której związanie dotyczy. W przypadku zmiennej wolnej zakres jej występowania będziemy rozpoczynać zwrotem "Niech x będzie takie, że ..." lub x := ... czytane "Zdefiniujmy x jako ..." lub jakimś zwrotem o tym samym znaczeniu. Zakres występowania takiej nazwy obejmuje wszsytkie formuły od użycia tego zwrotu aż do ponownego użycia tego zwrotu, które to rozpoczyna nowy zakres. Teoretycznie, wymieniając zmienne w różnych zakresach na nowe tak by nie było powtórzeń, możemy się pozbyć powtarzających się zmiennych o różnych znaczeniach.
Aby uniknąć powtarzania ciągle tych samych formuł, wprowadza się do tekstu matematycznego definicje. Od strony formalnej definicje to tylko skróty. Do definiowania używać będziemy symbolu :⇔ lub ⇔ :, w którym po stronie dwukropka umieszczać będziemy to co definiujemy, a po stronie drugiej to jak definiujemy. Od strony praktycznej dobrze dobrane definicje są nieocenione, bo sprzyjają budowaniu stosownych intuicji.
W następnych rozdziałach przedstawimy w miarę formalnie zarys teorii mnogości. Oczywiście podstawowym celem będzie dowodzenie twierdzeń. Będzie ich dużo więc wygodnie jest nieco rozszerzyć terminologię dotyczącą twierdznenia. Jeśli dowód twierdzenia jest stosunkowo prosty to samo twierdzenie określa się mianemuwaga. Klasyczne słowo twierdzenie matematcy rezerwują dla szczególnie ważnych twierdzeń. Twierdzenia, których rola jest głównie pomocnicza określa się mianemlematu. Twierdzenia wynikające bezpośrednio z wcześniej udowodnionego innego twierdzenia określa się mianemwniosku.
3.8 Schematy dowodowe.
Jak już wspomnieliśmy, w codziennej praktyce matematycznej wypisywanie kompletnych formalnych dowodów jest niewy-konalne. Najczęściej zamiast kompletnych dowodów podajemy mniej lub bardziej dokładne szkice dowodów, opierając się o różnego rodzaju schematy dowodowe. Schemat dowodowy to pewien sposób rozumowania, o którym wiadomo, że może zostać zastąpiony formalnym dowodem. Ponadto schemat dowodowy zazwyczaj zawiera komentarze, które czytelnikowi ma-ją ułatwić ustalenie na jakiej podstawie konkretna formuła ma prawo znaleźć się w dowodzie. Co więcej, formuły często w części lub całości zastępujemy ich słownymi opisami, bo ułatwia czytanie.
Do najważniejszych schematów należy zaliczyć
Dowód wprost. Ten schemat oznacza, że szkicujemy bezpośredni dowód, a więc podajemy kolejne, choć zazwyczaj nie wszystkie, formuły jakie znajdują się w dowodzie formalnym.
Dowód implikacji. Jeśli formuła ma postać ϕ⇒ψ to na mocy metatwierdzenia 3.5.3 wystarczy podać wywód formuły ψ z przesłanki ϕ.
Dowód przez przypadki. Jeśli podamy wywód formuły θ z przesłanki ϕ oraz wywód z formuły γ z przesłanki ψ i udowodnimy ϕ ∨ ψ, to wiemy z metatwierdzenia 3.5.7, że formuła θ posiada dowód.
Dowód formuły ∀x ∈ A ϕ(x). Aby udowodnić taką formułę wystarczy podać wywód formuły ϕ(x) z przesłanki x ∈ A i zastosować regułę generalizacji.
Rozdział 4
Elementy teorii mnogości
4.1 Formalizm teorii mnogości
Jedn ˛a z metod sprawdzania niesprzeczno´sci aksjomatów teorii jest pokazanie, ˙ze aksjomaty te s ˛a twierdzeniami innej teorii, której niesprzeczno´s´c ju˙z udowodnio-no, albo przynajmniej teorii, w której niesprzeczno´s´c aksjomatów budzi mniej w ˛atpliwo´sci.
W pierwszym dwudziestoleciu XX wieku teoria zbiorów, w j˛ezyku polskim najcz˛e´sciej okre´slana mianem teoria mnogo´sci, stała si˛e fundamentem głównego nurtu współczesnej matematyki, jako najbardziej elementarna teoria, w której weryfikowa´c mo˙zna aksjomaty bardziej zaawansowanych teorii.
