Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Praca doktorska
Jarosław Pawłowski
Operacje na spinie pojedynczego elektronu
w kropce kwantowej
bez użycia pola magnetycznego
Praca wykonana pod kierunkiem
prof. dr. hab. Stanisława Bednarka
w Katedrze Fizyki i Informatyki Stosowanej
Oświadczenie autora rozprawy:
Oświadczam, świadomy odpowiedzialności karnej za poświadczenie nieprawdy, że niniejszą pracę doktorską wykonałem osobiście i samodzielnie i że nie korzystałem ze źródeł innych niż wymienione w pracy.
Oświadczenie promotora rozprawy:
Chciałbym gorąco podziękować mojemu promotorowi Profesorowi Stanisławowi Bednarkowi za życzliwość, setki godzin inspirujących dyskusji i wsparcie podczas pisania pracy. Również za zafascynowanie mnie ideą budowy komputera kwantowego. Chciałbym także podziękować Pawłowi Szumniakowi
za owocną współpracę i serdeczność.
Niniejsza rozprawa doktorska została wykonana w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki POKL.04.01.01-00-434/08-02 współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej.
To wspaniale, że komputer zrozumiał problem, ale ja też chciałbym go zrozumieć.
Spis treści
1 Wstęp ... 9
2 Manipulacja spinem pojedynczego elektronu bez użycia pola magnetycznego ... 15
2.1 Wstęp ... 16
2.2 Nanourządzenie i metoda symulacji jego działania ... 17
2.2.1 Potencjał uwięzienia podczas ewolucji układu ... 22
2.3 Wyniki symulacji działania nanourządzenia ... 25
2.4 Analityczne wyrażenia na dynamikę spinu ... 29
2.5 Możliwe bramki kwantowe ... 35
2.6 Ograniczenia rozmiaru nanourządzenia ... 37
2.7 Słaba lokalizacja ... 38
2.8 Podsumowanie ... 40
3 Przestrzenna separacja gęstości spinowej w układzie dwuelektronowym ... 41
3.1 Wstęp ... 42
3.2 Nanourządzenie i metoda symulacji jego działania ... 45
3.3 Symulacja procesu separacji gęstości spinowej ... 51
3.3.1 Stany stacjonarne ... 51
3.3.2 Proces separacji spinu ... 53
3.4 Model analityczny ... 58
3.4.1 Wprowadzenie modelu ... 58
3.4.2 Interpretacja wektorów efektywnych ... 62
3.4.3 Przybliżony charakter podejścia analitycznego ... 65
3.5 Stany splątane układu dwuelektronowego ... 66
3.5.1 Miary splątania ... 66
3.5.2 Ewolucja splątania ... 69
3.6 Wpływ spinów jądrowych na dynamikę układu ... 72
3.7 Podsumowanie ... 77
4 Zakończenie ... 79
5 Dodatek: Tolerancja niedopasowania parametrów pracy nanourządzenia ... 81
5.1 Niedopasowanie czasów ... 82
5.2 Niedopasowanie częstości oscylacji sprzężenia oddziaływania Rashby ... 88
5.3 Offset sprzężenia spin-orbita ... 94
1 Wstęp
Nanotechnologia już w najbliższej przyszłości będzie miała ogromny wpływ na naukę i społeczeństwo. Jej rozwój dostarczy technologie i rozwiązania o jakich do niedawna mogliśmy tylko marzyć. Dla fizyków zafascynowanych mechaniką kwantową, stanowi ona wspaniałe pole do studiowania interesujących, również fundamentalnych problemów teorii kwantów (przykładowo splątania czy dekoherencji). Teoretyczne rozważania możemy teraz weryfikować eksperymentalnie. Wraz z postępem w nanotechnologii biegnie rozwój w technologiach półprzewodnikowych, w jakich wykonywane są elementy współczesnych komputerów.
Pomimo gwałtownego rozwoju informatyki na przestrzeni ostatnich lat, sama architektura współczesnych komputerów nie zmieniła się istotnie od momentu jej opracowania kilkadziesiąt lat temu. Idąc dalej można by powiedzieć, że fundamentalne zasady informatyki, czy ogólnie przetwarzania informacji, nie zmieniły się od przeszło 3000 lat, kiedy zaczęły powstawać pierwsze maszyny usprawniające dodawanie. Ich niezmienne podstawy opierają się na tym, że przestrzegają one praw fizyki klasycznej. Jeżeli jednak pierwotną teorią Materii jest mechanika kwantowa, a fizyka klasyczna wyłania się tylko jako jej przybliżenie, to nie ma powodu by uważać, że maszyny przetwarzające informacje w oparciu o reguły mechaniki kwantowej będą miały taką samą moc obliczeniową jak te klasyczne. Istotnie, moc obliczeniowa tych pierwszych może być tylko większa [1]. Opracowanie maszyn, w których przetwarzaniem informacji rządzi fizyka kwantowa, będzie rewolucyjnym krokiem naprzód w rozwoju komputerów, względem klasycznej dziś koncepcji von Neumanna. A dzięki efektowi kwantowego zrównoleglenia, ich potencjalna moc wykładniczo wzrasta względem mocy obliczeniowej klasycznych komputerów.
Granicą, na który może natrafić w przyszłości dalszy rozwój klasycznej informatyki, gdzie większość wykonywanych operacji jest procesami nieodwracalnymi (np. nadpisanie bitu czy operacja bramki NAND), jest zasada wprowadzona przez Landauera [2]. Mówi ona, że każda nieodwracalna manipulacja informacją musi się wiązać ze wzrostem entropii otoczenia nośnika tej informacji. W praktyce oznacza to, że każdemu wymazaniu bitu informacji musi towarzyszyć dyssypacja 𝑘𝐵𝑇 ln 2 energii. Wyjściem z sytuacji może być tutaj rozwój algorytmów opartych tylko na bramkach odwracalnych [3]. Zaś fundamentalnie lepszym obejściem tego ograniczenia byłby rozwój informatyki kwantowej, gdzie wykonywane operacje są z natury odwracalne. Ewolucja odwrotna do tej reprezentowanej przez operator unitarny 𝑈 zawsze istnieje: 𝑈−1 = 𝑈† [3].
Jednakże mimo wielu wysiłków, projekt budowy komputera kwantowego wydaje się być wciąż w powijakach. W udanych próbach eksperymentalnych udaje się aktualnie wykonywać operacje na zaledwie kilku kubitach. Trudności, z którymi na razie nie umiemy sobie poradzić, pojawiają się przy próbach opracowania technologii, która byłaby łatwo skalowalna na układy zawierające rejestry wielokubitowe. Przewaga kwantowego
przetwarzania informacji nad klasycznym pojawia się dopiero przy realizacjach zawierających wiele (𝑁) kubitów. Gdyż dzięki kwantowemu zrównolegleniu, wykonując obliczenia jednocześnie przetwarzamy 2𝑁 stanów. Klasycznie, jedna jednostka obliczeniowa w danej
chwili przetwarza tylko jeden stan.
Istnieje ogrom propozycji implementacji komputera kwantowego, różniących się fizycznym układem branym do zdefiniowania kubitów. Niektóre z nich eksperymentalnie zrealizowano. Spośród takich, warto wymienić realizacje w których operacje, na kubitach zdefiniowanych na spinach jądrowych odpowiednio dobranych cząstek, wykonywano wykorzystując zjawisko magnetycznego rezonansu jądrowego (NMR) [4]. Początkowo – głównie dzięki zaawansowaniu samej technologii NMR – osiągnięto spory sukces: w układzie złożonym z siedmiu kubitów rozłożono na czynniki pierwsze, wykonując kwantowy algorytm Shora, liczbę 21 [4]. Ostatnio rezultat ten jeszcze poprawiono, faktoryzując liczbę 143 [5]. Jednak dalsza rozbudowa tego typu układów stanęła przed barierą nie do przejścia: potrzebna była coraz większa rozdzielczość na skali energetycznej. Układ ten nie był skalowalny powyżej pewnej (niewielkiej) liczby kubitów.
Dlatego duże nadzieje wiąże się z realizacją kubitów w strukturach półprzewodnikowych, gdzie spodziewana/oczekiwana skalowalność jest, w praktyce, nieograniczona. Głównym kandydatem jest tutaj układ, w którym kubity są zdefiniowane na spinach elektronów uwięzionych w elektrostatycznych kropkach kwantowych, zaproponowany przez D. Lossa i D. P. DiVincenzo [6]. Dużym sukcesem było opanowanie umiejętności wykonywania operacji dwukubitowych na spinach elektronów w kropkach [7, 8, 9, 10, 11, 12]. Jednak również tutaj udało się do tej pory zbudować układy złożone z co najwyżej kilku kubitów. Obserwując dynamikę rozwijania tej technologii w ciągu ostatnich kilku lat, nie wydaję się by w najbliższym czasie udało się wykonać znaczący postęp. Możliwe, że drogą rozwoju będzie stopniowe udoskonalanie.
Ciekawym wydaje się również fakt, że do tej pory wymyślono stosunkowo niewiele różnych klas algorytmów kwantowych [13], takich, które dawałyby (najlepiej wykładnicze) przyspieszenie wykonywania obliczeń, w stosunku do komputerów klasycznych, czyli nie-kwantowych.
Dużą nadzieję wiązano również z tzw. adiabatycznymi obliczeniami kwantowymi [14, 15, 16]. Obliczenia te mają być wykonywane poprzez dostatecznie wolną ewolucję – zmienianego w czasie – układu, zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym. By je przeprowadzić, inicjalizujemy układ w stanie podstawowym prostego hamiltonianu, a następnie adiabatycznie zmieniamy hamiltonian do takiego (skomplikowanego), którego stan podstawowy reprezentuje rozwiązanie problemu. Najistotniejszym ograniczeniem tego typu podejścia jest osiągana szybkość wykonywania obliczeń, powiązana ściśle z odległością pomiędzy stanem podstawowym ewoluującego układu a pierwszym wzbudzonym: obliczenia muszą być wykonywane na tyle wolno by układ pozostał w stanie podstawowym. Im mniejsza przerwa energetyczna tym łatwiej wzbudzić go do stanów wyższych i tym samym przekłamać obliczenia. Dodatkowo szerokość tej przerwy zmniejsza się wraz ze skalowaniem układu, czyli wraz ze wzrostem liczby kubitów. Udało się także pokazać, iż model adiabatycznego komputera kwantowego jest równoważny modelowi standardowej maszyny kwantowej, w tym sensie, że dowolny algorytm kwantowy może być skutecznie (tzn. w czasie wielomianowym) symulowany przez obliczenia adiabatyczne [17].
