Wykłady z dynamiki nieliniowej

################################################################################

Wykłady z dynamiki nieliniowej

W. S. Aniszczenko, T. E. Wadiwasowa

Tytuł oryginału : „Лекци по нелинейной динамике”

Moskwa- Iżewsk R&C Dynamics 2011

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2014

Ostatnia modyfikacja : 2019-03-10 Tłumaczenie całości książki ( oprócz ostatniego rozdziału ).

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wstęp ogólny

Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).

rr – równań różniczkowych, równanie różniczkowe rrz – równania różniczkowe zwyczajne

rrc – równania różniczkowe cząstkowe UD – układ dynamiczny

Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

************************************************************************************************

Wykład 1

Układy dynamiczne

1.1 Wprowadzenie.

Jednym z ważniejszych problemów naukowych fizyki jest rozwiązanie zagadnienia związanego z przewidywaniem zachowania analizowanego obiektu w czasie i przestrzeni na podstawie określonych wiadomości mówiących o jego stanie początkowym. Zagadnienie to sprowadza się do znalezienia pewnego prawa, pozwalającego zgodnie z posiadanymi informacjami o obiekcie w początkowej chwili czasu t0 określić jego przyszłość w dowolnej chwili czasu t > t0.

W zależności od stopnia złożoności samego obiektu prawo to może być prawem deterministycznym lub probabilistycznym, może opisywać ewolucje obiektu tylko w czasie, a może opisywać ewolucje i w czasie i w przestrzeni.

Problem przewidywania ewolucji obiektu w fizyce bezwarunkowo reprezentuje sobą zagadnienie typu matematycznego.

Logika matematyczna wymaga od nas sztywnego sformułowania zagadnienia, jak i sposobu jego rozwiązania.

W tym celu należy sformułować definicje analizowanego obiektu i wskazać podstawowe jego własności.

Przedmiotem naszej analizy będą nie układy i obiekty w ogólności, a tzw. układy dynamiczne w matematycznym tego pojęcia rozumieniu.

1.2 Układ dynamiczny i jego model matematyczny.

Pod układem dynamicznym (UD) rozumiemy dowolny obiekt lub proces, dla którego jednoznacznie określono pojęcie stanu jako zbioru pewnych wielkości lub funkcji w danej chwili czasu i zadano prawo, które opisuje zmianę (ewolucje ) stanu początkowego wraz z upływem czasu. Prawo takie pozwala znając stan początkowy układu, przewidywać stany przyszłe UD.

Układy dynamiczne – są to mechaniczne, fizyczne, chemiczne i biologiczne obiekty, procesy numeryczne i procesy przekształcania informacji, realizowane zgodnie z konkretnymi algorytmami. Opisanie UD w sensie zadania prawa ewolucji również dopuszcza wielką różnorodność – realizuje się je z pomocą równań różniczkowych, odwzorowań dyskretnych, z pomocą teorii grafów, łańcuchów Markowa itd.

Wybór jednego ze sposobów opisu daje konkretną postać matematycznego modelu odpowiedniego UD.

Model matematyczny UD przyjmuje się jako zadany, jeśli wprowadzono zmienne dynamiczne (współrzędne) układu, określono jednoznacznie jego stan oraz wskazano prawo ewolucji stanu w czasie.

W zależności od stopnia przybliżenia jednemu i temu samemu układowi można przypisać różne modele matematyczne.

Analiza realnych układów biegnie na drodze analizy odpowiednich modeli matematycznych, uzasadnienie i rozwój, których określone jest poprzez analizę eksperymentalnych i teoretycznych wyników przy ich porównaniu.

W związku z tym pod UD będziemy rozumieli właśnie jego model matematyczny. Analizując jeden i ten sam UD ( np. ruch wahadła ), w zależności od stopnia uwzględnienia różnorodnych czynników otrzymamy różne modele matematyczne. W charakterze przykładu możemy rozpatrzyć model nieliniowego oscylatora :

x^•• + sin(x) = 0 , x^•• = d2x/dt2 (1.1) Jak wiadomo funkcja sin(x) jest analityczna jest analityczna i jej rozkład w szereg Taylora ma postać :

Przy małych x << 1 sin(x) ≅ x, dlatego w przypadku x << 1 otrzymujemy model oscylatora liniowego :

x^•• + x = 0 (1.3)

Kolejnym przybliżeniem może być model nieliniowy :

x^•• + x – 1/6x3 = 0 (1.4)

itd.

Na rysunku 1.1 pokazano wyniki aproksymacji funkcji sin(x) przez skończoną liczbę członów szeregu Taylora n = 0, 1, ... , 43

Dla każdej konkretnej wartości n otrzymamy nowy układ dynamiczny w zadanym przybliżeniu opisujący proces drgań wahadła fizycznego.

Rys. 1.1 Aproksymacja funkcji sin(x) przez skończoną liczbę członów szeregu rozkładu Taylora.

1.3 Kinematyczna interpretacja układu rr.

Rozpatrzmy DU modelowane przez skończoną liczbę rrz. Dla takich układów zachowała się terminologia , pierwotnie związane w mechanice. W rozpatrywanym przypadku w celu zdefiniowania UD należy wskazać obiekt, dopuszczający opis stanu poprzez zadanie wielkości x1, x2 , ... , xN w pewnej chwili czasu t = t0.

Wielkości xi mogą przyjmować dowolne wartości, przy czym dwóm różnym zbiorom wielkości xi i x’i odpowiadają dwa różne stany. Prawo ewolucji UD w czasie opisywany jest przez układ rrz :

dxi /dt ≡ xi^• = fi (x1, x2 , ... , xN ) , i = 1, 2, ... , N (1.5) Jeśli rozpatrywać wielkości x1, x2 , ... , xN jako współrzędnych punktu x w N-wymiarowej przestrzeni, to otrzymamy poglądową geometryczną reprezentacje stanu UD w postaci takiego punktu. Punkt ten nazywa się punktem fazowy, a przestrzeń stanów – przestrzenią fazową UD. Zmianie stanu układu w czasie odpowiada ruch punktu fazowego wzdłuż pewnej linii, nazywanej trajektorią fazową. W przestrzeni fazowej układy równań (1.5) określają pole wektorowe prędkości, które przyporządkowuje każdemu punktowi x wychodzący z niego wektor prędkości F(x), składowe, którego zadane są prawymi częściami równań (1.5) :

[ f1(x1, x2 , ... , xN ), f2(x1, x2 , ... , xN ), … , fN(x1, x2 , ... , xN )]

Układ dynamiczny (1.5) może być zapisany w postaci wektorowej :

x^• = F(x) (1.6)

gdzie F(x) – funkcja wektorowa o wymiarze N

Należy jeszcze uściślić związek pojęcia liczby stopni swobody i wymiaru przestrzeni fazowej UD.

Pod pojęciem liczby stopni swobody rozumiemy najmniejszą liczbę niezależnych współrzędnych, wymaganych dla jednoznacznego określenia stanu układu. Pod pojęciem współrzędnych w pierwszej kolejności rozumiemy zmienne przestrzenne, charakteryzujące wzajemne położenie ciał i obiektów. Jednocześnie dla jednoznacznego rozwiązania odpowiednich równań ruchu należy, oprócz współrzędnych, zadać odpowiednie wartości początkowe pędów lub prędkości. W związku z tym układ o n stopniach swobody charakteryzuje się przestrzenią fazową o wymiarze dwukrotnie większym N = 2n.

1.4 Definicja UD, klasyfikacja.

UD jest formalinie zdefiniowany, jeśli zadane są trzy następujące elementy : 1) zbiór stanów X, tworzący przestrzeń metryczną zupełną ( przestrzeń fazową ) 2) interwał (dyskretny lub ciągły ) czasu θ

3) operator ewolucji Tτ

t0 – jako pewne odwzorowanie : Tτ

t0 : X → X

które każdemu stanowi x0 ∈ X w chwili początkowej t0 ∈ θ jednoznacznie przyporządkowuje pewien stan xt ∈ X w dowolnej innej chwili czasu t = t0 + τ ∈ θ. Możemy zatem zapisać :

xt = Tτ

t0 x0 ; t = t0 + τ (1.7)

Operator ewolucji jest ciągły w X i posiada następujące własności :

T0t0 x0 = x0 (1.8)

Tτ+s

t0 x0 = Tτ

t0+ s ° Tst0 x0 = Ts

t0+τ ° Tτ

t0 x0 (1.9)

gdzie ° - oznacza superpozycje operatorów.

