Relacje równoważności

dowiadujemy się, że relacja zadana wzorem (2.1) jest antysymetryczna, ale pozostałych rozważanych własności nie posiada.

Ćwiczenie komputerowe 2.3.3 Dla każdej z powyższych pięciu własności podaj przykład relacji w zbiorze pię-cioelementowym, która ma dokładnie tę i, o ile to możliwe, żadną inną z powyższych własności. Przykład zilustruj rysunkiem wykresu i grafu opracowanym w programie Mathematica. Zastanów się, które z powyższych własności łatwo sprawdzić oglądając wykres, a które oglądając graf.

2.3.3 Iloczyn kartezjański n zbiorów i relacje n-argumentowe.

Pojęcie pary można uogólnić do pojęcia n-tki (trójki, czwórki, ...) elementów. Formalną definicję n-tki podamy w rozdzia-le 4.7.10. Na razie przyjmiemy, że n-tka erozdzia-lementów to zbiór n-erozdzia-lementowy {a1, a2, . . . an}, w którym ustalono kolejność elementów. Taką n-tkę zapisujemy (a1, a2, . . . an), w którym element pierwszy umieszczamy na pierwszej pozycji, drugi na drugiej itd. Z trzech elementów 1, 2, 3 możemy zatem utworzyć jeden zbiór trzyelementowy, choć zapisać możemy go na sześć różnych sposobów.

{1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1}. Natomiast każda z sześciu trójek

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) jest inna.

Definicja 2.3.4 Definiujemyiloczyn kartezjański zbiorów X1, X2, . . . Xn jako X1× X2× · · · × Xn:=

{ (x₁, x₂, . . . , x_n) | gdzie x_i∈ X_i dla i = 1, 2, . . . , n }.

W przypadku gdy wszystkie zbiory Xi są tym samym zbiorem X mówimy o n-tej potędze kartezjańskiej zbioru X i używamy skrótu Xⁿ. Wygodnie jest rozszerzyć tę konwencję na n = 1 i przyjąć, że X¹:= X.

Relacją n-argumentową w zbiorach X1, X2, . . . Xn nazywamy dowolny podzbiór zbioru X1× X2× · · · × Xn.

Podobnie jak relacja dwuargumentowa wyra˙za zwi ˛azek pomi˛edzy dwoma elementami, relacjan-argumentowa wyra˙za zwi ˛azek pomi˛edzyn-elementami. Gdy w j˛ezyku naturalnym chcemy wyrazi´c relacj˛e wieloargumentow ˛a, na przykład trójelementow ˛a, wspomagamy si˛e najcz˛e´sciej okolicznikami. Na przykład forma zdaniowa ’wzaatakowałxw sojuszu zy’ zadaje relacj˛e trójargumentow ˛a, w której trzeci argument został dodany przy wykorzystaniu okolicznika ’e sojuszu zw’. Konsekwencj ˛a przyj˛ecia umowy, ˙zeX1 = X, jest dopuszczenie relacji jednoargumentowych. W konsekwencji ka˙zdy podzbiórXstanowi pewn ˛a relacj˛e jednoargumentow ˛a. Relacje jednoargumentowe okre´slaj ˛a własno´sci obiektów. W j˛ezyku naturalnym wyra˙zane s ˛a przy pomocy czasownika ’by´c’ z przymiotnikiem. Na przykład forma zdaniowa ’xjest zielonooki okre´sla własno´s´c posiadania zielonych oczu.

2.4 Relacje równoważności

Relacja równowa˙zno´sci dokonuje uto˙zsamienia obiektów pod pewnym wzgl˛edem przy zachowaniu ró˙znic pod innym wzgl˛edem. Relacj ˛a równowa˙zno´sci jest na przykład bycie tej samej narodowo´sci. Dwie osoby tej samej narodowo´sci mog ˛a si˛e ró˙zni´c pod wieloma wzgl˛edami, ale pod wzgl˛edem narodowo´sci s ˛a identyczne. W matematyce relacje równowa˙zno´sci słu˙z ˛a jako narz˛edzie do definiowania nowych poj˛e´c. Posłu˙zymy si˛e nimi by z liczb naturalnych skonstruowa´c liczby całkowite, z liczb całkowitych liczby wymierne, a z liczb wymiernych liczby rzeczywiste.

Definicja 2.4.1 Relację w zbiorze X, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamyrelacją równoważno-ści.