Najbardziej znaną fizyczną realizacją adiabatycznego komputera kwantowego jest maszyna rozwijana przez firmę D-Wave Systems. Ich projekt D-Wave Two zawierał układ złożony aż z 512 kubitów. Powagę całemu przedsięwzięciu nadał fakt zainteresowania się nim przez takich potentatów jak Google czy Lockheed Martin. Z uwagi na komercyjny charakter przedsięwzięcia całość owiana była tajemnicą, w szczególności nie było dostępu do szczegółów technicznych projektu [18].
W tym roku ukazała się publikacja, w której badacze reprezentujący społeczność naukową z kilku ważnych ośrodków zajmujących się badaniami nad informatyką kwantową, wykonali testy maszyn dostarczonych przez D-Wave [19]. Niestety testy te pokazały, że (przynajmniej na razie) nie da się uchwycić żadnego przyspieszenia związanego z rzekomym kwantowym charakterem obliczeń przez nie wykonywanych, w porównaniu z obliczeniami wykonywanymi na tych samych danych przez komputery klasyczne. Nie udało się również do tej pory stwierdzić jednoznacznie czy w maszynach tych występuje tak podstawowe zjawisko jak splątanie kwantowe. Czyżby znów okazało się, że pomimo poprawności postulowanej idei obliczeń kwantowych, jej implementacja napotyka bariery trudne (niemożliwe?) do pokonania? Realizacja wspaniałej idei komputera kwantowego okazuję się być niezwykle trudna w praktyce. Pomimo braku znaczących postępów w ostatnich latach, intensywne badania, zarówno eksperymentalne jak i teoretyczne, trwają nadal. Możliwe, że na końcu tej drogi nie uzyskamy komputera kwantowego o mocy obliczeniowej (wykładniczo) przewyższającej tę dostępną aktualnie. Jednak odkrycia wykonane niejako przy okazji mogą być warte całego wysiłku. Przewidywanie jest bardzo trudne, szczególnie jeśli idzie o przyszłość.
* * *
Jedną z bardziej obiecujących realizacji fizycznych kubitu, czyli podstawowego nośnika informacji w kwantowych komputerach przyszłości jest spin elektronu. Stanowi on naturalny dwustanowy układ, czyli posiada dokładnie dwa stany bazowe, tworząc kubit. Zastosowanie materiałów półprzewodnikowych, z których buduje się nanostruktury silnie wiążące pojedyncze elektrony (takich jak kropki kwantowe), ma niebanalne znacznie z uwagi na łatwość integracji z istniejącą elektroniką (półprzewodnikową), która musi komputer kwantowy kontrolować i sterować. Kolejnymi, ważnymi zaletami realizacji kubitu na spinie elektronu jest jego bardzo mały moment magnetyczny, z czego wynika stosunkowo duża odporność na oddziaływanie z otoczeniem: długie T1 (czas relaksacji) i T2 (czas dekoherencji).
Aktualnie trwają intensywne eksperymentalne i teoretyczne poszukiwania układów w których można wykonać na spinie elektronu kwantowe operacje logiczne. W pierwszych nanourządzeniach (gdzie zastosowano technikę ESR) skonstruowanych w tym celu [20, 21, 22, 23], obroty spinu wymuszano mikrofalą powodującą przejścia (oscylacje Rabiego) pomiędzy rozszczepionymi w polu magnetycznym poziomami energetycznymi elektronu. W następnych konstrukcjach (opartych o technikę EDSR) udało się wykonać operacje na spinie elektronu bez użycia zewnętrznej mikrofali. Obrót spinu realizowany jest przy wykorzystaniu oddziaływania spin-orbita [24, 25]. Jednakże nie udało się całkowicie uniknąć zastosowania pola magnetycznego. Elektron wprawiany jest w ruch oscylacyjny przez przyłożone do elektrod zmienne pole elektryczne. Częstotliwość tak jest dobrana by energia oscylacji odpowiadała rozszczepieniu zeemanowskiemu energetycznych poziomów elektronowych o przeciwnych spinach. Ruch oscylacyjny elektronu w obecności oddziaływania spin-orbita zastępuje zewnętrzną mikrofalę. Ponieważ rozszczepienie zeemanowskie poziomów energetycznych jest proporcjonalne do natężenia pola magnetycznego, muszą być użyte silne pola magnetyczne. Dla małych pól rozszczepienie jest małe i mała być musi częstotliwość oscylacji co jednocześnie oznacza małą prędkość obrotu spinu. Dla zerowego pola magnetycznego rozszczepienie poziomów energetycznych jest zerowe, efekt obrotu spinu zanika.
Większość dotychczasowych propozycji wykonywania operacji bramek logicznych oraz kontroli (odczytu, manipulacji) spinu wymaga użycia silnych pól magnetycznych w celu rozdzielenia poziomów energetycznych elektronów o różnej orientacji spinu. Jednakże mały moment magnetyczny spinu elektronu sprawia, że konieczne jest stosowanie bardzo silnych zewnętrznych pól magnetycznych, co jest istotną wadą tych rozwiązań i stanowi znaczne utrudnienie techniczne dla konstrukcji komputera kwantowego. Znacznie lepiej by było, gdyby
można było uniknąć stosowania pola magnetycznego.
Okazuje się [26, 27, 28, 29, 30], że operacje na spinie elektronu można wykonać również bez użycia pól zewnętrznych. Jest to możliwe jeżeli elektron uwięziony w elektrostatycznej kropce kwantowej zmuszony zostanie do cyklicznego ruchu po dwuwymiarowej zamkniętej trajektorii. Podczas takiego ruchu oddziaływanie spin-orbita umożliwia obrót spinu (w zerowym polu magnetycznym) i wykonanie na spinie elektronu określonej operacji logicznej.
W rozdziale drugim pracy pokazujemy jak zrealizować takie bramki w strukturze elektrostatycznej kropki kwantowej o aktualnie osiągalnych rozmiarach i geometrii. Kropka ta jest reprezentowana w układzie przez potencjał uwięzienia elektronu. Przedstawiamy symulacje ewolucji elektronu uwięzionego w dokładnie modelowanym, zmiennym w czasie potencjale. Rozkład potencjału jest liczony numerycznie poprzez rozwiązanie równania Poissona w trójwymiarowym pudle obliczeniowym, uwzględniające rozkład ładunku uwięzionego w powstałej kropce elektronu, oraz odpowiednie napięcia przyłożone pomiędzy elektrodami i silnie domieszkowanym podłożem. Symulacje te pozwalają także oszacować bardzo ważny parametr pracy urządzenia—czas działania takich bramek. W dalszej części rozdziału wprowadzamy analityczne wyrażenia na dynamikę spinu uwięzionego elektronu oraz omawiamy ograniczenia, które muszą być uwzględnione podczas projektowania nanourządzenia. Dyskutujemy także rodzaje możliwych do uzyskania w tym rozwiązaniu bramek logicznych.
By proponowane przez nas rozwiązanie było kompletne, musimy też umieć inicjalizować spin elektronu bez dostępnego zewnętrznego pola magnetycznego (co jest znacznie trudniejsze). Temu problemowi poświęcony jest rozdział trzeci. Pokazujemy, że oddziaływanie spin-orbita można wykorzystać również do inicjalizacji spinu.
W pierwszym kroku badań w rozdziale trzecim przebadamy ewolucję czasową funkcji falowej dwóch elektronów uwięzionych w zamodelowanym, zmiennym w czasie potencjale, uwzględniając ruchomą barierę separującą i oscylujące sprzężenie spin-orbita. Potencjał uwięzienia wynika z przestrzennej struktury nanourządzenia, zawierającej drut kwantowy i pobliskie metalowe elektrody kontrolujące. Elektrody te formują potencjał wzdłuż drutu tworząc strukturę podwójnej kropki kwantowej. W symulacjach tych rozważamy ewolucję pełnej funkcji falowej układu dwuelektronowego, zawierającej zmienne spinowe i przestrzenne obydwu elektronów, jak również efektywne oddziaływanie kulombowskie pomiędzy nimi w drucie. Dzięki temu uwzględniamy korelacje między elektronami w sposób dokładny. Podczas symulacji, w każdym kroku czasowym, będziemy wyznaczać przestrzenny rozkład gęstości spinów elektronów. Dzięki temu możemy obserwować czasowe zmiany gęstości spinu w obu obszarach podwójnej kropki.
W następnym kroku przebadamy tolerancję niedopasowania poszczególnych parametrów nanourządzenia, takich jak moment rozpoczęcia podnoszenia bariery potencjału, czy czas trwania tego podnoszenia. Wybierzemy również takie ich wartości, przy których urządzenie działa poprawnie i pod koniec ewolucji w obu rozdzielonych obszarach mamy przeciwne spiny. Sprawdzimy także, jaka jest tolerancja poprawnej pracy układu na niedopasowanie częstości oscylacji sprzężenia spin-orbita wymuszającej odpowiednie przejścia podczas inicjalizacji spinu. Wbrew intuicjom, pomimo rezonansowości przejść, istnieje cały przedział wartości tych częstości, a nie tylko jedna ich wartość, dla którego urządzenie pracuje poprawnie, co stanowi istotną zaletę proponowanego rozwiązania. Przy analizie niedopasowania parametrów bardzo pomocny będzie wprowadzony model analityczny. Dzięki temu modelowi przejścia podczas inicjalizacji spinu będziemy mogli widzieć jako obroty wektora reprezentującego stan spinowy układu na odpowiednio zdefiniowanej sferze Blocha. Podobnie jak operacje na spinie elektronu omawiane w rozdziale drugim, które mogą być reprezentowane przez macierze obrotów.
W ostatnim kroku wprowadzimy odpowiednie miary splątania w układzie dwuelektronowym i omówimy dynamikę splątania podczas procesu separacji. Przebadamy także potencjalny wpływ spinów jądrowych na dynamikę układu.
