a ka˙zdy dowód jest sko ´nczonym ci ˛agiem formuł, równie˙z zbudowanych ze sko ´nczonej ilo´sci słów. Zatem poprawno´s´c dowodu mo˙zna sprawdzi´c drog ˛a sko ´nczonej inspekcji i to równie˙z w przypadku gdy samo twierdzenie dotyczy zbiorów niesko ´nczonych.
Matematycznym uj˛eciem formalnego opisu teorii matematycznej, w tym dowodów, zajmuje si˛e logika matematyczna oraz tzw. metamatematyka. Zazwyczaj j˛ezyk metamatematyki nie jest ju˙z tak sformalizowany jak j˛ezyk formalny, który metamatematyka opisuje. Ale, zgodnie z obserwacj ˛a Hilberta, metamatematyka bada obiekty sko ´nczone (formuły j˛ezyka formalnego), wi˛ec sam j˛ezyk metamatematyki nie musi by´c do ko ´nca sformalizowany.
By jednak podej´scie takie było przekonuj ˛ace wypada najpierw udowodni´c, ˙ze zestaw przyj˛etych bez dowodu aksjomatów nie jest sprzeczny sam w sobie. Hilbert gor ˛aco wierzył, ˙ze jego program da si˛e zrealizowa´c. Jednak ju˙z 11 lat pó´zniej austriacki matematyk Kurt Gödel (rys. 2.1) pokazał, ˙ze nie istnieje niesprzeczny układ aksjomatów, z którego dałoby si˛e wyprowadzi´c wszystkie twierdzenia dotycz ˛ace liczb naturalnych. Innymi słowy, je´sli teoria obejmuj ˛aca arytmetyk˛e liczb naturalnych jest niesprzeczna (wywiedziona z niesprzecznego zestawu aksjomatów) to jest niezupełna (s ˛a w niej zdaniap, dla których nie ma dowodu ani dlap, ani dla nieprawda, ˙zep).
Pomimo twierdzenia Gödla jak i trudno´sci w realizacji postulatu sprawdzenia niesprzeczno´sci program Hilberta szybko przyj ˛ał si˛e i pozostaje do dzi´s po-wszechnie przyj˛et ˛a metod ˛a uprawiania matematyki.
2.1 Zbiory skończone
Zaczniemy od przedstawienia teorii zbiorów sko ´nczonych, przy okazji nieformalnie przygl ˛adaj ˛ac si˛e niektórym zbiorom niesko ´nczonym. Teoria zbiorów sko ´nczonych w swoich elementach nie ró˙zni si˛e wiele od teorii zbiorów niesko ´nczonych, nie wymaga jednak takiej ostro˙zno´sci jak post˛epowanie ze zbiorami niesko ´nczonymi. Formaln ˛a teori˛e zbiorów niesko ´nczonych przedstawimy w rozdziale 4.
Zbiór skończony definiujemy wymieniając jego elementy, na przykład: { a, b, c }
oznacza zbiór, którego elementami są trzy litery: a, b, c. W niniejszym rozdziale, to jest w rozdziale 2, mówiąc zbiór mamy na myśli zbiór skończony, chyba, że wyraźnie zaznaczymy inaczej.
Zbiory oznaczamy zazwyczaj dużymi literami. Pisząc
Z := { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
definiujemy zbiór składający się z liczb 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19 i nadajemy mu nazwę Z. Fakt, że liczba 5 jest elementem zbioru Z zapisujemy jako 5 ∈ Z. Jeśli coś nie jest elementem zbioru, używamy znaku 6∈, na przykład 15 6∈ Z. Zbiór Z możemy też opisać słownie: zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20, symbolicznie
Z = { x | x jest liczbą pierwszą i x < 20 }.
Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna większa od jeden, która dzieli się bez reszty tylko przez siebie i przez liczbę jeden. Nie jest nią więc ani 9, ani 15, bo liczby te dzielą się przez 3. Nie jest nią też żadna liczba parzysta większa od 2.
Zaznaczmy, że przy definiowaniu zbioru kolejność w jakiej wymieniamy elementy nie ma znaczenia. Tak więc na przy-kład zapisy { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }, { 2, 3, 17, 19, 5, 7, 11, 13 } czy { 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2 } definiują ten sam zbiór. Również kilkakrotne wymienienie elementu nie wpływa na zawartość zbioru. Tak więc zapisy
{1, 2, 2, 3, 3, 3} oraz {1, 2, 3} oznaczają ten sam zbiór.