Dla x ∈ X klasę

[x]R:= { y ∈ X | xRy } nazywamyklasą równoważnościelementu x.

W rozdziale ... udowodnimy następujące ważne twierdzenie opisujące podstawowe własności klas równoważności.

Twierdzenie 2.4.2 Niech R będzie relacją równoważności w X. Jeśli x, y ∈ X oraz xRy, to [x]R= [y]R. Innymi słowy, klasy równoważności równoważnych elementów są identyczne. Ponadto dla dowolnych x, y ∈ X albo [x]R = [y]R, albo [x]_R∩ [y]R= ∅, to znaczy klasy równoważności dwóch elementów są albo równe, albo rozłączne.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest relacją równoważności. Na przykład pisząc

rR = R e l a t i o n [ { a , b , c } , { a −> a , b −> b , c −> c , a −> b , b −> a } ] I s E q u i v a l e n c e [ rR ]

otrzymamy odpowiedź True.

2.5 Funkcje

Poj˛ecie funkcji w matematyce przeszło znaczn ˛a ewolucj˛e. Pierwtonie poj˛ecie funkcji wi ˛azano ze wzorem, który pewnej zmiennej liczbowej przypisywał now ˛a warto´s´c wyliczan ˛a ze wzoru. Na przykład, najprostsza funkcja kwadratowa przypisuje liczbiexwarto´s´cx². Z czasem wymóg algebraicznego wzoru rozlu´zniono, wymagaj ˛ac jedynie podania jakiegokolwiek, nie koniecznie wyra˙zaj ˛acego si˛e wzorem, sposobu przypisania argumentowi warto´sci funkcji. Na przykład liczbie naturalnejnmo˙zna przypisa´c najwi˛eksz ˛a liczb˛e naturaln ˛ak, tak ˛a, ˙ze2^k dzieli liczb˛enbez reszty. Nie ma wzoru na takiek, ale mo˙zna poda´c algorytm, który takieknam wyznaczy. Mianowicie dzielimy nasz ˛a liczb˛e przez2. Je´sli wynik jest liczb ˛a naturaln ˛a, ponownie dzielimy przez2. Proces ten powtarzamy a˙z do momentu, gdy dzielenie bez reszty nie jest ju˙z mo˙zliwe, równocze´snie zliczaj ˛ac dzielenia bez reszty. Otrzymana liczba dziele ´n bez reszty jest szukanym najwi˛ekszymk.

W obu tych podej´sciach mo˙zemy utworzy´c pary ł ˛acz ˛ac argumenty ze zbioruXw par˛e z odpowiadaj ˛acymi im warto´sciami ze zbioruY. Na funkcj˛e mo˙zemy wi˛ec patrze´c jako na zbiór par, a wi˛ec relacj˛e w zbiorachX,Y.

W pewnym momencie matematycy uznali, ˙ze za funkcj˛e mo˙zna uzna´c zbiór par nawet wtedy gdy nie wida´c ˙zadnego wzoru, czy algorytmu pozwalaj ˛acego przypisa´c argumentowix ∈ X warto´s´cy ∈ Y. Ma to w szczególno´sci sens w przypadku zbiorów sko ´nczonych, bo aby zada´c relacj˛e, wystarczy wypisa´c wszystkie pary, które w relacji pozostaj ˛a.

Trzeba jednak wyra´znie podkre´sli´c, ˙ze nie ka˙zda relacja mo˙ze by´c uznana za funkcj˛e. Aby tak si˛e stało potrzebujemy dwóch własno´sci. Pierwsza z nich to jednolistno´s´c.

Definicja 2.5.1 Niech R ⊂ X × Y będzie relacją. Mówimy, że R jest funkcją jeżeli dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y taki, że x R y.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest funkcją. Na przykład pisząc

rR = R e l a t i o n [ { a , b , c } , {a−>c , b −> b , c −> a } ] I s F u n c t i o n [ rR ]

otrzymamy odpowiedź True.

Na zbiór funkcji z X do Y stosujemy oznaczenie

2.5. FUNKCJE 55 Przykład 2.5.2 1. Niech c ∈ Y . Wtedy { (x, c) | x ∈ X } jest funkcją z X do Y . Nazywamy ją funkcją stałą.

