Analityczne wyrażenia na dynamikę spinu

Chcemy teraz wyprowadzić wyrażenie analityczne na krzywe opisujące dynamikę składowych wektora spinu elektronu pokonującego wielokrotnie tor w kształcie zamkniętej pętli. Jeżeli kształt tej pętli może być przybliżony kwadratem, którego boki równoległe są do osi 𝑥 i 𝑧 (jak tor A z rysunku 2.2.3(a)), to złożenie czterech obrotów, czyli jeden pełny cykl dane jest wyrażeniem (2.13):

𝑅_𝑥𝑧 = 𝑅_𝑧(𝑑_𝑧)𝑅_𝑥⁻¹(𝑑_𝑥)𝑅_𝑧⁻¹(𝑑_𝑧)𝑅_𝑥(𝑑_𝑥).

Ruch elektronu w kierunku 𝑥, na odcinku 𝑑_𝑥 daje obrót spinu wokół osi 𝑥 o kąt 2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑥, reprezentowany przez macierz obrotu (2.11):

𝑅_𝑥(𝑑_𝑥)=(

1 0 0

0 cos(2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑥) −sin(2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑥) 0 sin(2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑥) cos(2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑥)

),

zaś ruch w kierunku 𝑧 na odcinku 𝑑_𝑧, daje obrót spinu wokół osi – 𝑧 o kąt 2𝑘_𝑆𝑂𝑑_𝑧.

W ogólności ruch elektronu w kierunku wektora 𝒗₁= [𝑎, 0, 𝑏] po pokonaniu odcinka 𝑑 = √𝑎2+ 𝑏2 daje obrót spinu wokół wektora [𝑎, 0, −𝑏] o kąt 2𝑘_𝑆𝑂𝑑, reprezentowany przez macierz obrotu 𝑅₁. Wyprowadźmy teraz jej postać: W ogólnym przypadku elementy macierzy obrotu w 3D (SO(3)) o kąt 𝜑 wokół unormowanego wektora 𝒏 = 𝑛𝑖𝒆_𝑖 (𝒆_𝑖 – wersory bazy) zadane są przez wyrażenie (parametryzacja Rodriguesa):

𝑂_𝑘^𝑖 = 𝑛𝑖𝑛_𝑘+(𝛿_𝑘^𝑖 − 𝑛𝑖𝑛_𝑘)cos𝜑 + 𝜀_𝑝𝑘 ^𝑖 𝑛𝑝sin 𝜑,

gdzie 𝛿 oznacza deltę Kroneckera, a 𝜀 to epsilon Leviego-Civity. W naszym przypadku dla 𝒏 = [𝑎, 0, −𝑏]/𝑑 i 𝜑 = 2𝑘_𝑆𝑂𝑑 otrzymujemy wyrażenie na macierz obrotu

𝑅₁= ¹

𝑑²(

𝑎2(1 − cos 𝜑)+ 𝑑²cos 𝜑 𝑏𝑑 sin 𝜑 𝑎𝑏(cos 𝜑 − 1)

−𝑏𝑑 sin 𝜑 𝑑²cos 𝜑 −𝑎𝑑 sin 𝜑

𝑎𝑏(cos 𝜑 − 1) 𝑎𝑑 sin 𝜑 𝑏²(1 − cos 𝜑)+ 𝑑²cos 𝜑 ). 𝑣₂ 𝑧 𝑥 𝑏 𝑣₁ 𝑎 𝑏 −𝑎

Wyrażenie to wynika z postaci hamiltonianu oddziaływania spin-orbita (2.5) w układzie, który sprzęga ruch postępowy elektronu z jego spinem. Sprzężenie to może być z powodzeniem reprezentowane przez obroty spinu wokół zależnego od pędu efektywnego pola magnetycznego (2.9). Sprawdziliśmy to przed chwilą na przykładzie obrotów 𝑅_𝑥 i 𝑅_𝑧. Powyższą macierz 𝑅₁ można zapisać wykorzystując tożsamość 𝑂 = exp(𝜑𝐴), gdzie elementy 𝐴_𝑘𝑖 = 𝜀_𝑝𝑘 ^𝑖 𝑛𝑝, jako

𝑅₁= exp(𝜑𝐴), oraz 𝐴 =¹ 𝑑( 0 𝑏 0 −𝑏 0 −𝑎 0 𝑎 0 ). (2.15)

W sposób analogiczny możemy wyprowadzić macierz obrotu spinu dla ruchu elektronu w kierunku wektora 𝒗₂=[𝑏, 0, −𝑎] prostopadłego do 𝒗₁:

𝑅₂= exp(𝜑𝐵), oraz 𝐵 = ¹ 𝑑( 0 −𝑎 0 𝑎 0 −𝑏 0 𝑏 0 ). (2.16)

Po wyprowadzeniu macierzy 𝑅₁ i 𝑅₂ możemy wreszcie napisać wyrażenie na macierz obrotu spinu po przejściu przez elektron pełnego cyklu po zamkniętym torze obiegającym boki o długości 𝑑 kwadratu wyznaczonego przez wektory 𝒗₁ i 𝒗₂ (rysunek 2.4.1):

𝑅_𝑎𝑏 = 𝑅₂⁻¹(𝑑)𝑅₁⁻¹(𝑑)𝑅₂(𝑑)𝑅₁(𝑑).

Zastosujmy teraz przybliżenie, w którym chcemy zgubić strukturę schodkową związaną z pojedynczym cyklem, a raczej odtworzyć trend krzywych opisujących dynamikę składowych wektora spinu po wielu cyklach. W tym celu możemy założyć, że obroty spinu związane z pokonaniem boku 𝑑 kwadratu zamkniętego toru są małe. Symbolicznie zapiszemy to jako

𝜑 = 2𝑘_𝑆𝑂𝑑 → 2𝑘_𝑆𝑂𝛿.

Wtedy, wykorzystując rozwinięcie eksponenty (2.15), możemy zapisać: 𝑅₁(𝑑) = 1₃ + 2𝑘_𝑆𝑂𝑑 𝐴 +^(2𝑘𝑆𝑂𝑑)² 𝐴²

2 + 𝑂(𝛿3), i wziąć przybliżenie:

𝑅₁(𝛿) ≅ 1₃+ 2𝑘_𝑆𝑂𝛿 𝐴 +^(2𝑘𝑆𝑂𝛿)² 𝐴²

2 , (2.17)

Podobnie dla 𝑅₂(𝛿) rozwijając (2.16). Jak się potem okaże nietrywialny wkład po każdym cyklu uzyskamy składając rozwinięcia do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2). Im mniejsza długość boku, tym przybliżenie to będzie lepiej pracowało, o czym przekonamy się, zauważając że im mniejszy rozmiar zamkniętego toru, tym przebiegi dynamiki składowych spinu bardziej przypominają krzywą gładką. Tym samym będą lepiej przybliżane przez wyrażenia analityczne, które wyprowadzimy. Można to zobaczyć porównując przebiegi na rysunkach 2.3.2 i 2.3.3. Z drugiej strony zauważmy, że gdyby rozmiary toru zmierzały do zera: 𝛿 → 0, wtedy po przejściu cyklu – w granicy – mamy złożenie czterech macierzy reprezentujących nieskończenie małe obroty, które są zawsze przemienne. Wtedy

co oznacza, ze spin po każdym cyklu pozostaje niezmieniony i obroty w układzie znikają. W rezultacie zakładamy, że obroty związane z przejściem pojedynczego boku kwadratu są małe, ale skończone.

Policzmy teraz wkład do obrotów spinu po przejściu jednego cyklu zamkniętego toru, wykorzystując rozwinięcia (2.17). Będą nas interesowały wyrazy rzędu 𝑂(𝛿2). Proste, ale żmudne, mnożenie macierzy daje (oczywiście 𝑅−1(𝛿) = 𝑅(−𝛿)):

𝑅_𝑎𝑏 = 𝑅₂−1(𝛿)𝑅₁−1(𝛿)𝑅₂(𝛿)𝑅₁(𝛿) = 1₃+ (2𝑘_𝑆𝑂𝛿)2(

0 0 1 0 0 0 −1 0 0

) + 𝑂(𝛿3). (2.18) Ten sam wynik można uzyskać dużo szybciej wykorzystując wzór Bakera-Campbella-Hausdorffa na mnożenie eksponent dwóch nieprzemiennych elementów:

ln(𝑒𝑋𝑒𝑌) = 𝑋 + 𝑌 +¹₂[𝑋, 𝑌] + ⋯.

