Jak pokazaliśmy powyżej, przy określonych warunkach efekt synchronizacji można analizować na podstawie przybliżenia fazowego. W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy zagadnienie dotyczące zewnętrznej synchronizacji autodrgań w układzie sprzężonych generatorów van der Pola, wykorzystując do tego przybliżenie dynamiki fazowej.
W tym celu rozpatrzymy rr o postaci :
W równaniach (13.2) ε - jest parametrem wzbudzenia jednakowym dla obydwóch generatorów w przypadku nie występowania sprzężenia
F(x1•,x2• ) = γ( x21• – x12• ) – funkcja sprzężenia γ - współczynnik sprzężenia ;
b, ωe – odpowiednio amplituda i częstość sygnału zewnętrznego
Jak widać z (13.2) oddziaływanie generatorów realizuje się poprzez pochodne x1,2• co w realnym układzie odpowiada sprzężeniu rezystywnemu.
Będziemy poszukiwali rozwiązania równań (13.2) w postaci funkcji : x1,2 = ρ1,2(t) cos(Ψ1,2(t))
gdzie Ψ1,2 (t) = ωet + ϕ1,2(t)
przyjmując ( w pełnej odpowiedniości z klasycznym opisem dynamiki generatora van der Pola w przybliżeniu quasiklasycznym) ρ1,2(t) i ϕ1,2(t) jako funkcje wolno zmienne w czasie.
To oznacza, ze :
ρ1,2•(t) << ρ1,2(t) oraz ϕ1,2•(t) << ϕ1,2(t)
Przepiszmy teraz równania (13.2) w postaci układu równań :
i zgodnie z tym co powiedzieliśmy powyżej, wprowadzimy zamianę zmiennych :
Wykorzystując standardowy warunek :
i dokonując uśrednienia za okres działania siły zewnętrznej, otrzymamy równania pierwszego przybliżenia dla amplitud drgań ρ1,2(t) :
i faz drgań w pierwszym i drugim generatorze ϕ1,2(t) :
Będziemy zakładali, że odstrojenie częstości bazowych generatorów ω2 – ω1 = δ << 1, jak również bliskość częstości oddziaływania zewnętrznego do wartości częstości bazowych ω1,2 tj. ∆1,2 ≅ ω1,2 – ωe
W takim przybliżeniu słuszne jest :
∆2 = ∆1 + δ (13.8)
Z równań dla amplitud (13.6) wynika, że przy małym sprzężeniu γ << 1 i małej amplitudzie oddziaływania b << 1 można przyjąć, że :
ρ1 = ρ2 = 2√ε (13.9)
Amplitudy cykli granicznych w generatorach będą stałe i wzajemne równe. W takim przybliżeniu dynamika układu może być analizowana w oparciu o równania dla faz drgań ϕ1,2(t) (13.7) :
Równania (13.10) opisują dynamikę fazową układu wejściowego (13.2) i dają możliwość analizy bifurkacyjnej efektów fazowej synchronizacji przy wariacji amplitudy C i częstości ωe siły zewnętrznej dla wybranych wartości sprzężenia g i odstrojenia generatorów po częstościach δ.
Bifurkacje stanów równowagi.
Współrzędne stanu równowagi układu (13.10) określone są z warunków ϕ1• = ϕ2• = 0 tj. z równań :
Warunki istnienia rozwiązań rzeczywistych maja postać :
Przy tych warunkach równania (13.11) posiadają cztery rozwiązania, którym odpowiadają następujące cztery pary współrzędnych punktów stałych :
Układ (13.10) charakteryzuje się czterema stanami równowagi, których stabilność i bifurkacje należy przeanalizować.
Rozwiązanie równania charakterystycznego macierzy linearyzacji układu (13.10) daje nam następujące wartości własne dla stanów równowagi ;
Na rysunku 13.11 przedstawiono diagram bifurkacyjny układu (13.10). W obszarze D, ograniczonym liniami
bifurkacyjnymi LT1 i LT2 istnieją 4 stany równowagi, z których jeden jest stabilnym węzłem, dwa to siodła, i jeden – niestabilny węzeł (repeler ). Przy wyjściu z obszaru D wraz z przecięciem linii LT1 i LT2 mają miejsce bifurkacje siodło- węzeł stanów równowagi. Omówimy to zjawisko dokładniej.