Wychodząc z charakteru zbiorów X i θ oraz własności operatora ewolucji można podać najogólniejszą klasyfikacje UD.

Jeśli θ = R1 tj. czas stanowi zbiór ciągły ( odcinek prostej ), to operator ewolucji jest ciągły po τ i odpowiedni UD nazywa się układem dynamicznym z czasem ciągłym lub potokiem ( analogicznie do przepływu cieczy – patrz analogia cieczy fazowej ). Jeśli zbiór θ jest przeliczalny, to UD nazywa się układem dynamicznym z czasem dyskretnym lub kaskadą.

Zbiór stanów X, jak i zbiór θ mogą być różnorakie. Może to być zbiór skończony lub przeliczalny, co jest charakterystyczne dla klasy UD, nazywanych automatami komórkowymi. Zbiór X może reprezentować przestrzeń arytmetyczną o skończonym wymiarze N ( rzeczywistą RN lub zespoloną ZN ). Takim jest przestrzeń fazowa UD, zadanego przez rrz. X może być również przestrzenią funkcjonalną, w tym przypadku UD zadany jest przez rrc, równania całkowe, różniczkowo-całkowe, lub rrz z opóźnionym argumentem. W dalszej kolejności skupimy się głownie na UD jako potokach o przestrzeni stanów X = RN

Operator ewolucji może posiadać określone własności charakterystyczne, które pozwalają wyróżnić osobne klasy UD, np.

można wyróżnić klasę liniowych UD, dla których operator ewolucji jest operatorem liniowym, tj. spełnia zasadę superpozycji :

Tτ

t0( x + y ) = Tτ

t0x + Tτ

t0y (1.10)

Jeśli operator jest nieliniowy ( nie spełnia (1.10), to odpowiadający mu UD nazywa się nieliniowym.

Jeśli operator ewolucji Tτ

t0 określony jest dla wszystkich wartości przesunięcia czasu τ ( zarówno τ ≥ 0 jak i τ < 0 ), to jest on operatorem odwracalnym, tj. istnieje operator do niego odwrotny T–τ

t0+ τ pozwalający, znając stan układu w chwili t = t0 + τ, znaleźć stan układu w chwili poprzedzającej t0. UD nazywa się wtedy odwracalnym w czasie. Jeśli operator ewolucji jest określony tylko dla τ ≥ 0, to jest on nieodwracalny i stanu poprzedzającego UD nie można określić, w tym przypadku układ nazywa się nieodwracalnym w czasie.

Jeśli operator ewolucji Tτ

t0 nie jest zależny od chwili t0 a jest określony tylko poprzez stan początkowy x0 i interwał τ, to UD nazywa się autonomicznym, w przeciwnym wypadku UD nazywa się nieautonomicznym. W oznaczeniu operatora ewolucji układu autonomicznego nie trzeba wskazywać początkowej chwili czasu, tj. Tτ

t0 = Tτ, a własność (1.9) przyjmuje postać :

Tτ+s

x0 = Tτ ° Tst0 x0 = Ts ° Tτ

x0

Z fizycznego punktu widzenia autonomiczność DU oznacza, że na układ ten nie działają żadne siły zewnętrzne i parametry układu są stałe w czasie. W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali układy autonomiczne lub układy, które można sprowadzić ku nim, dodając niektóre zmienne stanu. Ważnym jest przy tym, aby charakterystyczne trajektorie UD pozostawały ograniczonymi. Przykładowo, do postaci autonomicznej łatwo możemy sprowadzić układy z harmonicznym oddziaływaniem zewnętrznym. Rolę dodatkowej zmiennej odgrywa faza oddziaływania zewnętrznego, zadawana w ograniczonym interwale np. [ – π, + π ].

Jeśli operator ewolucji zachowuje objętość fazową, to UD nazywa się zachowawczym. Całkowita energia układu zachowawczego pozostaje stała. Jeśli operator ewolucji zmniejsza objętość fazową, to układ nazywa się dysypatywny, w takim układzie następuje rozpraszanie – dysypacja energii.

Sposób zadania operatora ewolucji może być różnorodny. Jak już mówiliśmy operator Tτ

t0 często zadaje się w postaci niejawnej w postaci rr lub układu rr. Możliwe jest również przedstawienie operatora ewolucji w postaci przekształcenia całkowego, w postaci macierzy lub tabeli, w postaci wykresu lub funkcji itp.

1.5 Układy drgające i ich własności.

Ważną grupę UD reprezentują układy w których możliwe są drgania. Układy drgające z punktu widzenia ich modeli matematycznych dzielą się na odpowiednie klasy. Rozróżniamy liniowe i nieliniowe układy drgające, układy o parametrach skupionych lub rozproszonych, konserwatywne i dysypatywne, autonomiczne i nieautonomiczne.

Osobną klasę reprezentują tzw. układy autodrgające. Szczegółowe własności wskazanych układów omawiane są w pracach związanych z teorią drań.

Układ drgający nazywa się liniowym lub nieliniowym w zależności od tego, czy opisujący jest układ rr jest liniowy, czy też nieliniowy. Układy liniowe stanowią przypadek szczególny układów nieliniowych. Jednakże w związku ze swoją

zasadniczą rolą układów liniowych przy analizie zagadnień stabilności drgań, jak również możliwości wykorzystanie zasady superpozycji taka klasyfikacja jest pomijana.

Układy drgające, modelowane przez skończoną liczbę rrz, nazywa się układami o parametrach skupionych. Są one opisywane z użyciem skończenie wymiarowej przestrzeni fazowej i posiadają skończoną liczbę stopni swobody.

Jeden i ten sam układ, przy różnych warunkach może być rozpatrywany jako układ o parametrach skupionych lub rozproszonych. Modelem matematycznym układu o parametrach rozproszonych są rrc, równania całkowe lub rrz z opóźnionym parametrem. Liczba stopni swobody takiego układu jest nieskończona i wymagane jest wprowadzenie nieskończenie wielu danych początkowych w celu określenia jego stanu. W teorii drgań elektrycznych układy rozpatrywane są jako skupione w tych przypadkach, kiedy długość fali drgań jest istotnie większa od wymiarów

geometrycznych samego układu. Jeśli rozmiary urządzenia są porównywalne z długością generowanych przez niego fal, to układ taki należy rozpatrywać jako układ rozproszony.

Układy konserwatywne charakteryzują się niezmiennym w czasie zapasem energii. W mechanice nazywa się je układami hamiltonowskimi. Dla układów zachowawczych o n stopniach swobody definiuje się tzw. hamiltonian układu H(p, q ), gdzie qi , pi – odpowiednio uogólnione współrzędne i pędy ; i = 1, 2, ... , n

Hamiltonian w pełni charakteryzuje dynamiczną naturę układu i z fizycznego punktu widzenia w większości przypadków reprezentuje jego energię całkowitą.

Ewolucja w czasie układów zachowawczych opisywana jest przez równania Hamiltona :

q^•i = ∂H(p,q)/∂pi , p^•i = – ∂H(p,q)/∂qj (1.11)

Z równań (1.11) wynika : n

Σ ^{[ (∂q•}i /∂qi ) + (∂p^•i /∂pi )] = 0 (1.12)

i=1

Z użyciem uogólnionych współrzędnych fazowych zależność (1.12) można przedstawić jako : N

Σ ^∂x•i /∂xi = 0 (1.13)

i=1

co oznacza równość zero dywergencji wektorowego pola prędkości.

Ruch punktów w przestrzeni fazowej interpretujemy w danym przypadku jako stacjonarny przepływ cieczy nieściśliwej, spełniającej równanie ciągłości. Wynika stąd, że element objętości fazowej w układach zachowawczych nie zmienia się w czasie.