Zbiór niesko ´nczony czasami te˙z próbujemy definiowa´c poprzez wypisanie jego elementów: { 2, 4, 6, 8, 12, 14 . . . },
jednak nie jeste´smy w stanie wypisa´c ich wszystkich, wi˛ec wypisujemy tylko cz˛e´s´c, zakładaj ˛ac, ˙ze czytelnik sam, w razie potrzeby ustali na zasadzie analogii co jeszcze do tego zbioru nale˙zy. W rozwa˙zanym przykładzie mo˙zna si˛e domy´sle´c, ˙ze chodzi nam o zbiór liczb naturalnych parzystych. Ustalenie na zasadzie analogii co jest elementem zbioru w istocie oznacza okre´slenie własno´sci czy formuły, która rozstrzyga co do naszego zbioru nale˙zy, a co nie nale˙zy. Jest to jedyny
Rysunek 2.3: Zbiór { x | x = (x1, x2) i x2 1+ x2
2<= 1 } zwizualizowany w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.
formalnie poprawny sposób definiowania zbiorów niesko ´nczonych. Jednak, jak zobaczymy pó´zniej, problemy ze zbiorami niesko ´nczonymi bior ˛a si˛e st ˛ad, ˙ze nie ka˙zda własno´s´c definiuje zbiór.
Jako przykład zbioru niesko ´nczonego zadanego poprzez własno´s´c rozwa˙zmy
xjest par ˛a liczb(x1, x2)takich, ˙zex21+ x22<= 1.
Zalet ˛a takiego przykładu jest, ˙ze zwi ˛azany z t ˛a formuł ˛a zbiór
{ x | x = (x1, x2)ix21+ x22<= 1 }
łatwo zwizualizowa´c rysunkiem na płaszczy´znie (rys. 2.3).
Warto sobie u´swiadomi´c, ˙ze wizualizacja, w szczególno´sci wizualizacja komputerowa zbioru niesko ´nczonego jest sama w sobie zbiorem sko ´nczonym. Wynika to st ˛ad, ˙ze obraz komputerowy jest zbudowany ze sko ´nczonej liczby pikseli. Wra˙zenie, ˙ze punktów jest niesko ´nczenie wiele wynika z niedoskonało´sci naszego oka. Tak wi˛ec ka˙zda wizualizacja jest tylko pewnym przybli˙zeniem idei jak ˛a jest zbiór niesko ´nczony.
Jak zobaczymy, czasami wygodnie jest też posłużyć się zbiorem pozbawionym jakichkolwiek elementów. Zbiór taki określamy mianemzbiór pustyi oznaczany ∅. Czasami stosujemy też oznaczenie {}.
Zbiór {a} ma dokładnie jeden element, mianowicie a. Zbiór taki określamy mianem singleton. Podobnie definiujemy
dubleton{a, b} jako zbiór złożony z dwóch elementów a, b. W zasadzie definicję tę stosujemy tylko wtedy gdy a 6= b, gdyż dla a = b zbiór {a, b} pokrywa się z singletonem {a}.
2.1.1 Operacje mnogościowe
Na zbiorach można wykonywać kilka podstawowych operacji, które mają pewne, choć ograniczone, podobieństwo do operacji arytmetycznych na liczbach.
2.1. ZBIORY SKOŃCZONE 45
Rysunek 2.4: Wierszami od lewego górnego rogu: zbiory A i B, zbiór A ∪ B, zbiór A ∩ B i zbiór A B.
Definicja 2.1.1 Niech A, B będą zbiorami. Definiujemy ich sumę oraz iloczyn, różnicę i różnicę symetryczną odpo-wiednio jako
A ∪ B := { x | x ∈ A lub x ∈ B }, A ∩ B := { x | x ∈ A i x ∈ B },
A \ B := { x | x ∈ A i x 6∈ B }, A B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Sumę zbiorów określamy też mianemuniazbiorów, a iloczym zbiorów mianem przecięciezbiorów.
Rozwa˙zmy zbiory na płaszczy´znie
A = { (x1, x2) | (x1+ 0.5)2+ x22<= 1 } B = { (x1, x2) | (x1− 0.5)2+ x22<= 1 }.
Łatwo sprawdzamy, ˙ze
A ∪ B = { (x1, x2) | (x1+ 0.5)2+ x2 2<= 1lub(x1− 0.5)2+ x2 2<= 1 }, A ∩ B = { (x1, x2) | (x1+ 0.5)2+ x2 2<= 1i(x1− 0.5)2+ x2 2<= 1 }, A B = { (x1, x2) | (x1+ 0.5)2+ x2 2<= 1i(x1− 0.5)2+ x2 2> 1 lub (x1+ 0.5)2+ x2 2> 11i(x1− 0.5)2+ x2 2<= 1 }. Wizualizacj˛e tych zbiorów na płaszczy´znie przedstawiono na rys. 2.4).