W naszym przypadku otrzymujemy, z dokładnością do pierwszego nietrywialnego, nieznikającego wyrazu: ln(𝑅_𝑎𝑏) = ln(𝑅₂−1(𝛿)𝑅₁−1(𝛿)𝑅₂(𝛿)𝑅₁(𝛿)) = = ln(𝑒^−2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐵𝑒^−2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐴𝑒^2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐵𝑒^2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐴) ≅ (2𝑘_𝑆𝑂𝛿)²[𝐵, 𝐴]. Po obliczeniu komutatora: [𝐵, 𝐴] = ( 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ) ≡ 𝐶, Uzyskujemy zgodność z wyrażeniem (2.18).

W ostatnim kroku zauważmy, że wkład do obrotów spinu po pojedynczym cyklu (2.18) jest (z dokładnością do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2)) obrotem o kąt (2𝑘_𝑆𝑂𝛿)² odbywającym się w czasie 𝛿𝑡 = 2𝜋/𝜔 (ze wzoru (2.1)), stąd ich częstość

Ω =^(2𝑘𝑆𝑂𝛿)²

2𝜋/𝜔 = 2𝑘_𝑆𝑂² 𝛿2𝜔/𝜋. (2.19) Zaś wkład od wielu (𝑁) cykli zapiszemy jako:

𝑅 = 𝑅_𝑎𝑏^𝑁 = (1₃+ 𝛺𝛿𝑡 𝐶)𝑁= (1₃ +^𝛺𝑡

𝑁 𝐶)^𝑁, Co w granicy dużych 𝑁 daje zależność eksponencjalną:

𝑅(𝑡) = 𝑒^{𝛺𝑡 𝐶} = (

cos(Ω𝑡) 0 sin(Ω𝑡)

0 1 0

−sin(Ω𝑡) 0 cos(Ω𝑡)

). (2.20)

Uzyskana macierz (2.20) reprezentuje obroty składowych wektora spinu wokół osi 𝑦 z częstością Ω (2.19), której wartość zależy od sprzężenia spin-orbita ~𝑘_𝑆𝑂2 , pola powierzchni

zamkniętego toru, po którym porusza się elektron ~𝛿2 i częstości 𝜔 obiegu elektronu po zamkniętym torze.

Jeżeli w chwili początkowej wektor spinu jest skierowany zgodnie z osią 𝑧, to w dowolnej chwili 𝑡 składowe spinu

𝝈^a(𝑡) = [𝜎_𝑥a(𝑡), 𝜎_𝑦a(𝑡), 𝜎_𝑧a(𝑡)]^𝑇 = 𝑅(𝑡)𝝈^a(0) = 𝑅(𝑡)[0,0,1]𝑇, co daje w rezultacie:

𝜎_𝑥^a(𝑡) = sin(Ω𝑡), 𝜎_𝑦^a(𝑡) = 0,

𝜎_𝑧^a(𝑡) = cos(Ω𝑡). (2.21)

W naszym wyprowadzeniu zastosowaliśmy dwa przybliżenia. W pierwszym, wkład do obrotów spinu po jednym cyklu wzięliśmy z dokładnością do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2)). W drugim zaś, założyliśmy, że wkłady do efektywnych obrotów spinu po każdym cyklu są małe i jest ich wiele. Porównajmy teraz uzyskane wyrażenia analityczne (2.21 i 2.19) na krzywe opisujące dynamikę składowych wektora spinu elektronu z przebiegami uzyskanymi w symulacjach. Najwygodniej można to zrobić porównując częstość obrotów spinu uzyskaną w symulacjach, z częstością wyznaczoną analitycznie. W ten sposób przetestujemy ogólną hipotezę, że częstość obrotów spinu zależy tylko od pola powierzchni zataczanej przez elektron pętli. Nie zależy zaś od kształtu samej pętli, czy jej orientacji w przestrzeni. Podstawiając 𝛿2 → 𝑆 do równania (2.19), gdzie 𝑆 oznacza pole powierzchni pętli, uzyskujemy:

Ω = 2𝑘_𝑆𝑂² 𝜔/𝜋 𝑆. (2.22)

W celu weryfikacji tej zależności wykonaliśmy serię symulacji obrotów spinu w naszym nanourządzeniu. We wszystkich tych symulacjach napięcie 𝑉_d (równanie (2.1)) było równe −80 mV. Zmienialiśmy natomiast 𝑉_a biorąc wartości z przedziału od 15 mV do 30 mV— dwadzieścia jeden punktów w równych odległościach. W ten sposób uzyskano różne przebiegi z-owych składowych spinu (jak na rysunkach 2.3.1, 2.3.2 i 2.3.3) dla różnych torów ruchu elektronu, a zatem o różnej powierzchni zataczanej pętli. Dla każdej symulacji wyznaczono (numerycznie) powierzchnię tej pętli oraz częstość obrotów spinu. Na rysunku 2.4.2 wykreślono zależność częstości obrotów od powierzchni pętli dla każdej symulacji— dwadzieścia jeden punktów. Dodatkowo oznaczono rezultat dla toru B—czerwony punkt i toru C—pomarańczowy**. W ten sposób uzyskaliśmy – w symulacjach – częstości obrotów spinu dla torów o różnej, zmieniającej się stopniowo od toru B do C, powierzchni i kształcie. Z drugiej strony wyznaczono prostą analityczną zgodnie z równaniem (2.22):

Ω/2𝜋 = 𝑎 𝑆, (2.23)

gdzie 𝑆 jest powierzchnią zataczanej przez elektron pętli. Wartość współczynnika nachylenia 𝑎 = 0.0097 MHz nm^-2, została obliczona dla 𝑘_𝑆𝑂 = 0.00127 nm^-1 oraz ω/2𝜋 = 9.55 GHz, czyli dla parametrów z symulacji. W równaniu (2.22) 𝑆 jest wyrażona w nm2, zaś Ω/2𝜋 w MHz.

** W przybliżeniu, bo napięcia 𝑉_a były tutaj równe 15.75 mV i 30 mV, zamiast 16 mV i 29.7 mV, odpowiednio dla torów B i C, z rysunku 2.2.3(b).

Rys. 2.4.2. Porównanie zależności częstości obrotów spinu od pola powierzchni zataczanej przez elektron zamkniętej pętli dla symulacji—punkty i uzyskanej analitycznie—niebieska prosta.

Prosta analityczna—niebieska linia na rysunku 2.4.2, zaskakująco dobrze odtwarza wyniki uzyskane w symulacjach. Zatem potwierdziliśmy dwie obserwacje: (1) Częstość obrotów spinu jest proporcjonalna do pola powierzchni zataczanej przez elektron pętli, niezależnie od jej kształtu. (2) Zależność tę można wyprowadzić stosując prosty analityczny model składania obrotów spinu elektronu, zależnych od aktualnie przebytej przez ten elektron drogi (indukowanych przez oddziaływanie spin-orbita). Zarówno w symulacjach jak i modelu analitycznym przyjęliśmy założenie: by uzyskać pełny obrót spinu, elektron wielokrotnie przebywa tę samą drogę w postaci zamkniętej pętli, w stałym czasie 2𝜋/𝜔.

Zauważmy, że na rysunku 2.4.2, dla dużych częstotliwości mamy nieco większą różnicę pomiędzy prostą analityczną a punktami reprezentującymi symulacje. Dzieje się tak, gdyż wyznaczona numerycznie częstotliwość Ω/2𝜋 jest tutaj obarczona większym błędem, z uwagi na przybliżoną metodę jej uzyskiwania: w każdej symulacji wyznaczano czas przejścia 〈𝜎_𝑧〉 przez zero i stąd częstość obrotów spinu. W przebiegach dla dużych częstotliwości obrotów spinu bardziej widoczna jest struktura schodkowa (związana z pojedynczym obiegiem pętli)— tak jak dla przebiegu z rysunku 2.3.3, dla toru C; niż dla przebiegu z rysunku 2.3.2, dla toru B. Dlatego tutaj mamy nieco większy błąd niż w obszarze mniejszych częstotliwości. Pole powierzchni 𝑆 wyznaczano dokładnie, sumując przyczynek do powierzchni (pole powierzchni zatoczone przez promień wodzący środka masy elektronu) w każdym kroku numerycznym, aż do przejścia 〈𝜎_𝑧〉 przez zero i dzieląc sumę przez liczbę cykli zataczanych przez elektron po torze. Liczba cykli = # iteracji × d𝑡 × 𝜔/2𝜋.

Układ będący w stanie niezdegenerowanym przeprowadzamy adiabatycznie poprzez zamkniętą pętle w przestrzeni parametrów (w naszym przypadku tym parametrem jest położenie minimum potencjału uwięzienia elektronu). Wtedy jego stan prócz „zwykłej” fazy dynamicznej, zależnej od energii stanu i czasu, będzie nabywał wkład do fazy, który zależy tylko od geometrii pętli w przestrzeni parametrów. Wkład ten nazywamy fazą Berry’ego (inaczej fazą geometryczną) [43, 27]. Jeżeli jednak stan ten należy do zdegenerowanej podprzestrzeni, ta dodatkowa faza będzie związana z nieabelową transformacją unitarną w podprzestrzeni degeneracji [44, 27]. Również tutaj ta transformacja zależy tylko od geometrii

tor C

pętli. Tę nieabelową fazę geometryczną nazywamy uogólnioną fazą Berry’ego. W naszym przypadku tymi nieabelowymi transformacjami są (nieprzemienne) obroty spinu elektronu w (zdegenerowanej—nie mamy w układzie pola magnetycznego: degeneracja Kramersa††) podprzestrzeni rozpiętej na stanach „spin do góry” oraz „spin w dół”.‡‡

Zatem obroty spinu, związane z uogólnioną fazą Berry’ego, zależą tylko od geometrii pokonywanej przez elektron pętli. My dodatkowo pokazaliśmy, że w przypadku wielokrotnego pokonywania przez elektron tej samej pętli, obrót spinu zależy tylko od pola powierzchni tej pętli. Do podobnego wniosku dochodzą autorzy w pracy [26]. W [45] eksperymentalnie badano (uogólnioną) fazę geometryczną przy transporcie elektronów przez układ pierścieni. Analityczne wyrażenia na fazę geometryczną dla elektronu (jednokrotnie) pokonującego pierścień możemy znaleźć w [46, 27].

Im mniejszy rozmiar zamkniętego toru, tym zastosowane przez nas przybliżenia lepiej pracują: dokładne (uzyskane w symulacji) przebiegi czasowe składowych spinu zmierzają do tych, uzyskanych analitycznie. Wyrażenia analityczne nie odtwarzają schodkowej struktury krzywych dokładnych, związanej z pojedynczym cyklem ruchu elektronu, ale taki właśnie był nasz cel. Również, im mniejszy rozmiar zamkniętego toru – pętli, tym więcej cykli po pętli potrzebujemy by efektywnie obrócić spin – wkład od pojedynczego cyklu jest mniejszy.

Zauważmy, że w uzyskanych wyrażeniach analitycznych zgubiliśmy informację o kierunku wektorów 𝒗₁ i 𝒗₂. Ułożenie w przestrzeni, również sama geometria zamkniętego toru wpływa tylko na (schodkową) strukturę przebiegów czasowych składowych wektora spinu. Nie wpływa natomiast na same (efektywne) obroty spinu w układzie. W rezultacie, niezależnie od ułożenia, geometrii toru elektronu, w naszym układzie możemy uzyskać obroty tylko wokół jednej osi. Geometria toru wpływa na obroty spinu tylko w taki sposób, że częstość Ω obrotów spinu zależy od pola powierzchni zamkniętego toru. Fakt, że możemy wykonywać obroty tylko wokół jednej osi wpłynie na zakres (możliwych) konstruowanych bramek w naszym układzie. Zajmiemy się tym problemem w kolejnym podrozdziale—2.5.

†† Degeneracja Kramersa: p. przypis na stronie 20.

‡‡ Dokładnie rzecz biorąc powinniśmy mówić o stanach własnych spinu przy obecnym oddziaływaniu spin-orbita, czyli tzw. pseudo-spinu. Jednak dla stanów elektronowych w naszym nanourządzeniu „ubrane” (w oddziaływanie spin-orbita) stany własne pseudo-spinu tylko nieznacznie się różnią od stanów własnych „czystego” spinu—p. uwaga na wstępie rozdziału 2.3. Oczywiście oddziaływanie spin-orbita nie usuwa degeneracji Kramersa.