UD ze zmieniającym się w czasie zapasem energii nazywa się niezachowawczymi. Układy w których energia zmniejsza się w wyniku obecności tarcia lub rozpraszania, nazywają się dysypatywnymi. Układy, których energia narasta w czasie nazywają się układami z ujemnym tarciem lub ujemną dysypacją. Takie układy można rozpatrywać jako dysypatywne przy zmianie skierowania odliczania czasu na przeciwne. Zasadniczą własnością układów dysypatywnych jest zależność elementu objętości fazowej od czasu. W układach z pochłanianiem energii objętość fazowa zmniejsza się w czasie, a w układach z ujemnym tarciem – zwiększa się.

Układy drgające nazywa się autonomicznymi, jeśli nie są one poddane działaniu sił zewnętrznych, zmiennych w czasie.

Równania układów autonomicznych nie zawierają jawnej zależności od czasu.

Większość rzeczywistych układów drgających w fizyce, radiofizyce, biologii, chemii i innych są to układy niezachowawcze. Pośród nich możemy wyróżnić osobną klasę tzw. układów autodrgających, które są zasadniczo niezachowawcze i są nieliniowe. UD nazywa się autodrgający jeśli przekształca energię źródła w energię drgań

niegasnących, przy czym podstawowe charakterystyki drgań ( amplituda, częstość, forma drgań itp. ) określone są przez parametry samego układu i w określonych granicach nie zależą od wyboru wejściowego stanu początkowego.

1.6 Portrety fazowe typowych układów drgających.

Metoda analizy procesów drgań z pomocą analizy geometrii trajektorii fazowych UD została wprowadzona do teorii drgań przez L. I. Mandelsztama i A. A. Andronowa i od tej pory stała się standardowym instrumentem analizy najróżniejszych zjawisk drgających.

Dalej omówimy kilka prostych, ale typowych przykładów reprezentacji procesów dynamicznych w postaci trajektorii reprezentujących punkty w przestrzeni fazowej.

Oscylator zachowawczy. Rozpatrzmy liniowy oscylator bez strat, którego równania można sformułować na przykładzie obwodu LC (rys. 1.2a ), zakładając amplitudę drgań wystarczająco małą. Wybierając w charakterze zmiennej ładunek q zgromadzony na kondensatorze, z pomocą równań Kirchoffa otrzymamy :

q^•• + (LC)–1q = 0 (1.14)

Mnożąc (1.14) przez Lq^• otrzymujemy :

d/dt ( ½ Lq^•2+ ½ (q2/C )) = 0 (1.15)

tj. dla dowolnej chwili czasu spełnione są równości :

E = EL + EC = const. , EL = ½ Lq^•2 , EC = q2/2C (1.16)

Odzwierciedlające stałość w czasie energii całkowitej oscylatora ( sumy energii magnetycznej EL i elektrycznej EC ) W dogodniejszych współrzędnych równania oscylatora można zapisać w następujący sposób ( wprowadzając zamianę czasu τ = t/ √LC ) :

x^•• + x = 0 , x^•2 + x2 = a2 , a = const. (1.17)

Dla współrzędnych fazowych x1= x, x2 = x^• możemy zapisać równania o postaci :

x^•1= x2 , x^•2 = –x1 ; x12 + x22 = a2 (1.18)

Portret fazowy takiego układu przedstawia sobą okrąg o promieniu a, o środku w początku współrzędnych. Punkt w przestrzeni fazowej, w którym wektor prędkości fazowej zeruje się nazywa się punktem osobliwym i w danym przypadku zero współrzędnych jest właśnie punktem osobliwym lub centrum.

Rys. 1.2 Oscylator zachowawczy : a) obwód drgający LC, modelowany równaniem (1.17), b) – portret fazowy drgań przy zadanym poziomie energii.

Obecność całki ruchu dla układu zachowawczego 2-go rzędu, odzwierciedlający w danym przypadku fakt zachowania energii (1.16) daje nam możliwość opisania go z pomocą równania 1-go rzędu. Definiując nową zmienną ϕ poprzez zależności :

x1 = a cos(ϕ) , x2 = – a sin(ϕ) (1.19)

otrzymamy równania :

ϕ^• = 1 , a^• = 0 (1.20) które przedstawia sobą prawo ruchu punktu fazowego. W czasie ewoluuje jedna zmienna ϕ, zatem przestrzeń fazowa oscylatora zachowawczego o zadanej energii jest jednowymiarowa. Drganiom harmonicznym oscylatora odpowiada równomierny ruch który można przedstawić punktem poruszającym się po okręgu o promieniu a, tak jak to pokazano na rysunku 1.2b.

Jeśli układ zachowawczy jest nieliniowy, to jego portret fazowy jest bardziej złożony. Zilustrujemy ten fakt na przykładzie równania :

x^•• + sin(x) = 0 (1.21)

W zmiennych fazowych x1= x , x2 = x^• równanie (1.21) możemy zapisać następująco :

x^•1= x2 , x^•2 = – sin(x1) (1.22)

Stany równowagi nieliniowego wahadła na płaszczyźnie fazowej umiejscowione są wzdłuż osi x1( x2 = 0 ) w punktach x1 = 0, ±π, ±2π, ... Odpowiedni portret fazowy tego układu przedstawiono na rysunku 13. Widać na nim, że punkty osobliwe x1 = 0, ±2π, ±4π, ... – są typu centrum, a x1 = ±π, ±3π, ... – są to punkty niestabilne typu siodło.

Rys. 1.3 Portret fazowy oscylatora (1.21)

W pobliżu centrów portret fazowy odpowiada nieliniowemu oscylatorowi : trajektorie przedstawiają sobą krzywe zamknięte, bliskie okręgom, co odzwierciedla charakter małych co do amplitudy drgań, bliskich harmonicznym.

Przez punkty niestabilne przechodzą osobliwe krzywe całkowe Γ0, nazywane separatysami siodła. Rozdzielają one przestrzeń fazową na obszary o różnym zachowaniu. Wraz ze zwiększeniem energii wahadła jego drgania ewoluują od quasiharmonicznych w pobliżu punktów typu centrum, do nieliniowych periodycznych drgań w pobliżu separatys. Dalszy wzrost energii prowadzić będzie do ruchu obrotowego. Sytuacja, kiedy energia wahadła odpowiada ruchowi po

separatysie, nazywa się niegrubą. Najmniejsze odchylenie energii w tą lub inną stronę prowadzi do jakościowo różnym typom ruchu – drgającego lub obrotowego.

Jak widać z rysunku 1.3 stan wahadła określony jest przez kąt jego odchylenia od położenie równowagi x1 i prędkość x2 jednakże dla wartości x1 różniących się o liczbę całkowitą 2nπ, dynamika układu jest identyczna. Dlatego płaszczyzna zmiennych x1, x2 nie jest, mówiąc ściśle płaszczyzną fazową układu ponieważ nie występuje tutaj jej jednoznaczność.

Póki rzecz idzie o ruchach, których reprezentatywne trajektorie leżą wewnątrz konturu separatysowego, tj. o drganiach w otoczeniu centrum, niejasności się nie pojawiają. Jednakże w przypadku jeśli energia układu przewyższa wartość krytyczną i ruch staje się ruchem obrotowym, płaszczyzna fazowa nie jest już odpowiednia dla jednoznacznego opisu i pod uwagę należy wziąć cylindryczną przestrzeń fazową.

Liniowy oscylator z tłumieniem.

Dysypacja energii, powodowana obecnością np. tarcia, okazuje zasadniczy wpływ na charakter ruchu układu. Najprostsze własności przejawiają się w układach z pełną dyssypacją energii, kiedy siły tarcia działają po wszystkich stopniach swobody, a dopływ energii z zewnątrz nie występuje. Rozpatrzmy procesy zachodzące w liniowych dysypatywnym oscylatorze, kiedy siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości zmienności współrzędnej. Przykładem takiego układu może być obwód drgający, zawierający opór – obwód RLC.

Równanie takiego obwodu ma postać :

Lq^•• + Rq^• + q/C = 0 (1.23)

i poprzez zamianę zmiennych możemy sprowadzić go do postaci bezwymiarowej :

x^•• + 2δx^• + x = 0 , 2δ = R sqrt(L/C ) , τ = t /sqrt(LC) (1.24)

Przy δ = 0 otrzymujemy zachowawczy oscylator liniowy, rozpatrzony wcześniej. Wprowadzenie małego tarcia jakościowo zmienia portret fazowy układu. Dla 0 < δ < 1 rozwiązaniem układu (1.24) jest :

x = A exp(–δτ ) cos(ωτ + ψ ) , ω = sqrt( 1 – δ2 ) (1.25)

gdzie A, ψ - dowolne stałe, określone przez warunki początkowe.

Na płaszczyźnie fazowej dla dowolnych danych początkowych mamy zakręcające się spirale, po których punkty fazowe asymptotycznie przybliżają się ku początkowi współrzędnych krzywe o takiej postaci charakteryzują tłumiony proces drgający. Zero współrzędnych jest punktem osobliwym układu, który w przypadku δ < 1 jest stabilnym ogniskiem (rys. 1.4a)

Jeśli współczynnik tarcia δ > 1, to proces jest aperiodyczny :

x = A1 exp(λ1τ ) + A2 exp(λ2τ ) , λ1,2 = ½ [ –δ ± ( δ2 – 1)½ ] (1.26) Trajektorie fazowe przedstawiono na rysunku 1.4b. Punkt osobliwy we wskazanych warunkach jest stabilnym węzłem.

Zatem, przy dowolnych wartościach fizycznych parametrów układu, kiedy δ > 0, dysypatywne wahadło charakteryzuje się jednoznacznym globalnie stabilnym stanem równowagi znajdującym się w zerze współrzędnych fazowych.

Niezależnie od wyboru warunków początkowych obserwujemy tłumiony ruch drgający lub ruch aperiodyczny.

Przy t →∞ dowolny punkt płaszczyzny fazowej dąży do początku współrzędnych tworząc stabilne ognisko lub węzeł.

Rys. 1.4 Portret fazowy dysypatywnego oscylatora (1.24) z parametrem a) δ < 1 ; b) δ > 1

Opisana własność jest ogólną dla UD z pełną dyssypacją energii. Położenia równowagi typu stabilnego ogniska lub węzła są tutaj globalnie przyciągające w tym sensie, że trajektorie fazowe wychodzące z dowolnego punktu przestrzeni fazowej dążą do nich asymptotycznie. Stacjonarne nietłumione drgania w liniowych układach dysypatywnych okazują się niemożliwe. Z fizycznego punktu widzenia jest to zrozumiałe – nie ma warunków podtrzymujących drgania. Energia tracona na przezwyciężenie siły tarcia nie jest odtwarzana.

1.7 Układy autodrgające.

Możliwość istnienia w autonomicznym układzie periodycznie asymptotycznie stabilnego ruchu, który przedstawiony jest przez izolowaną zamkniętą trajektorie w przestrzeni fazowej, ku której w czasie są przyciągane trajektorie z pewnego otoczenia niezależnie od warunków początkowych, jest zapewnione tylko w nieliniowych układach dysypatywnych.

Ten typ UD jest na tyle ważny przy analizie procesów drgających, ze dla jego nazwania A. A. Andronow zaproponował specjalny termin – układy autodrgające. Matematycznym obrazem autodrgań jest cykl graniczny Andronowa- Poincarego Zamknięta izolowana trajektoria w przestrzeni fazowej, odpowiadająca stabilnemu ruchowi periodycznemu.

W charakterze przykładu UD z takim cyklem granicznym rozpatrzymy klasyczny nieliniowy oscylator van der Pola, równanie drgań którego ma postać :

x^•• – ( ε – x2 )x^• + x = 0 (1.27)

Parametr ε, charakteryzujący podawanie energii do układu ze źródła zewnętrznego, jest istotnym parametrem oscylatora i nazywa się parametrem wzbudzenia. Z porównania równań (1.27) i (1.24) wynika, że oscylator van der Pola opisuje bardziej złożony obwód drgający, charakter i wartość dysypacji w którym zależne są od zmiennej x.

We współrzędnych fazowych równanie drgań oscylatora (1.27) ma postać :

x1^• = x2 , x2^• = ( ε – x12 )( 1 – bx12 ) x2 – x1 (1.28)

przy czym :

( ε – x12 )( 1 – bx12 ) ≠ 0 (1.29)

Równań (1.28) nie udało się rozwiązać analitycznie, stosowane są do niego metody numeryczne.

W praktycznie ważnym przypadku ( ε > 0 ) równania (1.28) mają jedno stabilne rozwiązanie w postaci cyklu granicznego Γ, który jest przedstawiony na rysunku 1.5a ( zobacz wykład 4 )

Rys. 1.5 Zbiory graniczne oscylatora van dr Pola (1.27) : a) cykl graniczny Γ, obliczany dla ε = 0,1 ; b) rzut

dwuwymiarowego torusa na płaszczyznę zmiennych (x1, x2 ) , numeryczne całkowanie równania (1.30) dla wartości parametrów ε = 0,1 ; B = 0,1 ; p = 1,35 ; ϕ0 = 0

Położeni równowagi w początku współrzędnych, w którym w pobliżu zera można zaniedbać nieliniowość, jest

niestabilnym ogniskiem. Trajektorie z otoczenia stanu równowagi dążą asymptotycznie do cyklu granicznego. Jak pokazuje analiza, cykl graniczny jest stabilną izolowaną strukturą, przyciągającą ku siebie trajektorie z dowolnego punktu na płaszczyźnie fazowej.

Zatem w UD z nieliniową zależnością dysypacji energii od zmiennej, wykonującej drgania, pojawia się zasadniczo nowy typ zbioru przyciągającego – cykl graniczny. Obliczenie świadczą iż na cyklu granicznym w czasie okresu drgania dola rozpraszanej i wnoszonej energii są ściśle kompensowane.

Na koniec, rozpatrzymy jeszcze jeden przypadek typowej struktury w przestrzeni fazowej UD, pojawiającej się np. przy periodycznym zaburzenie układu z stabilnym cyklem granicznym.

Dodajmy do równania (1.27) źródło harmonicznego działania o stosunkowo małej amplitudzie B i częstości p, którą przyjmiemy jako nie związaną wymiernie z częstością drgań periodycznych autonomicznego oscylatora :

x^•• – ( ε – x2 )( 1 – bx2 )x^• + x = B sin( pτ + ϕ0 ) (1.30)

Periodyczna modulacja cyklu granicznego układu autonomicznego prowadzi do tego, że trajektoria fazowa z zadaną częstością p obraca się wokół cyklu granicznego i leży na dwuwymiarowej powierzchni, reprezentującej sobą powierzchnię torusa. Analogicznie do przypadku cyklu granicznego taka powierzchnia będzie zbiorem granicznym, do którego ściągane są wszystkie trajektorie z pewnego otoczenia torusa ( zarówno z jego wnętrza jak i z zewnątrz )

Łatwo sobie wyobrazić, że minimalny wymiar przestrzeni fazowej, do której można włożyć dwuwymiarowy torus, jest równa 3. Na rysunku 1.5b pokazano rzut na płaszczyznę zmiennych (x1, x2 ) trajektorii leżących na dwu wymiarowym torusie, otrzymanych przez numeryczne całkowanie układu (1.30).

1.8 Regularne i chaotyczne atraktory.

Wszystkie trajektorie w przestrzeni fazowej układu dysypatywnego można rozdzielić na trajektorie, odpowiadające procesom przejściowym ( procesom relaksacji układu ku pewnym ustanawiającym się reżimom ) i trajektorie należące do inwariantnych zbiorów granicznych. Trajektorie drugiego typu odpowiadają ustanowionym reżimom funkcjonowania układu. Mówiliśmy już o cyklu granicznym i granicznym zbiorze toroidalnym. Podamy teraz ogólną definicje zbiorów granicznych UD.

Punkt p ∈RN nazywa się punktem ω-granicznym trajektorii x(t) , t ≥ t0 jeśli istnieje ciąg tk → ∞ przy k → ∞ taki, że ciąg stanów x(tk ) jest zbieżny do punktu p.

Analogicznie - punkt q ∈RN nazywa się punktem α-granicznym trajektorii x(t) , t ≤ t0 jeśli istnieje ciąg tk → –∞ przy k → –∞ taki, że ciąg stanów x(tk ) jest zbieżny do punktu q.

Zbiór wszystkich punktów ω-granicznych trajektorii x(t) nazywa się ω-granicznym zbiorem danej trajektorii.

Oznaczmy taki zbiór jako ω(x(t)). x2^• = =

Analogicznie - zbiór wszystkich punktów α-granicznych trajektorii x(t) nazywa się α-granicznym zbiorem danej

trajektorii. Oznaczmy taki zbiór jako α(x(t)). Zbiory graniczne dowolnej trajektorii fazowej same składają się z trajektorii fazowych. Oprócz tego, zbiory graniczne ω i α są inwariantne względem operatora ewolucji. To oznacza, że operator ewolucji odwzorowuje dowolny punkt zbioru granicznego w punkt tego właśnie zbioru.

Analizując, gdzie dążą różne trajektorie UD w kierunku prostym i odwrotnym czasu, można wydzielić wszystkie inwariantne zbiory graniczne w przestrzeni fazowej. Typowe zbiory graniczne trajektorii na płaszczyźnie fazowej – są to stany równowagi, ruchy periodyczne i trajektorie osobliwe typu separatys, dwojako asymptotycznych ku siodłowym stanom równowagi. Wskazane zbiory graniczne w pełni wyczerpują możliwe sytuacje na płaszczyźnie fazowej.

Odpowiadają im trzy różne typy rozwiązań równań. Kontury separatysowe i pętle – szczególne krzywe, które w układach dysypatywnych nie są strukturalnie stabilne (nie są grube ). Istnieją one tylko przy określonych wartościach parametrów i znikają przy dowolnie małym zaburzeniu operatora ewolucji. Przeciwnie do tego, punkty równowagi i cykle graniczne przy spełnieniu niektórych warunków będą strukturalnie stabilnymi zbiorami granicznymi i mogą istnieć w pewnym obszarze przestrzeni parametrów.

Rozpatrzmy strukturalnie stabilne zbiory graniczne w RN. Jeśli pewien zbiór Q jest zbiorem granicznym w przestrzeni fazowej UD, to oznacza to jedną z trzech możliwości :

1) Q jest zbiorem ω-granicznym dla wszystkich trajektorii leżących w pewnym obszarze przestrzeni fazowej U, nie należącej do Q. W tym przypadku zbiór Q jest przyciągającym zbiorem granicznym lub atraktorem UD.

2) Q jest zbiorem α-granicznym dla wszystkich trajektorii należących do U, i nie należących do Q. Wtedy Q nazywa się odpychającym zbiorem granicznym lub repelerem.

3) W U istnieją trajektorie nie należące do Q, dla których Q jest zbiorem ω-granicznym i trajektorie dla których Q jest zbiorem α-granicznym. W tym przypadku zbiór Q jest siodłem np. siodłowym punktem równowagi, siodłowym cyklem granicznym, siodłowym torusem.

Trajektorie fazowe, dla których siodło Q jest zbiorem ω-granicznym i trajektorie fazowe, dla których Q jest zbiorem α-granicznym, należą do pewnych gładkich inwariantnych rozmaitości o wymiarze mniejszym niż N. Takie rozmaitości nazywa się odpowiednio : rozmaitościami stabilnymi i niestabilnymi siodłowego zbioru granicznego Q. Dla siodłowego punktu równowagi na płaszczyźnie stabilne i nie stabilne rozmaitości składają się z pary separatys, odpowiednio wchodzących i wychodzących do siodła ( rys. 1.3)

Przy inwersji czasu ( zamianie t → – t ) atraktory UD stają się repelerami, a repelery – atraktorami. Siodła pozostają siodłami, jednakże charakter inwariantnych rozmaitości zmienia się na przeciwny : rozmaitości stabilne staja się niestabilne i na odwrót.

Przy wszelkiej swej ważności repelerów i siodeł w strukturze portretu fazowego UD największy interes dla nas stanowią atraktory, ponieważ odpowiadają one eksperymentalnie obserwowalnym stabilnym ustanawiających się reżimów funkcjonowania UD. Dlatego też zastanowimy się teraz dokładniej nad definicją pojęcia atraktora. Podana wcześniej definicja atraktora (jak i repelera ) nie jest w pełni ścisła i nie jest jedyną możliwą. Mówiąc ogólnie, nie ma jednej i ogólnie przyjętej takiej definicji. Najczęściej, zwłaszcza w literaturze matematycznej, wykorzystuje się definicje atraktora jako maksymalnego atraktora obszaru pochłaniającego. Podamy teraz taką właśnie definicję.

Niech UD zadany będzie przez operator ewolucji Tτ : RN → RN i niech B będzie obszarem pochłaniającym w RN tj.

dla B spełniony jest warunek TτB– ⊂ B , τ > 0 B– - domknięcie B

Atraktorem maksymalnym Amax w obszarze pochłaniającym B nazywa się zbiór : Amax = ∩ ^{Tτ B}

τ >0

Pewien zbiór inwariantny A nazwiemy atraktorem UD, jeśli istnieje obszar pochłaniający, dla którego A jest atraktorem maksymalnym.

Basenem przyciągania atraktora A nazywa się zbiór U, taki że wszystkie trajektorie z U dążą do A przy t → ∞.

Atraktor maksymalny nie zawsze pokrywa się z zbiorem ω-granicznym trajektorii w U.

Przykładowo, rozpatrzmy dwuwymiarowy torus w RN ze strukturą rezonansową, składającą się z cykli - stabilnego i siodłowego. Torus w tym przypadku jest utworzony przez rozmaitość niestabilną cyklu siodłowego. Cała powierzchnia torusa jest atraktorem maksymalnym dla pewnego obszaru pochłaniającego, jednakże zbiorem ω-graniczny będzie tylko stabilny cykl rezonansowy. Właśnie on jest atraktorem z „fizycznego punktu widzenia”, ponieważ odpowiada on eksperymentalnie obserwowalnemu reżimowi ustanawiających się drgań.

Atraktorami układów, których stan zadany jest przez jedną rzeczywista zmienną skalarną ( tj. zbiór stanów jest to R1 ) mogą być tylko punkty równowagi. Dla układów na płaszczyźnie fazowej atraktorami mogą być zarówno punkty równowagi, jak i cykle graniczne. Do czego może prowadzić zwiększenie wymiaru układu np. N = 3 ?

Całkiem niedawno do początku 1960-tych lat z zwiększeniem wymiaru przestrzeni fazowej układów dysypatywnych wiązano możliwości pojawienia ( jako dopełnienie do wymienionych powyżej ) tylko atraktorów quasiperiodycznych, odpowiadającym ruchom na k-wymiarowych torusach ( k= 2, 3, ... )

Ważnym wynikiem analiz ostatnich lat było ujawnienie zasadniczo nowych typów ruchów w UD. Takim ruchom w przestrzeni fazowej o wymiarze N ≥ 3 odpowiadają odpowiednio złożenie zbudowane zbiory przyciągające, których trajektorie nie nalezą do wymienionych powyżej typów atraktorów. Trajektoria fazowa jest teraz nieskończoną, nigdzie nie przecinająca się krzywą. Przy t → ∞ trajektoria ta nie wychodzi z zamkniętego obszaru i nie tworzy znanych typów atraktorów. Właśnie z istnieniem takich trajektorii wiąże się możliwość chaotycznego zachowania deterministycznych UD o wymiarze przestrzeni fazowych N ≥ 3.

Po raz pierwszy takie własności UD odkrył w 1963 roku E. Lorenza przy numerycznym badaniu dynamiki

trójwymiarowego modelu konwekcji termicznej. Osiem lat później w pracy teoretycznej D. Ruelle i F. Takens obszar przyciągający w przestrzeni fazowej UD, charakteryzujących się reżimem ustanawiających się nieperiodycznych drgań nazwali dziwnym atraktorem. Termin ten został od razu pochwycony przez licznych badaczy i zadomowił się dla oznaczenia matematycznego obrazu nieregularnych drgań zdeterminowanych UD.

Atraktory w postaci stanów równowagi. Cykli granicznych lub k-wymiarowych torusów nazywają się prostymi lub regularnymi, podkreślając tym samym, fakt że ruchu na nich odpowiadają wyobrażeniom o stabilnym w sensie Lapunowa, zdeterminowanym zachowaniu UD. Z dziwnym atraktorem związana jest realizacja nieregularnego ( w sensie nie

występowania periodyczności ) drgającego reżimu, który w wielu aspektach jest zbieżny z naszymi wyobrażeniami o stacjonarnych procesach stochastycznych.

Jednakże termin „stochastyczny” ma tutaj w pełni określony sens. Ruch stochastyczny jest nieprzewidywalny lub jest przewidywalny z określonym prawdopodobieństwem. Innymi słowy, trajektorie ruchu stochastycznego nie mogą być odtworzone wielokrotnie ani w eksperymencie numerycznym, ani w fizycznym.

Przykładem może tu być klasyczny ruch cząstki Browna. W przypadku dziwnego atraktora mamy ścisłą przewidywalność jedynie w sensie deterministycznego prawa ewolucji. Rozwiązanie równań ( tak samo jak i dla atraktorów regularnych ) spełnia twierdzenie o jednoznaczności i może być jednoznacznie wyznaczone przy ustalonych warunkach początkowych.

Dlatego też dla oznaczenia złożonych „szumo-podobnych” autodrgań, matematycznym obrazem których jest dziwny atraktor, wykorzystuje się pojęcia typu dynamiczna stochastyczność, chaos deterministyczny i podobne.

Ważnym jest odróżniać takie procesy od procesów stochastycznych w klasycznym ich sensie rozumienia, które to przy opisie wymagają uwzględnienia fluktuacji w wejściowych równaniach dynamicznych, podlegają one nowiem równaniom dla gęstości rozkładu prawdopodobieństwa teorii statystycznej.

Przykładem układu z dziwnym atraktorem jest równanie generatora z inercyjną nieliniowością ( generator Aniszczenki- Astachowa 1981 ). Układ ten jest uogólnieniem równania van der Pola na przypadek przestrzeni trójwymiarowej :

x^• = mx + y – xy (1.31)

y^• = – x

z^• = –gz + g I(x)x2 I(x) = { 1 x > 0 { 0, x ≤ 0

Wyniki numerycznego rozwiązania powyższego równania dla wartości parametrów m = 1,5, g = 0,2 pokazano na rysunku 1.6, który ilustruje właśnie dziwny atraktor.

Rys. 1.6 Dziwny atraktor w modelu generatora Aniszczenki-Astachowa (1.31)

1.9 Układy z czasem dyskretnym.

Układy z czasem dyskretnym (kaskady) odgrywają ważną rolę w dynamice nieliniowej. Nazywa się je również odwzorowaniami dyskretnymi. Odwzorowanie dyskretne może być zapisane w postaci :

x(n + 1 ) = P(x(n)) (1.32)

gdzie x ∈ RN – wektor stanu, n – numer iteracji ( czas dyskretny ), P(x) – pewna wektoro-funkcja, nazywana funkcją następstwa.

Funkcja następstwa w postaci jawnej zadaje operator ewolucji w jednym kroku iteracji : Tn1x = P(x(n))

Znając wektor stanu x w pewnej chwili czasu dyskretnego n, możemy znaleźć stan układu w dowolnym innym momencie czasu dyskretnego m = n + k, k > 0 :

x( n + k ) = Tnkx = P(k)(x(n)) = P( P( ... P(x(n)) ... ))

Zatem, wyrażenie (1.32) zadaje dynamikę układu. Dla odwzorowania dyskretnego nie będziemy wymagali odwracalności w czasie operatora ewolucji, inaczej z prowadzonych analiz musielibyśmy wykluczyć nieodwracalne odwzorowania jednowymiarowe, które są szeroko stosowane w dynamice nieliniowej jako modele bazowe.

Tak samo jak potoki, kaskady mogą być dysypatywne (ściskające) lub konserwatywne (zachowujące objętość).

W przestrzeni fazowej odwzorowań dysypatywnych można wyróżnić atraktory i inne zbiory graniczne. Trajektoria fazowa odwzorowania (1.32) składa się z ciągu punktów przestrzeni fazowej :

x1, x2 , ... xi , ... ; gdzie xi = x(i)

Trajektoria fazowa należąca do zbioru granicznego układu (1.32) może składać się z jednego punktu x0 nazywanego punktem stałym odwzorowania. Dla takiego punktu słuszne jest :

P(x0 ) = x0

Jeśli trajektoria jest zamknięta i składa się z k punktów xi , i = 1, 2, ... , k takich, że dla dowolnego i : P(k)(xi ) = xi

to zbiór punktów xi nazywa się cyklem odwzorowania przejścia k. Punkty cyklu nazywa się również punktami stałymi krotności k. Trajektorie quasiperiodyczne i chaotyczne odwzorowania dyskretnego przedstawiają sobą nie zamknięte ciągi punktów, które niekiedy nie powracają ściśle do swojego poprzedniego położenia.

Odwracalne odwzorowania dyskretne mogą być bezpośrednio związane z układami potokowymi, zadawanymi przez rrz.

Aby przejść od potoków do kaskad, należy wprowadzić powierzchnię tnącą S ( w przypadku wielowymiarowym będzie to hiperpowierzchnia ) tak, aby wszystkie trajektorie fazowe przecinały ją ściśle transwersalnie. Jeśli będziemy rozpatrywali punkty przecięcia trajektorii z powierzchnią S przy ruchu w jednym kierunku, to potok generuje na S odwzorowanie dyskretne, które nazywa się również odwzorowaniem Poincarego (rys. 1.7).

Odwzorowanie Poincarego jest obowiązkowo odwracalne i jest jednoznacznie ( ale nie wzajemnie jednoznaczne ) związane z wejściowym potokiem.

Numer porządkowy przecięcia zadanej trajektorii z powierzchnią tnącą jest właśnie czasem dyskretnym n.

Rys. 1.7 Budowa odwzorowania Poincarego powierzchni tnącej S.

Jeśli na UD działa periodyczne siła zewnętrzna, to dla zbudowania odwzorowania dyskretnego można wykorzystać tzw.

przekrój stroboskopowy. Rozpatrujemy punkty trajektorii fazowej, otrzymywane w okresie działania siły zewnętrznej T : x( t0 + nT ) ; n = 0, 1, 2, ...

Przekrój stroboskopy w istocie jest przypadek szczególnym przekroju Poincarego. Jeśli oddziaływanie zewnętrzne jest nieperiodyczne, to możemy przedstawić układ nieautonomiczny w postaci autonomicznym, wprowadzając fazę oddziaływania Ψ∈ [ –π, + π ]. Wtedy przekrój stroboskopowy może być sprowadzone do przekroju trajektorii z płaszczyzną Ψ = const.

Wymiar wszystkich zbiorów granicznych w przestrzeni fazowej układu przy przejściu do odwzorowania Poincarego obniża się o jeden, co sprawia iż portrety fazowe odwzorowania są bardziej poglądowe.

Cyklom granicznym potoków odpowiadają punkty stałe lub cykle odwzorowania Poincarego, składające się z k punktów (rys. 1.7 ) Liczba k określona jest tym ile razy trajektoria przecięła powierzchnię S w wybranym kierunku.

Quasiperiodycznym i chaotycznym trajektoriom potoku odpowiadają quasiperiodyczne i chaotyczne niezamknięte trajektorie tego odwzorowania. Quasiperiodyczne trajektorie, generowane przez trajektorie ergodyczne na dwuwymiarowym torusie, zapełniają inwariantną krzywą zamkniętą, będąca obrazem dwuwymiarowego torusa w odwzorowaniu (rys. 1.8a). Chaotyczne trajektorie odwzorowania Poincarego należą do zbiorów, posiadających złożoną strukturę geometryczną. Jeśli wymiar atraktora chaotycznego nie jest duży, to jego struktura geometryczna w powierzchni tnącej S jest bardziej poglądowa niż „kłębek nici” jaki obserwujemy w przestrzeni fazowej ( rys. 1.8b)

Rys. 1.8 Przekroje Poincarego złożonych zbiorów granicznych : a) inwariantna krzywa zamknięta w przekroju

dwuwymiarowego torusa dla wyrażenia (1.30) przy parametrach a = 1, ε = 0,1, b = 0,3 , B = 0,1, p = 1,35, ϕ0 = 0 b) zbiór o złożonej strukturze geometrycznej w przekroju chaotycznego atraktora dla układu (1.31) przy m = 1,5 , g = 0,2 W charakterze powierzchni tnącej S w obu przypadkach wykorzystano płaszczyznę y = 0.

Jeśli UD posiada wymiar przestrzeni fazowej N = 3, to odwzorowanie Poincarego będzie dwuwymiarowe. W tym przypadku może ono być sprowadzone do odwzorowania płaszczyzny, co sprawia iż dynamika układu jest bardziej poglądowa. Jeśli w przestrzeni fazowej potoku istnieje silne ściskanie wzdłuż pewnych kierunków, to może się okazać, że punkty w przekroju S układają się na pewnej krzywej. W rzeczywistości nie jest to jednowymiarowa krzywa, a zbiór fraktalny o złożonej poprzecznej strukturze, która jest niewidoczna na skutek silnego ściskania. W granicach określonej dokładności można zadać stan układu z pomocą jednej współrzędnej x = s – odległości od danego punktu na krzywej do pewnego ustalonego punktu, wybranego jako zero odniesienia (rys. 1.9a). W ten sposób w pewnych przypadkach, przy silnym ściskaniu, można opisać UD z pomocą jednowymiarowego odwzorowania punktowego pewnego interwału w siebie :

x(n + 1 ) = P(x(n)) (1.33)

Takie odwzorowanie nie jest oczywiście odwracalne, jednakże jego zachowanie pozwala jakościowo przeanalizować pewne istotne cechy zachowaniu potoku. Analiza jednowymiarowego odwzorowania jest bowiem zawsze znacznie prostsza zarówno od strony numerycznej jak i teoretycznej.

Graficzną metodą analizy odwzorowania jednowymiarowego jest zbudowania iteracyjnego diagramu Lamereya.

Diagram taki budujemy z użyciem wykresu funkcji następowania P(x) i dwusiecznej pierwszego kąta układu

współrzędnych ( rys. 1.9b ). Z początkowego punktu x0 prowadzimy linie wertykalną aż do przecięcia z wykresem funkcji następowania. Od punktu przecięcia prowadzimy linie horyzontalną aż do przecięcia z dwusieczną, a następnie

opuszczamy linie wertykalną aż do przecięcia z osią rzędnych. Na osi rzędnych otrzymujemy punkt x1 będący obrazem punktu x0.

Wielokrotne powtórzenie tej procedury prowadzi do zbudowania „obrazu Lamereya” – linii łamanej, składającej się z odcinków wertykalnych i horyzontalnych ( na rysunku 1.9 takie odcinki znaczono strzałkami, wskazującymi kierunek ruchu po diagramie )

Rys. 1.9 a) otrzymywanie dyskretnego odwzorowania jednowymiarowego w przekroju chaotycznego atraktora w układzie (1.31) przy m = 1,45, g = 0,35; b) budowa iteracyjnego diagramu Lamereya dla modelowego jednowymiarowego

odwzorowania

Obraz Lamereya może „doprowadzić do punktu stałego odwzorowania lub do zamknięcia na punktach cyklu. W przypadku zachowania quasiperiodycznego lub chaotycznego układu (1.33) obraz taki składa się z nieskończonej liczby linii.

Zatem, diagram ten może dać nam poglądowe wyobrażenie o dynamice układu.

Niestety otrzymanie dwuwymiarowych i jednowymiarowych odwzorowań dyskretnych w jawnej formie ( w postaci układu (1.32) lub (1.33)) dla konkretnych potokowych UD okazuje się w większości przypadków zagadnieniem złożonym lub nawet niemożliwym. Jednakże istnieje zbiór modelowych jednowymiarowych lub dwuwymiarowych odwzorowań

dyskretnych, które nie będąc bezpośrednio związane z konkretnymi układami potokowymi, są jednakże szeroko stosowane w dynamice nieliniowej w celu analizy i opisania takich lub innych zjawisk o charakterze fundamentalnym.

Dalej wymienimy najpopularniejsze modelowe odwzorowania dyskretne.

1) Odwzorowanie rozciągania : x( n + 1 ) = αx(n) ; mod 1

Odwzorowanie zadane jest na odcinku [0, 1] ; mod 1 oznacza iż bierzemy ułamkową cześć liczby ; α > 0 – parametr odwzorowania.

2) Odwzorowanie logistyczne : x( n + 1 ) = α x(n)( 1 – x(n))

Odwzorowanie zadane jest na odcinku [0, 1] ; α ∈[0, 4] – parametr.

Odwzorowanie logistyczne może być również sprowadzone do postaci : x( n + 1) = a – x2(n) lub x( n + 1 ) = 1 – εx2(n)

3) Odwzorowanie okręgu :

x( n + 1) = Ω + x(n) + K sin(x(n)) ; mod 1

Odwzorowanie zadane jest na odcinku [0, 1] ; Ω ∈ [0,1] , K ≥ 0 – parametry 4) Odwzorowanie Henona :

x(n + 1 ) = 1 – ax2(n) + y(n) y(n + 1 ) = b y(n)

a, b – parametry odwzorowania.

5) Odwzorowanie Loziego : x( n + 1) = 1 – a | x(n) | + y(n) y(n + 1 ) = b y(n)

Odwzorowanie Henona i Loziego są odwzorowaniami odwracalnymi.

Z pomocą takich i innych podobnych odwzorowań zostały przeanalizowane uniwersalne zasady rozwoju chaosu, rozpatrzono strukturę i bifurkacje chaotycznych atraktorów, przeanalizowano własności oddziaływania układów chaotycznych, zamodelowano zachowanie układów oscylatorowych i nieliniowych ośrodków rozłożonych o złożonej dynamice. Wiele z tych wyników otrzymanych dla prostych modelowych odwzorowań dyskretnych, które na pierwszy wzgląd nie wydawały się mieć związku z realnymi układami, okazało się być fundamentalnymi i otrzymały

eksperymentalne potwierdzenie.

1.10 Zakończenie.

W niniejszym wykładzie podaliśmy ogólną definicję UD i szczegółowo zaznajomiliśmy się z UD opisywanymi przez rrz.

Ustaliliśmy, ze takie UD mogą posiadać cztery typy ustanawiających się reżimów zachowania : stan równowagi, ruch periodyczny, ruch quasiperiodyczny i chaotyczny. Takim typom rozwiązań odpowiadają atraktory układu w postaci stabilnego punktu równowagi, cyklu granicznego, quasiperiodycznego atraktora ( k-wymiarowego torusa ) i chaotycznego lub dziwnego atraktora. Ważnym jest to, że najprostsze typy quasiperiodycznych i chaotycznych atraktorów mogą się realizować w UD z wymiarem przestrzeni fazowej nie mniejszej niż 3.

Rozpatrzyliśmy również układy z czasem dyskretnym ( odwzorowania dyskretne ) i pokazaliśmy ich związek z UD zadawanych przez rrz i przeanalizowaliśmy możliwe typy trajektorii fazowych odwzorowań dyskretnych.

************************************************************************************************

Wykład 2

Stabilność układów dynamicznych. Przybliżenie liniowe.

2.1 Wprowadzenie.

Nasze wyobrażenia o stabilności takiego, lub innego reżimu funkcjonowania UD formułujemy intuicyjnie w procesie poznania przyrody i życia. Pierwsze kroki małego dziecka dają mu w pełni realne wyobrażenia o stabilności postawy, chociaż takie wyobrażenie nie są jeszcze uświadamiane.

Analiza funkcjonowania konkretnego reżimu UD jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Stabilność takich układów jak np. samochód, statki powietrzne lub morskie, ze względu na nieuniknione zaburzenia ich ruchu są bez wątpienia istotne z samej zasady swojego funkcjonowania.

Wymienione przypadki są jedynie jakościowymi i nabierają w pełni określonego sensu jedynie w przypadku, kiedy uda się nam je przeformułować w języku matematycznym.

Podstawy ścisłej matematycznej teorii stabilności zostały przedstawione w pracach rosyjskiego matematyka A. M.

Lapunowa ok. 100 lat temu.

Rozwój jakościowej teorii i teorii bifurkacji UD związany jest z pracami rosyjskich uczonych A. A. Andronowa, W. I Arnolda i innych.

Dalej podamy definicje stabilności UD i na prostych przykładach zilustrujemy treść i metody rozwiązywania zadań związanych ze stabilnością.

2.2 Definicja stabilności.

Istnieje bardzo dużo różnych definicji stabilności, pośród których najczęściej wykorzystuje się następujące definicję stabilności : stabilność w sensie Poissona, Lapunowa i stabilność asymptotyczna.

Niech UD zadany będzie układem rrz (1.5) lub w postaci wektorowej (1.6) i niech interesuje nas stabilność trajektorii x0(t).

Stabilność w sensie Poissona oznacza, że w określonym czasie trajektoria fazowa powraca do dowolnie małego otoczenia punktu początkowego x00 = x0(t0 ). Przy czym, jeśli układ jest odwracalny, to powrót następuje w obu skierowaniach czasu. Zatem, każdy punkt jest stabilnej w sensie Poissona trajektorii jednocześnie jest punktem α- i ω- granicznym.

Interwał czasu, w którym trajektoria powraca do otoczenia punktu x00 o zadanym promieniu ε, nazywa się czasem

powrotu Poincarego. Okresy powrotu mogą odpowiadać okresowi lub quasiokresowi regularnego ruchu lub mogą stanowić przypadkowy ciąg w reżimie chaosu dynamicznego (rys. 2.1)

Rys. 2.1 Niezamknięta trajektoria stabilna w sensie Poissona.

Stabilność w sensie Poissona jest ważną, ale słabą własnością stabilności. Nie możemy nic powiedzieć o zachowaniu sąsiednich trajektorii, początkowo bliskich ku x0(t). W praktycznych zadaniach interesuje nas głownie druga własność stabilności, związana z małym zaburzeniem zadanej trajektorii. W zależności od zachowania małego w czasie rozróżniamy stabilność w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczną.

Trajektoria x0(t) nazywa się stabilna w sensie Lapunowa, jeśli dla dowolnie małego ε > 0 istnieje takie δ(ε) > 0, że dla dowolnej trajektorii x(t), dla której || x(t0 ) – x0(t0 ) || < δ przy wszystkich t > t0 spełniona jest nierówność

|| x(t ) – x0(t ) || < ε. Symbol || ... || oznacza normę w RN. Zatem, małe początkowe zaburzenie stabilnych w sensie Lapunowa trajektorii fazowych nie wzrasta w czasie ( rys. 2.2a). Jeśli małe zaburzenie δ zmniejsza się w czasie tj.

|| x(t ) – x0(t ) || → 0 przy t → ∞, to trajektoria posiada silniejszą stabilność – stabilność asymptotyczną ( rys. 2.2b) Dowolna asymptotycznie stabilna trajektoria fazowa jest również stabilna w sensie Lapunowa. Stwierdzenie ogólne nie jest słuszne w ogólności.

Własności stabilności trajektorii fazowych, należących do zbiorów granicznych ( np. atraktorów ), mają szczególną wagę przy analizie dynamiki układu. Zmiana charakteru stabilności takiego lub innego zbioru granicznego w wielu przypadkach prowadzi do zmiany reżimu funkcjonowania układu.

Rys. 2.2 Ilustracje do definicji pojęcia stabilności – a) w sensie Lapunowa, b) stabilności asymptotycznej.

2.3 Liniowa analiza stabilności.

Stabilność rozwiązań rr I rzędu. Dowolny UD ( fizyczny, chemiczny mechaniczny itp. ) kojarzony jest z określoną ewolucją w czasie. Dalej pokażemy, ze również stan równowagi tj. stan stacjonarny, przy którym prędkość analizowanego procesu jest równa zero, również może być traktowany jako przypadek graniczny ewolucji układu w czasie.

Rozpatrzmy prosty model UD, reprezentujący sobą jedno rrz I rzędu :

dx(t)/dt ≡ x^• = F(x) (2.1)

gdzie x(t) – zmienna stanu, F – pewna funkcja stanu, charakteryzująca prawo ewolucji.

Przestrzeń stanów takiego układu jest to zbiór liczb rzeczywistych R1. Jeśli zadany jest stan początkowy x(t0), to istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania (2.1), które pozwala określić stan x(t) w dowolnej chwili czasu t.

W związku z tym, ze problem stabilności w sensie Lapunowa i stabilności asymptotycznej związany jest z analizą reakcji układu na małe zaburzenie jego stanu, to może być on przeanalizowany w ramach przybliżenia liniowego.

Niech x0(t) będzie pewnym rozwiązaniem szczególnym równania (2.1). Stabilność tego rozwiązania chcemy właśnie zbadać. Wprowadźmy zmienną y(t), która zadaje małe odchylenia od rozwiązania szczególnego :

y(t) = x(t) – x0(t) (2.2) gdzie x(t) – rozwiązanie zaburzone

Nasze zadanie polega na zbadaniu ewolucji w czasie małego zaburzenia y(t), które spełnia równanie (2.1).

Rozkładając funkcje F w szereg potęgowy w otoczeniu rozwiązania szczególnego x0(t) :

Iloczyn funkcji F obliczamy w punktach, odpowiadających rozwiązaniu szczególnemu. Przepiszemy równanie (2.1) dla zaburzenia y(t) z uwzględnieniem (2.3) :

Składowe Φ(y) zawierają wszystkie człony z yn ( n ≥ 2 ) tj. uwzględniają dodatki nieliniowe. Zgodnie z definicją zmienna y(t) jest małym odchyleniem od rozwiązania szczególnego. Dlatego w pierwszym przybliżeniu, możemy zaniedbać człony nieliniowe w wyrażeniu (2.4). W ten sposób, dla ewolucji małego zaburzenia otrzymujemy równanie liniowe :

y^• = A(t)y gdzie A(t) = dF/dx |x = x0 (2.6)

Rozpatrzmy przykład. Niech UD zadany będzie równaniem :

x^• = a – bx2 ; a > 0, b > 0 (2.7)

Znajdziemy stany stacjonarne x0 tego układu i przeanalizujemy ich stabilność. W stanie stacjonarnym nie ma zmiany w czasie, tj. x^•0 = 0 i otrzymujemy :

x1,20 = ± sqrt(a/b ) (2.8)

Rozpatrzmy równanie dla zaburzeń (2.6) które możemy zastosować do pierwszego stanu stacjonarnego x10 :

Rozwiązaniem równania (2.9) będzie y = exp(st ). Zaburzenie y eksponencjalnie znika w czasie ( s jest liczbą ujemną ).

To oznacza, że stan x10 jest stabilny ! Ponieważ drugi stan x20 różni się od pierwszego tylko znakiem, to rozwiązanie równania (2.9) w tym przypadku będzie eksponencjalnie narastającym w czasie. Stan stacjonarny x20 jest niestabilny ! Zatem, stosunkowo prosta idea przewidywania stabilności w przybliżeniu liniowym okazało się płodnym. Wykorzystując formalizm matematyczny, można uogólnić równanie dla zaburzenia (2.6) na N zmiennych stanów.