkcji częściowej nie musi być funkcją częściową.
Funkcję f : X → Y nazywamyinjekcją, jeżeli dla dowolnych x1, x2∈ X f (x1) = f (x2) ⇒ x1= x2.
Funkcję f nazywamysurjekcją, jeżeli dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że y = f (x). Funkcję f nazywamybijekcją
jeśli jest injekcją i surjekcją.
Twierdzenie 4.7.14 Niech f : X → Y będzie funkcją. Relacja odwrotna f−1 jest jednolistna wtedy i tylko wtedy gdy f jest injekcją. Relacja odwrotna f−1 jest funkcją wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją.
Relację odwrotną do bijekcji nazywamyfunkcją odwrotną.
4.7.10 Iloczyn kartezjański n zbiorów
Iloczyn kartezjański nie jest łączny:
(X × Y ) × Z 6= X × (Y × Z), bo ((a, b), c) 6= (a, (b, c)). Jest jednak naturalna bijekcja
(X × Y ) × Z 3 ((a, b), c) 7→ (a, (b, c)) ∈ X × (Y × Z),
która pozwala utożsamiać te zbiory. Pozwala to mówić o iloczynie kartezjańskim trzech (i analogicznie) więcej zbiorów bez podawania nawiasów. Dla n-krotnego iloczynu kartezjańskiego zbioru X przez siebie stosujemy krótką notację Xn.
4.7.11 Sumy i iloczyny indeksowane
Definicja 4.7.15 Często zdarza się, że rodzina podzbiorów zbioru X zadana jest jako kodziedzina odwzorowania, t.zw. odwzorowania indeksującego A : J → P(X). Wtedy rodzinę tę zapisujemy często jako {Aj}j∈J oraz wprowadzamy oznaczenia na sumę i przecięcie tej rodziny
[
j∈J
Aj :=[{ Aj| j ∈ J }, \
j∈J