Nowe charakterystyki rozkładu i zależności wektorów losowych - konstrukcja, estymacja, zastosowania

Pełen tekst

(1)Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Wydział Finansów Katedra Matematyki. Katarzyna Budny. NOWE CHARAKTERYSTYKI ROZKŁADU I ZALEŻNOŚCI WEKTORÓW LOSOWYCH – KONSTRUKCJA, ESTYMACJA, ZASTOSOWANIA. Rozprawa doktorska. Promotor rozprawy: Prof. UEK dr hab. Jerzy Marzec. Kraków, 2014.

(2) Spis treści Wstęp ……………………………………………………………………………….............. 3. 1. Dotychczasowe charakterystyki rozkładu wektora losowego oparte na koncepcji potęgi wektora 1.1. Definicja potęgi wektora i jej podstawowe własności ………………...………….. 7. 1.2. Momenty wektora losowego …………………………………………………….... 9. 1.3. Współczynnik asymetrii wielowymiarowej ……………………………………..... 16. 2. Kurtoza wektora losowego 2.1. Uwagi wstępne ……………………………………………………………………. 20. 2.2. Definicja kurtozy wektora losowego i jej podstawowe własności ………….......... 24. 2.3. Kurtoza wektora losowego dla wybranych typów rozkładów …………………..... 33. 2.4. Współczynnik ekscesu wektora losowego ………………………………………... 42. 3. Estymacja charakterystyk rozkładu wielowymiarowego opartych na definicji potęgi wektora 3.1. Estymatory momentów zwykłych wektora losowego ……………………………. 45. 3.2. Średnia w próbie wielowymiarowej …………………………………………….... 53. 3.3. Estymatory wariancji całkowitej wektora losowego ……………………………... 57. 3.4. Momenty centralne wyższych rzędów w próbie wielowymiarowej ……………... 63. 3.5. Estymatory współczynnika asymetrii oraz kurtozy wektora losowego ………….. 73. 4. Współczynnik korelacji wielowymiarowej 4.1. Współczynnik korelacji wielowymiarowej – definicja i podstawowe własności .... 79. 4.2. Współczynnik korelacji wielowymiarowej jako miernik stopnia zależności liniowej miedzy wektorami losowymi ……………………………………………. 84 1.

(3) 4.3. Nieskorelowane wektory losowe …………………………………………............. 86. 4.4. Współczynnik korelacji wielowymiarowej a wielowymiarowy stosunek korelacyjny ………………………………………………………………………. 89. 4.5. Kilka uwag o postaciach współczynnika korelacji wielowymiarowej …………... 91. 4.6. Estymator kwadratu współczynnika korelacji wielowymiarowej ……………….. 96. 5. Przykłady zastosowania proponowanych metod statystycznych w ekonomii 5.1. Identyfikacja struktury kapitałowej (finansowania) przedsiębiorstwa – założenia i wyniki 5.1.1. Wprowadzenie …………………………………………………………….. 99. 5.1.2. Model ekonometryczny – narzędzie opisu problemu ………………..……. 100. 5.1.3. Opis próby losowej obejmującej przedsiębiorstwa w Polsce ……………... 103. 5.1.4. Wyniki empiryczne ………………………………………………………... 107. 5.2. Analiza rozkładu liczby transakcji gotówką i kartą ……………………………... 111. Podsumowanie …………………………………………………………………………... 116. Literatura …………………………………………………………………………………. 118. Spis tabel …………………………………………………………………………………. 125. Spis rysunków …………………………………………………………………………..... 126. Załącznik ………………………………………………………………………………..... 127. 2.

