5. Przykłady zastosowania proponowanych metod statystycznych w ekonomii
5.2. Analiza rozkładu liczby transakcji gotówką i kartą
W niniejszym podrozdziale zostanie omówione zastosowanie charakterystyk wektora losowego na przykładzie danych opisujących zachowanie się osób fizycznych w zakresie in-tensywności stosowania dwóch środków płatniczych, gotówki i karty płatniczej. Polasik i in. (2012) prezentują m.in. opis rynku detalicznych transakcji gotówkowych i bezgotówkowych instrumentów płatniczych w Polsce. Dane uzyskano w ramach badania ankietowego zreali-zowanego na przełomie lat 2010 i 2011 na ogólnopolskiej reprezentatywnej próbie losowej 2974 respondentów, z których 1190 posiadało kartę płatniczą. W niniejszych badaniach wy-korzystano dane surowe, tzn. bez wag uwzględniających reprezentatywność poszczególnych
112 obserwacji (respondentów). Zauważono, że spośród 1190 respondentów nie wszyscy wyko-rzystali kartę płatniczą. Natomiast gotówka była przez wszystkich ankietowanych stosowana w transakcjach płatniczych. Pogłębione rezultaty analizy ekonometrycznej na podstawie dwuwymiarowego modelu Poissona prezentują Marzec i in. (2013) oraz Marzec i Osiewalski (2012). W ostatnim przypadku zaproponowano nowe uogólniania modeli dla danych liczni-kowych.
Rozważmy wektor losowy X :N2 gdzie X1 reprezentuje liczbę transakcji gotówką, a X to liczba transakcji kartą wykonanych w miesiącu, w wielu spośród 23 2 rodzajów punktów handlowo-usługowych. Średnia miesięczna liczba transakcji gotówką w próbie wyniosła 20,5 (przy odchyleniu standardowym około ±27,3), dowolną kartą zaś około 5 (±6,7). Rozkład X1 jest dość rozproszony, charakteryzuje się większą masą prawdopodobieństwa wokół wartości oczekiwanej i jednocześnie w ogonach niż rozkład normalny. Posiada lekką asymetrią prawostronną. Współczynnik korelacji dla obu zmiennych wynosi zaledwie 0,008, co wskazuje raczej na brak liniowej zależności między liczbą płatności kartą i gotówką. Warto zwrócić uwagę na nietypowe własności empirycznego rozkładu brzegowego liczby transakcji kartą (X ), zob. tabela 12, gdyż zapewne one silnie 2 wpływają na własności rozkładu wektora losowego X. Rozkład brzegowy dla tej formy płatności charakteryzuje się dużą frakcją zer (34%), co m.in. powoduje jego prawostronną asymetrię. Natomiast dla płatności gotówką frakcja zer wynosi zaledwie 2%; por. Marzec i Osiewalski (2012). Ponadto brzegowy histogram dla X ma kształt, który może być dobrze 2 aproksymowany przez funkcję malejącą; zob. tabela 12.
Tabela 12. Empiryczny łączny rozkład liczby płatności gotówką i kartą oraz jego rozkłady brzegowe. Transakcje kartą (X2) T ra n sa k cj e g o tó w k ą (X 1 ) pem(x1,x2) 0 (0;5] (5;10] (10;15] (15;20] (25;30] >30 pem(x1) struktura 0 0 2 11 6 2 2 1 24 2% (0;5] 13 46 39 18 6 1 3 126 11% (5;10] 69 114 38 16 8 3 0 248 21% (10;15] 76 55 38 9 7 8 3 196 16% (15;20] 57 52 27 5 4 2 1 148 12% (20;25] 40 36 19 6 3 2 2 108 9% (25;30] 46 20 9 7 3 0 0 85 7% (30;35] 26 17 12 5 4 1 1 66 6% (35;40] 21 17 7 3 1 1 5 55 5% (40;45] 13 8 3 4 4 0 0 32 3% (45;50] 11 9 5 4 1 1 1 32 3% >50 37 15 3 4 4 2 5 70 6%
113 pem(x2) 409 391 211 87 47 23 22 1190
struktura 34% 33% 18% 7% 4% 2% 2%
Źródło: Marzec i Osiewalski (2012).