Generowanie silnego pola magnetycznego wymaga użycia dużych elektromagnesów i jest energetycznie kosztowne. Brak konieczności stosowania zewnętrznych pól, a jedynie potencjałów sterujących pochodzących od lokalnych bramek, jest dużą zaletą proponowanych konstrukcji, ogromnie upraszczając budowę takich urządzeń i ułatwiając integrację z istniejącą (półprzewodnikową) elektroniką, która musi nasz układ sterować.
Proponowany przez nas schemat inicjalizacji kubitu spinowego jest próbą odpowiedzi na aktualne zapotrzebowania w dziedzinie spintroniki na pojedynczych elektronach (single electron spintronics). Spodziewamy się, że nasz schemat może być ciekawą propozycją na drodze ku rozwiniętym technikom inicjalizacji kubitów spinowych.
2 Manipulacja spinem pojedynczego elektronu
bez użycia pola magnetycznego
W tym rozdziale przedstawimy sposób wykonania operacji na spinie pojedynczego elektronu, uwięzionego w elektrostatycznej kropce kwantowej, bez użycia pola magnetycznego. Sinusoidalnie zmienne napięcie, przyłożone w różnych fazach do czterech elektrod sterujących, wprawia elektron w ruch okrężny po krzywych zamkniętych. Występujące w nanostrukturze sprzężenie spin-orbita powoduje obrót wektora spinu. Dla odpowiednio dobranych czasów trwania (napięciowego) sygnału sterującego można wykonać na spinie elektronu operację (odpowiednika) bramki Hadamarda lub operacji negacji. Wykonano symulacje działania nanourządzenia polegające na iteracyjnym rozwiązywaniu zależnego od czasu równania Schroedingera. W każdej chwili czasowej jest obliczany rozkład pola elektrycznego w nanourządzeniu poprzez rozwiązywanie równania Poissona. Dzięki temu uwzględniane są zmiany pola elektrycznego na skutek zmian napięć przyłożonych do elektrod i przemieszczania się rozkładu gęstości uwięzionego w kropce kwantowej elektronu.
Opis samego układu i metodologia przeprowadzanych symulacji zawarte są w podrozdziale 2.2. W szczególności w sekcji 2.2.1 napiszemy jak określamy potencjał uwięzienia elektronu podczas obliczeń symulacji czasowej układu. Zaś rezultaty samych symulacji przedstawimy w podrozdziale 2.3. W kolejnym podrozdziale—2.4 pokażemy, że wykonywane na spinie operacje są zależne od geometrii ścieżki pokonywanej przez elektron. Związane są z tym co najmniej dwa ograniczenia na funkcjonowanie samego nanourządzenia: Pierwsze, omawiane w podrozdziale 2.5, mówi, że operacje te są obrotami wokół jednej, określonej (dla danej konfiguracji układu) osi, co silnie ogranicza zakres możliwych do wykonania bramek. Drugie, omawiane w podrozdziale 2.6, ogranicza szybkość wykonywanych operacji i związane jest z rozmiarami urządzenia. Wreszcie, w przedostatnim podrozdziale— 2.7 umieścimy zależne od geometrii obroty spinu w szerszym kontekście powszechniej znanych zjawisk, pojawiąjących się przy transporcie elektronu przez układy mezoskopowe.
2.1 Wstęp
W pracach teoretycznych [26, 27, 28, 29, 30] pokazano, że aby wykonać operację na spinie elektronu bez pola magnetycznego należy zmusić elektron do ruchu po dwuwymiarowej krzywej zamkniętej. W pracach [28, 29, 30] zaproponowano budowę i wykonano symulację działania takich nanourządzeń. Obrót spinu uzyskuje się przez ruch elektronu po dwuwymiarowych trajektoriach zamkniętych wyznaczonych przez druty kwantowe indukowane pod metalowymi elektrodami położonymi na powierzchni nanostruktury półprzewodnikowej zawierającej studnię kwantową [31]. W zaproponowanych w pracach [28, 29, 30] nanourządzeniach elektron przebywa tylko jedno okrążenie i musi pod elektrodą, gdzie powstaje indukowany drut kwantowy, przebyć drogę kilku µm. Ponieważ energia uwięzienia elektronu w indukowanym drucie kwantowym jest stosunkowo mała (rzędu 2 meV), metoda ta jest czuła na zaburzenia i zaproponowane nanourządzenia przy aktualnych technologiach mogą być jeszcze zbyt trudne do zbudowania.
W rozdziale tym pokażemy, że obroty spinu bez użycia pola magnetycznego można wykonać również w elektrostatycznych kropkach kwantowych o konstrukcjach i rozmiarach aktualnie osiągalnych, takich jak używanych w pracach eksperymentalnych [20, 21, 22, 23, 24, 25].
2.2 Nanourządzenie i metoda symulacji jego działania
Proponowane nanourządzenie zbudowane będzie na bazie planarnej heterostruktury AlGaAs/GaAs/AlGaAs, o układzie warstw podobnym do tej, która została wykorzystana w pracy [31]. Składa się ona ze studni kwantowej o szerokości 15 nm, otoczonej z obu stron barierami tunelowymi o szerokości 40 nm. Od silnie domieszkowanego podłoża studnia kwantowa oddzielona jest pozbawioną domieszek warstwą buforową o szerokości 50 nm. Diagram ilustrujący strukturę warstw w urządzeniu przedstawiony został na rysunku 2.2.5. Na powierzchni górnej bariery ułożone są cztery metalowe elektrody. Ich układ i użyte w obliczeniach rozmiary widoczne są na rysunku 2.2.3. Pomiędzy elektrody i podłoże przyłożone jest napięcie stałe 𝑉d modulowane przez sinusoidalnie zmienne napięcie przyłożone do czterech
elektrod sterujących w fazach różniących się o 𝜋 2⁄ : 𝑉𝑗 = 𝑉d+ 𝑉asin(𝜔𝑡 + 𝑗𝜋/2) , (2.1)
Gdzie 𝑗 oznacza numer elektrody i przebiega wartości od 1 do 4. Napięcia przyłożone pomiędzy elektrody i podłoże formują w warstwie GaAs jamę potencjału, której minimum porusza się po krzywej zamkniętej w płaszczyźnie równoległej do warstw tworzących heterostrukturę. W rezultacie uwięziony w niej elektron porusza się po tej samej krzywej.
Proces obrotu spinu nie jest rezonansowy, częstość 𝜔 jest dowolna, jednakże musi być na tyle mała by zachować warunek adiabatyczności zmian potencjału. Gdy warunek ten nie jest spełniony, elektron w trakcie ewolucji układu może niebezpiecznie akumulować energię i w pewnej chwili uciec z układu (jamy). Rozwiązaniem w takim przypadku może być zwiększenie wartości bezwzględnej napięcia 𝑉d: dzięki temu zmieniamy kształt (zmniejszamy szerokość) jamy, a tym samym uzyskujemy większą separację poziomów energetycznych. Spełnienie warunku adiabatyczności wymusza górne ograniczenie dla częstości, które we wszystkich
Rys. 2.2.1. Rozkład potencjału (kolor szary) w warstwie GaAs tworzący jamę więżącą elektron w kilku początkowych chwilach ewolucji: 𝑡 = 0, 𝑡 =𝜋
4/𝜔, 𝑡 = 3
4𝜋/𝜔, oraz 𝑡 = 3
2𝜋/𝜔 odpowiednio, dla
nanourządzenia (rozkładu elektrod) podobnego do tego rozważanego w dalszych symulacjach (por. z rys. 2.2.3). Na niebiesko zaznaczono rozkład gęstości uwięzionego elektronu, zaś na czerwono tor jego środka masy.
symulacjach przedstawianych w tym rozdziale będzie przestrzegane. Do tego problemu wrócimy jeszcze w podrozdziale 2.3.
Na rysunku 2.2.1 możemy zobaczyć przykładowy rozkład energii potencjalnej elektronu, która w warstwie GaAs stanowi jamę potencjału uwięzienia bocznego dla elektronu. Rozkład ten pokazany jest w kilku chwilach ewolucji czasowej układu. Napięcie stałe 𝑉d
tworzy jamę o środku w centrum symetrii układu, zaś napięcie sinusoidalne o amplitudzie 𝑉a daje dodatkową zmianę potencjału, której wartość zmienia się z częstością 𝜔. Ich superpozycja sprawia, że środek jamy ulega przesunięciu na zewnątrz centrum i podróżuje w czasie. Efektem tego jest podróżująca jama potencjału, której środek zakreśla tor będący krzywą zamkniętą i obiega go w czasie 2𝜋/𝜔. Dobierając amplitudę 𝑉a napięcia sinusoidalnego możemy zmieniać promień krzywizny toru (przykłady na rysunkach 2.2.1 i 2.2.3), a tym samym modyfikować wektor pędu ruchu postępowego uwięzionego elektronu. By zachować promień krzywizny toru elektronu, wraz z ewentualną zmianą wartości 𝑉d musimy proporcjonalnie zmienić wartość amplitudy 𝑉a.