(4) Wstęp W zestawie narzędzi matematycznych służących analizie zjawisk zachodzących w obszarze nauk społecznych, w szczególności modelowaniu procesów gospodarczych, ważne miejsce zajmują te, które powstały na gruncie rachunku prawdopodobieństwa. Wiele zjawisk opisywanych jest za pomocą zmiennych losowych, czyli jednego z najważniejszych pojęć probabilistyki. W sytuacji, gdy istnieje potrzeba opisania zjawiska za pomocą zestawu wielkości, pojawia się pojęcie zmiennej losowej wielowymiarowej, nazywanej inaczej wektorem losowym. W badaniach własności zmiennych losowych rozważa się pewne wielkości liczbowe zwane charakterystykami rozkładów tych zmiennych. Podstawowymi charakterystykami są momenty zwykłe i centralne, a także współczynnik asymetrii oraz kurtoza zmiennej losowej (o ile istnieją). W przypadku wielowymiarowym, w klasycznej literaturze z zakresu probabilistyki rozkład wektora losowego charakteryzuje się poprzez wprowadzenie parametrów odpowiednio skonstruowanych jednowymiarowych zmiennych losowych będących funkcjami jego współrzędnych lub ich odpowiednich zestawień. W cyklu prac Tatara (m. in. 1996, 1999, 2000a, 2000b, 2000c, 2001, 2002a, 2002b, 2003, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009) oraz Osiewalski i Tatar (1999) analiza rozkładów wielowymiarowych jest oparta na koncepcji potęgi wektora (Tatar 1996, 1999). W podejściu tym takie charakterystyki wektora losowego, jak momenty zwykłe i centralne oraz współczynnik asymetrii przedstawiono jako naturalne uogólnienia odpowiednich charakterystyk rozkładu jednowymiarowej zmiennej losowej. W szczególności, zgodnie z intuicją, momenty parzystego rzędu wektora losowego to wielkości skalarne, gdyż są parametrami rozproszenia. Natomiast momenty nieparzystego rzędu to wielkości wektorowe, jako parametry położenia. Niniejsze opracowanie stanowić będzie kontynuację powyższego wątku badawczego. Podjęta zostanie w nim próba uogólnienia kolejnych charakterystyk, tj. kurtozy oraz współczynnika ekscesu zmiennej losowej, na przypadek wielowymiarowy. W literaturze przedmiotu jako kurtozę wektora losowego najczęściej przywołuje się miernik przedstawiony w pracy Mardia (1970). Istnieją także inne klasyczne sposoby określenia tego pojęcia. Warto wspomnieć chociażby o tych zaprezentowanych w pra3.

(5) cach Srivastava (1984) oraz Mori, Rohatgi i Szekeley (1993). Proponowana w pracy definicja oparta na koncepcji potęgi wektora będzie odmienna od przedstawianych w literaturze. Jako naturalne pojawia się pytanie o możliwość zastosowania rozważanych charakterystyk w empirycznej analizie danych wielowymiarowych. Wskazuje to zatem na nową ścieżkę badań nad odpowiednimi estymatorami proponowanych wskaźników. W tej sytuacji pożądane wydaje się skonstruowanie ich odpowiednich estymatorów, co w konsekwencji otwiera możliwości aplikacyjne. Z uwagi na sposób określenia rozważanych charakterystyk, jako estymatory zostaną zaproponowane naturalne wielowymiarowe uogólnienia narzędzi statystyki matematycznej, których postaci również będą opierać się na definicji potęgi wektora. Kolejny wątek badawczy poruszony w pracy będzie dotyczyć charakterystyk wielowymiarowych zależności, a dokładniej wielowymiarowych zależności liniowych. W literaturze przedmiotu najczęściej zależności te poddawane są tzw. analizie kanonicznej, w której tworzy się zmienne kanoniczne oraz zestaw odpowiednich współczynników korelacji między nimi, zwanych korelacjami kanonicznymi. Motywem podjęcia tego problemu jest chęć skonstruowania wskaźnika będącego wielkością skalarną (liczbą), która określać będzie stopień zależności liniowej w klasie wektorów losowych o dowolnych wymiarach, a także, dla celów aplikacyjnych, zaproponowanie jego odpowiedniego estymatora. Z względu na naturę rozpatrywanych zjawisk, omawiane wielkości powinny zostać zdefiniowane na gruncie rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Polem zastosowań powyższych charakterystyk może być obszar nauk społecznych, zwłaszcza ekonomii, których metody poznania stosują ścisłe (często ilościowe) kryteria. Uzasadnione wydaje się wobec tego wskazanie przykładów praktycznego wykorzystania rozważanych metod do analizy danych oraz zależności wielowymiarowych w tym obszarze. Celem niniejszej pracy jest zatem uzupełnienie zestawu charakterystyk rozkładu wielowymiarowego opartych na definicji potęgi wektora o kolejne tj. kurtozę i współczynnik ekscesu oraz skonstruowanie skalarnego miernika zależności liniowej między wektorami losowymi o dowolnych wymiarach. Ponadto, przedstawienie co najmniej zgodnych estymatorów dla rozważanych charakterystyk, a także wskazanie przykładów ich zastosowań Sformułowane cele prowadzą do głównej hipotezy badawczej pracy. Hipoteza ta brzmi następująco: proponowane charakterystyki rozkładów wektorów losowych, współczynnik korelacji wielowymiarowej i ich estymatory są użytecznymi narzędziami w analizie danych wielowymiarowych.. 4.

