Atraktory quasihiperboliczne. Atraktory typu Lorenza

Warunki hiperboliczności atraktora, sformułowane powyżej, dla realnych US nie są oczywiście spełnione. Wraz z tym znane są UD, których atraktory są bliskie ku atraktorom hiperbolicznym. Takie atraktory będąc chaotycznymi nie obejmują stabilnych atraktorów regularnych i zachowują takie własności przy zaburzeniach. Z matematycznego punktu widzenia dla takich układów naruszony jest warunek ścisłej transwersalności prowadząc do kreacji niegrubych podwójnie

asymptotycznych krzywych.

Atraktory prawie hiperboliczne będziemy nazywali dalej atraktorami quasihiperbolicznymi. Znane są quasihiperboliczne atraktory Loziego, Belicha i atraktory typu Lorenza. Dla wskazanych atraktorów istnieją ścisłe dowody tego, że są one quasihiperbolicznymi we wskazanym powyżej sensie. Celowym jest ujawnić i usystematyzować wyróżnialne

eksperymentalnie charakterystyki atraktorów quasihiperbolicznych, które dalej będzie można wykorzystać dla ich diagnostyki przy modelowaniu komputerowym.

Atraktor quasihiperboliczny w odwzorowaniu Loziego. Uzasadnienie istnienia atraktora quasihiperbolicznego w UD wymaga dowiedzenia dwóch faktów :

1) w atraktorze wszystkie trajektorie fazowe są niestabilne

2) przy wariacji parametrów układowych nie pojawiają się trajektorie stabilne

Takie ścisłe zagadnienie matematyczne w związku z nieliniowością UD nie może być rozwiązane w postaci ogólnej.

Jednakże w zastosowaniu do pewnych konkretnych UD zagadnienie to, na szczęście ma pozytywne rozwiązanie.

Rozpatrzmy najprostszy przykład – atraktor Loziego w dwuwymiarowym układzie z czasem dyskretnym :

x(n + 1 ) = 1 – a | xn | + yn ; y(n + 1) = bxn (8.6)

Układ (8.6) przedstawia sobą nieliniowe, wzajemnie jednoznaczne, dysypatywne ( dla b < 1 ! ) odwzorowanie, które na mocy dyfeomorfizmu jest w ścisłym sensie odwzorowaniem Poincarego pewnego układu różniczkowalnego o wymiarze przestrzeni fazowej N = 3. Dlatego też własności ujawnione i dowiedzione dla tego układu, będą słuszne w zastosowaniu do potoku w R3.

Teoretycznie ustanowiono, że w układzie (8.6) w obszarze wartości 1,3 < a < 1,8 istnieje jeden atraktor chaotyczny, który nie zawiera stabilnych punktów stałych. Atraktor ten znany jest w literaturze jako quasihiperboliczny atraktor Loziego, dla którego naruszony jest warunek ścisłej transwersalności.

Na rysunku 8.5 pokazano atraktor Loziego oraz obszar (basen) jego przyciągania. Atraktor Loziego G0 – jest jedynym zbiorem przyciągającym w interwale 1,3 < a < 1,8 przy b = 0,3 z jednorodnym basenem przyciągania G1. Dowolny punkt początkowy (x0, y0 ) należący do basenu przyciągania G1, dąży z czasem do atraktora Loziego.

Rys. 8.5 Atraktor Loziego G0 i basen jego przyciągania G1 dla a = 1,5 przy b = 0,3 ( trajektorie z obszaru zaciemnionego mają w charakterze swojego atraktora nieskończoność )

Cechą charakterystyczną w/w atraktora jest zależność wyższego wykładnika Lapunowa od parametru a. Przy ustalonej wartości b = 0,3 atraktor Loziego pojawia się przy akr = 1,3 i pozostaje chaotycznym w całym obszarze swojego istnienia 1,3 < a < 1,8. Zależność λ1(a) nie posiada punktów przegięcia do zera i reprezentuje sobą gładką i dodatnią określoną funkcje. Wynik ten odzwierciedla fakt niewystępowania stabilnych punktów stałych (okien stabilności ) w obszarze istnienia atraktora Loziego.

Spektrum mocy S(ω), obliczone po współrzędnej x(n) w obszarze istnienia atraktora Loziego, jest gładką funkcją i nie zawiera jawnych pików dla żadnych częstości charakterystycznych. W związku z tym funkcja autokorelacyjna procesu x(n) jest zbliżona do funkcji eksponencjalnej (rys. 8.6)

Rys. 8.6 Funkcja autokorelacyjna dla a = 1,75. Rys. 8.7 Pojawienie się rozmaitości stabilnej i

Linią przerywaną pokazano aproksymacje funkcji niestabilnej siodłowego stanu równowagi q eksponencjalnej ( λ1 = 0,53 – wyższy wykładnik Lapunowa odwzorowania Loziego przy a = 1,7 i b = 0,3 odpowiadający parametrowi a )

Rys. 8.8 Rozkład prawdopodobieństwa kąta ϕ pomiędzy kierunkami rozmaitości stabilnej i niestabilnej trajektorii

chaotycznych na atraktorze Loziego dla a = 1,7 ; b = 0,3 a) i zależność minimalnego kata ϕmin od parametru układu a przy b = 0,3 b)

Jak już mówiliśmy, dla grubych atraktorów hiperbolicznych powinien być spełniony warunek transwersalności przecięcia stabilnych i niestabilnych rozmaitości trajektorii siodłowych. Porównane rysunków 8.5 i 8.7 pokazuje, że rozmaitości stabilne cykli siodłowych określają granice basenu przyciągania atraktora, a sam atraktor chaotyczny ułożony jest wzdłuż niestabilnych separatys, powtarzając ich formę. Z rysunku 8.7 widać, że przecięcie rozmaitości jest wszędzie transwersalne i pojawienie się trajektorii homoklinicznych nie prowadzi do kreacji stabilnych orbit periodycznych. Hiperboliczny zbiór chaotyczny – jest to jedyny przyciągający zbiór graniczny w przestrzeni fazowej układu (8.6).

Układ Loziego jest jednym z najprostszych układów dla którego warunek hiperboliczności trajektorii na atraktorze chaotycznym można sprawdzić w eksperymencie numerycznym. W tym celu został opracowany specjalny program, pozwalający obliczyć prawdopodobieństwo P(ϕ) kata ϕ pomiędzy kierunkami rozmaitości stabilnych i niestabilnych trajektorii siodłowej ( x(n), y(n)) przy n → ∞ ( rys. 8.8a). Obliczenia kątów zostały przeprowadzone dla 1800 punktów na atraktorze. Z wykresu widać, ze istnieje pewna wartość minimalna, którą przyjmuje kat ϕ i jest ona różna od zera.

Wartość minimalna ϕmin zależna jest od parametrów odwzorowania (rys. 8.8b)

W całym interwale wartości a, gdzie istnieje atraktor chaotyczny, kąt minimalny pomiędzy kierunkami rozmaitości

stabilnej i niestabilnej trajektorii fazowej jest większy niż 39° i nigdzie się nie zeruje. Rozmaitości trajektorii chaotycznych zachowują się tak jak i rozmaitości cyklu siodłowego – są one zawsze transwersalne.

Atraktor Lorenza. Rozpatrzymy teraz przykład atraktora quasihiperbolicznego w układzie różniczkowalnym – w układzie Lorenza. Dla atraktora Lorenza, tak jak i dla atraktora Loziego, naruszony jest jedne z wymogów hiperboliczności ( warunek ścisłej transwersalności ). Atraktory typu Lorenza zostały ujawnione w szeregu układów i stanowią one typowy przykład atraktorów quasihiperbolicznych. Dowiedziono, że atraktor Lorenza zawiera tylko trajektorie siodłowe przy wariacji parametrów bifurkacji i nie występują w nim punkty stabilne lub tez cykle stabilne.

Atraktor Lorenza charakteryzuje się jakościowo tymi samymi własnościami co i atraktor Loziego i może być rozpatrywany jako klasyczny przykład chaosu quasihiperbolicznego.

Równania Lorenza zostały otrzymane z równań Naviera- Stokesa w zagadnieniu termicznej konwekcji i mają one postać :

gdzie σ, b, r – parametry kontrolne.

Do równań typu (8.7) można sprowadzić np. pewne modele pracy laserów.

Zauważmy, że w układzie (8.7) reżim quasiperiodycznego chaosu realizuje się w skończonym obszarze wartości jego parametrów kontrolnych. Na rysunku 8.9 przedstawiono diagram bifurkacyjny tego układu. Istnieniu atraktora Lorenza odpowiada obszar zakreskowany w przestrzeni parametrów. Portret fazowy atraktora Lorenza przedstawiono na rysunku 8.10a. Poza wskazanym obszarem własności atraktora chaotycznego będą inne : atraktor Lorenza transformuje się w quasiatraktor. Wymienimy teraz typowe własności atraktora Lorenza.

Spektrum wykładników Lapunowa nie zmienia się przy wariacji warunków początkowych, ponieważ atraktor Lorenza jest jedynym basenem przyciągania którą jest cała przestrzeń fazowa, spektrum to nie zmienia się również istotnie, jeśli dokonamy wariacji parametrów kontrolnych układu w obszarze istnienia atraktora Lorenza. Własności te poglądowo ilustrują grubość atraktora Lorenza z punktu widzenia eksperymentu : struktura atraktora jest zachowana przy wariacji parametrów i warunków początkowych, a bifurkacje atraktora nie występują.

Następstwem dynamiki chaotycznej jest charakterystyczna postać funkcji autokorelacyjnej. Funkcja autokorelacyjna atraktora Lorenza spada eksponencjalnie wraz ze wzrostem czasu praktycznie monotonicznie, co ilustruje rysunek 8.10b.

Porównanie wykresów funkcji autokorelacyjnych atraktorów Lorenza i Loziego świadczy o jakościowej równoważności procesów dynamicznych w układach prawie hiperbolicznych.

Rys. 8.9 Diagram bifurkacyjny układu Lorenza na płaszczyźnie parametrów r, σ dla b = 8/3.

Rys. Portret fazowy a) i funkcja autokorelacyjna b) atraktora Lorenza przy σ = 10, r = 28 , b = 8/3,