Symulujemy działanie nanourządzenia poprzez iteracyjne rozwiązywanie zależnego od czasu równania Schroedingera. W obliczeniach przyjmujemy układ współrzędnych z osią 𝑦 skierowaną w kierunku wzrostu warstw, a osiami 𝑥 i 𝑧 ułożonymi w płaszczyźnie studni kwantowej. Elektron uwięziony w studni kwantowej może poruszać się jedynie w kierunku 𝑥 i 𝑧. Jego funkcję falową uwzględniającą spin przyjmujemy w postaci dwuwierszowej macierzy kolumnowej (spinora):
𝛹(𝑥, 𝑧, 𝑡) = (𝜑↑(𝑥, 𝑧, 𝑡)
𝜑↓(𝑥, 𝑧, 𝑡)), (2.2)
gdzie strzałka w górę (dół) oznacza amplitudę stanu własnego spinu zorientowanego równolegle (antyrównolegle) do osi 𝑧. Funkcja falowa elektronu będzie zależeć od dwóch zmiennych przestrzennych i czasu. Hamiltonian dla elektronu w tej reprezentacji zapiszemy w postaci macierzy kwadratowej
𝐻̂ = (𝐻̂0 0
0 𝐻̂0) + 𝐻̂𝑆𝑂. (2.3)
Pierwszy składnik zawiera energię kinetyczną elektronu i energię potencjalną w polu elektrostatycznym: 𝐻̂0(𝑥, 𝑧, 𝑡) = − ℏ2 2𝑚( 𝜕2 𝜕𝑥2+ 𝜕2 𝜕𝑧2) − |𝑒|𝜙(𝑥, 𝑦0, 𝑧, 𝑡), (2.4)
gdzie 𝜙(𝑥, 𝑦0, 𝑧, 𝑡) jest rozkładem „odczuwanego przez elektron” potencjału elektrostatycznego w studni kwantowej, której położenie oznaczone zostało przez 𝑦0. Potencjał ten pochodzi od napięć przyłożonych do elektrod i indukowanych na nich ładunków. Drugi składnik hamiltonianu (2.3) stanowi oddziaływanie spin-orbita (SO) [32, 33], wprowadzające sprzężenie pomiędzy pędem i spinem elektronu. Zakładamy dla uproszczenia, że studnia kwantowa jest na tyle symetryczna, że sprzężenie Rashby można pominąć [34, 35, 36] i w układzie występuje jedynie sprzężenie Dresselhausa [32]. Wtedy
𝐻̂𝑆𝑂 = ℏ𝑘𝑆𝑂
𝑚 (𝑝̂𝑥𝜎̂𝑥− 𝑝̂𝑧𝜎̂𝑧), (2.5)
szerokości studni kwantowej 𝑑, masy efektywnej elektronu 𝑚, i stałej sprzężenia w litym (kryształ objętościowy) półprzewodniku 𝛾: 𝑘𝑆𝑂 = 𝑚
ℏ2(
𝜋 𝑑)
2
𝛾.
Ewolucję czasową wartości oczekiwanych składowych wektora spinu możemy w najprostszym przybliżeniu prześledzić korzystając z twierdzenia Ehrenfesta:
𝜎̇𝑖 ≡ 𝑑 𝑑𝑡〈𝜎̂𝑖〉 = 1 𝑖ℏ〈[𝜎̂𝑖 , 𝐻̂]〉 = 1 𝑖ℏ〈[𝜎̂𝑖 , 𝐻̂𝑆𝑂]〉. (2.6)
Jeżeli zmienne spinowe i przestrzenne da się rozseparować, co dla słabych sprzężeń jest w dobrym przybliżeniu spełnione, funkcję falową można zapisać w postaci iloczynu funkcji przestrzennej i spinowej, a wartości oczekiwane składowych pędu i spinu można liczyć osobno*:
〈𝑝̂𝑖𝜎̂𝑗〉 = 〈𝑝̂𝑖〉〈𝜎̂𝑗〉 = 𝑝𝑖𝜎𝑗. (2.7)
Wtedy na ewolucję czasową składowych spinu uzyskujemy równania: 𝜎̇𝑥= 2𝑘𝑆𝑂 𝑚 𝑝𝑧𝜎𝑦, 𝜎̇𝑦 = − 2𝑘𝑆𝑂 𝑚 (𝑝𝑥𝜎𝑧+ 𝑝𝑧𝜎𝑥), 𝜎̇𝑧= 2𝑘𝑆𝑂 𝑚 𝑝𝑥𝜎𝑦. (2.8)
Równania (2.8) są niczym innym jak równaniami Blocha (dla przypadku braku relaksacji) opisującymi dynamikę spinu w obecności pola magnetycznego [37]. Dynamika ta w naszym przypadku sprowadza się do obrotów wektora spinu wokół efektywnego pola magnetycznego†
[25, 26]
𝑩eff = 2𝑘𝑆𝑂
𝛾𝑚 [𝑝𝑥, 0, −𝑝𝑧], (2.9)
które jest w ogólności zmienne w czasie. Dynamikę spinu można przedstawić jako obroty jednostkowego wektora, zaczepionego w początku układu współrzędnych, reprezentującego jednoznacznie na sferze, zwanej sferą Blocha, spin układu. Jeżeli zmusimy elektron do ruchu po prostokącie o bokach równoległych do osi 𝑥 i 𝑧, takich jak przedstawiona na rysunku 2.2.3(a), równania (2.8) możemy łatwo rozwiązać. Przy ruchu wzdłuż osi 𝑧 dla składowej 𝑥 spinu otrzymujemy:
𝜎𝑥(𝑡) = 𝜎𝑥(0)cos(2𝑘𝑆𝑂𝑝𝑧𝑡 𝑚⁄ ) + 𝜎𝑦(0)sin(2𝑘𝑆𝑂𝑝𝑧𝑡 𝑚⁄ ).
Ponieważ pochodna czasowa wartości oczekiwanej składowej 𝑧 położenia jest równa 𝑣𝑧 = 𝑝𝑧⁄𝑚, w czasie 𝑡 środek ciężkości elektronu przebywa odcinek 𝑑𝑧= 𝑣𝑧𝑡 = 𝑝𝑧𝑡/𝑚, rozwiązanie można zapisać jako funkcję drogi:
𝜎𝑥(𝑡) = 𝜎𝑥(0)cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) + 𝜎𝑦(0)sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧), dla pozostałych składowych spinu otrzymujemy:
* Tego typu przybliżenie, w którym pomijamy korelacje pomiędzy operatorami: 〈(𝑝
𝑖− 〈𝑝𝑖〉)(𝜎𝑗− 〈𝜎𝑗〉)〉 = 0, w
literaturze pojawia się w kontekście tzw. MFA (ang. Mean Field Approximation)—teorii pola średniego. † 𝛾 oznacza tutaj stosunek żyromagnetyczny.
𝜎𝑦(𝑡) = 𝜎𝑦(0)cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) − 𝜎𝑥(0)sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧),
𝜎𝑧(𝑡) = 𝜎𝑧(0).
W rezultacie, przy ruchu elektronu wzdłuż osi 𝑧 i po pokonaniu przez elektron odcinka drogi o długości 𝑑𝑧, następuje obrót trzech składowych wektora spinu, który jest realizowany przy pomocy macierzy obrotu:
𝑅𝑧(𝑑𝑧) = (
cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) 0 −sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧) 0
0 0 1
). (2.10)
Macierz ta (2.10) jest macierzą obrotu wokół osi −𝑧. Przy ruchu wzdłuż osi 𝑥 (𝑝𝑧 = 0), spin elektronu obraca się wokół osi 𝑥 a macierz obrotu ma postać:
𝑅𝑥(𝑑𝑥) = (
1 0 0
0 cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥) −sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥)
0 sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥) cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥)
), (2.11)
po pokonaniu przez elektron odcinka 𝑑𝑥. Podobne wyrażenie na macierz obrotu możemy znaleźć dla ruchu wzdłuż dowolnego innego kierunku. Zauważmy, że przy ruchu oscylacyjnym elektronu tam i z powrotem po tym samym torze, po powrocie elektronu do punktu wyjścia, jego spin powraca do wartości wyjściowej. Dzieje się tak, ponieważ:
𝑅𝑧(−𝑑) = 𝑅𝑧−1(𝑑) oraz 𝑅𝑥(−𝑑) = 𝑅𝑥−1(𝑑). (2.12)
Znak minus w argumencie macierzy obrotu oznacza ruch w kierunku przeciwnym. Podobna sytuacja ma miejsce przy dowolnie wybranym kierunku ruchu w przestrzeni i również przy zakrzywionych torach. Dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego układ jest niezmienniczy względem odwrócenia czasu 𝑡 → −𝑡, wtedy
[𝐻̂, 𝑇̂] = 0, bo w szczególności [𝐻̂𝑆𝑂, 𝑇̂] = 0,
gdzie 𝑇̂ jest operatorem odbicia w czasie [38]. Dzięki temu ruch z powrotem może być utożsamiony z ewolucją wstecz w czasie. Dlatego przy ruchu oscylacyjnym potrzebne jest pole magnetyczne 𝑩, które usuwa tę symetrię‡:
[𝑩 ∙ 𝝈, 𝑇̂] ≠ 0.
Pole to wymusza dodatkową niezależną od pędu precesję spinu elektronu wokół kierunku pola i pozwala na efektywny obrót spinu. Zatem zastosowanie zewnętrznego pola magnetycznego jest niezbędne w przypadku technik EDSR obrotu spinu.
Aby uzyskać obrót spinu bez użycia pola magnetycznego elektron wychylony z położenia wyjściowego musi do niego wrócić po innym torze np. obiegać po bokach prostokąta, lub zataczać inną zamkniętą pętlę. Zostało to zilustrowane na rysunku 2.2.2. Wtedy po powrocie elektronu do punktu wyjścia macierz obrotu spinu
‡ Usuwa tzw. degenerację Kramersa, związaną z symetrią względem odbicia w czasie dla układów o spinie połówkowym.
𝑅𝑥𝑧 = 𝑅𝑧(𝑑𝑧)𝑅𝑥(−𝑑𝑥)𝑅𝑧(−𝑑𝑧)𝑅𝑥(𝑑𝑥) = 𝑅𝑧(𝑑𝑧)𝑅𝑥−1(𝑑
𝑥)𝑅𝑧−1(𝑑𝑧)𝑅𝑥(𝑑𝑥) ≠ 1,
(2.13) nie jest macierzą jednostkową, ponieważ macierze obrotu wokół osi 𝑥 i – 𝑧 (2.11 i 2.10) nie komutują ze sobą—obroty (skończone) nie są na ogół przemienne.
Rys. 2.2.2. Zamiast oscylacyjnego ruchu elektronu tam i z powrotem po tym samym torze (lewa strona), jak to ma miejsce w technice typu EDSR wymuszania obrotów spinu, gdzie niezbędne jest zewnętrzne pole magnetyczne, proponujemy cykliczny ruch elektronu po zamkniętej pętli (po prawej), wtedy – po każdym cyklu – otrzymamy efektywną zmianę spinu, w zerowym polu magnetycznym!
Dla uzyskania wyrażeń analitycznych musieliśmy przyjąć ruch po prostoliniowych bokach prostokąta. Numerycznie możemy wykonać symulacje ruchu elektronu po praktycznie dowolnych krzywych zamkniętych. W tym celu rozwiązujemy iteracyjnie zależne od czasu równanie Schroedingera z hamiltonianem (2.3). Potencjał pola elektrostatycznego 𝜙(𝑥, 𝑦0, 𝑧, 𝑡) w wyrażeniu (2.4), znajdujemy rozwiązując równanie Poissona w trójwymiarowym obszarze przestrzennym obejmującym całe nanourządzenie. Ze względu na przyłożone do elektrod napięcie zmienne, oraz ruch elektronowej chmury ładunku, równanie Poissona rozwiązujemy w każdej chwili czasowej. Szczegóły metody omówimy w kolejnym podrozdziale—2.2.1.