2. Relacja identycznościowa ∆X jest funkcją ∆X: X → X.

3. Relacja pełna w przestrzeni X nie jest funkcją z wyjątkiem przypadku gdy X jest pusty lub jest singletonem.

2.5.1 Obrazy i przeciwobrazy

Niech f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y .Obrazemzbioru A nazywamy

f (A) := { f (x) | x ∈ A }.

Przeciwobrazemzbioru B nazywamy

f⁻¹(B) := { x ∈ X | f (x) ∈ B }.

Uwaga 2.5.3 Niech f : X → Y , a A, A₁, A₂⊂ X i B, B₁, B₂⊂ Y będą zbiorami. Wtedy Jeśli A₁⊂ A₂, to f (A₁) ⊂ f (A₂),

Jeśli B₁⊂ B2, to f (A₁)f⁻¹(B₁) ⊂ f⁻¹(B₂), f (A1∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2), f⁻¹(B₁∪ B₂) = f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂),

f (A1∩ A2) ⊂ f (A1) ∩ f (A2), f⁻¹(B1∩ B2) = f⁻¹(B1) ∩ f⁻¹(B2),

f (f⁻¹(B)) = B ∩ im f, f⁻¹(f (A)) ⊃ A.

2.5.2 Injekcje, surjekcje, i bijekcje.

Funkcję f : X → Y nazywamyinjekcją, jeżeli dla dowolnych x1, x2∈ X równość f (x1) = f (x2) implikuje równość x1= x2. Funkcję f nazywamysurjekcją, jeżeli dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że y = f (x). Funkcję f nazywamybijekcją

jeśli jest injekcją i surjekcją.

Twierdzenie 2.5.4 Niech f : X → Y będzie funkcją. Relacja odwrotna f⁻¹ jest jednolistna wtedy i tylko wtedy gdy f jest injekcją. Relacja odwrotna f⁻¹ jest funkcją wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją.

Relację odwrotną do bijekcji nazywamyfunkcją odwrotną.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie injektywności, surjektywności i bijektywności funkcji przy pomocy metod IsInjective, IsSurjective i IsBijective.

Rozdział 3

Elementy logiki matematycznej

3.1 Program Hilberta

Przyjrzyjmy si˛e bli˙zej programowi Hilberta. Chcemy stworzy´c j˛ezyk formalny b˛ed ˛acy opisem pewnej matematycznej rzeczywisto´sci. Zastanówmy si˛e najpierw co mo˙ze składa´c si˛e na tak ˛a rzeczywisto´s´c? Najlepiej zacz ˛a´c od takich obiektów matematycznych, z którymi jeste´smy ju˙z oswojeni, na przykład od liczb całkowitych. Obiektom przypisujemy pewne własno´sci. Na przykład mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze pewna liczba całkowitazjest parzysta. Albo zauwa˙zy´c, ˙ze liczbaxjest mniejsza od liczbyy. Własno´s´c mo˙ze dotyczy´c jednego (jak w przypadku parzysto´sci), dwóch (jak w przypadku mniejszo´sci) lub trzech i wi˛ecej obiektów. Wiemy ju˙z, ˙ze tak ˛a własno´s´c dotycz ˛ac ˛anobiektów okre´slamy mianemn-argumentowej relacji. Oprócz analizowania własno´sci obiektów, wykonujemy te˙z pewne konstrukcje obiektów. Na przykład dysponuj ˛ac liczb ˛axmo˙zemy wzi ˛a´c liczb˛e do niej przeciwn ˛a−x. Dysponuj ˛ac liczbamixiymo˙zemy obliczy´c sum˛ex + yczy iloczynxy. Taka konstrukcja mo˙ze wymaga´c dostarczenia jednego (jak w przypadku liczby przeciwnej), dwóch (jak w przypadku sumy czy iloczynu), b ˛ad´z trzech lub wi˛ecej obiektów. Konstrukcj˛e nowego obiektu w oparciu o danenobiektów okre´slamy mianemn-argumentowej funkcji. Oprócz rozwa˙zania relacji i funkcji zazwyczaj potrzebujemy te˙z pewne wyró˙znione obiekty o specjalnych własno´sciach, na przykład liczb˛e0i liczb˛e1.