Definicja 2.1.2 Mówimy, że zbiór Azawiera sięw zbiorze B lub inaczej, że A jestpodzbioremB jeśli każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B. Piszemy wtedy A ⊂ B. Jeśli ⊂ B i B ⊂ A, to mówimy, że zbiory A i B są równe i piszemy A = B. Mówimy, że A jestpodzbiorem właściwymB jeśli A ⊂ B i nie jest prawdą, że A = B.
Definicja 2.1.3 Zbiór podzbiorówzbioru A definiujemy jako zbiór postaci P(A) := { U | U ⊂ A }.
Na przykład dla zbioru A = {a, b, c} mamy
P(A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.
2.1.3 Uzupełnienie zbioru.
Gdy mówimy o jakiej´s matematycznej rzeczywisto´sci, wygodnie jest rozwa˙za´c zbiór wszystkich obiektów tej rzeczywisto´sci. Gdy uprawiamy arytmetyk˛e, wygodnie jest mówi´c o zbiorze wszystkich liczb, na przykład wszystkich liczb całkowitych lub wszystkich liczb rzeczywistych. W geometrii płaszczyzny wygodnie jest mówi´c o zbiorze wszystkich punktów płaszczyzny, w polityce mi˛edzynarodowej o zbiorze wszystkich pa ´nstw, w biologii o zbiorze wsztstkich gatunków. W odniesieniu do takiego zbioru wszystkich obiektów rozwa˙zanej rzeczywisto´sci matematycy u˙zywaj ˛a okre´slenia przestrze ´n. Od strony formalnej przestrze ´n jest synonimem słowa zbiór, jednak okre´slenie przestrze ´n niesie w sobie dodatkow ˛a nieformaln ˛a informacj˛e, ˙ze zbiór ten zawiera w sobie wszelkie inne zbiory obiektów, które w rozwa˙zanej rzeczywisto´sci mog ˛a nas interesowa´c.
Warto od razu zaznaczy´c, ˙ze interesuj ˛ace przestrzenie matematyczne na ogół s ˛a niesko ´nczone. Tym niemniej z poj˛eciem przestrzeni dobrze jest si˛e oswoi´c ju˙z teraz.
Definicja 2.1.4 Jeśli A ⊂ X to zbiór X \ A nazywamyuzupełnieniemA do X i oznaczamy CXA. Gdy X jest ustalony i znany z kontekstu, to uzupełnienie A do X oznaczamy po prostu CA lub \A.
Poj˛ecie uzpełnienia jest szczególnie wygodnie w odniesieniu do przestrzeni. Na przykład je´sliXto przestrze ´n wszystkich pa ´nstw, aEoznacza pa ´nstwa europejskie, to\Eoznacza pa ´nstwa, które nie le˙z ˛a w Europie.
Rysunki 2.3 oraz 2.4 uzyskano przy pomocy pakietu oprogramowania PSets napisanego w języku Mathematica. Pakiet ten pozwala na definiowanie zbiorów na płaszczyźnie zadanych formami zdaniowymi zbudowanymi z nierówności algebraicznych. Aby móc korzystać z pakietu, trzeba go najpierw wczytać instrukcją
<< P S e t s .m Teraz wprowadzając sA = PSet [ { x , y } , ( x + 0 . 5 ) ^ 2 + y ^2 <= 1 ] ; sB = PSet [ { x , y } , ( x − 0 . 5 ) ^ 2 + y ^2 <= 1 ] ; Print[ sA \ [Union] sB ] ; Print[ sA \ [I n t e r s e c t i o n] sB ] ; Print[ sA \ [ B a c k s l a s h ] sB ] ; Print[ sA \ [ C i r l c e M i n u s ] sB ] ;
2.1. ZBIORY SKOŃCZONE 47
obliczymy sumę, iloczyn, różnicę i różnicę symetryczną zbiorów
A : = { (x, y) | (x + 0.5)2+ y2¬ 1 }
B : = { (x, y) | (x − 0.5)2+ y2¬ 1 }.
