Dziwne niechaotyczne i chaotyczne niedziwne atraktory

Atraktory chaotyczne, opisane powyżej, łączą w sobie dwie zasadnicze własności : złożoną strukturę geometryczną ( jako tego następstwo występuje ułamkowy wymiar metryczny ) i ekspotencjalna niestabilność indywidualnych trajektorii.

Właśnie takie własności są wykorzystywane przez eksperymentatorów w charakterze kryteriów przy diagnostyce reżimów chaosu deterministycznego.

Jednakże reżimy złożonej dynamiki nie są wyczerpywane poprzez w/w atraktory. Wyjaśniło się, że chaotyczne zachowanie w sensie obecności mieszania i geometryczna „dziwność” atraktora mogą nie odpowiadać sobie wzajemnie.

Dziwne w geometrycznym sensie atraktory mogą nie być chaotyczne bowiem nie występuje w nich ekspotencjalna niestabilność trajektorii fazowych. Z drugiej strony istnieją przykłady mieszających układów dysypatywnych, których atraktory nie są w ścisłym sensie dziwne tj. nie charakteryzują się strukturą fraktalną i ułamkowym wymiarem metrycznym (wykład 9 ). Innymi słowy, istnieją konkretne przykłady dysypatywnych UD, których atraktory charakteryzują się

następującymi własnościami :

1) przy regularnej strukturze geometrycznej z punktu widzenia całkowitoliczbowego wymiaru metrycznego indywidualne trajektorie fazowe są średnio rzecz biorąc eksponencjalnie niestabilne.

2) przy złożonej strukturze geometrycznej trajektorie są asymptotycznie stabilne, nie występuje mieszanie.

Pierwszy typ nazywa się chaotycznymi niedziwnymi atraktorami , drugi – dziwnymi niechaotycznymi atraktorami.

Zatem wszystkie atraktory UD możemy podzielić na dwa typy : regularne, do których zalicza się rozmaitości

różniczkowalne – punkty równowagi, cykle graniczne, dwuwymiarowe i wielowymiarowe torusy, oraz nieregularne, do których zalicza się wszystkie atraktory, posiadające własność „dziwności” lub „chaotyczności” ( lub jak to często bywa od razu obie te własności ).

Dalej podamy przykłady chaotycznego niedziwnego i dziwnego niechaotycznego atraktorów w dwuwymiarowych odwzorowaniach. Dziwne niechaotyczne atraktory zostały znalezione również w różniczkowych nieautonomicznych układach z quasiperiodycznym zaburzeniem zewnętrznym. Minimalny wymiar takiego układu, sprowadzonego do układu autonomicznego to N = 3. Chaotyczne niedziwne atraktory są bardzo mało analizowane w literaturze naukowej.

Wszystkie znane przypadki odnoszą się do odwracalnych odwzorowań zadanych na dwuwymiarowym torusie. Takie odwzorowanie można rozpatrywać jako odwzorowanie Poincarego, pojawiające się w przekroju potoku na

trójwymiarowym torusie.

Wymiar układu różniczkowalnego, w którym można zrealizować trójwymiarowy torus, to N = 4. Jednakże istnienie chaotycznego niedziwnego atraktora w jakimś konkretnym układzie, zadawanym przez rr póki co nie jest stwierdzone.

Chaotyczne niedziwne atraktory. Atraktory chaotyczne nie będące z punktu widzenia ich geometrii dziwnymi, znane są stosunkowo dawno, jednakże nie są one wystarczająco zbadane. W charakterze przykładu UD z chaotycznym niedziwnym atraktorem można podać zmodyfikowane odwzorowanie Arnolda. Odwzorowanie takie przedstawia sobą znane

odwzorowanie kota Arnolda „cat map” z dodaniem nieliniowej składowej periodycznej :

Przy warunku, że δ < 1/2π, odwzorowanie (5.5) jest dyffeomorfizmem torusa. Innymi słowy odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne – odwracalne i przeprowadza kwadrat jednostkowy ( xn , yn ) w siebie.