W j˛ezyku formalnym, który ma nasz ˛a rzeczywisto´s´c opisywa´c, musimy zaplanowa´c symbole, które b˛ed ˛a kodowa´c relacje, funkcje i wyró˙znione obiekty. Chcemy, by tych symboli było mo˙zliwie mało, dlatego w kodowaniu ograniczamy si˛e do pewnego niezb˛ednego minimum tak by wszystko inne co jest nam potrzebne dało si˛e zdefiniowa´c przy u˙zyciu wybranego mo˙zliwie małego zestawu. Na przykład odejmowanie dwóch liczb całkowitych nie jest nam potrzebne, box − ymo˙zna zdefiniowa´c jako dodawaniex + (−y), czyli dodaniexi liczby przeciwnej doy. Podobnie, trzyargumentowe dodawaniex + y + zzdefiniowa´c mo˙zna jako dwukrotne dwuargumentowe dodawanie(x + y) + z. Wygodnie jest te˙z dopu´sci´c funkcje zeroargumentowe, co pozwala zrezygnowa´c z wyró˙znionych obiektów, bo funkcja zeroargumentowa, ze wzgl˛edu na brak argumentów, zwraca zawsze ten sam wynik, który mo˙zna uto˙zsami´c z wyró˙znionym obiektem.

Te wyró˙znione funkcje i relacje traktujemy jako poj˛ecia pierwotne teorii, któr ˛a b˛edziemy opisywa´c w j˛ezyku formalnym. W szczególno´sci mówimy o pierwotnych funkcjach i pierwotnych relacjach. W odniesieniu do pierwotnych funkcji cz˛esto u˙zywamy zamiennie okre´slenia operacja z jedn ˛a drobn ˛a, zwyczajow ˛a ró˙znic ˛a j˛ezykow ˛a: operacjewykonujemyna obiektach, a funkcjewyliczamydla obiektów.

3.1.1 Struktury matematyczne.

Formalny j˛ezyk sam w sobie nie niesie ˙zadnych tre´sci. Jest to jedynie zbiór poprawnie skonstruowanych napisów i nic wi˛ecej. Aby te napisy miały jak ˛a´s tre´s´c, trzeba nada´c znaczenie zmiennym, symbolom funkcyjnym i symbolom relacyjnym. W tym celu musimy im przypisa´c jakie´s obiekty, funkcje i relacje z pewnej matematycznej rzeczywisto´sci, tak zwanej struktury matematycznej.

Przezstrukturę matematycznąlub krótko strukturę rozumiemy zestaw, na który składają się:

• pewien typ interesujących nas obiektów, zwany dziedziną struktury, gwarantujący istnienie przynajmniej jednego obiektu,

• pewien skończony zbiór relacji pomiędzy obiektami,

• pewien skończony zbiór operacji, które na obiektach można wykonywać, • pewien skończony zbiór wyróżnionych obiektów dziedziny.

przyj ˛a´c form˛e napisu b˛ed ˛acego ci ˛agiem symboli z pewnego ustalonego alfabetu. Warto zaznaczy´c, ˙ze cho´c u˙zywamy okre´slenia alfabet, to cz˛esto cały ci ˛ag liter traktujemy jako oddzielny symbol. Powszechnie stosowanym przykładem s ˛a symbole funkcji trygonometrycznych:sin,cos,tg. Ta konwencja bierze si˛e st ˛ad, ˙ze matematykom ( a tym bardziej informatykom) zbiór liter j˛ezyka codziennego absolutnie nie wystarcza jako zbiór symboli. St ˛ad stosowanie ró˙znych rodzajów znaków, liter opartych o ró˙zne czcionki

a, b, c, ..., A, B, C, ..., A, B, C, ..., A, B, C, ...,

α, β, γ, ..., Γ, ∆, Λ...,

czy ró˙znego rodzaju modyfikatorów jak daszkix, ˆˆ y, ˆz . . .czy ptaszkix, ˇˇ y, ˇz . . ..

Niech Σ będzie skończonym zbiorem symboli, zwanymalfabetem.

Definicja 3.1.1 • Słowemnad Σ nazywamy dowolny skończony ciąg symboli. • Zbiór słów nad alfabetem Σ oznaczamy Σ∗.

• Językiem L nad Σnazywamy pewien podzbiór zbioru słów Σ^∗.

Słowa należące do L nazywamysłowami dopuszczalnymijęzyka L, albo krótko formułamijęzyka L.