Możemy też sprawdzić, czy konkretny punkt, na przykład (1, 0) należy do zbioru, na przykład A, pisząc
{ 1 , 0 } \ [Element] sA
Użycie operatorów \back[Subset], \back[Superset] i \back[equal] pozwala na sprawdzanie zawierania się i równości zbiorów. Warto wiedzieć, że różnego rodzaju operatory, w tym operatory mnogościowe w Mathematica można wprowa-dzać używając skrótów klawiaturowych. Wybrane skróty przedstawiono w tabeli poniżej. W tabeli tej znakiem ˙:oznaczono przyciśnięcie klawisza Esc w lewym górnym rogu klawiatury.
operator skrót forma graficzna \[Union] ˙:un˙: ∪ \[Intersection] ˙:inter˙: ∩ \[Backslash] ˙:\˙: \ \[CirlceMinus] ˙:c-˙: \[Subset] ˙:sub˙: ⊂ \[Superset] ˙:sup˙: ⊃ \[Equal] ˙:==˙: = \[Element] ˙:el˙: ∈ \[SmallCirlce] ˙:sc˙: ◦ \[CenterDot] ˙:.˙: · \[CircleDot] ˙:c.˙: \[CirclePlus] ˙:c+˙: ⊕ \[Cross] ˙:cross˙: × \[Times] ˙:*˙: × Pisząc S e t P l o t [ ( sA \ [Union] sB ) , { −2 , 2 } , { −2 , 2 } ]
otrzymamy rysunek zbioru A ∪ B w domyślnych kolorach. Pisząc
S e t P l o t [ ( sA \ [ B a c k s l a s h ] sB ) , { −2 , 2 } , { −2 , 2 } , I n t e r i o r S t y l e −> Green, B o u n d a r y S t y l e −> {RGBColor[ 0 , 0 . 5 , . 0 ] , Thick } ]
uzyskamy rysunek zbioru A \ B w kolorze i stylu dobranym przez nas. Pisząc
S e t P l o t [ ( sA \ [ C i r l c e M i n u s ] sB ) , { −2 , 2 } , { −2 , 2 } , Grid−>True]
uzyskamy rysunek zbioru A B z naniesioną siatką poziomych i pionowych linii o współrzędnych całkowitych. Rysunek taki pozwala w szczególności szybko policzyć ilość zawartych w zbiorze tzw. punktów kratowych, tj. punktów o obu współrzędnych całkowitych.
Ćwiczenie komputerowe 2.1.5 Wykorzystując pakiet PSets oblicz i narysuj zbiory A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B,
B \ A i A B dla różnych, zaproponowanych przez Ciebie podzbiorów płaszczyzny. Eksperymentując, ustal znacznie
parametrów instrukcji SetPlot. Zastanów się, czy otrzymane rysunki można zawsze uznać za w pełni poprawne. Czasami warto kilka zbiorów umieścić razem na jednym wykresie (rysunku). Pisząc
pa = S e t P l o t [ sA , { −2 , 2 } , { −2 , 2 } , I n t e r i o r S t y l e −> {Red, O p a c i t y [ 0 . 6 ] } , B o u n d a r y S t y l e −> {Red, Thick } ] ;
B o u n d a r y S t y l e −> {Blue, Thick } ] ;
Show[ pa , pb ]
uzyskamy oba zbiory A i B na jednym wykresie, tak jak to przedstawiono w lewym gónym rogu rys. 2.4.
Ćwiczenie komputerowe 2.1.6 Wykorzystaj instrukcję Show, by zilustrować: rozłączność zbiorów, zawieranie się
zbiorów jak również brak rozłączności i brak zawierania się.
Możemy również eksperymentować z pakietem FSets, który implementuje operacje mnogościowe na zbiorach skończo-nych. Na przykład pisząc
sA=FSet [ a , b , c ] sB=FSet [ b , c , d ] sC=sA \ [Union] sB
obliczymy, że sumą mnogościową zbiorów a, b, c i b, c, d jest a, b, c, d.
2.1.4 Elementarne własności operacji mnogościowych
Uwaga 2.1.7 Niech A, B, C będą zbiorami. Operacje mnogościowe mają następujące własności. Jeśli A ⊂ B, B ⊂ C, to A ⊂ C,
A \ A = ∅, A \ ∅ = A, A ∪ A = A, A ∩ A = A,
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy A ∪ B = B, A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy A ∩ B = A,
A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Uwaga 2.1.8 Niech A, B ⊂ X będą zbiorami w przestrzeni X. Uzupełnienie do przestrzeni X ma następujące wła-sności.
A \ B = A ∩ (\B),
\(\A) = A, \(A ∪ B) = (\A) ∩ (\B), \(A ∩ B) = (\A) ∪ (\B),
A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy \ A ⊃ \B.
Ćwiczenie komputerowe 2.1.9 Wykorzystaj pakiet FSets, by zilustrować wybrane elementarne własności operacji mnogościowych.