Na rysunku 13.12 przedstawiono portrety fazowe stanów równowagi na 2π -periodycznej płaszczyźnie fazowej współrzędnych ϕ1 i ϕ2 do przecięcia linii LT1 ( rys. 13.12a) i na linii bifurkacyjnej LT1 (rys. 13.12b)
Jak widać z rysunku 13.12b na linii LT1 stany równowagi parami łączą się w niegrube stany równowagi typu siodło- węzeł, a następnie znikają.
W chwili bifurkacji (na linii LT1) wartości własne odpowiednich par punktów stałych ε1(1) , λ1(2) i λ2(3) , λ2(4) zerują się, co świadczy o bifurkacji siodło- węzeł.
Jakościowo równoważny obraz realizuje się przy przecięciu linii bifurkacyjnej LT2, co ilustruje rysunek 13.13.
Różnica pomiędzy rysunkiem 13.12 i rysunkiem 13.13 polega na tym, że w pierwszym przypadku bifurkacja siodło- węzeł realizuje się dla punktów 1, 2 i 3, 4, a w drugim – dla punktów 3, 1 i 4, 2.
Rys. 13.11 Linie bifurkacji o kowymiarze 1 układu (13.10) na płaszczyźnie parametrów (∆1, C) przy ustalonych wartościach g = 0,15, δ = 0,1 ; LT1 – linie bifurkacji siodło- węzeł stanów równowagi ϕ(1) ↔ ϕ(2) i ϕ(3) ↔ ϕ(4) LT2 – linie bifurkacji siodło- węzeł stanów równowagi ϕ(1) ↔ ϕ(3) i ϕ(2) ↔ ϕ(4)
L’T2 i L’T1 – linie bifurkacji stycznych stabilnych i siodłowych inwariantnych krzywych zamkniętych.
Rys. 13.12 Bifurkacje siodło- węzeł stanów równowagi przy przecięciu krzywej LT1 na płaszczyźnie parametrów (rys.
13.11 ) : a) stany równowagi i ich rozmaitości inwariantne do bifurkacji ; b) stan niegruby „siodło- węzeł” w chwili bifurkacji.
λi(j) - i- ta wartość własna j –tego stanu równowagi.
Parametry g = 0,15 ; δ = 0,1 ; C = 0,15
Dla stanu a) λ1(1) = 0,032 ; λ2(1) = – 0,268 ; λ1(2) = – 0,34 ; λ1(3) = 0,34 ; λ2(3) = 0,32 ; λ1(4) = 0,268 λ2(4) = –0,041 ; ∆1 = – 0,10713
Dla stanu b) λ1(1) = 0 ; λ2(1) = – 0,297 ; λ1(2) = 0 ; λ1(3) = 0,299 ; λ2(3) = 0 ; λ1(4) = 0,297 λ2(4) = 0 ; ∆1 = – 0,11713
Z punktu widzenia pełnego układu równań (13.2) obszar D na rysunku 13.11 w którym istnieje jeden stabilny punkt stały, odpowiada stabilnemu cyklowi granicznemu reżimu pełnej synchronizacji. Przy tym obie częstości oddziaływujących generatorów ω’1 i ω’2 ( oczywiście należy rozróżniać częstości własne ω1 i ω2 autonomicznych generatorów, zadawane jako parametry układu i częstości generatorów oddziaływujących ω’1 i ω’2 ) są wychwycone przez sygnał oddziaływania zewnętrznego i spełniona jest równość ω’1 = ω’2 = ωe. Przy wyjściu z obszaru D pojawiają się dudnienia tj.
dwuczęstotliwościowe drgania, obrazem których jest stabilna krzywa inwariantna ł1.
Bifurkacje inwariantnych krzywych zamkniętych.
Bifurkacje stanu równowagi przy wyjściu z obszaru D do obszaru C przeanalizowano analitycznie przy wykorzystaniu wyrażeń (13.13) i (13.14). Dla analizy bifurkacji krzywych inwariantnych ł1 i ł2 zastosujemy metodę modelowania numerycznego. Wyniki takich obliczeń pokazano na rysunku 13.14 ) dla krzywych inwariantnych z rys. 13.12 b)
Rys. 13.13 Bifurkacje siodło- węzeł stanów równowagi przy przecięciu krzywej LT3 na płaszczyźnie parametrów (rys.