Oczywi´scie, tylko niektóre z wszystkich mo˙zliwych napisów maj ˛a jaki´s sens. Dlatego, definiuj ˛ac konkretny j˛ezyk musimy poda´c jakie´s reguły, które pozwol ˛a rozstrzygn ˛a´c co jest, a co nie jest sensownym napisem, a wi˛ec tzw. formuł ˛a j˛ezyka. Nim si˛e tym zajmiemy, przyjrzyjmy si˛e najpierw bli˙zej co powinno si˛e składa´c na alfabet j˛ezyka formalnego. Przede wszystkim potrzebujemy odpowiednio bogatego zestawu nazw do oznaczania dowolnych obiektów dziedziny, tak zwanych zmiennych. Zazwyczaj u˙zywamy do tego ko ´ncowych liter alfabetux, y, zcho´c cz˛esto potrzebujemy znacznie wi˛ecej zmiennych, stosowane s ˛a wi˛ec te˙z inne konwencje, na przykład dodawanie indeksówx1, x2, x3. . ., Natomiast przyda si˛e nam bardzo szeroki zbiór zmiennych opartych o ró˙zne czcionki:

Potrzebujemy te˙z oddzielnych symboli dla wyró˙znionych obiektów dziedziny, dla zestawu przyj˛etych operacji i dla zestawu przyj˛etych relacji. Ponadto potrzebu-jemy nawiasów i przecinka do zapisywania argumentów operacji i relacji. Taki zestaw symboli pozwala nam ju˙z na zapisanie pewnych prostych faktów dotycz ˛acych struktury, któr ˛a j˛ezyk ma opisywa´c.

Dla przykładu rozwa˙zmy jeszcze raz struktur˛e, na któr ˛a składaj ˛a si˛e: liczb całkowite jako dziedzina, wyró˙znione liczby zero i jeden, dwuargumentowe relacje równo´sci i wi˛ekszo´sci oraz dwuargumentowe operacje dodawania i mno˙zenia. Rozwa˙zmy j˛ezyk, w którym wyró˙zniona liczba zero oznaczana jest symbolemZ, liczba jeden symbolem ’J’, operacja dodawania symbolemD, operacja mno˙zenia symbolemM, relacja silnej wi˛ekszo´sci symbolemW, a relacja równo´sci symbolemR. Oto prosty fakt zapisany w tym j˛ezyku

W (J, Z),

który łatwo rozszyfrujemy jako stwierdzenie, ˙ze jeden jest wi˛eksze ni˙z zero. U˙zywaj ˛ac zwyczajowych symboli zapisujemy to jako1 > 0. Nieco trudniej rozszyfrowa´c formuł˛e

R(D(D(J, J ), D(J, J )), M (D(J, J ), D(J, J ))),

któr ˛a przy u˙zyciu bardziej tradycyjnych oznacze ´n zapisa´c mo˙zna jako((1 + 1) + (1 + 1)) = ((1 + 1) ∗ (1 + 1)), a po wprowadzeniu skrótu2na1 + 1i pomini˛eciu zb˛ednych nawiasów jako2 + 2 = 2 ∗ 2.

Wida´c, ˙ze zapisy w j˛ezyku formalnym s ˛a dla człowieka do´s´c trudne do rozszyfrowania ze wzgl˛edu na ich zło˙zono´s´c nawet dla bardzo prostych faktów. By unikn ˛a´c tej zło˙zono´sci przyjmuje si˛e szereg konwencji, których uczymy si˛e ju˙z od szkoły podstawowej. Tak ˛a konwencj ˛a jest na przykład zapisywanie operacji i relacji dwuargumentowych przez wstawienie znaku operacji czy relacji pomi˛edzy argumenty, co pozwala pomin ˛a´c nawiasy. Tak wi˛ec piszemy0 + 1zamiast +(0, 1)oraz1 > 0zamiast> (1, 0).

Inn ˛a konwencj ˛a jest przypisanie priorytetów symbolom funkcyjnym i relacyjnym, co te˙z pozwala unikn ˛a´c pisania wielu nawiasów. Na przykład przyjmujemy, ˙ze mno˙zenie ma wi˛ekszy priorytet od dodawania co pozwala rozszyfrowa´c zapis1 + 1 ∗ 1jako1 + (1 ∗ 1), a nie jako(1 + 1) ∗ 1. Zazwyczaj przyjmujemy, ˙ze wszystkie symbole funkcyjne maj ˛a wy˙zszy priorytet ni˙z relacyjne.