Twórc ˛a teorii mnogo´sci był niemiecki matematyk Georg Cantor (rys. 4.1).
Formalizacja teorii mnogości opiera się na języku predykatów. Nie są potrzebne symbole funkcyjne i jest tylko jeden symbol relacyjny: ∈ - symbol przynależności do zbioru. Tak więc formuła
x ∈ y
będzie przez nas intepretowana jako stwierdzenie, że x jest elementem zbioru y. Przyjmujemy też od razu skrót x 6∈ y :⇔ ¬x ∈ y.
Aby nie mnożyć pojęć, wygodnie jest przyjąć, że wszystkie zmienne oznaczają zbiory. W szczególności, jeśli x ∈ y to nie tylko y jest zbiorem, ale również x jest zbiorem. Takie podejście jest nieco zaskakujące, ale studiując teorię mnogości szybko się z nim oswajamy, uświadamiając sobie, że jest wygodne, bo nie mnoży pojęć, a nie ma w nim nic niebezpiecznego.
4.1.1 Podstawowe definicje i oznaczenia.
Na początek w formalnych formułach będziemy używać wyłącznie małych liter z końca alfabetu: t, u, v, w, x, y, z dla oznacze-nia zbiorów, dla podkreśleoznacze-nia, że chodzi o zmienne języka formalnego. Na codzień jest to jednak niewygodne, więc niebawem trochę rozluźnimy tę konwencję.
Definicja 4.1.1 Mówimy, że zbiór xzawiera sięw zbiorze y i piszemy x ⊂ y jeżeli ∀t t ∈ x ⇒ t ∈ y.
Uwaga 4.1.2 Mamy
∀x x ⊂ x. 73
Rysunek 4.1: Georg Cantor, 1845-1918. Źródło: Wikipedia
Dowód: Oto kolejne formuły dowodu formalnego:
1. ¬w ∈ x ∨ w ∈ x podstawienie do tautologii wyłączonego środka 2. w ∈ x ⇒ w ∈ x rozpisanie przy pomocy znaku implikacji 3. ∀w w ∈ x ⇒ w ∈ x na podstawie reguły generalizacji
4. x ⊂ x wykorzystanie definicji zawierania się zbiorów
5. ∀x x ⊂ x ponownie na podstawie reguły generalizacji.
Uwaga 4.1.3 Mamy
∀x ∀y ∀z (x ⊂ y ∧ y ⊂ z ⇒ x ⊂ z). Dowód: Pokażemy najpierw, że
{x ⊂ y ∧ y ⊂ z, w ∈ x} ` w ∈ z. Dowód formalny tego wnioskowania wygląda następująco:
1. x ⊂ y ∧ y ⊂ z przesłanka
2. w ∈ x przesłanka
3. x ⊂ y ∧ y ⊂ z ⇒ x ⊂ y podstawienie do tautologii ϕ ∧ ψ ⇒ ϕ
4. x ⊂ y z 1 i 3 na podstawie reguły odrywania
5. ∀t t ∈ x ⇒ t ∈ y rozpisanie 4 z definicji
6. w ∈ x ⇒ w ∈ y na podstawie tautologii (3.4)
7. w ∈ y z 2 i 6 na podstawie reguły odrywania
8. x ⊂ y ∧ y ⊂ z ⇒ y ⊂ z podstawienie do tautologii ϕ ∧ ψ ⇒ ψ
9. y ⊂ z z 1 i 8 na podstawie reguły odrywania
10. ∀t t ∈ y ⇒ t ∈ z rozpisanie 9 z definicji
11. w ∈ y ⇒ w ∈ z na podstawie tautologii (3.4)
12. w ∈ z z 7 i 11 na podstawie reguły odrywania
Na podstawie metatwierdzenia 3.5.3 wnosimy, że
{x ⊂ y ∧ y ⊂ z} ` w ∈ x ⇒ w ∈ z. Ponownie z metatwierdzenia 3.5.3 dostajemy
4.1. FORMALIZM TEORII MNOGOŚCI 75 czyli, że formuła
(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ⇒ (w ∈ x ⇒ w ∈ z)
posiada dowód. Na podstawie reguły generalizacji na końcu tego dowodu możemy dopisać formułę ∀w (x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ⇒ (w ∈ x ⇒ w ∈ z).
Rozpisując pierwszą implikację z definicji mamy
∀w ¬(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ∨ (w ∈ x ⇒ w ∈ z). Wykorzystując przemienność alternatywy oraz tautologię 3.5 mamy
¬(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ∨ ∀w (w ∈ x ⇒ w ∈ z) co można ponownie zapisać przy pomocy implikacji jako
(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ⇒ ∀w (w ∈ x ⇒ w ∈ z), a stosując definicję zawierania się zbiorów jako
(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ⇒ x ⊂ z.
Stusując teraz trzykrotnie regułę generalizacji otrzymujemy tezę.
W dalszym ciągu trochę rozluźnimy konwencję oznaczania zbiorów i uczynimy ją nieco bardziej intuicyjną. Nowa konwen-cja będzie następująca. O zbiorach, które jedynie formalnie są zbiorami, ale "nie zaglądamy im do środka", tzn. nie interesują nas ich elementy, ale wyłącznie one same w roli elementów innych zbiorów, mówić będziemy ’obiekty’ lub ’elementy’. Dla takich zbiorów używać będziemy liter małych podobnie jak do tej pory, choć niekoniecznie z końca alfabetu. Słowo ’zbiór’ rezerwujemy dla "zwykłych" zbiorów, a więc takich, których elementom nie zaglądamy do środka. Na oznaczenie takich zbio-rów używać będziemy drukowanych dużych liter A, B, ... X, Y , Z. W przypadku zbiozbio-rów, których elementy są zbiorami w tym znaczniu, że zaglądamy im do środka, a więc interesują nas ich elementy, używać będziemy określenia ’rodzina zbiorów’. Rodziny zbiorów oznaczać będziemy dużymi literami pisanymi A, B, ... X , Y, Z. Oczywiście mogą się pojawić i pojawią się rodziny zbiorów rzędu drugiego, a więc rodziny, których elementy same w sobie są rodzinami, rodziny rzędu trzeciego, których elementy są rodzinami rzędu drugiego itd. W takich przypadkach nasz system oznaczeń będzie nieco odbiegać od przyjętej konwencji, ale nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Podkreślmy, że ten system oznaczeń ma jedynie na celu ułatwienie czytania formalnego tekstu, bo dla samej treści to, jakie stosujemy oznacznia nie ma zupełnie znaczenia.
Definicja 4.1.4 Mówimy, że zbiory X i Y sąidentycznelubrówne jeżeli X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Y.
Piszemy wtedy X = Y . Mówimy, że zbiory X i Y sąróżnei piszemy X 6= Y jeżeli ¬X = Y . Zauważmy, że
Uwaga 4.1.5
X = Y ⇔ (∀z z ∈ X ⇔ z ∈ Y )
∀x x = x, (4.1)
∀x∀y x = y ⇒ y = x, (4.2)
∀x∀y∀z x = y ∧ y = z ⇒ x = z. (4.3)
Dowód: ...
Wygodnie jest jeszcze wprowadzić dwa synonimy zwrotu ’zawiera się’.
Definicja 4.1.7 Mówimy, że X jestpodzbiorem zbioru Y jeżeli X ⊂ Y . Mówimy, że X jest podzbiorem właściwym
zbioru Y i piszemy X ( Y , jeżeli X ⊂ Y i X 6= Y . Mówimy, że X jestnadzbioremzbioru Y i piszemy X ⊃ Y jeżeli Y ⊂ X. Mówimy, że X jestnadzbiorem właściwymzbioru Y i piszemy X ) Y , jeżeli X ⊃ Y i X 6= Y .
Często udaje się pokazać nie tylko istnienie obiektu x o własności ϕ(x), ale również fakt, że obiekt ten jest dokładnie jeden w znaczeniu, że jeśli ϕ(x1) i ϕ(x2) to x1= x2. Wygodnie jest wprowadzić skrót na oznaczenie takiej sytuacji. Przyjmujemy więc następujące oznaczenie
∃!x ϕ(x) :⇔ ∃x ϕ(x) ∧ (∀y∀z ϕ(y) ∧ ϕ(z) ⇒ y = z), a znak ∃! czytamy ’istnieje dokładnie jeden’.
Wygodnie jest też wprowadzić oznaczenie na przypadek gdy kwantyfikator odnosimy tylko do elementów pewnego zbioru X.
∀x ∈ X ϕ(x) :⇔ ∀x x ∈ X ⇒ ϕ(x) ∃x ∈ X ϕ(x) :⇔ ∃x x ∈ X ∧ ϕ(x)