Na rysunku 2.2.3 przedstawione są dwa zaproponowane układy elektrod sterujących położonych na nanostrukturze. Przy pierwszym układzie elektrod (a) można uzyskać tory spełniające wykorzystany w naszych uproszczonych rozważaniach analitycznych warunek narzucony na kształt torów. Pokazane na rysunku tory elektronu są liczone jako wartości oczekiwane składowych wektora położenia. Symulacje zostały przeprowadzone w sposób następujący. W chwili początkowej uformowano funkcję falową stanu podstawowego elektronu ze spinem równoległym do osi 𝑧. W tym celu pomiędzy podłoże i elektrody przyłożone zostały napięcia zgodnie z wyrażeniem (2.1) z podstawieniem 𝑡 = 0. Do poszukiwania stanu podstawowego użyta została iteracyjna metoda ewolucji w czasie urojonym [39] z jednoczesnym rozwiązywaniem równania Poissona w każdej iteracji. Dzięki temu znaleziona została funkcja falowa elektronu oraz rozkład elektrostatycznego potencjału uwięzienia w najniższym stanie energetycznym. Następnie została włączona iteracja zależnego od czasu równania Schroedingera. Do obliczeń wykorzystano dane materiałowe GaAs. Masę efektywną 𝑚 = 0.067 𝑚0, stałą dielektryczną 𝜀 = 12.5, a dla oddziaływania spin-orbita
charakterystyczny wektor falowy 𝑘𝑆𝑂= 0.00127 nm-1, co odpowiada szerokości studni kwantowej w GaAs około 14 nm. Tor A został uzyskany dla składowej stałej w (2.1) 𝑉d= −74.05 mV i amplitudzie napięcia zmiennego 𝑉a = 30 mV.
Rys. 2.2.3. Rozmieszczenie elektrod (kolor szary) na powierzchni nanourządzenia. Linie czerwone przedstawiają tory środka ciężkości elektronu dla (a) torów przybliżających prostokąt o bokach równoległych do osi 𝑥 i 𝑧, (b) dla torów nie spełniających tego warunku. (c) Diagram ruchu elektronu, niebieska kropka przedstawia położenie początkowe (𝑡 = 0).
2.2.1 Potencjał uwięzienia podczas ewolucji układu
Potencjał elektrostatyczny pojawiający się w równaniu (2.4) jest uzyskiwany poprzez rozwiązanie równania Poissona:
𝛁2Φ(𝒓, 𝑡) = −𝜌𝑒(𝒓, 𝑡)/𝜀0𝜀, (2.14)
w trójwymiarowym pudle obliczeniowym zawierającym strukturę naszego nanourządzenia, wraz z narzuconymi odpowiednimi warunkami brzegowymi.
Diagram przedstawiający przekrój przez urządzenie wraz zaznaczonym (linia przerywana) brzegiem pudła obliczeniowego znajdziemy na rysunku 2.2.5. Napięcia przyłożone do elektrod (zaznaczonych na zielono na rys. 2.2.5) wymuszają określone, zgodnie z równaniem (2.1) dla danej chwili ewolucji, wartości potencjału w obszarach gdzie znajdują się kolejne elektrody. Określoną (równą zeru) wartość potencjału (warunki brzegowe typu Dirichleta) narzucamy także na dolny brzeg (spód) pudła obliczeniowego, modelując w ten sposób silnie domieszkowane, uziemione podłoże. Na pozostałych brzegach narzucamy warunki (typu Neumanna) zerowania normalnej składowej pola elektrycznego: 𝒏 ∙ 𝑬 = 0, gdzie 𝒏 jest wektorem normalnym do powierzchni brzegu pudła. Ten ostatni warunek ma sens przy założeniu, że zawartość pudła (ujemny ładunek elektronu i dodatni ładunek indukowany na powierzchni elektrod i w podłożu) jest ładunkowo neutralna.
Równanie Poissona (2.14) rozwiązujemy iteracyjnie w każdym kroku ewolucji czasowej, aktualizując w ten sposób rozkład potencjału Φ(𝒓, 𝑡) przy zmieniających się w czasie: rozkładzie gęstości elektronowej 𝜌𝑒(𝒓, 𝑡), ładunku indukowanego, czy napięciach
przyłożonych do elektrod. Rozkład gęstości elektronowej otrzymujemy z postaci funkcji falowej (2.2):
zakładając, że ładunek elektronu znajduje się tylko w jednej warstwie siatki obliczeniowej, na wysokości 𝑦 = 𝑦0, odpowiadającej położeniu studni kwantowej w strukturze.§ By uniknąć
niefizycznego oddziaływania elektronu z samym sobą, od uzyskanego (całkowitego) potencjału Φ odejmujemy potencjał pochodzący od (ładunku) samego elektronu:
𝜙𝑒(𝒓, 𝑡) = 1
4𝜋𝜀0𝜀∫ 𝑑𝒓′
𝜌𝑒(𝒓′, 𝑡)
|𝒓 − 𝒓′|
uzyskując 𝜙(𝒓, 𝑡) = Φ(𝒓, 𝑡) − 𝜙𝑒(𝒓, 𝑡). Potencjał 𝜙(𝒓, 𝑡) ≡ 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), czyli potencjał
elektronu bez samooddziaływania, jest potencjałem uwięzienia pojawiającym się w równaniu (2.4). Jego aktualną postać, którą właśnie otrzymaliśmy rozwiązując równanie Poissona, uwzględnimy w kolejnej iteracji rozwiązywania zależnego od czasu równania Schroedingera uzyskując postać funkcji falowej układu w kolejnym kroku ewolucji czasowej. Cały proces powtarzamy wielokrotnie uzyskując ewolucję układu—podsumowane to zostało na diagramie zamieszczonym na rysunku 2.2.4. Metoda ta była z powodzeniem stosowana w pracach [28, 31, 40].
Rys. 2.2.4. Schemat procedury numerycznej rozwiązywania równania ewolucji czasowej układu. W rozdziale 2. modelujemy nanourządzenie w pełni, łącznie z elektrostatyką, poprzez rozwiązywanie równania Poissona w każdym kroku ewolucji czasowej. Chcemy bowiem pokazać jakie są możliwości i ograniczenia konkretnej, prezentowanej przez nas, realizacji urządzenia wykonującego obroty spinu elektronu. W rozdziale 3. Będzie nas interesował bardziej sam mechanizm przestrzennej separacji gęstości spinowej, stąd wystarczy nam wtedy (uproszczone) modelowanie potencjału uwięzienia zależnym od czasu wyrażeniem analitycznym, bez rozwiązywania równania Poissona.
§ Rozmycie ładunku w kierunku 𝑦 można uzyskać rozwiązując stacjonarne równanie Schroedingera dla
elektronu uwięzionego w prostokątnej studni potencjału wytworzonej przez dno pasma przewodnictwa w naszej heterostrukturze. Jednak symulacje pokazują, że kształt rozkładu ładunku w tym kierunku nie ma w praktyce wpływu na potencjał elektrostatyczny w nanourządzeniu, stąd – dla prostoty – wybieramy rozkład prostokątny o środku w 𝑦0 i szerokości równej krokowi siatki Δ𝑦: 𝛿(𝑦 − 𝑦0)/Δ𝑦.
Rys. 2.2.5. (lewa) Przekrój poprzeczny przez nanourządzenie generujące podróżującą elektrostatyczną kropkę kwantową, o środku zataczającym zamkniętą pętle w płaszczyźnie studni kwantowej— zaznaczonej na żółto. Linia przerywana wskazuje brzeg pudła obliczeniowego. (prawa) Przestrzenna wizualizacja urządzenia wraz z (zaznaczonymi na zielono) rozmieszczonymi na górnej powierzchni elektrodami bramek sterujących.
2.3 Wyniki symulacji działania nanourządzenia
Przejdźmy teraz do analizy wyników symulacji działania urządzenia. Ewolucja czasowa wartości oczekiwanych macierzy Pauliego 〈𝜎𝑥〉, 〈𝜎𝑦〉 i 〈𝜎𝑧〉 przedstawiona jest na rysunku 2.3.1, kolorami czarnym, niebieskim i czerwonym odpowiednio. W chwili początkowej składowe 𝑥 i 𝑦 spinu są równe 0. Dla składowej 𝑧: 〈𝜎𝑧〉 = 0.985 jest nieco mniejsza od 1, ponieważ w warunkach występowania oddziaływania spin-orbita, w stanie podstawowym spin nie jest dokładnie określony. Stany z określonym spinem przestają być stanami własnymi układu [32, 25], a spinowa liczba kwantowa nie jest już dobrą liczbą kwantową—staje się nią całkowity moment pędu: orbitalny plus spinowy. Jednakże domieszki stanów o przeciwnym spinie są w naszym przypadku niewielkie. Ich wielkość wzrasta wraz ze wzrostem sprzężenia spin-orbita i pochodzą od wzbudzonych stanów orbitalnych—sprzężenie spin-orbita nie miesza dwóch tych samych stanów orbitalnych o przeciwnym spinie [32, 41, 42].
Rys. 2.3.1. Wartości oczekiwane macierzy Pauliego 〈𝜎𝑥〉, 〈𝜎𝑦〉, 〈𝜎𝑧〉 w funkcji czasu dla toru A z rysunku
2.2.3(a) oznaczone kolorami czarnym, niebieskim i czerwonym odpowiednio.
Podczas każdego obiegu po torze, kosztem 〈𝜎𝑧〉 pojawia się niewielka wartość 〈𝜎𝑦〉, która zanika i przechodzi w 〈𝜎𝑥〉. Przyrosty i redukcje składowych spinu układają się w charakterystyczne schodkowe krzywe. Po ośmiokrotnym obiegu zamkniętego toru, 𝑧-towa składowa spinu całkowicie zanika, spin staje się równoległy do osi 𝑥 – uzyskujemy funkcję bramki Hadamarda. Po kolejnych ośmiu obiegach trajektorii 〈𝜎𝑥〉 ponownie się zeruje a 〈𝜎𝑧〉 jest bliska −1. Mamy funkcję bramki NOT. Podkreślmy, że uzyskane tutaj bramki są odpowiednikami bramki Hadamarda i bramki NOT. Realizują one te same działania, jednak ich postać macierzowa jest inna. Szczegółowo wyjaśnimy to w jednym z kolejnych podrozdziałów—2.5.
