Analiza bifurkacyjna nieautonomicznego generatora van der Pola

Powróćmy do pełnych równań (12.3) generatora van der Pola przy zewnętrznym oddziaływaniu harmonicznym : x^•• – ( ε – x2 )x^• + x = b sin(ωt)

i przeanalizujemy zachowanie tego układu w zależności od amplitudy i częstości zewnętrznego oddziaływania harmonicznego przy ustalonej wartości parametru kierującego autonomicznego generatora ε.

Wymiar przestrzeni fazowej nieautonomicznego generatora van der Pola jest równa 3 i obecnie oprócz punktów stałych i cykli granicznych może istnieć dwuwymiarowy torus. Zapiszemy równanie nieautonomicznego generatora (12.3) w postaci układu trzech rr pierwszego rzędu :

x^• = y , y^• = ( ε – x2 )y – x + b sin(z) , z^• = ω (12.30) gdzie x, y, z – zmienne dynamiczne, które określają wymiar przestrzeni fazowej.

W szerokim obszarze wartości parametrów dynamika zadanego układu jest bardzo złożona i różnorodna. My ograniczymy się do analizy reżimów synchronizacji i ich bifurkacji w otoczeniu tzw. podstawowego języka synchronizacji, kiedy częstość synchronizacji drgań pokrywa się z częstością zewnętrznego oddziaływania. Będziemy rozpatrywali tylko reżimy quasiperiodyczne autonomicznego generatora, kiedy parametr ε posiada niewielkie wartości.

Reżimowi synchronizacji odpowiada stabilny cykl graniczny CN On i siodłowy cykl graniczny CS leżą na powierzchni dwuwymiarowego torusa, który jest utworzony przez domkniecie niestabilnych rozmaitości cyklu siodłowego CN i stabilny cykl CS.

Rozpatrzymy teraz bifurkacje takich cykli granicznych przy ruchu na płaszczyźnie parametrów kierujących (b, ω) przy ustalonym ε = 0,1.

Na rysunku 12.13 na płaszczyźnie amplituda – częstość zewnętrznego oddziaływania, zbudowano linie wartości bifurkacyjnych ruchów synchronicznych przy ustalonej wartości parametru ε. W obszarach A i B układ demonstruje reżimy synchronizacji, a w obszarze C – reżim drgań quasiperiodycznych. Należy zauważyć, że w odróżnieniu od

skróconych równań dla amplitudy i fazy w układzie (12.30) stabilnym i niestabilnym ruchom synchronicznym odpowiadają stabilne i niestabilne cykle graniczne, a drganiom quasiperiodycznym odpowiada dwuwymiarowy torus ergodyczny w trójwymiarowej przestrzeni fazowej układu. Przy wartościach parametrów z obszaru A w przestrzeni fazowej układu posiada trzy cykle graniczne : stabilny CN , siodłowy CS i absolutnie niestabilny CR.

Projekcje cykli granicznych na płaszczyznę (x, y) pokazano na rysunku 12.14

Rys. 12.13 Podstawowy język synchronizacji na płaszczyźnie parametrów „amplituda b - częstośćω oddziaływania zewnętrznego” układu (12.30) przy ε = 0,1.

Na rysunku 12.15 zbudowano diagram bifurkacyjny w zależności od częstości zewnętrznego oddziaływania ω przy

ustalonej amplitudzie b = 0,02, co odpowiada przemieszczeniu wzdłuż linii dc na rysunku 12.13. Na osi rzędnych diagramu bifurkacyjnego (rys. 12.15) odłożono maksymalne wartości zmiennej dynamicznej x(t) odpowiednich cykli granicznych CN, CS, CR. Przy zmianie częstości zewnętrznego oddziaływania ω przy przecięciu granicy obszaru synchronizacji ł1 i ł’1 niestabilny cykl graniczny CR nie doznaje żadnych bifurkacji. Przejście od drgań synchronicznych do quasiperiodycznych związane jest z bifurkacjami dwóch innych cykli granicznych. Z diagramu widać, ze wraz ze wzrostem lub zmniejszeniem ω z przybliżeniem się ku linii bifurkacyjnych ł1lub ł’1 stabilny cykl CN zbliża się do cyklu siodłowego CS.

Na granicy łącza się one w cykl siodło- węzeł ( jeden z multiplikatorów cyklu przyjmuje wartość + 1) i przy przejściu przez linie bifurkacyjną znikają. Dana bifurkacja siodło- węzeł łączenia i zaniku cykli siodłowych CN i CS ma miejsce na powierzchni dwuwymiarowego torusa. Poza obszarem synchronizacji trajektoria fazowa pokrywa powierzchnie torusa, nigdzie nie zamykając się, a to odpowiada drganiom quasiperiodycznym.