W celu dalszej analizy w tabelach 13 i 14 zestawiono odpowiednie wartości charakterystyk rozkładów brzegowych obu zmiennych oraz rozkładu dwuwymiarowego wektora losowego X. W hipotetycznym przypadku, gdyby obie zmienne, tj. liczba transakcji gotówką i liczba transakcji kartą były stochastycznie niezależne (o skończonym momencie absolutnym rzędu 3), to wielowymiarowy współczynnik asymetrii byłby wektorem postaci (1,51; 0,11); zob. twierdzenie 1.3.1 i wzór 1.3.9. Z uwagi na bardzo małe skorelowanie obu składowych wekto-ra X współczynnik ten jest trochę wyższy (rozważamy porządek po współrzędnych) i wynosi (1,56; 0,17). Ponadto warto zauważyć, że brzegowe współczynniki asymetrii wynoszą odpo-wiednio 1,87 dla płatności gotówką oraz 2,39 dla transakcji kartą, są one zatem niższe od od-powiednich wartości współrzędnych współczynnika asymetrii wielowymiarowej. Dotyczy to szczególnie transakcji kartą. Druga współrzędna współczynnika asymetrii (odnosząca się do liczby transakcji kartą) jest bardzo mała i wynosi zaledwie 0,17 wobec 2,39 dla rozkładu brzegowego. W tym przypadku powodem niskiej jej wartości jest niewielki udział wariancji brzegowej w wariancji całkowitej wektora losowego X, co wynika ze wzoru 1.3.9 i małego skorelowania składowych wektora X.
Współczynnik ekscesu równy 4,25 wskazuje, że rozkład dwuwymiarowej zmiennej skokowej X charakteryzuje się mniejszym spłaszczeniem, jest zatem bardziej skoncentrowany wokół średniej, niż odpowiedni dwuwymiarowy rozkład normalny. Porównanie wizualne obu rozkładów dwuwymiarowych zaprezentowano na rysunkach 1 i 2.
Powyższe rezultaty dotyczące rozkładu wektora losowego X, uzyskane z rozkładu łącznego, są inne od tych, które otrzymuje się standardowo podczas prostej analizy rozkładów brzegowych. Przyjmowanie silnego założenia niezależności między zmiennymi losowymi może zatem prowadzić do odmiennych wniosków empirycznych.
Tabela 13. Charakterystyki rozkładów (brzegowych) dla liczby transakcji gotówką i kartą. Charakterystyki w próbie Transakcje gotówką Transakcje kartą
Średnia 20,52 5,03
Wariancja 298,94 45,39
Współczynnik asymetrii 1,87 2,39
Kurtoza 8,11 11,93
Współczynnik ekscesu 5,11 8,93
114 Tabela 14. Charakterystyki rozkładu wektora losowego X=(gotówka, karta) oparte na definicji potęgi wektora.
Charakterystyka Wartość
Wektor średnich (20,52; 5,03}
Wariancja całkowita 344,33
Współczynnik asymetrii (1,56; 0,17)
Kwadrat współczynnika asymetrii 2,46
Kurtoza 6,79
Współczynnik ekscesu 4,25
Źródło: Opracowanie własne.
W dalszej części przybliżymy rozkład wektora losowego X za pomocą histogramu, który na rysunku 5 jest zestawiony z wykresem funkcji gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. W przypadku tego ostatniego przyjęto, że wektor wartości oczekiwanych jest równy średniej w próbie, a macierz kowariancji jest aproksymowana macierzą kowariancji w próbie dwuwymiarowej (liczba płatności gotówką, liczba płatności kartą).
Celem tego zestawienia będzie wyłącznie odniesienie własności rozkładu badanego wektora losowego do uniwersalnego wzorca, którym jest rozkład normalny o odpowiednich parametrach. W oczywisty sposób prezentowany wielowymiarowy rozkład normalny nie jest adekwatny do opisu własności zmiennej skokowej o nośniku zawartym w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych wraz z dodatnimi półosiami układu.