Liczba koniecznych obiegów krzywej zamkniętej zależy od rozmiarów toru i jest regulowana przez proporcje pomiędzy wartościami składowej stałej i zmiennej napięcia przyłożonego do elektrod. Żeby w chwilach końcowych uzyskać wartości 〈𝜎𝑥〉 (〈𝜎𝑧〉) możliwie bliskie 1 (–1) dla odpowiednika bramki Hadamarda (NOT) należy zgrać ze sobą w czasie
moment zerowania się odpowiednich składowych 〈𝜎𝑧〉 (〈𝜎𝑥〉) z zerem 〈𝜎𝑦〉. Płaska część krzywych 〈𝜎𝑥〉 i 〈𝜎𝑧〉 pojawia się, kiedy wartość 〈𝜎𝑦〉 jest bliska zeru (widać to dobrze w powiększeniu na rysunku 2.3.1 i kolejnych). Wykorzystujemy to, dobierając jedno z napięć (np. 𝑉d przy ustalonym 𝑉a) tak, że moment zakończenia działania bramki wypada gdy krzywe 〈𝜎𝑥〉 i 〈𝜎𝑧〉 (jako funkcje czasu) są płaskie. Dzięki temu wybór momentu, w którym zatrzymujemy zmiany napięć (na koniec działania bramek) przestaje być krytyczny.
Rys. 2.3.2. Wartości oczekiwane składowych spinu elektronu w funkcji czasu dla toru B z rysunku 2.2.3(b). Kolejne składowe 〈𝜎𝑥〉, 〈𝜎𝑦〉, 〈𝜎𝑧〉 oznaczone kolorami czarnym, niebieskim i czerwonym odpowiednio.
Na rysunku 2.2.3(b) przedstawiony jest alternatywny układ elektrod, w którym trajektorie nie dają się zbudować z odcinków równoległych do osi 𝑥 i 𝑧, ale w symulacjach numerycznych nie ma to znaczenia. Przy amplitudzie 𝑉a modulacji napięcia małej w
porównaniu ze składową stałą 𝑉d napięcia przyłożonego do elektrod uzyskujemy tory
przypominające okrąg. Tor B z rysunku 2.2.3(b) został uzyskany dla 𝑉d= −80 mV i 𝑉a= 16 mV.
Przy większej amplitudzie modulacji napięcia możemy powiększyć rozmiary zamkniętych torów. Tor C z rysunku 2.2.3(b) uzyskano dla 𝑉d = −80 mV i 𝑉a = 29.7 mV.
Zmienia się kształt toru, który zbliża się do prostokąta. Przebiegi składowych spinu pokazane są na rysunkach 2.3.2 (dla toru B) oraz 2.3.3 (dla toru C). Zmiany składowych spinów 〈𝜎𝑧〉 i
〈𝜎𝑥〉 również zachodzą schodkowo, ale amplituda składowej 〈𝜎𝑦〉 jest mniejsza, dzięki czemu
przestaje być krytyczny dokładny dobór napięć. Z przebiegu krzywych pokazanych na rysunkach 2.3.2 i 2.3.3 wynika, że zwiększając amplitudę składowej zmiennej napięcia uzyskujemy powiększenie torów i jednoczesne skrócenie czasu działania bramki.
Rys. 2.3.3. Wartości oczekiwane składowych spinu elektronu w funkcji czasu dla toru C z rysunku 2.2.3(b). Kolejne składowe 〈𝜎𝑥〉, 〈𝜎𝑦〉, 〈𝜎𝑧〉 oznaczone kolorami czarnym, niebieskim i czerwonym odpowiednio.
Czas ten można również skrócić zwiększając częstotliwość napięcia zmiennego, ale nie w dowolny sposób. Zwiększenie częstotliwości może doprowadzić do utraty adiabatyczności procesu. We wszystkich trzech przedstawionych symulacjach została założona częstotliwość 𝜈 = 9.5 GHz. Na rysunku 2.3.4 przedstawiony jest przykład symulacji przy częstotliwości 𝜈 = 22 GHz. Krzywą czerwoną zaznaczona została trajektoria dna jamy potencjału, w której uwięziony jest elektron. Krzywą niebieską—wartość oczekiwaną położenia elektronu. Trajektoria elektronu wykazuje oscylacje względem dna jamy potencjału elektronu. I co jest bardzo interesujące, ich częstotliwość jest zbliżona do częstotliwości ruchu klasycznego oscylatora harmonicznego przy potencjale stanowiącym paraboliczne przybliżenie uzyskanej przez nas jamy potencjału. Ruch elektronu jest bliski granicy adiabatyczności procesu. W przedstawionej symulacji energia całkowita powraca jeszcze do wartości początkowej przy każdym powrocie elektronu w pobliże elektrody 1, ale dalsze zwiększenie częstotliwości prowadzi do sytuacji, w której elektron zaczyna gromadzić energię i po pewnym czasie symulacji pakiet falowy się rozpada.
Do naszych obliczeń założyliśmy nanostrukturę zawierającą symetryczną studnię kwantową. Dlatego oddziaływanie Rashby, które również prowadzi do obrotów spinu, jest minimalne. W naszej nanostrukturze, stała sprzężenia Rashby jest ponad 50 razy mniejsza od stałej Dresselhausa. Uwzględnienie tego oddziaływania prowadzi do niewielkich zmian przebiegów czasowych składowych spinu, których nie można dostrzec na rysunkach. Stała sprzężenia Rashby w litym GaAs wynosi 𝛼3D = 0.044 nm2 [34]. Dla dwuwymiarowego gazu elektronowego jej wartość zależy od wartości pionowej (poprzecznej do studni) składowej pola elektrycznego 𝐸𝑦 (u nas pochodzącej od napięć przyłożonych pomiędzy elektrody a podłoże): 𝛼 = 𝛼3D|𝑒|𝐸𝑦. W naszym przypadku mamy 𝐸𝑦 ~ 0.4 mV nm-1, co daje 𝛼 = 0.02 meV nm. Z drugiej strony, stała sprzężenia Dresselhausa przyjmuje u nas wartość ℏ2𝑘
𝑆𝑂⁄𝑚=
1.48 meV nm. Jeżeli założylibyśmy asymetryczną studnię kwantową, taką jaka powstaje w typowej strukturze heterozłącza w modulacyjnie domieszkowanym tranzystorze polowym (MODFET), uwzględnienie sprzężenia Rashby byłoby konieczne.
Rys. 2.3.4. Zwiększona częstotliwość obiegu. Przebieg położenia minimum potencjału uwięzienia elektronu—krzywa czerwona. Trajektoria środka ciężkości elektronu—oscylująca niebieska krzywa.
2.4 Analityczne wyrażenia na dynamikę spinu
Chcemy teraz wyprowadzić wyrażenie analityczne na krzywe opisujące dynamikę składowych wektora spinu elektronu pokonującego wielokrotnie tor w kształcie zamkniętej pętli. Jeżeli kształt tej pętli może być przybliżony kwadratem, którego boki równoległe są do osi 𝑥 i 𝑧 (jak tor A z rysunku 2.2.3(a)), to złożenie czterech obrotów, czyli jeden pełny cykl dane jest wyrażeniem (2.13):
𝑅𝑥𝑧 = 𝑅𝑧(𝑑𝑧)𝑅𝑥−1(𝑑𝑥)𝑅𝑧−1(𝑑𝑧)𝑅𝑥(𝑑𝑥).
Ruch elektronu w kierunku 𝑥, na odcinku 𝑑𝑥 daje obrót spinu wokół osi 𝑥 o kąt 2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥,
reprezentowany przez macierz obrotu (2.11):
𝑅𝑥(𝑑𝑥)=(
1 0 0
0 cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥) −sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥)
0 sin(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥) cos(2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑥)
),
zaś ruch w kierunku 𝑧 na odcinku 𝑑𝑧, daje obrót spinu wokół osi – 𝑧 o kąt 2𝑘𝑆𝑂𝑑𝑧.
W ogólności ruch elektronu w kierunku wektora 𝒗1= [𝑎, 0, 𝑏] po pokonaniu odcinka 𝑑 = √𝑎2+ 𝑏2 daje obrót spinu wokół wektora [𝑎, 0, −𝑏] o kąt 2𝑘
𝑆𝑂𝑑, reprezentowany przez
macierz obrotu 𝑅1. Wyprowadźmy teraz jej postać: W ogólnym przypadku elementy macierzy obrotu w 3D (SO(3)) o kąt 𝜑 wokół unormowanego wektora 𝒏 = 𝑛𝑖𝒆
𝑖 (𝒆𝑖 – wersory bazy)
zadane są przez wyrażenie (parametryzacja Rodriguesa): 𝑂𝑘𝑖 = 𝑛𝑖𝑛𝑘+(𝛿𝑘𝑖 − 𝑛𝑖𝑛𝑘)cos𝜑 + 𝜀𝑝𝑘 𝑖 𝑛𝑝sin 𝜑,
gdzie 𝛿 oznacza deltę Kroneckera, a 𝜀 to epsilon Leviego-Civity. W naszym przypadku dla 𝒏 = [𝑎, 0, −𝑏]/𝑑 i 𝜑 = 2𝑘𝑆𝑂𝑑 otrzymujemy wyrażenie na macierz obrotu
𝑅1=𝑑12(
𝑎2(1 − cos 𝜑)+ 𝑑2cos 𝜑 𝑏𝑑 sin 𝜑 𝑎𝑏(cos 𝜑 − 1)
−𝑏𝑑 sin 𝜑 𝑑2cos 𝜑 −𝑎𝑑 sin 𝜑
𝑎𝑏(cos 𝜑 − 1) 𝑎𝑑 sin 𝜑 𝑏2(1 − cos 𝜑)+ 𝑑2cos 𝜑 ). 𝑣2 𝑧 𝑥 𝑏 𝑣1 𝑎 𝑏 −𝑎
Wyrażenie to wynika z postaci hamiltonianu oddziaływania spin-orbita (2.5) w układzie, który sprzęga ruch postępowy elektronu z jego spinem. Sprzężenie to może być z powodzeniem reprezentowane przez obroty spinu wokół zależnego od pędu efektywnego pola magnetycznego (2.9). Sprawdziliśmy to przed chwilą na przykładzie obrotów 𝑅𝑥 i 𝑅𝑧. Powyższą macierz 𝑅1 można zapisać wykorzystując tożsamość 𝑂 = exp(𝜑𝐴), gdzie elementy 𝐴𝑘𝑖 = 𝜀
𝑝𝑘 𝑖 𝑛𝑝, jako 𝑅1= exp(𝜑𝐴), oraz 𝐴 =1 𝑑( 0 𝑏 0 −𝑏 0 −𝑎 0 𝑎 0 ). (2.15)
W sposób analogiczny możemy wyprowadzić macierz obrotu spinu dla ruchu elektronu w kierunku wektora 𝒗2=[𝑏, 0, −𝑎] prostopadłego do 𝒗1:
𝑅2= exp(𝜑𝐵), oraz 𝐵 = 1 𝑑( 0 −𝑎 0 𝑎 0 −𝑏 0 𝑏 0 ). (2.16)
Po wyprowadzeniu macierzy 𝑅1 i 𝑅2 możemy wreszcie napisać wyrażenie na macierz obrotu spinu po przejściu przez elektron pełnego cyklu po zamkniętym torze obiegającym boki o długości 𝑑 kwadratu wyznaczonego przez wektory 𝒗1 i 𝒗2 (rysunek 2.4.1):
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅2−1(𝑑)𝑅1−1(𝑑)𝑅2(𝑑)𝑅1(𝑑).
