Niedopasowanie czasów

Wielkościami które trzeba dopasować, by cały proces przebiegał poprawnie – rozseparowanie gęstości spinowej było maksymalne – są: częstość oscylacji sprzężenia spin-orbita 𝜔, dopasowana tak by 𝜔 = ℏ𝐽, i czasy 𝑡_α−off oraz 𝑡_barr. Parametr 𝐽 – całka wymiany – jest funkcjonałem potencjału uwięzienia w kropkach, w naszym przypadku uformowanych w nanodrucie. Może być modelowany analitycznie, w zależności od typu kropek. Jednak rzeczywista jego wartość silnie zależy od konkretnej realizacji układu. Typowe wartości energii wymiennej dla kropki (pojedynczej, zerowa bariera) o rozmiarach rzędu 200 nm, to 1 meV (GaAs [166]), 5 meV (InSb [167]).

Dla danej chwili 𝑡_α−off (stan jest zrównoważoną kombinacją singletu i trypletu) trzeba dopasować 𝑡_barr—czas narastania bariery, tak by po jej podniesieniu spiny były maksymalnie rozseparowane. Właściwe dobranie 𝑡_α−off zapewnia tylko, że amplituda z-owej składowej wektora spinu w kropce 〈𝑠_𝑧〉_𝐿^e jest 1 (w przestrzeni 𝑆̃, wektor 𝒔_𝐿e jest w płaszczyźnie YZ). Jednak w wyniku procesu wymiany spinu pomiędzy kropkami wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿^e nie jest stała (𝒔_𝐿e wykonuje obroty z częstością ℏ𝐽 wokół osi x w 𝑆̃). Przy podnoszeniu bariery wartość 𝐽 spada (częstość obrotów maleje). Należy tak dobrać 𝑡_barr, by przy wyzerowaniu 𝐽, 𝒔_𝐿e był równoległy do osi z. Podniesienie bariery stabilizuje spin w kropkach—dalsza wymiana nie następuje. Zapewnia również przestrzenną separację gęstości spinowej (spinu) w obu obszarach.

Okazuje się jednak, że nawet gdy pierwszy z czasów 𝑡_α−off będzie niedokładnie dopasowany, to można dostroić drugi 𝑡_barr (w pewnym zakresie), by w rezultacie uzyskać separacje spinów. By zrozumieć, w jakim zakresie tolerancji możemy sobie pozwolić na takie niedopasowanie i jak to wpływa na samą separacje, rozważmy następujące rozumowanie.

Pod koniec ewolucji przy podniesionej barierze między kropkami, poprawnie pracuje przybliżenie jednocząstkowe: |𝑆⟩ → ¹ √2(𝜑_𝐿(𝑥₁)𝜑_𝑅(𝑥₂) + 𝜑_𝑅(𝑥₁)𝜑_𝐿(𝑥₂)) ( 0 1 −1 0 ) = ¹ √2(𝜒_𝐿𝑅+ 𝜒_𝑅𝐿) ( 0 1 −1 0 ), |𝑇₀⟩ → ¹ √2(𝜒_𝐿𝑅− 𝜒_𝑅𝐿) ( 0 1 1 0 ),

gdzie oznaczyliśmy iloczyny funkcji jednocząstkowych jako: 𝜒_𝐿𝑅 ≡ 𝜑_𝐿(𝑥₁)𝜑_𝑅(𝑥₂), oraz 𝜒_𝑅𝐿 ≡ 𝜑_𝑅(𝑥₁)𝜑_𝐿(𝑥₂). Wtedy |Ψ⟩ = 𝑠|𝑆⟩ + 𝑡|𝑇₀⟩ → ¹ √2( 0 (𝑠 + 𝑡)𝜒_𝐿𝑅+ (𝑠 − 𝑡)𝜒_𝑅𝐿 (𝑡 − 𝑠)𝜒_𝐿𝑅− (𝑠 + 𝑡)𝜒_𝑅𝐿 0 ) = ¹ √2( 0 𝜓₂ 𝜓₃ 0 ),

gdzie 𝑠 ≡ 〈𝑆 ∣ 𝛹〉 jest amplitudą stanu singletowego, a 𝑡 ≡ 〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉 amplitudą stanu trypletowego w ich kombinacji liniowej. Składowa z-owa spinu w kropce lewej, z równań (3.22 i 3.21): 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 = ℏ∫ 0 𝑙/2 𝑑𝑥₁∫ 0 𝑙 𝑑𝑥₂𝛹†(𝑥₁, 𝑥₂) 𝜎_𝑧⊗1₂ 𝛹(𝑥₁, 𝑥₂) = ℏ∫ 0 𝑙/2 𝑑𝑥₁∫ 0 𝑙 𝑑𝑥₂(𝜓₂^*𝜓₂ − 𝜓₃^*𝜓₃).

W przybliżeniu jednocząstkowym możemy pominąć wyrazy mieszane typu 𝜒_𝐿𝑅* 𝜒_𝑅𝐿. Po uproszczeniu uzyskamy 〈𝑠_𝑧〉_𝐿= ℏRe{𝑠^*𝑡}. Niech

𝑠 = √1/2 + 𝜀 𝑒^𝑖𝜑𝑠, oraz

𝑡 = √1/2 − 𝜀 𝑒^𝑖𝜑𝑡.

Oczywiście |𝑠|²+ |𝑡|² = 1, zaś odległość pomiędzy krzywymi opisującymi |𝑠|²=|〈𝑆 ∣ 𝛹〉|² i |𝑡|2=|〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉|² wynosi 2𝜀. Po wyłączeniu oscylacji 𝛼, wartość 𝜀 się nie zmienia—pozostaje stała do końca ewolucji. Podstawiając powyższe, ostatecznie uzyskujemy analityczne wyrażenie na 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 postaci:

〈𝑠_𝑧〉_𝐿 =^ℏ

2√1 − 4𝜀2 cos(𝜑_𝑡− 𝜑_𝑠) =^ℏ

2√1 − 4𝜀2 cos(𝛥𝜑). (5.1)

By przebadać słuszność takiego podejścia, wykonano wiele symulacji dla różnego (nie)dopasowania parametrów.

Rys. 5.1. Mapa wartości spinu w kropce lewej pod koniec procesu separacji w zależności od odchylenia wartości parametrów pracy urządzenia: chwili wyłączenia oscylacji sprzężenia (start podnoszenia bariery) 𝑡_α−off oraz czasu narastania bariery 𝑡_barr, od ich wartości optymalnych.

Na rysunku 5.1 przedstawiono rezultaty wielu symulacji. Dla danej konfiguracji urządzenia znaleziono optymalne czasy: wyłączenia stałej sprzężenia 𝑡_α−off0 i czasu narastania bariery t_barr0 . Dla tych wartości parametrów, uzyskana wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 jest bliska 1: 0.995 (ℏ/2). Miejsce reprezentujące ten wynik możemy znaleźć na powyższej mapie dla 𝑡_α−off = 𝑡_α−off⁰ i 𝑡_barr = 𝑡_barr⁰ , czyli w punkcie (0,0). Następnie zmieniano (odchylano) wartości parametrów od optymalnych i uzyskiwano w rezultacie wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 reprezentowaną przez odpowiedni kolor na mapie. Odchyłka czasu wyłączenia (oscylacji) stałej sprzężenia 𝑡_α−off od wartości optymalnej 𝑡_α−off0 wyrażona jest w jednostkach okresu oscylacji sprzężenia 𝛼. Zaś odchyłkę czasu narastania bariery znormalizowano dzieląc przez wartość optymalną 𝑡_barr0 . Zrobiono to z uwagi na fakt, że dla różnych czasów narastania pomyłka (o jednostkę czasu) ma różne znaczenie.

Prócz wyznaczenia wartości 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 na koniec każdej symulacji (punkt na mapie), dla każdej z nich obliczono wartość 𝜀 (w chwili 𝑡_α−off) i 𝛥𝜑 (na koniec ewolucji). Od momentu wyłączenia oscylacji sprzężenia spin-orbita wartość 𝜀 przestaje się zmieniać, zaś różnica faz 𝛥𝜑, pomiędzy amplitudą 𝑠 stanu singletowego, a amplitudą 𝑡 stanu trypletowego w stanie układu, może się zmieniać aż do momentu całkowitego podniesienia bariery. Dzięki temu możemy teraz porównać mapę uzyskaną w wyniku symulacji z tą, otrzymaną analitycznie, równanie (5.1):

〈𝑠_𝑧〉_𝐿 =^ℏ

2√1 − 4𝜀2cos(𝛥𝜑).

Uzyskana zgodność jest bardzo dobra, a różnice nie przekraczają 0.5 %. W szczególności możemy przedstawić zależność 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 od 𝜀 dla wszystkich symulacji – zielone punkty na rysunku 5.2 – jakie wykonano by wygenerować mapę z rysunku 5.1.

Rys. 5.2. Wartości spinu w kropce lewej pod koniec procesu separacji (zielone punkty), uzyskane dla wielu różnych symulacji, w zależności od odległość pomiędzy krzywymi |〈𝑆 ∣ 𝛹〉|2 i |〈𝑇₀∣ 𝛹〉|² w chwili 𝑡_α−off, która wynosi 2𝜀. Widać, że wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 dla każdej symulacji jest ograniczona przez krzywą ±√1 − 4𝜀2 (czerwona/niebieska).

Podobnie, możemy wykreślić zależność 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 od różnicy faz 𝛥𝜑, rzutu aktualnego stanu układu na aktualny stan trypletowy 〈𝑇₀ ∣ 𝛹〉 i rzutu aktualnego stanu układu na aktualny stan singletowy 〈S ∣ 𝛹〉, dla wszystkich tych symulacji—czerwone punkty na rysunku 5.3. W przypadku niedopasowania parametru 𝑡_α−off—zbyt wczesne lub późne wyłączenie stałej sprzężenia (niezerowa wartość 𝜀), maksymalna wartość, jaką może osiągnąć 〈𝑠_𝑧〉_𝐿, to

ℏ

2√1 − 4𝜀2, i maksimum to osiągniemy dla 𝛥𝜑 = 0.

Przebadajmy teraz zależność pomiędzy parametrami które pojawiły się (najpierw) w oszacowaniu analitycznym (5.1) niedopasowania parametrów: 𝜀 i 𝛥𝜑, a parametrami typowo „operacyjnymi” działania urządzenia: 𝑡_α−off i 𝑡_barr. Po pierwsze wykreślmy zależność 𝜀 od 𝑡_α−off dla różnych symulacji—rysunek 5.4.

Rys. 5.3. Wartości spinu w kropce lewej pod koniec procesu separacji (czerwone punkty), uzyskane dla wielu różnych symulacji, w zależności od wartości różnicy faz 𝛥𝜑 wyznaczonej na koniec każdej symulacji. Widać, że wartość 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 dla każdej symulacji jest zadana krzywą cos(𝛥𝜑) o amplitudzie √1 − 4𝜀2.

Rys. 5.4. Parametr 𝜀 zmienia się monotonicznie wraz z odchyłką czasu wyłączenia oscylacji stałej sprzężenia 𝑡_α−off od wartości optymalnej 𝑡_α−off0 .

Po drugie, możemy wykreślić zależność 𝛥𝜑 od czasów 𝑡_α−off i 𝑡_barr dla różnych symulacji. Na rysunku 5.5 znajdziemy zależność od pierwszego z tych parametrów, wykreślona tutaj dla tych symulacji, dla których drugi parametr jest dopasowany: 𝑡_barr= 𝑡_barr⁰ .

Rys. 5.5. Różnica faz 𝛥𝜑 zależy liniowo (z dokładnością do modulo 2𝜋) od czasu wyłączenia oscylacji stałej sprzężenia 𝑡_α−off.

Proste dopasowanie liniowe daje (z dokładnością do modulo 2𝜋) współczynnik nachylenia równy 6.23 w jednostkach 𝜔/2𝜋, czyli 0.99 w jednostkach 𝜔. Na rysunku 5.5 𝑡_α−off − 𝑡_α−off⁰ jest wyrażone w jednostkach 2𝜋/𝜔, czyli okresach oscylacji 𝛼. Zatem, w przybliżeniu 𝛥𝜑 ≃ (𝑡_α−off− 𝑡_α−off⁰ )𝜔, czego można się spodziewać bowiem faza singletu narasta z szybkością 𝐸_𝑆/ℏ, trypletu z 𝐸_𝑇/ℏ, zatem różnica faz z szybkością ℏ𝐽 = 𝜔 (rezonans). Analogiczne (z dokładnością do stałego przesunięcia) wykresy można uzyskać dla 𝑡_barr− 𝑡_barr⁰ stałego, niekoniecznie równego zeru.

Również zależność 𝛥𝜑 od (𝑡_barr− 𝑡_barr⁰ )/𝑡_barr⁰ przy stałym, niekoniecznie równym zero wyrażeniu 𝑡_α−off− 𝑡_α−off⁰ daje podobne wykresy—rysunek 5.6.

Rys. 5.6. Różnica faz 𝛥𝜑 zależy liniowo (z dokładnością do modulo 2𝜋) od czasu narastania bariery 𝑡_barr.

Dopasowanie liniowe daje współczynnik nachylenia równy 3.13 (rad). Również tutaj, przechodząc do kolejnych wykresów, które różnią się tylko (stałym) 𝑡_α−off− 𝑡_α−off⁰ , zależności

różnią się tyko stałym przesunięciem. Stąd wnioskujemy, że obie odchyłki wchodzą liniowo, niezależnie od siebie, do wyrażenia na różnicę faz 𝛥𝜑:

𝛥𝜑 ≃ (𝑡_α−off− 𝑡_α−off⁰ )𝜔 + ℏ(𝑡_barr− 𝑡_barr⁰ )𝛾.

Parametr 𝛾 jest stałą zależną od sposobu (dynamiki) podnoszenia bariery, bowiem przyjmujemy (również w symulacjach), iż dana dynamika 𝐽 jest tylko skalowana w czasie dla różnych 𝑡_barr: 𝐽 = 𝐽(𝑡/𝑡_barr). Różnica faz uzyskana w czasie podnoszenia bariery:

ℏ ∫ 𝑑𝜉 𝐽 ( ^𝜉

𝑡barr)

𝑡barr

0 = ℏ𝑡_barr∫ 𝑑𝜉₀^{1 ′}𝐽(𝜉^′)= ℏ𝑡_barr 𝛾.

Dla danego 𝜀 (wynikającego z niezerowego 𝑡_α−off− 𝑡_α−off⁰ ) możemy tak dobrać 𝑡_barr by 𝛥𝜑 było równe zeru i 〈𝑠_𝑧〉_𝐿 osiągało maksymalną wartość równą ^ℏ

2√1 − 4𝜀2. Zatem dla danej odchyłki pierwszego parametru 𝑡_α−off możemy zawsze dopasować drugi 𝑡_barr, tak by skompensować (w granicach √1 − 4𝜀2) tę odchyłkę. Tylko jeden z czasów jest krytyczny.

5.2 Niedopasowanie częstości oscylacji sprzężenia