13.11 ) : a) stany równowagi i ich rozmaitości inwariantne do bifurkacji ; b) stan niegruby „siodło- węzeł” w chwili bifurkacji.
λi(j) - i- ta wartość własna j –tego stanu równowagi.
Parametry g = 0,15 ; δ = 0,1 ; C = 0,6
Dla stanu a) λ1(1) = 0,255 ; λ2(1) = – 0,064 ; λ1(2) = – 0,045 ; λ2(2) = –0,363 ; λ2(3) = 0,045 ; λ1(4) = 0,064 λ2(4) = –0,255 ; ∆1 = – 0,2399
Dla stanu b) λ1(1) = 0,265 ; λ2(1) = 0 ; λ1(2) = 0 ; λ2(2) = 0,266 ; λ1(3) = 0,266 ; λ2(3) = 0 λ1(4) = 0 ; λ2(4) = –0,265 ; ∆1 = – 0,249999
Jeśli poruszamy się w przestrzeni parametrów z diagramu rys. 13.11 z obszaru C do obszaru B, to obserwujemy
następującą sytuację. Krzywe inwariantne ł1 i ł2 przybliżają się wzajemnie o siebie i na liniach bifurkacyjnych L’T1 łączą się one w siodłowo- węzłową krzywą inwariantną, a przy przecięciu linii L’T1 krzywe ł1,2 zanikają. W wyniku tego w obszarach B trajektorie wszędzie gęsto pokrywają cała płaszczyznę fazową, co ilustruje rysunek 13.14c. Zatem, ma miejsce bifurkacja, którą można nazwać bifurkacją siodłowo- węzłową stanów równowagi. Dla krzywych inwariantnych z rysunku 13.13b analogiczna bifurkacja realizuje się przy przecięciu linii LT2 z obszarów C do obszaru B. Z punktu widzenia dynamiki wejściowego układu różniczkowego (13.2) opisanym bifurkacjom odpowiada przejście od reżimu drgań dwuczęstościowych do reżimu drgań trójczęstościowych, kiedy to wszystkie trzy częstotliwości nie są wzajemnymi krotnościami i nie są sobie równe ( ω’1 ≠ ω’2 ≠ ωe )
Rys. 13.14 Transformacje portretu fazowego w wyniku bifurkacji siodło-węzeł krzywych inwariantnych ( przejście z obszaru C do obszaru B diagramu z rysunku 13.11 )
Parametry g = 0,15 ; δ = 0,1.
Rys. Zależności częstości Ω1,2 = < ϕ1,2• > od parametru ∆1 obliczone według równań (13.10) przy wartościach C = 0,25 ; δ = 0,1 ; g = 0,15
Bifurkacje siodło- węzeł krzywych inwariantnych dogodnie jest zilustrować następująco. Wprowadzimy częstości średnie oscylatorów fazowych (13.10) ( reprezentują one częstości dudnień autogeneratorów w wyrażeniu (13.2)) :
Ω1,2 = < ϕ1,2• > = lim (1/T )
∫
ϕ1,2•(t) dt (13.15)T→∞
Wykorzystując układ równań (13.10), dokonamy obliczenia zależności częstości Ω1,2 od parametrów. Przyjmiemy wartości parametrów C = 0,25 ; δ = 0,1 ; g = 1,15 i będziemy poruszali się po płaszczyźnie diagramu bifurkacyjnego z rysunku 13.11, zmieniając parametr ∆1. wraz ze wzrostem tego parametru kolejno przecinamy obszary D, C i B diagramu bifurkacyjnego z rysunku 13.11. Wyniki przedstawiono na rysunku 13.15.
W obszarze D ( ∆1≤ 0,05 ) mamy Ω1 = Ω2 = 0, co odpowiada stabilnemu punktowi stałemu w obszarze synchronizacji D.