Rysunek 5. Histogram versus dwuwymiarowy rozkład normalny (część I)
115 W celu wyeksponowania różnic między rozkładem wektora losowego X a dwuwymiarowym rozkładem normalnym, zestawiono na rysunku 6, jednocześnie i w różnych ujęciach, histogram oraz funkcję gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego.
Znaczące różnice między oboma rozkładami są szczególnie widoczne, gdy jednocześnie obserwuje się niewielką liczbę transakcji kartą jak i gotówką. Oczywiście rozkład normalny nie jest właściwym opisem zjawiska, gdy liczba transakcji kartą jest równa zero bez względu na liczbę transakcji gotówką.
Rysunek 6. Histogram versus dwuwymiarowy rozkład normalny (część II)
116
Podsumowanie
W rozprawie doktorskiej zaproponowano nowe charakterystyki rozkładu wielowymia-rowego oparte na definicji potęgi wektora – kurtozę i współczynnik ekscesu. Przedstawiono także skalarny miernik zależności liniowej między wektorami losowymi o dowolnych wymia-rach. Ponadto, zaprezentowano konstrukcje zgodnych estymatorów dla rozważanych charak-terystyk, a także wskazano przykłady ich zastosowań.
Praca składa się z pięciu rozdziałów poprzedzonych wstępem i uzupełnionych podsu-mowaniem oraz literaturą przedmiotu. W pierwszym rozdziale została przedstawiona koncep-cja potęgi wektora zaproponowana przez J. Tatara, wraz z opartymi na niej charakterystykami rozkładu wielowymiarowego. Podejście to zostało zaprezentowane na tle innych, występują-cych w literaturze przedmiotu, narzędzi opisu rozkładu wektora losowego.
Rozdział drugi zawiera propozycję definicji oraz analizę własności kurtozy oraz współ-czynnika ekscesu wektora losowego opartych na koncepcji wektora. W tym rozdziale zostały również wyznaczone postaci kurtozy dla podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak wielowymiarowy rozkład normalny oraz rozkład t–Studenta. Warto wspomnieć, że proponowane charakterystyki są naturalnymi uogólnieniami klasycznych charakterystyk roz-kładu jednowymiarowego.
Kolejny, trzeci rozdział koncentruje się na zagadnieniu estymacji. Przy wykorzystaniu definicji potęgi wektora skonstruowano zgodne estymatory momentów zwykłych, momentów centralnych, współczynników asymetrii, kurtozy oraz współczynnika ekscesu. Przeprowadzo-no także analizę rozkładów wyznaczonych estymatorów poprzez ustalenie dla nich postaci podstawowych charakterystyk.
W rozdziale czwartym został zaprezentowany tzw. współczynnik korelacji wielowymia-rowej, czyli skalarny miernik stopnia związku liniowego między wektorami losowymi o do-wolnych wymiarach. Wyznaczono związki między proponowanym współczynnikiem, a przedstawianymi w literaturze przedmiotu miarami zależności wielowymiarowych.
117 Ostatni, piaty rozdział wskazuje przykłady zastosowania rozważanych w pracy charak-terystyk do analizy danych wielowymiarowych. Przedstawione zostały dwie aplikacje. Pierw-sza swoim zakresem obejmuje dane finansowe. Badaniu poddano dwie kategorie finansowe tj. zadłużenie i rentowność przedsiębiorstw. Druga dotyczy zachowania się osób fizycznych w zakresie intensywności stosowania dwóch środków płatniczych, gotówki i karty płatniczej.