Projekcje portretu fazowego dwuwymiarowego torusa pokazana jest na rysunku 12.16. Przy przecięciu granic ł1i ł’1quasiperiodyczne drgania pojawiają się w sposób sztywny, a amplituda modulacji ( „grubość” torusa na portrecie fazowym ) od razu z punktem bifurkacji przyjmuje skończoną i wystarczająco dużą wielkość. Teraz, oprócz torusa przyciągającego T w przestrzeni fazowej układu istnieje jeszcze niestabilny cykl graniczny CR.

Rozpatrzone przemiany portretu fazowego układu na granicy obszarów A i C określa się jako mechanizm bifurkacyjny poprzez wychwyt.

Rys. 12.14 Projekcje cykli granicznych na płaszczyznę (x, y) układu (12.30) przy wartościach parametrów b = 0,02 , ω = 1,01, ε = 0,1.

Na rysunku 12.17 zbudowano diagram bifurkacyjny dla stabilnego CN, niestabilnego CR i siodłowego CS – cykli granicznych układu (12.30) w zależności od amplitudy oddziaływania zewnętrznego b przy ustalonych wartościach ω = 1,01, λ = 0,1, co odpowiada przemieszczeniu wzdłuż linii ef na płaszczyźnie parametrów amplituda – częstość

oddziaływania zewnętrznego.

Przy małych amplitudach oddziaływania zewnętrznego b poniżej linii ł1, oprócz przyciągającego torusa, istnieje również niestabilny cykl graniczny CR, kreowany ze stanu równowagi w początku współrzędnych. Wraz ze wzrostem b amplituda tego niestabilnego cyklu rośnie. Przy przecięciu linii ł1 nie dzieje się z nim nic nowego, jednocześnie na przyciągającym dwuwymiarowym torusie w wyniku bifurkacji siodło- węzeł kreowana jest para cykli granicznych – stabilny CN i siodłowy CS. Przy dalszym wzroście b cykl siodłowy CS zbliża się do cyklu niestabilnego CR.

Przy przecięciu linii ł2 następuje bifurkacja siodło- repeler i takie dwa cykle łączą się i zanikają. Zanik cyklu siodłowego CS prowadzi do naruszenia torusa rezonansowego W przestrzeni fazowej pozostaje tylko stabilny cykl graniczny CN, odpowiadający reżimowi synchronizacji. Obszar synchronizacji B, umiejscowiony powyżej linii ł2 (rys. 12.13) nazywa się obszarem tłumienia. W odróżnieniu od obszaru wychwytu A przy wyjściu z obszaru tłumienia ze zmianą częstości oddziaływania zewnętrznego drgania quasiperiodyczne pojawiają się w miękki sposób, amplituda modulacji narasta stopniowo od zera, co wynika z charakteru bifurkacji cyklu granicznego CN.

Rys. 12.15 Diagram bifurkacyjny dla cykli granicznych CN, CS, CR układu (12.30) przy zmianie częstości oddziaływania zewnętrznego ω i ustalonych wartościach b = 0,02 i ε = 0,1.

Rys. 12.16 Portret fazowy ( przyciągający dwuwymiarowy torus T i niestabilny cykl graniczny CR ) układu (12.30) po bifurkacji siodło- węzeł cykli granicznych CN i CS przy wartościach parametrów ε = 0,1 ; b = 0,02 ; ω = 1,072.

Na rysunku 12.18 pokazano diagram bifurkacyjny cyklu granicznego CN przy zmianie częstości oddziaływania

zewnętrznego ω i ustalonych wartościach b = 0,04 ; ε = 0,1, co odpowiada przemieszczeniu wzdłuż linii ab na płaszczyźnie parametrów amplituda – częstości oddziaływania zewnętrznego z rysunku 12.13. W interwale wartości, ograniczonych liniami ł3 i ł’3, cykl graniczny jest stabilny ( linia ciągła diagramu bifurkacyjnego z rysunku 12.18 ).

Dla cyklu granicznego jeden z multiplikatorów jest zawsze równy 1. Dwa pozostałe multiplikatory co do modułu są mniejsze od jedności w tym interwale wartości. Przy przecięciu linii bifurkacyjnych ł3 i ł’3 dwa multiplikatory są sprzężone zespolenie i co do modułu stają się większe od 1. Cykl graniczny traci stabilność i z niego kreowany jest przyciągający dwuwymiarowy torus, którego projekcja na płaszczyznę (x, y ) pokazana jest na rysunku 12.19.

