Proces separacji spinu

Pozostawiamy stały kształt potencjału 𝑉(𝑥, 𝑡) z ustawioną zerową wysokością bariery. Wtedy funkcje falowe obu elektronów przekrywają się wzajemnie, a energie obu stanów są rozsunięte na skutek oddziaływania wymiennego. Włączamy modulację oddziaływania spin-orbita z częstotliwością odpowiadająca różnicy energii układu w obu stanach 𝐸_𝑆𝑇. Następuje przechodzenie układu ze stanu singletowego do trypletowego. Przejścia są rezonansowe i zachodzą przy określonej częstotliwości oscylacji. Jeżeli nie chcemy być zmuszeni do zmiany częstotliwości oscylacji, musimy pilnować by różnica energii stanów trypletowego i singletowego była stała. Musi zatem być stała długość odcinka drutu kwantowego, w którym uwięzione są oba elektrony. Przyjęliśmy rozwiązanie, w którym ograniczamy końce drutu kwantowego przy pomocy heterozłączy, aby przykładane do elektrod napięcia sterujące sprzężeniem oddziaływania spin-orbita nie zmieniały różnicy energii singlet-tryplet.

Rys. 3.3.2. Zależność czasowa energii układu (krzywa czarna) oraz prawdopodobieństwa obsadzenia stanu singletowego 𝑃_𝑆= |⟨𝑆|𝛹⟩|² (krzywa niebieska) i trypletowego 𝑃_𝑇 = |⟨𝑇0|𝛹⟩|2 (krzywa zielona) (a). Ewolucja z-owej składowej spinu w lewej części nanodrutu InSb 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 (niebieska krzywa) oraz oscylacje sprzężenia Rashby 𝛼(𝑡) (czerwona krzywa) (b).

Proces przejść ze stanu singletowego do trypletowego przedstawiony jest na rysunku 3.3.2. Prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie singletowym 𝑃_𝑆 = |⟨𝑆|𝛹⟩|² (krzywa niebieska) i prawdopodobieństwo znalezienia go w stanie trypletowym 𝑃_𝑇 = |⟨𝑇₀|𝛹⟩|2

(krzywa zielona) wykonują charakterystyczne dla układów dwustanowych oscylacje Rabiego. W chwili początkowej 𝑃_𝑆 jest równe 1 i spada do 0 w chwili 𝑡 ≅ 125 ps, następnie ponownie rośnie. 𝑃_𝑇 (krzywa zielona) wykonuje oscylacje przesunięte w fazie o 𝜋/2 względem 𝑃_𝑆. Wartość oczekiwana energii (linia czarna) śledzi energię układu. Jej minimum odpowiada

energii stanu singletowego, a maksimum energii stanu trypletowego.

Na rysunku 3.3.3 możemy prześledzić przebieg czasowy wartości oczekiwanej z-owej składowej spinu w lewej połowie drutu kwantowego 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 zdefiniowanej wyrażeniem (3.15). Ponieważ stan będący kombinacją liniową stanu trypletowego i singletowego, które przynależą do różnych wartości własnych hamiltonianu nie jest stanem stacjonarnym, zmienna w czasie różnica faz pomiędzy częścią singletową i trypletową funkcji falowej powoduje oscylacje wartości oczekiwanej spinu 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 liczonej w tym stanie. Częstotliwość oscylacji 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 (krzywa niebieska) odpowiada różnicy energii stanów trypletowego i singletowyego i pokrywa się z częstotliwością oscylacji stałej sprzężenia spin orbita (krzywa czerwona na rys. 3.3.3), wymuszającej przejścia singlet-tryplet. W chwili początkowej amplituda drgań 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 jest bliska zeru ze względu na zerowy udział stanu trypletowego w funkcji falowej układu. W miarę wzrostu udziału stanu trypletowego wzrasta i osiąga maksimum w chwili gdy udziały stanu singletowego i trypletowego w funkcji falowej się wyrównają. Na rysunku 3.3.2 możemy zauważyć, że nastąpi to po czasie ok. 60 ps. Jeżeli wyłączymy oscylacje sprzężenia oddziaływania spin orbita (patrz rys. 3.3.3), przejścia pomiędzy stanami singletowym i trypletowym zostają wstrzymane; oscylacje 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 trwają nadal, ale ze stałą amplitudą ponieważ udział w funkcji falowej stanu singletowego i trypletowego są stałe—obszar od 𝑡 = 80 ps do 120 ps (zaznaczony na szaro) na rysunku 3.3.3.

Rys. 3.3.3. Oscylacje stałej sprzężenia oddziaływania Rashby (krzywa czerwona) i oscylacje wartości oczekiwanej spinu w lewej połowie odcinka drutu kwantowego (krzywa niebieska). Linia czarna pokazuje wzrost wartości oczekiwanej energii układu podczas wzrostu udziału stanu trypletowego w jego funkcji falowej.

Oscylacje można zatrzymać dzieląc odcinek drutu kwantowego na dwie części odseparowane barierą potencjału. W przedstawionej symulacji podnosimy amplitudę bariery w wyrażeniu (3.1) od 𝑉₁ = 0 do 𝑉₁ = 𝑉₀. Proces wyłączania oscylacji pokazany jest na rysunku 3.3.4. Rozpoczęty w chwili 𝑡 = 120 ps proces podnoszenia bariery powoli wyłącza oscylacje. Elektrony odpychają się i obsadzają oddzielne części drutu kwantowego. Po podniesieniu bariery do jej maksymalnej wysokości przestajemy ją zmieniać. Wysokość bariery została dobrana tak, by w chwili końcowej funkcje falowe rozdzielonych elektronów były całkowicie rozseparowane. Wtedy następuje wyrównanie energii stanów singletowego i trypletowego.

Wartości oczekiwane wielkości fizycznych w stanie będącym ich kombinacją liniową (singletu i trypletu) przestają oscylować.

Rys. 3.3.4. Wyłączenie oscylacji 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 (krzywa niebieska) przez wzrastającą barierę potencjału o wysokości 𝑉₁ (krzywa czarna).

Rys. 3.3.5. Ewolucja czasowa układu dwóch elektronów przy odpowiednio dobranych chwilach wyłączenia oscylacji sprzężenia Rashby i czasie narastania bariery. Niebieska (zielona) krzywa przerywana pokazuje przebieg udziału stanu singletowego 𝑃_𝑆= |⟨𝑆|𝛹⟩|2 (trypletowego 𝑃_𝑇 = |⟨𝑇₀|𝛹⟩|2) w aktualnej funkcji falowej. Czerwona krzywa ciągła pokazuje oscylacje sprzężenia Rashby, niebieska ciągła—przebieg wartości oczekiwanej spinu w lewej kropce, a ciągła czarna—chwilową wysokość bariery potencjału dzielącej odcinek drutu kwantowego na dwie części.

Na rysunku 3.3.4 wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 ustaliła się na poziomie 0.1 ℏ. Naszym zamiarem jest rozdzielenie elektronów o różnych spinach. Możemy to osiągnąć odpowiednio dobierając czas zatrzymania oscylacji stałej sprzężenia oraz czas podnoszenia bariery. Przykład takiej ewolucji czasowej układu pokazany jest na rysunku 3.3.5. Oscylacje stałej sprzężenia oddziaływania Rashby przerywamy w chwili, gdy funkcja falowa układu staje się zrównoważoną kombinacją liniową stanu singletowego i trypletowego, czyli w momencie, gdy krzywe przerywane niebieska i zielona osiągają wartość 0.5 ℏ. Ma to miejsce dla 𝑡 = 60 ps. W tej samej chwili zaczynamy podnosić barierę dzieląca odcinek drutu na dwie połowy i doprowadzamy do rozdzielenia obu elektronów. Czas podnoszenia bariery musi być tak dobrany by w chwili końcowej fazy składowych singletowej i trypletowej funkcji falowej były równe jak w wyrażeniu (3.14). Wtedy spiny elektronów zostają rozseparowane. W lewej kropce znajdzie się elektron ze spinem „do góry”, czyli rzut spinu elektronu na oś z w lewej kropce jest równy 0.5 ℏ, a w prawej jest przeciwny i równy −0.5 ℏ. Wraz z rozseparowaniem gęstości elektronowej następuje separacja gęstości spinowej (spinu). Podniesiona bariera zapewnia stacjonarność uzyskanego stanu—nie będzie następowała wymiana spinu pomiędzy obszarami.

Rys. 3.3.6. Ewolucja czasowa układu dwóch elektronów przy odpowiednio dobranych chwilach wyłączenia oscylacji sprzężenia Rashby i czasie narastania bariery. Niebieska (zielona) krzywa przerywana pokazuje przebieg udziału stanu singletowego 𝑃_𝑆= |⟨𝑆|𝛹⟩|² (trypletowego 𝑃_𝑇 = |⟨𝑇₀|𝛹⟩|2) w aktualnej funkcji falowej. Czerwona krzywa ciągła pokazuje oscylacje sprzężenia Rashby, niebieska ciągła—przebieg wartości oczekiwanej spinu w lewej kropce, a ciągła czarna—chwilową wysokość bariery potencjału dzielącej odcinek drutu kwantowego na dwie części.

Możliwa jest również inna, trochę uproszczona wersja operacji rozdzielenia spinu elektronów do różnych kropek kwantowych. Jest ona pokazana na rysunku 3.3.6. Tym razem nie przerywamy oscylacji stałej sprzężenia oddziaływania Rashby. Wystarczy, że w odpowiednim momencie zaczynamy podnosić barierę potencjału. Podnosząca się bariera powoduje zmniejszenie odległości energetycznej pomiędzy stanem trypletowym i singletowym. Ze względu na silnie rezonansowy charakter przejść pomiędzy oboma stanami, przy niezmienianej częstotliwości oscylacji wymuszającej przejścia, zostają one automatycznie przerwane.

Nieistotnym jest, w jaki sposób podnosimy barierę. Nie ma ograniczeń na szybkość jej podnoszenia. Nawet stosunkowo szybkie podniesienie bariery nie zaburza stabilności funkcji falowej (przemiana jest adiabatyczna, układ nie nabywa energii). Natomiast, bardzo ważny jest moment, kiedy bariera kompletnie usuwa oddziaływanie wymienne. Wtedy spin elektronu w lewej kropce powinien osiągnąć wartość 0.5 ℏ. Ten czas musi być dobrany eksperymentalnie. By to ułatwić, proces podnoszenia bariery w końcowej fazie separacji może być spowolniony. Przykład ewolucji czasowej układu z tego typu usprawnieniem przedstawiony został na rysunku 3.3.7.

Rys. 3.3.7. Oznaczenia jak na rysunku 3.3.6. Ze względu na konieczność zrównoważenia amplitud oraz wyrównania faz w kombinacji liniowej singlet-tryplet, szybkość podnoszenia bariery jest istotna (krytyczna) z punktu widzenia działania układu i musi być dostrojona eksperymentalnie. By można było to łatwiej osiągnąć, proces podnoszenia bariery może być spowolniony. W tym przypadku około 3 razy, w stosunku do ewolucji z rysunku 3.3.6.