W pracy rozważania dotyczące estymacji ograniczono do konstrukcji estymatorów i udowodnienia ich podstawowych własności takich jak zgodność i nieobciążoność (ewentual-nie asymptotyczna (ewentual-nieobciążoność), pozostawiając do dalszego opracowania wyznacze(ewentual-nie rozkładów proponowanych estymatorów przy założeniu wielowymiarowego rozkładu nor-malnego w populacji. Przedstawione w niniejszej rozprawie charakterystyki w próbie mogą służyć do konstrukcji testów statystycznych. Obszarem dalszych badań może być zastosowa-nie tych charakterystyk do budowy testów statystycznych dla hipotez dotyczących normalno-ści rozkładu wielowymiarowego, m. in. do uogólnienia testu normalnonormalno-ści rozkładu jedno-wymiarowego Jarque–Bera opartego na miarach asymetrii i kurtozy (por. Jarque i Bera, 1987).
118
Literatura
Anderson T. W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc.
Arellano M. (2003). Panel Data Econometrics. Oxford University Press.
Azzalini A., Dalla Valle A. (1996). The multivariate skew – normal distribution. Biometrika, 83(4), 715 -726.
Azzalini A., Capitanio A. (1999). Applications of the multivariate skew normal distribution. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology), 61(3), 579 -602.
Azzalini A., Capitanio A. (2003). Distributions generated by perturbation of symmetry with emphasis on a multivariate skew t distribution. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statis-tical Methodology), 65, 367–390.
Balanda K.P., MacGillivray H.L. (1988). Kurtosis: a critical review. The American Statistician, 42(2), 111 – 119.
Balakrishnan N., Scarpa B. (2012). Multivariate measures of skewness for the skew – normal distribu-tion. Journal of Multivariate Analysis, 104, 73 – 87.
Baltagi D. (2005). Econometrics Analysis of Panel Data. 3rd ed. J. Wiley&Sons.
Benjamini Y., Krieger A.M. (2006). Skewness: Concepts and Measures, w: S. Kotz, N. Balakrishnan, C.B. Read, B. Vidakovic (Eds.), Encyclopedia of Statistical Sciences.,second ed., John Wiley & Sons, New Jersey.
Bhaduri A. N. (2002). Determinants of Capital Structure Choice: a Study of the Indian Corporate Sec-tor, Applied Financial Economics, 12, 655 - 665.
Billingsley P. (2009). Prawdopodobieństwo i miara. Wyd. 2. PWN, Warszawa.
Bilodeau M., Brenner D. (1999). Theory of Multivariate Statistics. Springer - Verlag, New York. Blakeman J. (1905). On tests for linearity of regression in frequency distributions. Biometrika, 4, 332
– 350.
Barowicz M. (2010). Empiryczna identyfikacja wybranych determinant struktury kapitałowej przed-siębiorstwa, rozprawa doktorska, Kraków.
Budny K.( 2009). Kurtoza wektora losowego. Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wro-cławiu,78, seria: Ekonometria, 26, 44 -54.
Budny K., Tatar J. (2009). Kurtosis of a random vector – special types of distributions. Statistics in Transiton - new series,, 10 (3), 445 – 456.
119 Budny K. (2012a). Kurtoza wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. W: S. Forlicz (Red.), Zastosowanie metod ilościowych w finansach i ubezpieczeniach. CeDeWu, War-szawa, 41 – 54.
Budny K., Tatar J. (2012b). Regresja liniowa z wykorzystaniem nowej definicji momentów wektorów losowych. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, 892, seria: Metody ana-lizy danych, 19-35.
Budny K. (2012c). Wybrane własności kurtozy wektora losowego. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, seria: Metody analizy danych. Praca w druku. Recenzja: grudzień 2012.
Budny K.(2014a). A generalization of Chebyshev's inequality for Hilbert-space-valued random ele-ments. Statistics & Probability Letters, 88, 62 – 65.
Budny K.(2014b). An extension of the multivariate Chebyshev’s inequality to a random vector with a singular covariance matrix. Communications in Statistics - Theory and Methods. Praca zaakcep-towana do druku: czerwiec 2014.
Budny K. (2014c). Współczynnik ekscesu wektora losowego. Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach. Praca w druku. Recenzje: kwiecień 2014.
Budny K. (2014d). Estimation of the central moments based on the definition of the power of a vector. Praca złożona do redakcji Statistics in Transition – new series, w recenzji.
Budny K., Marzec J. (2014). Współczynnik korelacji wielowymiarowej – konstrukcja, estymacja, zastosowania. Maszynopis.