„Grubość” torusa zwiększa się płynnie wraz ze wzrostem nadkrytyczności. Taka przemiana portretu fazowego nazywa się bifurkacją Nejmarka – Sakkera i określa ona mechanizm synchronizacji poprzez tłumienie

( należy tutaj zauważyć, że granice ł3, ł’3 na płaszczyźnie parametrów (β, ω) reprezentują sobą linie kreacji torusa, na których opierają się języki synchronizacji o różnych liczbach obrotu, które są określane poprzez stosunek częstości

dudnienia do częstości oddziaływania zewnętrznego. Częstość dudnień charakteryzuje się różnicą częstości modu autodrgań i oddziaływania zewnętrznego. Jednakże w ramach niniejszego wykładu nie rozpatrujemy struktury przestrzeni parametrów kierujących w szerokim obszarze zmienności )

Rys. 12.17 Diagram bifurkacyjny cykli granicznych układu (12.30) przy zmianie amplitudy oddziaływania zewnętrznego b i ustalonych wartościach ω = 1,01 ; ε = 0,1.

Rys. 12.18 Diagram bifurkacyjny cykli granicznych układu (12.30) przy zmianie częstości oddziaływania zewnętrznego ω i ustalonych wartościach b = 0,04 ; ε = 0,1. Linia ciągła odpowiada stanowi stabilnemu, linia przerywana – stanowi cyklu granicznego CN.

Rys. 12.19 Projekcja dwuwymiarowego torusa przy wartościach parametrów ε = 0,1 ; b = 0,04 ; ω = 1,0357 ( w pobliżu linii ł3 na rysunku 12.13), kreowanego w wyniku drugiej prostej bifurkacji Andronowa – Hopfa ( lub bifurkacji Nejmarka – Sakkera )

W obszarze synchronizacji B generator wykonuje drgania na częstości oddziaływania zewnętrznego. Jednakże w odróżnieniu od przypadku słabego oddziaływania zewnętrznego, obecnie mod autodrgań nie dostraja się do rytmu oddziaływania zewnętrznego, a jest w pełni przez niego tłumiony.

I tylko ze wzrostem odstrojenia po częstości przy przejściu granicy ł3 i ł’3 obszaru synchronizacji (rys. 12.13) wzbudzany jest mod autodrgań który płynnie narasta. Przy niewielkiej nadkrytyczności w spektrum drgań quasiperiodycznych o dwóch niezależnych częstościach przeważają składowe spektralne, odpowiadające oddziaływaniu zewnętrznemu. Z tego powodu taki reżim słabo modulowanych drgań często odnosi się również do reżimowi synchronizacji.

Na rysunku 12.20 przedstawiono zależność różnicy średniej częstości autodrgań i częstości oddziaływania zewnętrznego układu (12.30) przy ε = 0,1 i b = 0,02. Odcinek horyzontalny odpowiada obszarowi synchronizacji, kiedy to generator wykonuje drgania na częstości oddziaływania zewnętrznego ω. Długość tego odcinka zależy od amplitudy oddziaływania zewnętrznego b. Podana wartość b = 0,02 przy ε = 0,1 odpowiada obszarowi wychwytu.

Rys. 12.20 Wykres zależności Ω ( różnica pomiędzy średnią częstością autodrgań i częstości oddziaływania

zewnętrznego ) od częstości oddziaływania zewnętrznego ω układu (12.30) przy ε = 0,1 i b = 0,02.

12.6 Zakończenie.

Na niniejszym wykładzie przedstawiliśmy wyniki klasycznej teorii synchronizacji autodrgań periodycznych.

Wykład teorii podano w zastosowaniu do najprostszego układu autodrgającego o jednym stopniu swobody – generatorze van der Pola, znajdującego się pod wpływem harmonicznej siły zewnętrznej. Rozpatrzono zjawisko zewnętrznej

synchronizacji. Należy zauważyć, że wszystkie opisane tutaj wyniki, realizują się w istocie, również przy wzajemnej synchronizacji, bez jakiś zasadniczych różnic. W związku z tym nie rozpatrujemy wzajemnej synchronizacji dwóch sprzężonych generatorów.

Analiza efektu zewnętrznej synchronizacji przeprowadzono w przybliżeniu jednowymiarowym, w przybliżeniu równań skróconych oraz dla pełnego nieautonomicznego układu van der Pola. Pokazano zasadnicze mechanizmy bifurkacyjne synchronizacji – poprzez wychwyt częstości (fazy ) i w wyniku tłumienia drgań własnych generatora. Wyniki otrzymano dla podstawowego obszaru synchronizacji, kiedy częstości sygnałów oddziaływania i autodrgań własnych są bliskie (synchronizacja na tonie podstawowym ). Szczegółowa analiza efektu zewnętrznej synchronizacji przedstawione na niniejszym wykładzie, miały na celu porównać istotę obserwowanego efektu dla oscylatora quasiperiodycznego z efektami synchronizacji drgań quasiperiodycznych, chaotycznych i stochastycznych

************************************************************************************************

Wykład 13