Wraz z przecięciem linii LT2 przejście z obszaru D do obszaru C ) ma miejsce bifurkacji kreacji krzywych inwariantnych l1 i ł2 Na rysunku 13.15 takiej bifurkacji odpowiada pojawienie się różnej od zera częstości Ω2 ≠ 0. Przy tym druga częstość Ω1 = 0. Dalej, przy przecięciu linii bifurkacyjnej L’T2 ( przejście do obszaru B 0 ma miejsce bifurkacja siodło- węzeł krzywych inwariantnych ł1 i ł2 w wyniku której kreowany jest dwuwymiarowy torus.
Na rysunku 13.15 takiej bifurkacji odpowiada pojawienie się różnej od zera drugiej częstości Ω1 przy ∆1 = 0,27. Zatem w obszarze B diagramu 13.11 mają miejsce drgania o dwóch niezależnych częstościach Ω1 ≠ 0 i Ω2 ≠ 0, które pojawiają się w wyniku bifurkacji siodło- węzeł krzywych inwariantnych ł1 i ł2.
Należy teraz podkreślić pewien ważny fakt. Istnienie w układzie (13.10) czterech stanów równowagi jest następstwem tego, że układ (13.10) opisuje dynamikę fazową dwóch oddziałujących oscylatorów (13.2). Łączenie się w parach punktów stałych 1, 2 i 2, 4 ( rys. 13.13 ) w wyniku bifurkacji siodło- węzeł generuje dwie inwariantne krzywe zamknięte
( stabilną ł1 i niestabilną ł2 ). W wyniku tego staje się możliwa bifurkacja siodło- węzeł krzywych inwariantnych, reprezentująca sobą następny, co do poziomu złożoności typ bifurkacji ( w porównaniu z klasyczna bifurkacją siodło- węzeł stanów równowagi ).
Przedstawiona analiza bifurkacyjna dynamiki układu przybliżenia fazowego (13.10) pokazała co następuje.
Przy obecności odstrojenia częstości generatorów δ ≠ 0 i odstrojenia pomiędzy częstością oddziaływania zewnętrznego i częstością pierwszego generatora ∆1 ≠ 0 w układzie realizują się ergodyczne quasiperiodyczne drgania o dwóch
niezależnych częstościach ( obszar B na diagramie z rysunku 13.11 ). Ich obrazem na portrecie fazowym jest
dwuwymiarowy torus. Wyjście z obszaru B do obszaru C prowadzi do pojawienia się pary krzywych inwariantnych – stabilnej ł1 i niestabilnej ł2. Dalej, przejściu z obszaru C do obszaru D odpowiada klasyczna bifurkacja siodło- węzeł w wyniku której w obszarze D pojawiają się 4 punkty stałe, jedne z których jest stabilny.
W wejściowym układzie rr (13.2) opisanym przejściom bifurkacyjnym odpowiadają następujące przemiany reżimów.
W obszarze B układ (13.2) charakteryzuje się quasiperiodycznymi drganiami o trzech niezależnych częstościach ω’e, ω’1 i ω’2 Wyjście z obszaru B do obszaru C charakteryzuje się pojawieniem się dwuwymiarowego torusa jako konsekwencji częściowego rezonansu na torusie trójwymiarowym. Taki częściowy rezonans odpowiada efektowi wychwytu jednej z częstości parcjalnych układu (13.2). Możliwe są tutaj przypadki : ωe = ω’1 i ω’2 ≠ ω’1 albo ωe = ω’2 ale ω’1 ≠ ω’2.
Ma tutaj miejsce częściowa synchronizacja.
Przejściu z obszaru C do obszaru D odpowiada reżim ustanowienia się stabilnych periodycznych ruchów. Kreowany jest stabilny cykl graniczny, leżący na powierzchni dwuwymiarowego torusa. Takiemu cyklowi granicznemu odpowiada reżim pełnej synchronizacji, przy którym sygnał zewnętrzny wychwytuje obie częstotliwości generatorów parcjalnych
( ωe = ω’1 = ω’2 )
Należy zauważyć, że przedstawione wyniki analizy dynamiki równań przybliżenia fazowego (13.10) znajdują się w pełnej jakościowej zgodności z wynikami przedstawionymi w rozdziale 4.3.1.