Zastosujmy teraz przybliżenie, w którym chcemy zgubić strukturę schodkową związaną z pojedynczym cyklem, a raczej odtworzyć trend krzywych opisujących dynamikę składowych wektora spinu po wielu cyklach. W tym celu możemy założyć, że obroty spinu związane z pokonaniem boku 𝑑 kwadratu zamkniętego toru są małe. Symbolicznie zapiszemy to jako
𝜑 = 2𝑘𝑆𝑂𝑑 → 2𝑘𝑆𝑂𝛿.
Wtedy, wykorzystując rozwinięcie eksponenty (2.15), możemy zapisać: 𝑅1(𝑑) = 13 + 2𝑘𝑆𝑂𝑑 𝐴 +(2𝑘𝑆𝑂𝑑)2 𝐴2 2 + 𝑂(𝛿 3), i wziąć przybliżenie: 𝑅1(𝛿) ≅ 13+ 2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐴 + (2𝑘𝑆𝑂𝛿)2 𝐴2 2 , (2.17)
Podobnie dla 𝑅2(𝛿) rozwijając (2.16). Jak się potem okaże nietrywialny wkład po każdym cyklu uzyskamy składając rozwinięcia do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2). Im mniejsza długość boku,
tym przybliżenie to będzie lepiej pracowało, o czym przekonamy się, zauważając że im mniejszy rozmiar zamkniętego toru, tym przebiegi dynamiki składowych spinu bardziej przypominają krzywą gładką. Tym samym będą lepiej przybliżane przez wyrażenia analityczne, które wyprowadzimy. Można to zobaczyć porównując przebiegi na rysunkach 2.3.2 i 2.3.3. Z drugiej strony zauważmy, że gdyby rozmiary toru zmierzały do zera: 𝛿 → 0, wtedy po przejściu cyklu – w granicy – mamy złożenie czterech macierzy reprezentujących nieskończenie małe obroty, które są zawsze przemienne. Wtedy
co oznacza, ze spin po każdym cyklu pozostaje niezmieniony i obroty w układzie znikają. W rezultacie zakładamy, że obroty związane z przejściem pojedynczego boku kwadratu są małe, ale skończone.
Policzmy teraz wkład do obrotów spinu po przejściu jednego cyklu zamkniętego toru, wykorzystując rozwinięcia (2.17). Będą nas interesowały wyrazy rzędu 𝑂(𝛿2). Proste, ale
żmudne, mnożenie macierzy daje (oczywiście 𝑅−1(𝛿) = 𝑅(−𝛿)):
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅2−1(𝛿)𝑅 1−1(𝛿)𝑅2(𝛿)𝑅1(𝛿) = 13+ (2𝑘𝑆𝑂𝛿)2( 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ) + 𝑂(𝛿3). (2.18)
Ten sam wynik można uzyskać dużo szybciej wykorzystując wzór Bakera-Campbella-Hausdorffa na mnożenie eksponent dwóch nieprzemiennych elementów:
ln(𝑒𝑋𝑒𝑌) = 𝑋 + 𝑌 +1
2[𝑋, 𝑌] + ⋯.
W naszym przypadku otrzymujemy, z dokładnością do pierwszego nietrywialnego, nieznikającego wyrazu: ln(𝑅𝑎𝑏) = ln(𝑅2−1(𝛿)𝑅 1−1(𝛿)𝑅2(𝛿)𝑅1(𝛿)) = = ln(𝑒−2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐵𝑒−2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐴𝑒2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐵𝑒2𝑘𝑆𝑂𝛿 𝐴) ≅ (2𝑘 𝑆𝑂𝛿)2[𝐵, 𝐴]. Po obliczeniu komutatora: [𝐵, 𝐴] = ( 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ) ≡ 𝐶, Uzyskujemy zgodność z wyrażeniem (2.18).
W ostatnim kroku zauważmy, że wkład do obrotów spinu po pojedynczym cyklu (2.18) jest (z dokładnością do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2)) obrotem o kąt (2𝑘
𝑆𝑂𝛿)2 odbywającym się w
czasie 𝛿𝑡 = 2𝜋/𝜔 (ze wzoru (2.1)), stąd ich częstość Ω =(2𝑘𝑆𝑂𝛿)2
2𝜋/𝜔 = 2𝑘𝑆𝑂
2 𝛿2𝜔/𝜋. (2.19)
Zaś wkład od wielu (𝑁) cykli zapiszemy jako: 𝑅 = 𝑅𝑎𝑏𝑁 = (13+ 𝛺𝛿𝑡 𝐶)𝑁= (1 3 + 𝛺𝑡 𝑁 𝐶) 𝑁 , Co w granicy dużych 𝑁 daje zależność eksponencjalną:
𝑅(𝑡) = 𝑒𝛺𝑡 𝐶 = (
cos(Ω𝑡) 0 sin(Ω𝑡)
0 1 0
−sin(Ω𝑡) 0 cos(Ω𝑡)
). (2.20)
Uzyskana macierz (2.20) reprezentuje obroty składowych wektora spinu wokół osi 𝑦 z częstością Ω (2.19), której wartość zależy od sprzężenia spin-orbita ~𝑘𝑆𝑂2 , pola powierzchni
zamkniętego toru, po którym porusza się elektron ~𝛿2 i częstości 𝜔 obiegu elektronu po
zamkniętym torze.
Jeżeli w chwili początkowej wektor spinu jest skierowany zgodnie z osią 𝑧, to w dowolnej chwili 𝑡 składowe spinu
𝝈a(𝑡) = [𝜎𝑥a(𝑡), 𝜎𝑦a(𝑡), 𝜎𝑧a(𝑡)] 𝑇 = 𝑅(𝑡)𝝈a(0) = 𝑅(𝑡)[0,0,1]𝑇, co daje w rezultacie: 𝜎𝑥a(𝑡) = sin(Ω𝑡), 𝜎𝑦a(𝑡) = 0, 𝜎𝑧a(𝑡) = cos(Ω𝑡). (2.21)
W naszym wyprowadzeniu zastosowaliśmy dwa przybliżenia. W pierwszym, wkład do obrotów spinu po jednym cyklu wzięliśmy z dokładnością do wyrazów rzędu 𝑂(𝛿2)). W
drugim zaś, założyliśmy, że wkłady do efektywnych obrotów spinu po każdym cyklu są małe i jest ich wiele. Porównajmy teraz uzyskane wyrażenia analityczne (2.21 i 2.19) na krzywe opisujące dynamikę składowych wektora spinu elektronu z przebiegami uzyskanymi w symulacjach. Najwygodniej można to zrobić porównując częstość obrotów spinu uzyskaną w symulacjach, z częstością wyznaczoną analitycznie. W ten sposób przetestujemy ogólną hipotezę, że częstość obrotów spinu zależy tylko od pola powierzchni zataczanej przez elektron pętli. Nie zależy zaś od kształtu samej pętli, czy jej orientacji w przestrzeni. Podstawiając 𝛿2 →
𝑆 do równania (2.19), gdzie 𝑆 oznacza pole powierzchni pętli, uzyskujemy: Ω = 2𝑘𝑆𝑂2 𝜔/𝜋 𝑆. (2.22)
W celu weryfikacji tej zależności wykonaliśmy serię symulacji obrotów spinu w naszym nanourządzeniu. We wszystkich tych symulacjach napięcie 𝑉d (równanie (2.1)) było równe −80 mV. Zmienialiśmy natomiast 𝑉a biorąc wartości z przedziału od 15 mV do 30 mV— dwadzieścia jeden punktów w równych odległościach. W ten sposób uzyskano różne przebiegi z-owych składowych spinu (jak na rysunkach 2.3.1, 2.3.2 i 2.3.3) dla różnych torów ruchu elektronu, a zatem o różnej powierzchni zataczanej pętli. Dla każdej symulacji wyznaczono (numerycznie) powierzchnię tej pętli oraz częstość obrotów spinu. Na rysunku 2.4.2 wykreślono zależność częstości obrotów od powierzchni pętli dla każdej symulacji— dwadzieścia jeden punktów. Dodatkowo oznaczono rezultat dla toru B—czerwony punkt i toru C—pomarańczowy**. W ten sposób uzyskaliśmy – w symulacjach – częstości obrotów spinu
dla torów o różnej, zmieniającej się stopniowo od toru B do C, powierzchni i kształcie. Z drugiej strony wyznaczono prostą analityczną zgodnie z równaniem (2.22):
Ω/2𝜋 = 𝑎 𝑆, (2.23)
gdzie 𝑆 jest powierzchnią zataczanej przez elektron pętli. Wartość współczynnika nachylenia 𝑎 = 0.0097 MHz nm-2, została obliczona dla 𝑘𝑆𝑂 = 0.00127 nm-1 oraz ω/2𝜋 = 9.55 GHz,
czyli dla parametrów z symulacji. W równaniu (2.22) 𝑆 jest wyrażona w nm2, zaś Ω/2𝜋 w
MHz.