Odwzorowanie (5.5) jest dysypatywne, tj. przy każdej iteracji element powierzchni jest ściskany. Własność tę można łatwo dowieść, jeśli tylko obliczymy jakobian przekształcenia (5.5) :

Wartość średnia w czasie | J | < 1. Przy tym sygnatura spektrum wykładników Lapunowa ma postać +, – tj. obserwujemy obecność mieszania.

Wydawać by się mogło, że mamy do czynienia z standardowym chaotycznym dziwnym atraktorem. Ale tak nie jest.

Główną różnicą rozpatrywanego przypadku jest to, że nie bacząc na ściskanie pola powierzchni, ruch wybranego punktu odwzorowania (5.5) jest ergodyczny. Punkt ten przy t → ∞ odwiedza dowolny element kwadratu jednostkowego, reprezentującego pełne rozwiniecie dwuwymiarowego torusa !

Następstwem takiego faktu jest to, że wymiar metryczny atraktora ( pojemność w sensie Kołmogorowa ) jest równy 2.

Gęstość punktów atraktora jest równomierna w kwadracie jednostkowym i nie jest nigdzie równa zero. Zatem, mimo ściskania atraktorem układu (5.5) jest cały kwadrat jednostkowy. W tym sensie atraktor Arnolda nie jest dziwny, ponieważ nie można mu przypisać geometrii fraktalnej.

Mimo, że z praktycznego punktu widzenia punkty całkowicie pokrywają kwadrat ( jak to widać z portretu fazowego przedstawionego na rysunku 5.5 ), ich gęstość rozkładu jest jawnie niejednorodna ! Ilościową miarą takiej jednorodności jest wartość wymiaru informacyjnego 1 < DI < 2.

Przykładowo dla wartości δ = 0,05 DI ≅ 1,96 , a dla δ = 0,10 DI ≅ 1,84.

Przy tym jak już mówiliśmy, pojemność DC ≅ 2,0 ( jest to ścisły wynik osiągnięty przez Sinaja )

Rys. 5.5 Chaotyczny niedziwny atraktor w odwzorowaniu Arnolda przy δ = 0,5.

W wyniku niejednorodności gęstości rozkładu prawdopodobieństwa punktów na atraktorze wartości wszystkich probablistyczno- metrycznych wymiarów atraktora Arnolda będą leżały w interwale 1 < D < 2. Takie wymiary uwzględniają nie tylko geometryczne, ale również i dynamiczne własności atraktora.

Chaotyczne niedziwne atraktory zostały ujawnione w szeregu innych odwzorowań na torusie. Można założyć, że ergodyczne chaotyczne ruchy są typowe dla dyfeomorfizmów na torusie. Fakt istnienia takich atraktorów w takich odwzorowaniach pozwala zakładać, że istnieją również potokowe (różniczkowalne ) układy w RN (N ≥ 4 ) posiadające reżim chaotycznych niedziwnych atraktorów. Jednakże do chwili obecnej takich atraktorów w różniczkowalnych UD nie znaleziono. W związku z tym, w szczególności do chwili obecnej otwartym pozostaje zagadnienie o możliwości istnienia atraktora chaotycznego na powierzchni trójwymiarowego torusa, włożonego w przestrzeń fazową o wymiarze N ≥ 4.

Dziwne niechaotyczne atraktory. Jak już mówiliśmy, atraktory chaotyczne posiadają „dziwność” geometryczną i mieszanie. Innymi słowy, złożona dynamika układu mieszającego generuje również i geometryczną złożoność

odpowiedniego atraktora. Tym niemniej w przypadku chaotycznych niedziwnych atraktorów powinniśmy rozdzielić takie dwie własności : mieszanie może nie prowadzić do „dziwności” geometrycznej atraktora.

Obecnie rozpatrzymy możliwość realizacji przeciwnej sytuacji, kiedy układ demonstruje złożony nieperiodyczny reżim drgań, asymptotycznie stabilny ( bez mieszania ), a atraktor przy tym jawnie nie jest regularny z punktu widzenia jego struktury geometrycznej.

Przykłady niegrubych dziwnych niechaotycznych atraktorów można podać łatwo. W istocie dowolny dziwny atraktor chaotyczny w punkcie krytycznym przejścia do chaosu stanowi przykład takiego atraktora. W punkcie krytycznym wykładnik Lapunowa jest równy zero (nie ma chaosu ). Z definicji taki atraktor jest więc dziwnym niechaotycznym atraktorem. Jednakże jest on niegruby. Z punktu widzenia fizyki interesujące są gruba atraktory, które istnieją na zbiorze wartości parametrów o niezerowej mierze i zachowują swoją strukturę przy zaburzeniach. Jak się okazało, UD z grubymi dziwnymi niechaotycznymi atraktorami istnieją zarówno w układach ciągłych jak i dyskretnych.

Dziwne niechaotyczne atraktory są typowe dla UD z zaburzeniem quasiperiodycznym. Dobrze będzie teraz, aby uściślić co rozumiemy pod pojęciem atraktora układu nieautonomicznego. Załóżmy, że autonomiczny UD w RN znajduje się pod wpływem periodycznej siły o okresie T0 = 2π/ω0. Będziemy analizowali przekrój Poincarego w okresie działania takiej siły. W powierzchni tnącej t = nT0 każdorazowo będziemy obserwowali pewien zbiór punktów. Atraktorem w tym przypadku nazywamy projekcje takiego zbioru punktów dla płaszczyzn tnących, otrzymywanych dla ciągu n → ∞, na powierzchnię tnącą przy n = 1.

Po raz pierwszy dziwny niechaotyczny atraktor został znaleziony i zbadany dla odwzorowania :

Niewymierną wartość parametru ω najczęściej wybiera się równą tzw. złotemu przekrojowi : ω = ½ ( √5 – 1 )

Dla wartości λ > 1 w odwzorowaniu (5.7) dowiedziono ściśle istnienia dziwnych niechaotycznych atraktorów ( rys. 5.6).

Jednakże takie atraktory zostały znalezione również przy wprowadzeniu quasiperiodycznego oddziaływania do odwzorowania okręgu, odwzorowania logistycznego, odwzorowania Henona i innych.

Szereg cech szczególnych dziwnych niechaotycznych atraktorów stało się podstawą dla wyróżnienia takich obiektów w osobną klasę.

Rys. 5.6 Dziwny niechaotyczny atraktor w odwzorowaniu (5.7) dla λ = 1,5 Własności geometryczne dziwnych niechaotycznych atraktorów.

Atraktor np. na płaszczyźnie fazowej, tworzony jest przez krzywą o nieskończonej długości, nieróżniczkowalnej na zbiorze gęstym punktów. Taka krzywa, podobnie jak krzywa Peano, gęsto pokrywa część przestrzeni fazowej tak, że wymiar metryczny (pojemność ) na dziwnym niechaotycznym atraktorze okazuje się być równa dokładnie 2. Jednakże w odróżnieniu od odwzorowania (5.5) w tym przypadku nie można już przyjąć, że część płaszczyzny jest atraktorem, ponieważ łączna miara punktów należących do atraktora, jest równa zero. Fakt ten odzwierciedlony jest w równości 1 wymiaru informacyjnego DI, co odpowiada linii a nie płaszczyźnie. W związku z niewystępowaniem dodatniego wykładnika w spektrum wykładników charakterystycznych Lapunowa, wymiar Lapunowa dziwnego niechaotycznego atraktora jest równy 1. ( o różnych definicjach wymiaru zbioru będziemy mówili na wykładzie 9)

Mimo całkowitego wymiaru metrycznego dziwnego niechaotycznego atraktora, demonstruje struktury samopodobne, a zatem i własności skalowania. Zestaw wymienionych własności pozwala mówić o „dziwnej” geometrii dziwnego niechaotycznego atraktora.

Spektrum wykładników charakterystycznych Lapunowa dziwnego niechaotycznego atraktora.

Dynamika układu w reżimie dziwnego niechaotycznego atraktora nie jest chaotyczną bowiem nie występuje mieszanie.

Nie ma (średnio ) eksponencjalnej niestabilności trajektorii na takim atraktorze. W spektrum wykładników

charakterystycznych Lapunowa nie występuje dodatni wykładnik. Sygnatura spektrum wykładników charakterystycznych Lapunowa na dziwnym niechaotycznym atraktorze nie różni się od analogicznej sygnatury takiego spektrum ruchu quasiperiodycznego. Jednakże dziwnego niechaotycznego atraktora nie można przyjąć jako atraktora quasiperiodycznego, w szczególności dlatego, że lokalny ( obliczony dla skończonego czasu ) wyższy wykładnik spektrum wykładników charakterystycznych Lapunowa trajektorii na dziwnym niechaotycznym atraktorze będzie dodatni ( dowiedziono, że prawdopodobieństwo tego, że wyższy lokalny wykładnik Lapunowa będzie dodatni i różny od zera )

Spektrum i funkcja autokorelacyjna.

Niewystępowanie mieszania w reżimie dziwnego niechaotycznego atraktora generuje nie występowanie w ścisłym sensie ciągłej składowej w spektrum mocy. Jednocześnie spektrum trajektorii na dziwnym niechaotycznym atraktorze nie jest dyskretne ! Spektrum takiego atraktora zajmuje jakby pośrednie miejsce pomiędzy przypadkami dyskretnym i ciągłym i posiada specjalną nazwę : spektrum syngularno-ciągłe. Szczególne własności takiego spektrum polegają na tym, że zawiera ono gęsty zbiór δ-pików o samopodobnej strukturze i posiada własności fraktalne.

Ponieważ spektrum dziwnego niechaotycznego atraktora nie jest ciągłe, to funkcja autokorelacyjna Ψ(τ) nie dąży do granicy zerowej przy τ → ∞. Dla trajektorii na dziwnym niechaotycznym atraktorze, obserwuje się dążenie Ψ(τ) do pewnej granicznej niezerowej wartości. Przy tym funkcja Ψ(τ) tak jak i samo spektrum będzie demonstrowała własności

inwariantności ze względu na skalowanie.

Należy również zauważyć, że diagnostyka reżimu dziwnego niechaotycznego atraktora w eksperymentach numerycznych stanowi bardzo trudne i nietrywialne zagadnienie, wymagające wprowadzenia subtelnych metod techniki obliczeń numerycznych. Jeśli nie używa się takich technik to trudno jest rozróżnić reżim dziwnego niechaotycznego atraktora i reżim quasiperiodyczny z dużą liczbą częstości składowych.

5.13 Zakończenie.

W wyniku prostej analizy jakościowej własności nieliniowych dysypatywnych UD doszliśmy do szeregu zasadniczych wniosków :

1) W układach różniczkowalnych o wymiarze przestrzeni fazowej N ≥ 3 teoretycznie możliwe jest ustanowienie się reżimów drgań, nie będących ani periodycznymi, ani quasiperiodycznymi. Reżimy takie reprezentują sobą chaos dynamiczny.

2) Zasadnicza własnością drgań chaotycznych jest ich niestabilność, co prowadzi do wrażliwości UD na małe zaburzenia.

3) Niestabilność UD wraz z ograniczonością energii drgań może generować zjawisko mieszania.

4) Obecność mieszania prowadzi do konieczności wprowadzenia statystycznego opisu dynamiki układów deterministycznych z chaotycznymi atraktorami jako sposobu najbardziej dogodnego.

Wymienione wyniki przekonują nas o tym, ze reżimy funkcjonowania deterministycznych układów nieliniowych z dziwnymi atraktorami chaotycznymi w istocie posiadają szereg specyficznych własności, które wszystkie razem zawierają się w pojęciu „chaos deterministyczny”.

Ponieważ w przypadku ogólnym ekspotencjalna niestabilność indywidualnych trajektorii i „dziwna” geometria atraktora nie są związane jednoznacznie, to w pewnych przypadkach mogą być obserwowane nieregularne atraktory szczególnego rodzaju. Istnieją mianowicie reżimy chaotycznych (niestabilnych ) autodrgań, którym odpowiadają regularne w

geometrycznym sensie atraktory. Są to tzw. chaotyczne niedziwne atraktory. Z drugiej strony, można obserwować nieperiodyczne stabilne w sensie Lapunowa drgania, odpowiadający atraktor którym jest dziwnym obiektem geometrycznym. W tym przypadku mamy do czynienia z dziwnymi niechaotycznymi atraktorami.

************************************************************************************************

Wykład 6