Budny K., Tatar J. (2014). Charakterystyki wielowymiarowych wielkości finansowych oparte na defi-nicji potęgi wektora. Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach. Praca w druku. Recenzje: czerwiec 2014.
Budny K., Tatar J., Szklarska M. (2014). Wielowymiarowa analiza sytuacji społeczno -demograficznej Polski. Miscellanea Oeconomicae, 2014/1.
Colombo E. (2001). Determinants of Corporate Capital Structure: Evidence from Hungarian Firms. Applied Economics, 33 (13), 1689-1701.
Cramer H. (1958). Metody matematyczne w statystyce. Wyd. 1. PWN, Warszawa.
Daskalakis N., Psillaki M. (2008). Do Country or Firm Factors Explain Capital Structure? Evidence from SMEs in France and Greece. Applied Financial Economics, 18(2), 87-97.
Dowson D. C, Landau B. V. (1982). The Fréchet distance between multivariate normal distributions. Journal of Multivariate Analysis, 12, 450 – 455.
Fujikoshi Y., Ulyanov V.V., Shimizu R. (2010). Multivariate Statistics: high – dimensional and large – sample approximations. John Wiley & Sons, Inc.
Gajdka J. (2002). Teorie struktury kapitału i ich aplikacja w warunkach polskich. Wydawnictwo Uni-wersytetu Łódzkiego, Łódź.
120 Genton M.G., He L., Liu X. (2001). Moments of skew - normal random vectors and their quadratic
forms. Statistics & Probability Letters, 51, 319 – 325.
Greene W.H. (1993). Econometric analysis. 2nd ed. Macmillan Publishing Company, New York. Hall W.J. (1970). On characterizing dependence in joint distributions. Essays in probability and
statis-tics. In: Essays in probability and statisstatis-tics. University of North Carolina Press, 339 – 376. Harris M., Raviv A. (1990). Capital Structure and the Informational Role of Debt. The Journal of
Finance, 45 (2), 321 – 349.
Holmquist B. (1988). Moments and cumulants of the multivariate normal distribution. Stochastic Analysis and Applications, 6, 273 – 278.
Hosking J. R. M. (1990). L - moments: Analysis and Estimation of Distributions using Linear Combi-nations of Order Statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 52, 105–124. Hosking, J.R.M. (1992). "Moments or L moments? An example comparing two measures of
distribu-tional shape". The American Statistician, 46 (3), 186–189.
Hsiao C. (2003). Analysis of Panel Data. 2nd ed. Cambridge University Press.
Isogai T. (1982). On measures of multivariate skewness and kurtosis. Mathematica Japonica, 28, 251 – 261.
Isserlis, L. (1918). On a Formula for the Product-Moment Coefficient of any Order of a Normal Fre-quency Distribution in any Number of Variables. Biometrika, 12, No. 1/2, Nov.
Jakubowski J., Sztencel R. (2004). Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Wyd. 3. Script, Warsza-wa.
Jarque C.M., Bera A.K. (1987). A Tests of Observations and Regression Residuals. Interntional Statis-tical Review, 55 (2), 163-172.
Jensen M. C., Meckling W. (1976). Theory of the Firm: Managerial Behavior Agency Costs and Own-ership Structure. Journal of Financial Economics, 3 (4), 305–360.
Johnson N. J., Kotz S., Kemp A. W. (1992). Univariate discrete distributions: Volume 1: Models and applications. 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc.
Kabe D. G., Gupta A.K (1990). On a multiply correlation ratio. Statistics & Probability Letters, 9, 449 - 451.
Kendall M. G., Stuart A. (1967). The advanced theory of statistics. Vol.2. 2nd ed. Griffin, London. Kim H., Mallick B. K. (2003). Moments of random vectors with skew t distribution and their quadratic
forms. Statistics & Probability Letters, 63, 417 – 423.
Kollo T. (2008). Multivariate skewness and kurtosis measures with an application in ICA. Journal of Multivariate Analysis, 99, 2328 – 2338.