** W przybliżeniu, bo napięcia 𝑉
a były tutaj równe 15.75 mV i 30 mV, zamiast 16 mV i 29.7 mV, odpowiednio
Rys. 2.4.2. Porównanie zależności częstości obrotów spinu od pola powierzchni zataczanej przez elektron zamkniętej pętli dla symulacji—punkty i uzyskanej analitycznie—niebieska prosta.
Prosta analityczna—niebieska linia na rysunku 2.4.2, zaskakująco dobrze odtwarza wyniki uzyskane w symulacjach. Zatem potwierdziliśmy dwie obserwacje: (1) Częstość obrotów spinu jest proporcjonalna do pola powierzchni zataczanej przez elektron pętli, niezależnie od jej kształtu. (2) Zależność tę można wyprowadzić stosując prosty analityczny model składania obrotów spinu elektronu, zależnych od aktualnie przebytej przez ten elektron drogi (indukowanych przez oddziaływanie spin-orbita). Zarówno w symulacjach jak i modelu analitycznym przyjęliśmy założenie: by uzyskać pełny obrót spinu, elektron wielokrotnie przebywa tę samą drogę w postaci zamkniętej pętli, w stałym czasie 2𝜋/𝜔.
Zauważmy, że na rysunku 2.4.2, dla dużych częstotliwości mamy nieco większą różnicę pomiędzy prostą analityczną a punktami reprezentującymi symulacje. Dzieje się tak, gdyż wyznaczona numerycznie częstotliwość Ω/2𝜋 jest tutaj obarczona większym błędem, z uwagi na przybliżoną metodę jej uzyskiwania: w każdej symulacji wyznaczano czas przejścia 〈𝜎𝑧〉 przez zero i stąd częstość obrotów spinu. W przebiegach dla dużych częstotliwości obrotów spinu bardziej widoczna jest struktura schodkowa (związana z pojedynczym obiegiem pętli)— tak jak dla przebiegu z rysunku 2.3.3, dla toru C; niż dla przebiegu z rysunku 2.3.2, dla toru B. Dlatego tutaj mamy nieco większy błąd niż w obszarze mniejszych częstotliwości. Pole powierzchni 𝑆 wyznaczano dokładnie, sumując przyczynek do powierzchni (pole powierzchni zatoczone przez promień wodzący środka masy elektronu) w każdym kroku numerycznym, aż do przejścia 〈𝜎𝑧〉 przez zero i dzieląc sumę przez liczbę cykli zataczanych przez elektron po torze. Liczba cykli = # iteracji × d𝑡 × 𝜔/2𝜋.
Układ będący w stanie niezdegenerowanym przeprowadzamy adiabatycznie poprzez zamkniętą pętle w przestrzeni parametrów (w naszym przypadku tym parametrem jest położenie minimum potencjału uwięzienia elektronu). Wtedy jego stan prócz „zwykłej” fazy dynamicznej, zależnej od energii stanu i czasu, będzie nabywał wkład do fazy, który zależy tylko od geometrii pętli w przestrzeni parametrów. Wkład ten nazywamy fazą Berry’ego (inaczej fazą geometryczną) [43, 27]. Jeżeli jednak stan ten należy do zdegenerowanej podprzestrzeni, ta dodatkowa faza będzie związana z nieabelową transformacją unitarną w podprzestrzeni degeneracji [44, 27]. Również tutaj ta transformacja zależy tylko od geometrii
tor C
pętli. Tę nieabelową fazę geometryczną nazywamy uogólnioną fazą Berry’ego. W naszym przypadku tymi nieabelowymi transformacjami są (nieprzemienne) obroty spinu elektronu w (zdegenerowanej—nie mamy w układzie pola magnetycznego: degeneracja Kramersa††)
podprzestrzeni rozpiętej na stanach „spin do góry” oraz „spin w dół”.‡‡
Zatem obroty spinu, związane z uogólnioną fazą Berry’ego, zależą tylko od geometrii pokonywanej przez elektron pętli. My dodatkowo pokazaliśmy, że w przypadku wielokrotnego pokonywania przez elektron tej samej pętli, obrót spinu zależy tylko od pola powierzchni tej pętli. Do podobnego wniosku dochodzą autorzy w pracy [26]. W [45] eksperymentalnie badano (uogólnioną) fazę geometryczną przy transporcie elektronów przez układ pierścieni. Analityczne wyrażenia na fazę geometryczną dla elektronu (jednokrotnie) pokonującego pierścień możemy znaleźć w [46, 27].
Im mniejszy rozmiar zamkniętego toru, tym zastosowane przez nas przybliżenia lepiej pracują: dokładne (uzyskane w symulacji) przebiegi czasowe składowych spinu zmierzają do tych, uzyskanych analitycznie. Wyrażenia analityczne nie odtwarzają schodkowej struktury krzywych dokładnych, związanej z pojedynczym cyklem ruchu elektronu, ale taki właśnie był nasz cel. Również, im mniejszy rozmiar zamkniętego toru – pętli, tym więcej cykli po pętli potrzebujemy by efektywnie obrócić spin – wkład od pojedynczego cyklu jest mniejszy.
Zauważmy, że w uzyskanych wyrażeniach analitycznych zgubiliśmy informację o kierunku wektorów 𝒗1 i 𝒗2. Ułożenie w przestrzeni, również sama geometria zamkniętego toru
wpływa tylko na (schodkową) strukturę przebiegów czasowych składowych wektora spinu. Nie wpływa natomiast na same (efektywne) obroty spinu w układzie. W rezultacie, niezależnie od ułożenia, geometrii toru elektronu, w naszym układzie możemy uzyskać obroty tylko wokół jednej osi. Geometria toru wpływa na obroty spinu tylko w taki sposób, że częstość Ω obrotów spinu zależy od pola powierzchni zamkniętego toru. Fakt, że możemy wykonywać obroty tylko wokół jednej osi wpłynie na zakres (możliwych) konstruowanych bramek w naszym układzie. Zajmiemy się tym problemem w kolejnym podrozdziale—2.5.
†† Degeneracja Kramersa: p. przypis na stronie 20.
‡‡ Dokładnie rzecz biorąc powinniśmy mówić o stanach własnych spinu przy obecnym oddziaływaniu spin-orbita, czyli tzw. pseudo-spinu. Jednak dla stanów elektronowych w naszym nanourządzeniu „ubrane” (w oddziaływanie spin-orbita) stany własne pseudo-spinu tylko nieznacznie się różnią od stanów własnych „czystego” spinu—p. uwaga na wstępie rozdziału 2.3. Oczywiście oddziaływanie spin-orbita nie usuwa degeneracji Kramersa.
2.5 Możliwe bramki kwantowe
W podrozdziale 2.3, w którym przedstawiliśmy wyniki symulacji działania proponowanego przez nas nanourządzenia, powiedzieliśmy, że przedstawione tam bramki są odpowiednikami kwantowych bramek Hadamarda i NOT. Odpowiednikami, bo realizują te same zadania, ale ich postać macierzowa jest nieco inna. Interesującym jest teraz wyjaśnienie, dlaczego nie możemy skonstruować bramek o tożsamej postaci.
Powody są dwa i oba nakładają ograniczenia na postać macierzy reprezentujących bramki. Pierwszy – fundamentalny – wynika z faktu, że w układach w których jedynymi możliwymi transformacjami spinu są obroty w 3D (elementy grupy SO(3)), macierze unitarne reprezentujące te obroty muszą być elementami grupy SU(2) [38], reprezentowanymi przez macierze unitarne 2 × 2 z wyznacznikiem równym 1. Moduł wyznacznika dowolnej macierzy unitarnej, tworzącej grupę U(2), jest zawsze równy 1, my dodatkowo żądamy by sam wyznacznik był równy 1, uzyskując w ten sposób elementy grupy SU(2), będącej podgrupą U(2). Po drugie, co zobaczyliśmy w poprzednim podrozdziale, w naszym układzie możemy generować tylko obroty wokół jednej osi.
Operacja Hadamarda [47], reprezentowana w przestrzeni U(2) przez macierz 𝐻 = 1
√2(
1 1
1 −1),
przeprowadza stany bazowe |0⟩ = (1
0) i |1⟩ = ( 0
1) w ich zrównoważoną kombinację liniową: 𝐻|0⟩ = 1 √2( 1 1 1 −1) ( 1 0) = 1 √2( 1 1) = 1 √2(|0⟩ + |1⟩), (2.24) oraz 𝐻|1⟩ = 1 √2( 1 1 1 −1) ( 0 1) = 1 √2( 1 −1) = 1 √2(|0⟩ − |1⟩). (2.25)
Doprowadzenie stanu układu do stanu kwantowego będącego zrównoważoną kombinacją wszystkich stanów bazowych jest działaniem niezbędnym w wielu algorytmach kwantowych. Wyznacznik 𝐻 jest równy −1, czyli 𝐻 jest odbiciem a nie obrotem, należy do przestrzeni U(2), ale nie do SU(2). Ważna własność: 𝐻2 = 1.
Macierzą, która realizuje funkcje bramki Hadamarda (2.24) oraz (2.25) z dokładnością do znaku, i jednocześnie reprezentuje macierz obrotu, tutaj wokół osi 𝑦, jest [48]
𝐻𝑦 = 1 √2( 1 −1 1 1 ). Łatwo to pokazać: 𝐻𝑦|0⟩ = 1 √2(|0⟩ + |1⟩), oraz 𝐻𝑦|1⟩ = − 1 √2(|0⟩ − |1⟩).
𝐻𝑦 reprezentuje obrót wokół osi 𝑦 o kąt 𝜋/2 i jest naszym odpowiednikiem bramki Hadamarda z podrozdziału 2.3. Podobnie, stosowanym przez nas odpowiednikiem bramki NOT jest bramka −𝑖𝑌 = (𝐻𝑦)2:
