Niedopasowanie częstości oscylacji sprzężenia oddziaływania Rashby

Uwzględnienie oddziaływania spin-orbita wymusza uwzględnienie dodatkowych wyrazów wprowadzających anizotropię do oddziaływania wymiennego [168], tzw. oddziaływanie Działoszyńskiego-Moriyi [135, 136, 137, 138, 107, 108]. W rezultacie uzyskujemy prosty model analityczny, w ramach którego możemy opisać dynamikę 〈𝑠_𝑧〉_𝐿(𝑅), oraz |〈𝑆 ∣ 𝛹〉|2 i |〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉|². Na rysunku 3.4.4 w podrozdziale 3.4.3 przedstawiono porównanie dynamiki 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 w ramach tego modelu analitycznego (linia zielona przerywana) z dokładnymi wartościami, uzyskanymi w symulacji (linia niebieska ciągła). Oba przebiegi są jakościowo zgodne.

Wprowadzenie modelu analitycznego pozwala (także ilościowo) przebadać przypadki, gdy częstość 𝜔 (wymuszenia) oscylacji stałej sprzężenia spin-orbita: 𝛼 = 𝛼(𝑡) = 𝛼₀sin(𝜔₀𝑡), równa jest częstości (własnej) wymiany spinu pomiędzy kropkami 𝜔₀ = ℏ𝐽 tylko w przybliżeniu9, czyli gdy warunek rezonansu nie będzie spełniony. W ramach tego modelu możemy wyprowadzić, stosując tzw. przybliżenie wirującej fali (ang. RWA—rotating wave approximation) [169], wyrażenie na tzw. częstość Rabiego

Ω = √(𝜔 − 𝜔₀)2+ (2𝛼₀𝑏/ℏ)2,

gdzie parametr 𝑏 = ⟨𝜑𝑆|𝛼𝜕_𝑥1|𝜑^𝑇⟩ [135, 136]. Jak również kryterium, dla jakiego 𝜔 krzywe przedstawiające|〈𝑆 ∣ 𝛹〉|² i |〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉|² mają szansę się przeciąć. Będzie tak dla:

−2𝛼₀𝑏/ℏ ≤ 𝜔 − 𝜔₀ ≤ 2𝛼₀𝑏/ℏ.

W przypadku naszej konfiguracji układu 2𝛼₀𝑏/ℏ/𝜔₀ = 0.067.

Jeżeli 𝜔 − 𝜔₀ znajdzie się w tym przedziale, możemy zawsze tak dobrać czasy 𝑡_α−off i 𝑡_barr, że pod koniec ewolucji z-owa składowa spinu w lewej (prawej) kropce będzie 1 (−1). Zobaczymy, że symulacje potwierdzają te rozważania. Jeżeli dodatkowo jeden z czasów będzie dobrany z błędem, można skompensować tę pomyłkę (w pewnym zakresie) dobierając drugi.

Przejdźmy teraz do wyprowadzenia powyższych wzorów. Do tej pory uważaliśmy, że cały proces przebiegał będzie (najefektywniej) dla częstości (wymuszenia) oscylacji 𝛼(𝑡) = 𝛼₀sin(𝜔𝑡) stałej sprzężenia spin orbita 𝜔 równej częstości (własnej) wymiany spinu pomiędzy kropkami ℏ𝐽. Warto jednak zastanowić się, jaki zmienia się dynamika układu, gdy warunek rezonansu będzie spełniony tylko w przybliżeniu.

Zacznijmy od wprowadzonego w podrozdziale 3.4.1 modelu analitycznego. Jeżeli w hamiltonianie efektywnym (3.28) pominiemy wyraz (ℏ2𝐽/4) 1₂, który wprowadza tylko nieistotne przesunięcie poziomów energetycznych, uzyskamy

𝐻_exe = −^ℏ2𝐽

2 𝜎_𝑥− 2𝛼₀𝑏 sin(𝜔𝑡) 𝜎_𝑦.

Załóżmy teraz, że dowolny stan takiego układu możemy wyrazić w postaci:

|𝛹e(𝑡)⟩ = 𝐶₀(𝑡)𝑒^−𝑖𝐸0𝑡/ℏ|0⟩ + 𝐶₁(𝑡)𝑒^−𝑖𝐸1𝑡/ℏ|1⟩,

9 Rozważany przez nas prosty model dwustanowy układu poddanego (małemu) oscylującemu zaburzeniu, o częstości bliskiej częstości własnej układu, zanany jest w literaturze jako problem Rabiego. Ogólny problem odziaływania dwupoziomowego atomu z (traktowanym kwantowo, a nie semiklasycznie) polem

gdzie 𝐸₀ = −^ℏ2𝐽 2 , 𝐸₁ =^ℏ2𝐽 2 oraz |0⟩ = ¹ √2(¹ 1^{), |1⟩ =} 1 √2( ¹ −1^{). Z równania Schroedingera} 𝑖ℏ ^𝑑

𝑑𝑡|𝛹e⟩ = 𝐻_exe |𝛹e⟩ uzyskujemy równania na amplitudy w powyższym rozwinięciu: 𝐶̇₀(𝑡) = −^2𝛼0𝑏

ℏ sin(𝜔𝑡)𝑒−𝑖𝜔0𝑡𝐶₁(𝑡), 𝐶̇₁(𝑡) =^2𝛼0𝑏

ℏ sin(𝜔𝑡)𝑒^𝑖𝜔0𝑡𝐶₀(𝑡), przy czym (𝐸₁− 𝐸₀)/ℏ = ℏ𝐽 = 𝜔₀.

Zastosujmy teraz rotating wave approximation (RWA). Zakładamy, że częstość wymuszenia 𝜔 ≃ 𝜔₀, częstości własnej układu. Ponadto amplituda wymuszenia jest dużo mniejsza od amplitudy drgań własnych, tutaj: 2𝛼₀𝑏 ≪ ℏ²𝐽/2. Ponieważ wtedy ewolucja układu wymuszona przez zewnętrzne pole jest dużo wolniejsza niż 𝜔₀, możemy pominąć wyrazy szybkozmienne: 𝑒±𝑖(𝜔+𝜔0)𝑡, zostawiając te wolnozmienne 𝑒±𝑖(𝜔−𝜔0)𝑡. W efekcie mamy:

𝐶̇₀(𝑡) =^𝑖𝛼0𝑏

ℏ 𝑒𝑖(𝜔−𝜔0)𝑡𝐶₁(𝑡), 𝐶̇₁(𝑡) =^𝑖𝛼0𝑏

ℏ 𝑒−𝑖(𝜔−𝜔0)𝑡𝐶₀(𝑡).

Powyższy układ możemy zastąpić dwoma równaniami 2. rzędu: 𝐶̈₀(𝑡) − 𝑖(𝜔 − 𝜔₀)𝐶̇₀(𝑡) + (^𝛼0𝑏

ℏ )²𝐶₀(𝑡) = 0, 𝐶̈₁(𝑡) + 𝑖(𝜔 − 𝜔₀)𝐶̇₁(𝑡) + (^𝛼0𝑏

ℏ )²𝐶₁(𝑡) = 0.

Postulując standardowe rozwiązanie typu 𝐶~𝑒𝑖𝜆𝑡, przy warunkach początkowych 𝐶₀(0) = 0, 𝐶̇₀(0) = 𝑖𝛼₀𝑏/ℏ oraz 𝐶₁(0) = 1 (singlet), 𝐶̇₁(0) = 0 otrzymujemy rozwiązania:

𝐶₀(𝑡) = 𝑖^2𝛼0𝑏

ℏ𝛺 𝑒𝑖𝛿𝑡/2sin(𝛺𝑡/2), 𝐶₁(𝑡) = 𝑒^{−𝑖𝛿𝑡/2}(cos(𝛺𝑡/2) +^𝑖𝛿

𝛺sin(𝛺𝑡/2)),

gdzie 𝛿 ≡ 𝜔 − 𝜔₀, 𝛺 ≡ √𝛿2+ (2𝛼₀𝑏/ℏ)2. Stąd możemy uzyskać dynamikę interesujących nas wielkości—korzystamy z równań (3.32 i 3.31):

2 ℏ〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e ≡ 〈𝛹^e ∣ 𝜎_𝑥 ∣ 𝛹^e〉_𝐿 =∣ 𝐶₀ ∣²−∣ 𝐶₁ ∣²= ((^𝛿 𝛺)²− 1) cos(𝛺𝑡) − (^𝛿 𝛺)², (5.2a) analogicznie pozostałe: 〈𝑠_𝑦〉_𝐿^e =^𝛼0𝑏 𝛺 sin(𝛺𝑡), (5.2b) 〈𝑠_𝑧〉_𝐿e = 𝛿^𝛼0𝑏 𝛺2 (1 − cos(𝛺𝑡)). (5.2c)

Równoważne rozwiązania problemu można uzyskać wychodząc od równania (3.34) ^𝑑

𝑑𝑡𝑠_𝐿^e = 𝐴𝑠_𝐿^e z oscylującym wymuszeniem, uzyskując równania Blocha (czyli rozważać obroty SO(3), zamiast SU(2)). Odpowiednie rozwiązania można znaleźć np. tutaj [170].

Powyższa analiza opisuje dynamikę stanu dwupoziomowego układu w obecności zewnętrznego oscylującego zaburzenia. W literaturze problem ten znany jest jako problem

Rabiego, a występujące w takim układzie przejścia pomiędzy poziomami (z częstością 𝛺) to oscylacje Rabiego [169]. W naszym przypadku oscylacje Rabiego zachodzą z częstością 𝛺 pomiędzy stanem dla którego 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e= −ℏ/2 (singlet), a 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e = ℏ/2 (tryplet).

Przetestujmy teraz powyższe rozwiązania analityczne. Porównajmy je zarówno z wynikami dokładnych symulacji jak i numerycznymi rozwiązaniami (3.34) dla 𝑠_𝐿e. Na rysunku 5.7 częstość wymuszenia jest rezonansowa 𝜔 = 𝜔₀, zaś na 5.8 już nie: 𝜔/𝜔₀ = 1.02.

Rys. 5.7. Ewolucja czasowa składowych wektora spinu efektywnego 𝒔_𝐿e (rozwiązania numeryczne i analityczne), jak na rysunku 3.4.2, oraz rozwiązania uzyskane w ramach przybliżenia RWA: „Rabix,y,z”—zaznaczone strzałkami. Częstość oscylacji sprzężenia spin-orbita 𝜔 jest tutaj dopasowana do częstości 𝜔₀= ℏ𝐽, odpowiadającej różnicy energii singlet-tryplet.

Na rysunkach 5.7 i 5.8 widać dobrą zgodność powyższych rozwiązań (5.2) dla 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e, zarówno z wynikami symulacji, jak i numerycznymi rozwiązaniami (3.34). Dla 〈𝑠_𝑦〉_𝐿^e mamy zgodność z numerycznymi rozwiązaniami (3.34) tylko dla amplitudy oscylacji. Wynika to z faktu, że przybliżenie (RWA) uwzględnia tylko wyrazy oscylujące z częstością dużo mniejszą niż 𝜔₀. Do opisu dynamiki 〈𝑠_𝑧〉_𝐿^e model (5.2) nie pracuje dobrze.