Wreszcie, aby upro´sci´c zapis formuły, dla cz˛esto powtarzaj ˛acych si˛e fragmentów wprowadzamy skrótowe oznacznia, na przykład2dla1 + 1. Podkre´slmy, ˙ze oznaczenia takie nie s ˛a cz˛e´sci ˛a alfabetu j˛ezyka, a jedynie słu˙z ˛a ułatwieniu czytania skomplikowanych formuł. Je´sli chcemy zobaczy´c formuł˛e j˛ezyka w jej czystej formie, musimy konsekwentnie z niej wyrugowa´c wszystkie skróty.

3.1. PROGRAM HILBERTA 59

W dalszym ci ˛agu b˛edziemy cz˛esto u˙zywa´c raz przyj˛etych konwencji i skrótów bez uprzedzenia, zakładaj ˛ac, ˙ze czytelnik je zna i jest w stanie, w razie potrzeby, przekształci´c zapis tak, by konwencji si˛e pozby´c.

Warto sobie uświadomić, że stworzenie koncepcji języka formalnego stworzyło grunt, bez którego nie powstałby współcze-sny komputer. Języki formalne, w takim czy innym ujęciu, stanowią podstawę programowania komputerów. W szczególności język pakietu Mathematica jest językiem formalnym. Na szczęście, poprzez stworzenie szeregu konwencji i skrótów jest on przyjazny użytkownikowi. Warto jednak czasem zapytać jak wygląda formuła w języku Mathematica ogołocona z konwencji i skrótów. Pisząc

FullForm[ x + y∗ z < w ]

otrzymujemy odpowiedź

Less[Plus[ x ,Times[ y , z ] ] , w ]

która przestawia zapis fomuły x + y ∗ z < w pozbawiony konwencji i skrótów. W szczególności w, x, y, z są zmiennymi, Plus i Times symbolami funkcyjnymi, a Less jest symbolem relacyjnym.

3.1.3 Spójniki logiczne

Wró´cmy do naszej analizy alfabetu j˛ezyka. Ograniczyli´smy zestaw zakodowanych w symbolach j˛ezyka własno´sci (relacji) do niezb˛ednego minimum. Aby móc w j˛ezyku wyra˙za´c takie własno´sci jakxjest wi˛eksze lub równe odypotrzebujemy zło˙zy´c napisyx > yix = yw jedn ˛a cało´s´c przy u˙zyciu spójnika logicznego ’lub’. W tym celu spójnik ’lub’ musimy doda´c do alfabetu. Spójnik ten zwyczajowo kodujemy znakiem∨. Dodanie tego spójnika do alfabetu pozwala na utworzenie napisux > y ∨ x = y. Dla wygody wprowadzamy skrót­przyjmuj ˛ac, ˙zex ­ yoznacza wła´sniex > 0 ∨ x = 0.

W rozwa˙zanym przykładzie, ze wzgl˛edu na minimalistyczne podej´scie do zestawu poj˛e´c, w´sród relacji pierwotnych uwzgl˛ednili´smy tylko relacje>i=, ale ju˙z nie<. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze własno´s´c ’xjest mniejsze ni˙zy’ jest równowa˙zna stwierdzeniu: ’niepawda, ˙ze zachodzi alternatywaxjest wi˛eksze odylubx

jest równey. Tak wi˛ec, aby móc zdefiniowa´c własno´s´c mniejszo´sci potrzebujemy jeszcze spójnika logicznego ’nieprawda, ˙ze’. Zwyczajowo kodujemy go znakiem ¬. Dodanie go do alfabetu umo˙zliwia utworzenie napisu¬x ­ y, co mo˙zna przyj ˛a´c jako definicj˛e skrótux < y. Zwyczajowo przyjmujemy, ˙ze spójnik¬ma najwy˙zszy priorytet ze wszystkich spójników logicznych.

Spójniki logiczne∨oraz¬nie s ˛a jedynymi jakie si˛e przydaj ˛a. Aby zapisa´c własno´s´cx > 0ix < 2potrzebujemy spójnika logicznego ’i’, zapisywanego∧. Nie musimy go dodawa´c do alfabetu, bo mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze dla formułϕorazψzapisϕ ∧ ψjest skrótem od zapisu¬(¬ϕ ∨ ¬ψ). Innym cz˛esto u˙zywanym spójnikem logicznym jest ’implikuje’, zapisywany jako ’⇒’. W j˛ezyku potocznym pojawia si˛e on w wielu ró˙znych wariantach: ’ϕimplikujeψ’, ’je´sliϕ, toψ’, ’ψ, chyba ˙ze nieϕ’, przy zało˙zeniuϕzachodziψ. Cho´c w pierwszej chwili wydaje si˛e to zaskakuj ˛ace, spójnik ’⇒’ daje si˛e wyrazi´c poprzez spójniki ’∨’ oraz ’¬’. Dokładniej, zapisϕ ⇒ ψoznacza tyle samo, co¬ϕ ∨ ψ, tak wi˛ec spójnik ’⇒’ równie˙z traktujemy jako skrót. Ze spójnikiem tym wi ˛a˙ze si˛e troch˛e nieporozumie ´n: bywa mylnie traktowany jako stwierdzaj ˛acy mo˙zliwo´s´c wywnioskowaniaψzϕ. J˛ezyk formalny nie słu˙zy jednak do stwierdze ´n na temat mo˙zliwo´sci przeprowadzania wnioskowania. Stwierdzenie ’Je´sli na narty pojechałem w Dolomity, to słoneczna pogoda była zagwarantowana’ nie oznacza, ˙ze słoneczna pogoda w Dolomitach jest jak ˛a´s konsekwencj ˛a tego, ˙ze kto´s si˛e tam wybrał na narty. Jest tylko obserwacj ˛a współistnienia pewnych faktów. Współistnienia wynikaj ˛acego z tego, ˙ze słoneczna pogoda zim ˛a w Dolomitach jest cz˛esto i nie trzeba du˙zo szcz˛e´scia, by na tak ˛a trafi´c.

Mamy te˙z spójnik ’jest równowa˙zne’, zapisywany jako⇔. Zapisϕ ⇔ ψoznacza tyle samo, co(ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ). W j˛ezyku potocznym jest formułowany równie˙z zwrotem ’zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy’.

3.1.4 Kwantyfikatory

Rozwa˙zane do tej pory przykłady formuł opisuj ˛a własno´sci wyró˙znionych elementów dziedziny struktury matematycznej. Dla takich formuł mo˙zna sprawdzi´c czy zapisuj ˛a prawd˛e, czy fałsz. O takich formułach mówimy, ˙ze s ˛a zdaniami.

U˙zywaj ˛ac zmiennych, mo˙zemy konstruowa´c formuły opisuj ˛ace własno´sci bli˙zej nieokre´slonych elementów dziedziny. Formuły, w których wyst˛epuj ˛a zmienne nazywamy formami zdaniowymi, bo staj ˛a si˛e zdaniami dopiero po podstawieniu za zmienne konkretnych elementów dziedziny. Na przykład formułax > yjest prawdziwa, gdy zaxpodstawimy1, a zaypodstawimy0. Natomiast podstawiaj ˛ac0zax, a1zayotrzymujemy fałsz.

Jest jeszcze inny sposób przekształcenia formy zdaniowej w zdanie. Rozwa˙zmy na przykład form˛ex ∗ x ­ 0w dziedzinie liczb całkowitych. Podstawiaj ˛ac w tej formie dowoln ˛a liczb˛e całkowit ˛a dostajemy zdanie prawdziwe. Mo˙zemy t˛e obserwacj˛e wyrazi´c zdaniem: Dla ka˙zdegoxzachodzix ∗ x ­ 0. Wyra˙zenie ’dla ka˙zdego’ nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, albo inaczej uniwersalnym. Zapisujemy go przy pomocy symbolu∀. Jest to odwrócona litera ’A’ od angielskiego słowa ’all’. Nasz przykład zapisujemy zatem symbolicznie jako∀x x ∗ x ­ 0.

elementu z dziedziny otrzymujemy zdanie prawdziwe. Je´sli istnieje cho´c jeden elementaz dziedziny, dla którego zdanieϕ(a)jest fałszywe, to zdanie∀x ϕ(x) jest fałszywe.

Na przykład zdanie∀x x > 0jest fałszywe, bo podstawiaj ˛ac zaxliczb˛e całkowit ˛a−1otrzymujemy zdanie fałszywe. Natomiast zdanie∀x x ∗ x ­ 0, jak ju˙z zauwa˙zyli´smy, jest prawdziwe. Nale˙zy tu podkre´sli´c, ˙ze niestety nie jeste´smy w stanie jego prawdziwo´sci sprawdzi´c podstawiaj ˛ac zaxpo kolei wszystkie liczby całkowite, bo jest ich niesko ´nczenie wiele. Wierzymy, ˙ze tak jest, bo dzieje si˛e tak dla dowolnie du˙zego zbioru liczb całkowitych jaki jeste´smy w stanie sprawdzi´c. Jeste´smy te˙z w stanie udowodni´c ten fakt. I wła´snie po to jest nam potrzebny j˛ezyk formalny.

Mamy jeszcze drugi kwantyfikator. Aby si˛e z nim zaznajomi´c rozwa˙zmy własno´s´c parzysto´sci liczb całkowitych. Liczbaxjest parzysta je´slix = 2ydla pewnej innej liczby całkowitejy. To samo inaczej: liczbaxjest parzysta, je˙zeli istniejeytakie, ˙zex = 2y. Zwrot ’istnieje’ okre´slamy mianem kwantyfikatora szegółowego, albo egzystencjalnego. Oznaczamy go symbolem ’∃’. Jest to odwrócona litera ’E’ od angielskiego słowa ’exists’. Zatem własno´s´c parzysto´sci liczby

xmo˙zna zapisa´c w j˛ezyku formalnym jako∃y x = 2y.

Ogólnie, z formy zdaniowejϕ(x)mo˙zemy utworzy´c zdanie przy u˙zyciu kwantyfikatora szczegółowego, stwierdzaj ˛ac, ˙ze istniejexdla którego zachodziϕ(x), co zapisujemy jako∃x ϕ(x). Jest ono prawdziwe je´sli da si˛e znale´z´c elementadziedziny taki, ˙zeϕ(a)jest zdaniem prawdziwym. Je´sli takiego elementu nie ma, zdanie∃x ϕ(x)jest fałszywe.

Na przykład zdanie∃x x > 0jest prawdziwe, bo1 > 0. Natomiast zdanie∃x x ∗ x + 1 = 0jest fałszywe. Oczywi´scie fałszywe dla struktury, którego dziedzin ˛a jest zbiór liczb całkowitych, bo w zbiorze liczb zespolonych jest ono akurat prawdziwe. Pami˛eta´c zatem nale˙zy, ˙ze prawdziwo´s´c lub fałszywo´s´c zdania w j˛ezyku formalnym zale˙zy od struktury, do którego zdania j˛ezyka odnosimy.

Zauwa˙zmy, ˙ze zaprzeczenie stwierdzenia∀x ϕ(x)mo˙zemy wyrazi´c przy pomocy spójnika∃, bo je´sli nie jest prawd ˛a, ˙ze dla ka˙zdegoxzachodziϕ(x), to istniejextaki, ˙ze nie zachodziϕ(x). Zatem stwierdzenie¬∀x ϕ(x)jest równowa˙zne stwierdzeniu∃x ¬ϕ(x). Podobnie zauwa˙zamy, ˙ze stwierdzenie ¬∃x ϕ(x)jest równowa˙zne stwierdzeniu∀x ¬ϕ(x). St ˛ad wnosimy, ˙ze∃x ϕ(x)jest równowa˙zne stwierdzeniu¬∀x ¬ϕ(x). Oznacza to, ˙ze kwantyfikator szczegółowy∃mo˙zna traktowa´c jako skrót wyra˙zenia¬∀x ¬ϕ(x).

3.1.5 Termy i predykaty

Jak wiemy z gramatyki, w´sród cz˛e´sci mowy wyró˙zniamy w szczególno´sci rzeczowniki, czasowniki i przymiotniki. Rzeczowniki słu˙z ˛a do nazywania obiektów. Przymiotniki pozwalaj ˛a okre´sla´c własno´sci obiektów. Czasowniki okre´slaj ˛a zale˙zno´sci pomi˛edzy obiektami. Zauwa˙zyli´smy ju˙z w rozdziale ..., ˙ze przymiotniki i czasowniki mo˙zemy wrzuci´c do jednego worka jako cz˛e´sci mowy wyra˙zaj ˛ace relacjenargumentowe (jednoargumentowe dla przymiotników, wieloargumentowe dla czasowników).

W j˛ezyku logiki odpowiednikiem rzeczownika jest okre´slenie term, a odpowiednikiem przymiotnika i czasownika jest okre´slenie predykat. W pewnym