Liczby kardynalne i porządkowe

6.4.1 Liczby kardynalne.

6.4.2 Aksjomat wyboru.

6.4.3 Liczby porządkowe.

Rozdział 7

Struktury algebraiczne.

7.1 Liczby całkowite.

7.1.1 Działania

W rozdziale 8 podamy formaln ˛a definicj˛e zbioru liczb rzeczywistych. Najpierw jednak przyjrzymy si˛e oddzielnie tzw. strukturom algebraicznym formalizuj ˛acym operacje dodawania i mno˙zenia.

Dodawanie i mno˙zenie liczb to operacje arytmetyczne znane nam dobrze ze szkoły. Z formalnego punktu widzenia operacje te to funkcje, które parom liczb rzeczywistych przyporz ˛adkowuj ˛a odpowiednio ich sum˛e lub iloczyn.

Działaniem dwuargumentowym w zbiorze X lub krótkodziałaniem nazywamy dowolne odwzorowanie d : X × X → X. W przypadku działania dwuargumentowego zazwyczaj stosujemy tzw. notację infixową, w której symbol działania stawiamy pomiędzy argumentami

x d y := d(x, y).

Mówimy o działaniach zamiast po prostu o funkcjach dwuargumentowych, bo w przypadku działa ´n zazwyczaj oczekujemy spełnienia pewnych specjalnych własno´sci, modelowanych na własno´sciach dodawania i mno˙zenia liczb.

Definicja 7.1.1 Działanie d : X × X → X nazywamyłącznymjeżeli

∀x, y, z ∈ X (x d y) d z = x d (y d z), aprzemiennymjeżeli

∀x, y ∈ X x d y = y d x. Element e ∈ X nazywamyelementem neutralnymdla działania d, jeżeli ∀x ∈ X e d x = x d e = x.

Jeśli d : X × X → X ma element neutralny e to dla x ∈ X mówimy, że x0 jest jegoelementem odwrotnym, jeżeli x d x⁰= x⁰d x = e.

Uwaga 7.1.2 Jeśli działanie d : X × X → X ma element neutralny, to jest on dokładnie jeden. Jeśli działanie d jest łączne i ma element neutralny, to element odwrotny do danego elementu może być co najwyżej jeden.

zatem

∀x ∈ X e d x = x d e = x (7.1)

oraz

∀x ∈ X f d x = x d f = x. (7.2)

Ponieważ równości w (7.1) zachodzą dla każdego x, więc w szczególności dla x = f mamy e d f = f.

Podobnie, po podstawieniu x = e, z równości (7.2) dostajemy e d f = e.

Zatem e = f . Dowód drugiej części uwagi jest podobny i zostawiamy go jako ćwiczenie. 

Tak dodawanie jak i mno˙zenie liczb mo˙zemy traktowa´c jako działania, je´sli odpowiednio dobierzemy zbiór liczb, na przykład s ˛a to działania w zbiorze liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, rzeczywistych dodatnich oraz w zbiorze ułamków (liczb wymiernych dodatnich). Mno˙zenie jest te˙z działaniem w zbiorze ułamków wła´sciwych, czyli liczb wymiernych dodatnich i mniejszych ni˙z jeden. Jednak dodawania nie mo˙zna ju˙z traktowa´c jako działania w tym zbiorze, bo suma dwóch ułamków wła´sciwych mo˙ze nie by´c ułamkiem wła´sciwym, np.²₃+²₃ = ⁴₃.

Tak dodawanie jak i mno˙zenie liczb s ˛a ł ˛aczne oraz przemienne. Elementem neutralnym dla dodawania liczb jest zero, a dla mno˙zenia jest jeden. W przypadku mno˙zenia elementem odwrotnym doxjest_x¹, oczywi´scie o ile ¹_x ma sens i jest elementem zbioru, w którym mno˙zenie rozwa˙zamy jako działanie. Zero nigdy nie posiada elementu odwrotnego wzgl˛edem mno˙zenia. Dla pozostałych liczb istnienie elementu odwrotnego wzgl˛edem mno˙zenia zale˙zy od zbioru, w którym mno˙zenie rozwa˙zamy jako działanie. Na przykład liczba2posiada element odwrotny wzgl˛edem mno˙zenia w zbiorze liczb wymiernych, ale go nie posiada w zbiorze liczb całkowitych.

W przypadku dodawania zwyczajowo zamiast o elemencie odwrotnym mówimy o elemecie przeciwnym. Dla liczbyxjest nim−x, oczywi´scie o ile−x jest elementem zbioru, w którym dodawanie rozwa˙zamy jako działanie. Elementy przeciwne istniej ˛a dla dodawania rozwa˙zanego jako działanie w zbiorze liczb rzeczywistych, wymiernych, całkowitych.

Przykład 7.1.3 W zbiorze skończonym działanie można zadać przy pomocy tabelki. Na przykład poniższa tabelka

a b c

a b a c

b a b c

c b c a

(7.3)

zadaje działanie w zbiorze trzyelementowym { a, b, c }. Wartość x d y jest elementem znajdującym się w przecięciu wiersza oznaczonego x i kolumny oznaczonej y.

Pakiet Operations umożliwia definiowanie działań w zbiorach skończonych i sprawdzanie, czy działanie ma rozważane własności. Instrukcja Operations ma dwa argumenty. Pierwszy to lista elementów zbioru, w którym określono działanie. Drugi argument to tabelka zadająca działanie, zapisana jako lista wierszy. Wprowadzając

op = O p e r a t i o n [ { a , b , c } , { { b , a , c } , { a , b , c } , { b , c , a } } ]

definiujemy działanie zadane w tabelce (7.3). Z kolei wprowadzając

I s A s s o c i a t i v e [ op ] H a s N e u t r a l [ op ] H a s I n v e r s e s [ op ]

dowiadujemy się, że działanie to ma element neutralny, ale nie jest łączne i, przynajmniej dla pewnych elementów, nie ma ono elementów odwrotnych.

7.1. LICZBY CAŁKOWITE. 111

Rysunek 7.1: Évariste Galois, 1811-1832, Źródło: Wikipedia

Ćwiczenie 7.1.4 (i) Ustal, które elementy w działaniu rozważanym w przykładzie 7.1.3 nie posiadają elementów odwrotnych.

(ii) W tabelce (7.3) wystarzczy zamienić miejscami dwa elementy, by otrzymać działanie, które jest łączne, ma element neutralny i wszystkie elementy odwrotne. Ustal jaka to zamiana.

7.1.2 Grupy

W´sród wielu ró˙znych działa ´n szczególn ˛a rol˛e pełni ˛a działania ł ˛aczne posiadaj ˛ace element neutralny oraz elementy odwrotne. Na przykład dodawanie w zbiorze liczb całkowitych oraz mno˙zenie w zbiorze liczb wymiernych dodatnich s ˛a takimi działaniami. Okazuje si˛e, ˙ze jest bardzo wiele działa ´n o takich własno´sciach, okre´slonych w bardzo ró˙znych zbiorach, w szczególno´sci w zbiorach sko ´nczonych. Dlatego warto wyró˙zni´c takie działania wprowadzaj ˛ac poj˛ecie grupy. Jednym z pierwszych, którzy pokazali wag˛e tego poj˛ecia był francuski matematyk Évariste Galois (rys. 7.1). Posłu˙zył si˛e on poj˛eciem grupy w celu okre´slenia kiedy daje si˛e wyrazi´c miejsca zerowe wielomianu przy u˙zyciu czterech operacji arytmetycznych i pierwiastkowania.

Definicja 7.1.5 Trójkę (G, d, e) nazywamy grupą jeżeli d : G × G → G jest działaniem spełniającym następujące warunki

G1) d jest łączne,

G2) e jest elementem neutralnym dla d,

G3) każdy element w G posiada element odwrotny.

W przypadku gdy spełniona jest jedynie własność G1) trójkę (G, d, e) nazywamy półgrupą. Jeśli spełnione są tylko własności G1) i G2), półgrupę nazywamypółgrupą z jedynkąlubmonoidem. Grupę (półgrupę) nazywamyprzemienną

alboabelową, jeżeli działanie d jest przemienne.

Przykładem grupy przemiennej jest(Z, +, 0)oraz(R, ·, 1). Grup ˛a przemienn ˛a jest te˙z(R⁺, ·, 1), natomiast nie jest grup ˛a(N, +, 0), bo dodawanie nie posiada w tym zbiorze elementu przeciwnego(odwrotnego). Z kolei(N, +, 0)jest przykładem półgrupy.

jako działaniem jest grupą.

Jeśli rozważamy ustaloną grupę lub półgrupę tradycyjnie działanie d oznaczamy ’·’, element neutralny oznaczamy 1, a element odwrotny do x oznaczmy x⁻¹. W praktyce ’·’ często w ogóle pomijamy. Ponadto dla n ∈ N stosujemy oznaczenia

xⁿ :=

n-krotnie

z }| {

x · x · · · x x⁻ⁿ := x^−1
n. Ten system notacji określamy mianem notacji multyplikatywnej.

W przypadku grupy lub półgrupy przemiennej tradycyjnie działanie d oznaczamy ’+’, a element neutralny oznaczamy 0. W przypadku tym zamiast o elemencie odwrotnym do x mówimy o elemencie przeciwnym do x i oznaczamy go −x. Ponadto dla n ∈ N stosujemy oznaczenia

nx :=

n-krotnie

z }| {

x + x + · · · + x (−n)x := n(−x).

Ten system notacji określamy mianem notacji addytywnej.

Choć formalnie grupa jest trójką składającą się, ze zbioru, działania i elementu zbioru, w praktyce często o samym zbiorze mówimy, że jest grupą, zdając się na domyślność czytelnika co jest brane jako działanie, a co jako element neutralny.

7.1.3 Zbiór liczb całkowitych

Wiemy, ˙ze aby odejmowa´c bez ogranicze ´n liczby naturalne, potrzebujemy rozszerzy´c zbiór liczb naturalnych o liczby ujemne. Na przykład, ˙zeby wykona´c odejmo-wanie3 − 5potrzebujemy liczby−2. Jak formalnie zdefiniowa´c liczb˛e−2na gruncie tego co ju˙z mamy, to jest liczb naturalnych? Mo˙zna na przykład przyj ˛a´c, ˙ze liczba−2to para(3, 5). Przy takiej definicji nie wychodzimy poza poj˛ecia, które ju˙z mamy zdefiniowane. Pojawia si˛e jednak problem. Liczba−2to równie˙z wynik odejmowania7 − 9. Zatem pary(3, 5)i(7, 9)trzeba jako´s uto˙zsami´c. Nie mo˙zemy postawi´c warunku3 − 5 = 7 − 9, bo jeszcze nie zdefiniowali´smy odejmo-wania gdy wynik jest ujemny. Ale warunek3 − 5 = 7 − 9, po przeniesieniu5i7na drug ˛a stron˛e równo´sci, daje warunek równowa˙zny3 + 9 = 7 + 5, który operuje jedynie dodawaniem liczb naturalnych, a to ju˙z mamy zdefiniowane. Sugeruje to, by par˛e(m, n)uto˙zsami´c z par ˛a(m0, n0)gdym + n0= m0+ ni prowadzi do nast˛epuj ˛acej formalnej konstrukcji.

Zbiór liczb całkowitych definiujemy jako zbiór klas równoważności

Z := { [(m, n)]R | (m, n) ∈ N²} względem relacji

R := { ((m, n), (m⁰, n⁰)) ∈ N²× N² | m + n⁰= m⁰+ n }.

Dla n ∈ N wprowadzamy oznaczenie −n := [(0, n)]R oraz utożsamiamy klasę [n, 0]R z liczbą n, co pozwala traktować Z jako rozszerzenie N.

Ćwiczenie 7.1.7 (*)Rozszerzyć operację dodawania z N na Z tak by w Z uzyskać strukturę grupy przemiennej. Rozszerzyć operację mnożenia z N \ {0} na Z \ {0} tak by w Z \ {0} uzyskać strukturę półgrupy przemiennej.

Dla m, n ∈ Z definiujemy

m ¬ n :⇔ n − m ∈ N. (7.4)

Łatwo sprawdzić, że definicja ta rozszerza definicję 5.4.5 nierówności w N.Przedziałemw Z o końcach m, n ∈ Z nazywamy zbiór

[m, n]

Z:= { x ∈ Z | m ¬ x ¬ n }. Łatwo zauważyć, że zbiór ten jest niepusty wtedy i tylko wtedy gdy m ¬ n.