Uzyskane analityczne wyrażenie na 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e (5.2a) pozwoli nam oszacować zakres odchyleń częstości wymuszającej 𝜔 od częstości rezonansowej 𝜔₀, dla którego układ pracuje poprawnie. Z wcześniejszej analizy wiemy, iż by osiągnąć pod koniec ewolucji rozseparowaną gęstość spinową w obu kropkach, krzywa przedstawiająca |〈𝑆 ∣ 𝛹〉|2 musi przeciąć tą dla |〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉|² (bądź, co równoważne: 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e musi się zerować). W momencie przecięcia wyłączamy oscylacje sprzężenia spin-orbita 𝛼. By przecięcie to było możliwe, krzywa 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e musi się gdzieś zerować (przecinać oś czasu). By tak było maksimum 〈𝑠_𝑥〉_𝐿^e musi być większe bądź równe zeru: 1 − 2(𝛿/𝛺)² ≥ 0. Stąd warunek: 𝛿² ≤ (2𝛼₀𝑏/ℏ)², czyli 𝛿 ∈ [−2𝛼₀𝑏/ℏ; 2𝛼₀𝑏/ℏ]. W naszym przypadku 2𝛼₀𝑏/ℏ = 0.067𝜔₀. Jeżeli 𝛿 znajdzie się w zadanym przedziale, możemy zawsze tak dobrać czasy 𝑡_α−off i 𝑡_barr, że pod koniec ewolucji z-owa składowa spinu w lewej (prawej) kropce będzie ℏ/2 (−ℏ/2). Jeżeli dodatkowo jeden z czasów będzie dobrany z błędem, możemy skompensować tę pomyłkę (w pewnym zakresie) dobierając drugi.

Rys. 5.8. Ewolucja czasowa składowych wektora spinu efektywnego 𝒔_𝐿e (rozwiązania numeryczne i analityczne), jak na rysunku 3.4.2, oraz rozwiązania uzyskane w ramach przybliżenia RWA: „Rabix,y,z”—zaznaczone strzałkami. W tym przypadku jesteśmy poza rezonansem: częstość oscylacji sprzężenia spin-orbita 𝜔 jest różna od częstości własnej układu 𝜔₀: 𝜔/𝜔₀= 1.02.

Na rysunkach 5.9 i 5.10 przedstawiano rezultaty symulacji procesu separacji spinu, gdzie spełniony jest warunek 𝛿 ≡ 𝜔 − 𝜔₀ ∈ [−2𝛼₀𝑏/ℏ; 2𝛼₀𝑏/ℏ] = [−0.067𝜔₀ ; 0.067𝜔₀]. W każdym z tych przypadków, pomimo nierezonansowej częstości 𝜔 oscylacji sprzężenia spin-orbita, da się tak dobrać czas startu bariery i sam czas jej narastania, by w rezultacie uzyskać maksymalnie rozseparowany spin 〈𝑠_𝑧〉_𝐿= ℏ/2. Jednak w przypadku, gdy 𝜔 przyjmuje wartości spoza tego zakresu, uzyskanie maksymalnej separacji spinu nie jest już możliwe—rysunek 5.11.

Rys. 5.9. Proces separacji spinu dla różnych częstości 𝜔 oscylacji sprzężenia spin-orbita. Tutaj spełniony jest warunek rezonansu: 𝜔/𝜔₀= 1, na kolejnych rysunkach już nie.

Rys. 5.10. Proces separacji spinu dla różnych częstości 𝜔 oscylacji sprzężenia spin-orbita. Dopóki 𝛿/𝜔₀ jest w przedziale [−0.067; 0.067] można tak dostroić czas 𝑡_barr, by 〈𝑠_𝑧〉_𝐿≃ ℏ/2 pod koniec ewolucji.

Rys. 5.11. Proces separacji spinu dla różnych częstości 𝜔 oscylacji sprzężenia spin-orbita. Gdy 𝛿/𝜔₀ jest większa od 0.067, nie da się już tutaj tak dostroić czasu narastania bariery (𝑡_barr), by 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 ≃ ℏ/2, pod koniec ewolucji.

W rzeczywistości nie trzeba przerywać oscylacji 𝛼(𝑡), bowiem podniesienie bariery wyzeruje wartość parametru 𝑏. Rezultaty symulacji dla takiego przypadku znajdziemy na rysunku 5.12. Do analogicznego wniosku doszliśmy już w podrozdziale 3.3—rysunek 3.3.6.

Rys. 5.12. Przerwanie oscylacji sprzężenia spin-orbita nie jest konieczne. Wystarczy w tym przypadku nieco wcześniej zacząć podnosić barierę (w czasie 𝑡_s−barr nieco mniejszym niż 𝑡_α−off) i odpowiednio dostroić czas trwania narastania bariery 𝑡_barr.