Kotz S., Balakrishnan N., Johnson N. J. (2000). Continuous multivariate distributions: Volume 1: Models and applications. 2nd ed. John Wiley & Sons, Inc.
121 Kotz S., Nadarajah S. (2004). Multivariate t – distributions and their applications. Cambridge
Univer-sity Press.
Koziol J.A. (1989). A note on measures of multivariate kurtosis. Biometrical Journal, 31 (5), 619 -624.
Krzysztofiak M. (1966). O miarach asymetrii i ekscesu. Przegląd Statystyczny, 13 (4), 403 – 406. Malkovich J.F., Afifi A.A. (1973). On tests for multivariate normality. Journal of the American
Statis-tical Association, 68 (341), 176 – 179.
Mardia K.V. (1970). Measures of multivariate skewness and kurtosis with applications. Biometrika, 57 (3), 519 - 530.
Marzec J, Osiewalski J. (2012). Dwuwymiarowy model typu ZIP-CP w łącznej analizie zmiennych licznikowych. Folia Oeconomica Cracoviensia, 53, 5-20.
Marzec J., Pawłowska M. (2012). Substytucja między kredytem kupieckim i bankowym w polskich przedsiębiorstwach – wyniki empiryczne na podstawie danych panelowych. Bank i Kredyt, 43 (6), 29-56.
Marzec J., Polasik M., Fiszeder P. (2013). Wykorzystanie gotówki i karty płatniczej w punktach han-dlowo-usługowych w Polsce: zastosowanie dwuwymiarowego modelu Poissona. Bank i Kredyt, 44 (4), 375 - 402.
Myers, S. C. (1977). Determinants of Corporate Borrowing. Journal of Financial Economics, 5, 147 - 175.
Myers S. C. (1984). The Capital Structure Puzzle. The Journal of Finance, 39 (3), 575 - 592.
Myers, S. C., Majluf N. S. (1984). Corporate Financing and Investment Decisions When Firms Have Information That Investors do not Have. Journal of Financial Economics, 13, 187–221.
Modigliani F., Miller M. H. (1958). The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of In-vestment. American Economic Review, 48 (3), 261 – 297.
Modigliani F., Miller M. H. (1963). Corporate Income Taxes and the Cost of Capital: A Correction. American Economic Review, 53 (3), 433 - 443.
Monhor D. (2007). A Chebyshev inequality for multivariate normal distribution. Probability in Engi-neering and Informational Sciences,21, 289 – 300.
Móri T.F., Rohatgi V.K., Székely G.J. (1993). On multivariate skewness and kurtosis. Theory of Probability & Its Applications, 38 (3), 547 – 551.
Musielak J. (1989). Wstęp do analizy funkcjonalnej. Wyd. 2. PWN, Warszawa.
Osiewalski J., Tatar J. (1999). Multivariate Chebyshev inequality based on a new definition of mo-ments of a random vector. Przegląd Statystyczny, 46 (2), 257-260.
Pearson K. (1903). Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. — On Homotyposis in Homologous but Differentiated Organs. Proceedings of the Royal Society of London, 71, 288 – 313.
122 Pearson K. (1909). On a new method of determining the correlation between a measured character A and a character B, of which only the percentage of cases wherein B exceeds (or falls short of) a given intensity is recorded for each grade of A, Biometrika, 7, 96-105.
Petersen M., Rajan R. (1994). The Benefits of Lending Relationships: Evidence from Small Business Data. The Journal of Finance, 46 (1), 3 – 37.
Polasik M., J. Marzec, P. Fiszeder, J. Górka (2012). Modelowanie wykorzystania metod płatności detalicznych na rynku polskim, Materiały i Studia, 265, NBP, Warszawa, 3-91.
Rao C. R. (1973). Linear statistical inference and its applications. 2nd ed. John Wiley & Sons. Renyi A. (1959). On measures of dependence. Acta Mathematica Hungarica, 10, 441 – 451.
Roche A., Malandain G., Pennec X., Ayache N. (1998). Multimodal image registration by maximiza-tion of the correlamaximiza-tion ratio. INRIA, Report No. 3378.
Ross S. A. (1977). The Determination of Financial Structure: the Incentive Signalling Approach. The Bell Journal of Economics, 8 (1), 23–40.
Sampson A. R. (1984). A multivariate correlation ratio. Statistics & Probability Letters, 2, 77 - 81. Shao J. (2003). Mathematical statistics. 2nd ed. Springer.
Seier E., Bonett D. (2003). Two families of kurtosis measures. Metrika, 58, 59 – 70.
Serfling R.; Xiao P. (2007). A contribution to multivariate L-moments: L-comoment matrices. Journal of Multivariate Analysis, 98 (9), 1765–1781.
Smaga E. (1974). Matematyczne aspekty budowy i oceny miar asymetrii. Praca doktorska. WSE w Krakowie.
Song K.S. (2001). Rényi information, loglikelihood and an intrinsic distribution measure. Journal of Statistic Planning & Inference, 93, 51 – 69.
Srivastava M. S. (1984). A measure of skewness and kurtosis and graphical method for assessing mul-tivariate normality. Statistics & Probability Letters, 2 (5), 263 – 267.
Tatar J. (1996). O niektórych miarach rozproszenia rozkładów prawdopodobieństwa. Przegląd Statys-tyczny, 43 (3 – 4), 267-274.
Tatar J. (1999). Moments of a random variable in a Hilbert space. Przegląd Statystyczny, 46 (2), 261— 271.
Tatar J. (2000a). Asymetria wielowymiarowych rozkładów Prawdopodobieństwa. Materiały z XXXV Konferencji Statystyków, Ekonometryków i Matematyków Akademii Ekonomicznych Polski Południowej zorganizowanej przez Katedrę Statystyki Akademii Ekonomicznej w Krakowie (Osieczany, 23-25 III 1999 r.), Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków, 81 - 86.
Tatar J. (2000b). Momenty absolutne wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa. Komisja Statystyczno-Demograficzna PAN, O/Kraków, 17 listopada 2000 r.
Tatar J. (2000c). Nowa charakteryzacja wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa. Spra-wozdanie z badań statutowych; um. nr: 92/KM/1/99/S; AE Kraków
123 Tatar J. (2001). Analiza zjawisk i procesów gospodarczych z wykorzystaniem nowych charakterystyk wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Sprawozdanie z badań statutowych; um. nr: 72/KM/3/2000/S; AE Kraków.
Tatar J. (2002a). Nierówność Lapunowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, 549, 5 – 10.
Tatar J. (2002b). Nowe miary zależności wektorów losowych. Komisja Statystyczno Demograficzna PAN, O/Kraków, 22 maja 2002 r.
Tatar J. (2003). Prawa wielkich liczb dla wielowymiarowych wektorów losowych. Zastosowania sta-tystyki i matematyki w ekonomii / red. nauk. Walenty Ostasiewicz. Prace Naukowe AE we Wrocławiu, 1006, 254 – 260.
Tatar J. (2004). Funkcje charakterystyczne wielowymiarowych wektorów losowych. XX Seminarium Ekonometryczne im. Profesora Zbigniewa Pawłowskiego: materiały z XXXVIII Konferencji Statystyków, Ekonometryków i Matematyków Akademii Ekonomicznych Polski Południowej zorganizowanej przez Katedrę Statystyki Akademii Ekonomicznej w Krakowie (Osieczany, 18-21 III 2002 r.) /pod red. Aleksandra ZELIASIA. - Kraków : Wydawnictwo Akademii Ekono-micznej w Krakowie, 77-86.
Tatar J. (2006). Półniezmienniki i momenty w charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów praw-dopodobieństwa. W: E. Smaga (Red.), Matematyka język uniwersalny : księga jubileuszowa dla uczczenia 70. urodzin Profesora Tadeusza Stanisza. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, 263 - 269.
Tatar J. (2007). Nowe narzędzia w badaniu wielowymiarowych wektorów losowych. W: S. Owsiak (Red.), Finanse jako przedmiot badań interdyscyplinarnych. Wydawnictwo Akademii Ekono-micznej w Krakowie, 69 -78.
Tatar J. (2008a). Miary zależności wektorów losowych o różnych wymiarach. Zeszyty Naukowe Uni-wersytetu Ekonomicznego w Krakowie, 780, 53 – 60.
Tatar J. (2008b). Korelacja wektorów losowych o dowolnych wymiarach. W: A. Zeliaś i J. Pociecha (Red.), Postępy statystyki, ekonometrii i matematyki stosowanej w Polsce Południowej, Wy-dawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, s.: 77-82.
Tatar J. (2009). Nowe charakterystyki warunkowych rozkładów wielowymiarowych. W: J. Pociecha (Red.), Współczesne problemy statystyki, ekonometrii i matematyki stosowanej. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, 193-203.
Voulgaris F., Asteriou D., Agiomirgianakis G. (2004). Size and Determinants of Capital Structure in the Greek Manufacturing Sector, International Review of Applied Economics. 18 (2), 247–262. Wilks S.S. (1932). Certain generalizations in the analysis of variance. Biometrika, 24.
Wilkowski A. (2009). O współczynniku korelacji. Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 76, Ekonometria, 26, 191 – 198.
124 Wywiał J. (1981). O pewnych unormowanych współczynnikach asymetrii i spłaszczenia rozkładu
zmiennej losowej. Przegląd Statystyczny, 28 (3/4), 263 -269.
Zellner A. (1962). An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias, Journal of American Statistical Association, 57, 348-368.
Zografos K. (2008). On Mardia’s and Song’s measures of kurtosis in elliptical distributions. Journal of Multivariate Analysis, 99, 858 – 879.
125 Spis Tabel
Tabela 1. Opis wskaźników ekonomicznych – zmiennych w modelu ekonometrycznym. ... 103 Tabela 2. Definicja i liczebność badanych branż. ... 104 Tabela 3. Podstawowe informacje o zmiennych Y i X w branży „Przemysł spożywczy”. .... 106 Tabela 4. Charakterystyki rozkładu wektora losowego Y=(Y1, Y2, Y3, Y4) oparte na definicji potęgi wektora w branży „Przemysł spożywczy”. ... 106 Tabela 5. Macierz korelacji w próbie zmiennych Y i X w branży „Przemysł spożywczy”. ... 107 Tabela 6. Wyniki testu F dla wybranych branż. ... 108 Tabela 7. Ocena Rmulti2 współczynnika korelacji wielowymiarowej multi(X ,Y). ... 108 Tabela 8. Składowe współczynnika korelacji wielowymiarowej, R2multi = 0,473, dla branży „Przemysł spożywczy”. ... 109 Tabela 9. Składowe współczynnika korelacji wielowymiarowej. ... 110 Tabela 10. Kierunki zależności między składowymi wektorów Y i X w branży „Przemysł elektromaszynowy, metalowy i motoryzacyjny”. ... 111 Tabela 11. Kierunki zależności między składowymi wektorów Y i X w branży „Przemysł spożywczy”. ... 111 Tabela 12. Empiryczny łączny rozkład liczby płatności gotówką i kartą oraz jego rozkłady brzegowe. ... 112 Tabela 13. Charakterystyki rozkładów (brzegowych) dla liczby transakcji gotówką i kartą. 113 Tabela 14. Charakterystyki rozkładu wektora losowego X=(gotówka, karta) oparte na definicji potęgi wektora. ... 114
126 Spis Rysunków
Rysunek 1. Funkcje gęstości wybranych rozkładów. ... 40 Rysunek 2. Porównanie parami funkcji gęstości wybranych rozkładów (część I). ... 40 Rysunek 3. Porównanie parami funkcji gęstości wybranych rozkładów (część II). ... 41 Rysunek 4. Porównanie parami funkcji gęstości wybranych rozkładów (część III). ... 41 Rysunek 5. Histogram versus dwuwymiarowy rozkład normalny (część I) ... 114 Rysunek 6. Histogram versus dwuwymiarowy rozkład normalny (część II) ... 115