(6) Praca składa się z pięciu rozdziałów poprzedzonych wstępem i uzupełnionych podsumowaniem oraz literaturą przedmiotu. W pierwszym rozdziale przedstawiona została koncepcja potęgi wektora zaproponowana przez Tatara (1996, 1999). Wśród podstawowych, klasycznych charakterystyk rozkładu wielowymiarowego, m.in. momentów mieszanych zwykłych oraz centralnych wektora losowego, a także momentów wektorowych wyrażonych za pomocą iloczynu Kroneckera, zaprezentowano definicje i własności momentów zwykłych i centralnych wektora losowego opartych na tej koncepcji (Tatar 1996, 1999). Omówiono także różne mierniki asymetrii rozkładu wielowymiarowego, ze szczególnym uwypukleniem współczynnika asymetrii opartego na definicji potęgi wektora (Tatar, 2000a). Rozdział drugi zawiera uzupełnienie dotychczasowych charakterystyk rozkładu wielowymiarowego opartych na koncepcji wektora o kolejne tj. kurtozę (Budny 2009, Budny i Tatar 2009) oraz współczynnik ekscesu wektora losowego (Budny 2014). Wykazano również ich podstawowe, pożądane własności. Ponadto przedstawiono postaci kurtozy dla wybranych rozkładów prawdopodobieństwa, w tym dla wielowymiarowego rozkładu normalnego i wielowymiarowego rozkładu t – Studenta. Z kolei cały wysiłek badawczy rozdziału trzeciego jest skoncentrowany na estymacji charakterystyk opartych na definicji potęgi wektora. Zaproponowano zgodne i nieobciążone estymatory momentów zwykłych, a także zgodne i asymptotycznie nieobciążone estymatory pozostałych charakterystyk tj. momentów centralnych, współczynnika asymetrii, kurtozy oraz współczynnika ekscesu. Do konstrukcji powyższych estymatorów wykorzystano definicję potęgi wektora. Rozdział czwarty został poświęcony badaniu zależności wielowymiarowych. Zaproponowano miernik zależności liniowej między wektorami o dowolnych wymiarach tzw. współczynnik korelacji wielowymiarowej. Wyznaczono związki między tym współczynnikiem, a wybranymi, znanymi z literatury przedmiotu, miarami zależności. W rozdziale tym skonstruowano także zgodny i asymptotycznie nieobciążony estymator kwadratu współczynnika korelacji wielowymiarowej, co otwiera możliwości aplikacyjne. Ostatni, piaty rozdział stanowi ilustrację zastosowania przedstawionych w pracy charakterystyk do analizy danych wielowymiarowych. Zaproponowano dwie aplikacje. Pierwsza z nich dotyczy danych z zakresu finansów przedsiębiorstw, gdzie badaniu poddano dwie kategorie finansowe tj. zadłużenie i rentowność przedsiębiorstw. Drugi przykład odnosi się do zachowania konsumentów w zakresie wyboru form płatności. 5.

(7) Składam serdeczne podziękowania Panu Prof. UEK dr hab. Jerzemu Marcowi za opiekę naukową, cenne uwagi i dyskusje. Pragnę również podziękować Panu Dr. Janowi Tatarowi za inspirację do napisania niniejszej pracy, okazaną pomoc i życzliwość.. 6.

(8) Rozdział 1. Dotychczasowe charakterystyki rozkładu wektora losowego oparte na koncepcji potęgi wektora. 1.1.. Definicja potęgi wektora i jej podstawowe własności Rozważmy przestrzeń Hilberta H , R,, wyposażoną w iloczyn skalarny ,  , induku-. jący normę postaci v . v, v , dla wszystkich v  H . Odpowiednik działania mnożenia w. przestrzeni liczb rzeczywistych R , to dla dowolnej przestrzeni Hilberta mnożenie skalarne jej elementów czyli v, w , gdzie v, w  H . W przypadku mnożenia dwóch tych samych wektorów otrzymujemy zatem v, v , co może definiować operację podnoszenia do kwadratu elementów z przestrzeni Hilberta jako v 2  v, v . Tatar (1996, 1999) podjął ten wątek badawczy proponując sposób „mnożenia” dowolnej ilości tych samych elementów przestrzeni Hilberta, a więc definicję operatora potęgowania wektorów o dowolnie ustalonym wykładniku będącym liczbą naturalną. Definicja 1.1.1. (Tatar 1996, 1999) Dla dowolnego wektora v  H oraz dowolnej liczby k  N k - tą potęgę wektora v definiujemy w następujący sposób: o. v  1 R. oraz. v r 1  v v   r 1  v , v r. dla r  nieparzystych dla r  parzystych. .. Zauważmy, że parzyste potęgi wektora v , określone za pomocą iloczynu skalarnego, to wielkości skalarne (liczby rzeczywiste), natomiast potęgi nieparzyste, wyznaczone przez działanie zewnętrzne w przestrzeni H , to wielkości wektorowe czyli elementy z rozważanej przestrzeni. Ponadto, operator potęgowania spełnia własności analogiczne do własności działania potęgowania liczb rzeczywistych o wykładniku naturalnym. Zachodzą zatem następujące warunki (por. Tatar, 1999): 7.

(9)  jeżeli k jest liczbą parzystą to v. k.  jeżeli k jest liczbą nieparzystą to v . a  v k. 1.1.1.  v k dla wszystkich v  H , k. 1.1.2.  v k dla wszystkich v  H ,. 1.1.3.  a k  v k , dla wszystkich v  H , a  R , k  N .. Aby skrócić zapis działań między potęgami wektorów (o dowolnych naturalnych wykładnikach) w pracach Tatara (2002b, 2008a, 2008b) wprowadzony został operator "" , następującej postaci  v k wl  k l  v w k l v w  l k  w v  v k , wl . gdy k , l  l. parzyste gdy k  l. parzysta, l  l. nieparzysta , gdy k  l. nieparzysta, l  l. parzysta gdy k , l - l. nieparzyste. gdzie v, w  H , k , l  N . Zauważmy, że dzięki nierówności Schwarza (por. Musielak, 1989, s. 67 - 68) dla operatora "" zachodzi, użyteczna w dalszej części pracy, własność:. v. k.  wl. . 2. 1.1.4.  v 2 k w 2l ,. dla wszystkich v, w  H oraz k , l  N . Ponadto, za pomocą operatora "" sformułowane zostanie twierdzenie prezentujące kolejne własności operatora potęgowania w przestrzeni Hilberta, będące uogólnieniami odpowiednich własności działania potęgowania liczb rzeczywistych. Twierdzenie 1.1.1. Dla wszystkich v, w  H , k , l  N 0 :. 1.1.5. v k  v l  v k l oraz. v . k l. 1.1.6.  v k l. Dowód: W załączniku.. . . W dalszej części pracy rozważać będziemy przestrzeń Hilberta R n , R,, , w której określono klasyczny (euklidesowy) iloczyn skalarny postaci n. v , w   vi wi , i 1. gdzie v  (v1 , v 2 ,..., v n ), w  (w1 , w2 ,..., wn )  R n .. 8.

(10) 1.2.. Momenty wektora losowego Jednymi z podstawowych charakterystyk rozkładu zmiennej losowej (jednowymiaro-. wej) są momenty zwykłe oraz centralne. Momenty parzystych rzędów są miarami rozproszenia rozkładu zmiennej losowej, momenty nieparzystego rzędu charakteryzują jego położenie. Przypomnijmy zatem ich definicję. Rozważmy przestrzeń probabilistyczną , , P  . Załóżmy, że r  N \ 0 . Niech Lr   oznacza zbiór zmiennych losowych całkowalnych w r  tej   r potędze tj. Lr     X :   R : X zmienna to losowa i  X dP    .   . Wielkość E X. r. r.   X dP (o ile istnieje i jest skończona) nazywamy momentem absolutnym . rzędu r zmiennej losowej X (por. np. Shao, 2003, str. 28, Bilingsley, 2009, str. 273). Rozważmy zatem zmienną losową X , dla której istnieje moment absolutny rzędu r , tj. X  Lr   . Definicja 1.2.1. (por. np. Shao, 2003, str. 28, Bilingsley, 2009, str. 274) Momentem (zwykłym) rzędu r zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie postaci.  r  E[ X r ] . Definicja 1.2.2. (por. np. Shao, 2003, str. 28, Jakubowski i Sztencel, 2004, str. 85) Moment centralny rzędu r zmiennej losowej X to liczba wyrażona jako.  r  E[ X  E X  ] . r. W analizie rozkładów wielowymiarowych jako klasyczne uogólnienia powyższych wielkości rozważa się pojęcia momentów mieszanych zwykłych oraz centralnych lub ich zestawień (np. wektor wartości oczekiwanych, macierz kowariancji). Niech zatem Lrn   będzie przestrzenią wektorów losowych całkowalnych w r  tej potędze   r tj. Lrn     X :    R n : X wektor losowy i  X dP    .    r. r. W literaturze przedmiotu wielkość E[ X ]   X dP nazywana jest czasem momentem . rzędu r wektora losowego X i oznaczana jako E[ X r ] (por. Bilodeau i Brenner, 1999, s. 18). Tatar (2000b, 2002a) natomiast, poprzez analogię do przypadku jednowymiarowego, wyrażenie to określa terminem momentu absolutnego rzędu r wektora losowego X . 9.

(11) W dalszej części tego podrozdziału zakładać będziemy, że X :   R n jest wektorem losowym, dla którego istnieje moment absolutny rzędu r . Niech r1 ,..., rn   N n będzie ustalonym wielowskaźnikiem takim, że r1  ...  rn  r . Definicja 1.2.3. (por. np. Johnson, Kotz i Kemp, 1992, str. 46) Momentem zwykłym mieszanym rzędu r wektora losowego X określamy wyrażenie postaci  n   r1 ...rn  E  X ir  .  i 1 . 1.2.1. Definicja 1.2.4. (por. np. Johnson, Kotz i Kemp, 1992, str. 46 ) Moment centralny mieszany rzędu r wektora losowego X natomiast to liczba postaci  n r   r1 ...rn  E   X i  EX i  i  .  i 1 . 1.2.2. W szczególności, moment centralny mieszany rzędu drugiego postaci. 11  E[ X i  EX i X j  EX j ] nazywamy kowariancją między zmiennymi losowymi X i oraz X j i oznaczamy jako covX i , X j  . Momenty zwykłe oraz centralne mieszane to wielkości skalarne charakteryzujące rozkład wektora losowego. W literaturze przedmiotu, jako standardowe charakterystyki rozkładu wielowymiarowego, rozważa się również wektorowe momenty zwykłe oraz centralne wektora losowego, będące zestawieniami momentów mieszanych odpowiednich rzędów (por. np. Holmquist 1988, Genton, He i Liu 2001, Kim i Mallik 2003). Niech A  B  aij B  oznacza zatem iloczyn Kroneckera macierzy A i B . Wprowadźmy r. oznaczenia:. r. r   Ai  A1  ...  Ar oraz A   A . i 1. i 1. Definicja 1.2.5. Wektorowym momentem zwykłym rzędu r wektora losowego X nazywamy wielkość M r  X   E[ X  r  ] .. 1.2.3. Z kolei, wektorowy moment centralny rzędu r wektora losowego X to wyrażenie postaci r. M r  X   E[ X  EX . ].. 1.2.4. Alternatywny sposób analizy jednowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa proponuje Hosking (1990, 1992), wprowadzając tzw. L –momenty utworzone przez wartości oczekiwane pewnych liniowych kombinacji statystyk porządkowych. Uogólnienie tych cha10.

(12) rakterystyk na przypadek wielowymiarowy przedstawili Serfling i Xiao (2007), konstruując tzw. wielowymiarowe L – momenty.. Tatar (1996, 1999) opierając się na definicji potęgi wektora zaproponował kolejne, odmienne od przedstawionych powyżej, wielowymiarowe uogólnienie pojęć momentów zwykłych i centralnych zmiennej losowej. Definicja 1.2.6. (Tatar 1996, 1999) Moment zwykły rzędu r wektora losowego X :   R n to wyrażenie określone jako.  r , n  X   E[ X r ] .. 1.2.5. Zauważmy, że moment zwykły wektora losowego to wektor wartości oczekiwanych, tj.. 1, n  X   m  EX . Definicja 1.2.7. (Tatar 1996, 1999) Momentem centralnym rzędu r wektora losowego. X :   R n nazywamy wielkość wyrażoną jako.  r , n  X   E[ X  EX r ] .. 1.2.6. Z uwagi na własności potęgi wektora, zgodnie z intuicją, momenty parzystego rzędu wektora losowego to wielkości skalarne, gdyż są parametrami rozproszenia rozkładu wielowymiarowego. Natomiast momenty nieparzystego rzędu to wielkości wektorowe, jako parametry położenia. W tym opracowaniu przez momenty (zwykłe oraz centralne) wektora losowego rozumieć będziemy momenty (zwykłe oraz centralne) oparte na definicji potęgi wektora (por. Tatar 1996, 1999) Momenty absolutne wektora losowego to z kolei wielkości postaci r. r. E[ X ]   X dP , gdzie r  N (por. Tatar, 2000b, 2002a). . W literaturze przedmiotu klasycznie jako skalarną miarę rozrzutu rozkładów wielowymiarowych przyjmuje się uogólnioną wariancję, czyli wyznacznik macierzy kowariancji zaproponowaną przez Wilksa (1932). Tatar (1996, 1999) wariancję wektora losowego. X :   R n definiuje jako moment centralny rzędu drugiego. Dla wielkości tej zarezerwujemy oznaczenie D 2 X . Zauważmy, że wariancja wektora losowego X   X 1 ,..., X n  :   R n przyjmuje postać: n. D2 X   D2 X i . i 1. 11.

(13) Suma wariancji brzegowych wektora losowego określana jest także jako wariancja całkowita wektora losowego (por. Bilodeu i Brenner, 1999, str. 162). Wariancja wektora losowego jako uogólnienie wariancji zmiennej losowej spełnia szereg istotnych, pożądanych własności zachodzących także w przypadku jednowymiarowym. Przypomnijmy zatem kilka wybranych faktów (por. Tatar, 1999): .  . D 2 X   2,n   2,n  12,n  E X 2  E X  , 2. 1.2.7.  dla wszystkich a  R i wszystkich b  R n :. 1.2.8. D 2 aX  b   a 2 D 2 X oraz  dla wszystkich v0  R n \ EX  : 2. 1.2.9. D 2 X  E[ X  v0  ] .. Kolejne twierdzenie przedstawia uogólnienie własności 1.2.8 , użyteczne w dalszej części pracy. Wynika z niego m. in. niezmienniczość momentów centralnych względem translacji. Twierdzenie 1.2.1. Dla każdej liczby rzeczywistej a  R \ 0 oraz każdego wektora b  R n zachodzi równość. 1.2.10.  r , n aX  b   a r  r , n  X  .. Dowód: Rozważmy, na początek, przypadek momentów centralnych parzystych rzędów, tzn. r  2s , gdzie s  N . Wówczas, wobec własności 1.1.6  potęgi wektora, otrzymujemy. .   E[aX  EX   ]  E[a  X  EX   ]  E[ X  EX   ]  a E  X  EX  ..  2 s ,n aX  b   E aX  b  E aX  b  a 2s. 2 s. 2s. 2 s. 2. 2 s. 2s. 2s. Dla momentów centralnych nieparzystych rzędów, biorąc po uwagę powyższe przekształcenia oraz własność 1.1.5 potęgi wektora, uzyskujemy.  2 s 1, n aX  b   E[aX  b  EaX  b 2 s 1 ]  E[a  X  EX 2 s  a X  EX ]  2 s 1. a 2 s 1 E[ X  EX . ],. co kończy dowód. W całej pracy przyjmować będziemy następujące oznaczenie: M kl  R  to zbiór macierzy o wymiarze k  l  , których elementy są liczbami rzeczywistymi. 12.

(14) Wykorzystując tę notację sformułujemy twierdzenie, które informuje o tym, że momenty centralne parzystych rzędów są także niezmiennikami przekształceń ortogonalnych. Twierdzenie 1.2.2. (Budny, 2012c) Dla dowolnej macierzy ortogonalnej C  M nn  R  ( tzn.. C T  C 1 ).  2 k , n CX    2 k , n  X  .. 1.2.11. Dowód: W załączniku.. Literatura przedmiotu do najważniejszych wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa zalicza wielowymiarowy rozkład normalny (por. np. Bilodeau i Brenner 1999, Kotz, Balakrishnan i Johnson 2000, Fujikoshi, Ulyanov i Shimizu 2010). Analizy tego rozkładu dokonuje się m.in. poprzez wyznaczenie jego odpowiednich charakterystyk liczbowych, czy wektorowych. I tak np. Holmquist (1988) dla wielowymiarowego rozkładu normalnego przedstawia postać wektorowych momentów zwykłych i centralnych. Isserlis (1918) natomiast, dla tego rozkładu proponuje algorytm wyznaczania centralnych momentów mieszanych. Dążąc do uzupełnienia zestawu charakterystyk wielowymiarowego rozkładu normalnego o postać momentów centralnych opartych na definicji potęgi wektora (Tatar, 1996, 1999) zauważmy, że momenty te są odpowiednio skonstruowanymi sumami, ewentualnie zestawieniami centralnych momentów mieszanych stosownych rzędów. Przypomnijmy zatem Twierdzenie Isserlisa (1918). Twierdzenie 1.2.3. (Isserlis, 1918) Momenty centralne mieszane rzędu r wektora losowego. X :   R n o wielowymiarowym rozkładzie normalnym można przedstawić w postaci: .  r1 ... rn  X   0 , jeżeli r to liczba nieparzysta,.  dla r parzystych, czyli k  2 s :.  r1 ... rn  X    cov X a , X b  cov X c , X d   ...  cov X y , X z  ,. 1.2.12. gdzie sumowanie przebiega przez wszystkie podziały zbioru 1,...,2 s na s dwuelementowych podzbiorów. Sumujemy więc. 2s  1! 2 s 1 s  1!. składników będących iloczynami s kowariancji. Najwygodniej. rozpocząć od wyznaczenia momentu centralnego mieszanego rzędu r dla r różnych zmien-. 13.

(15) nych losowych, a później stosownie go upraszczając, przyjąć X i  X j , przy zachowaniu konwencji cov X i , X i    i2 . Jako ilustrację tego twierdzenia rozważmy momenty centralne mieszane rzędu czwartego k  2 s  4 wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym (por. np. Budny, 2012a). Będziemy zatem obliczać sumy trzech składników, które są iloczynami dwóch kowariancji. Na podstawie twierdzenia Isserlisa (1918), moment centralny mieszany rzędu czwartego dla czterech różnych zmiennych losowych przyjmuje postać E[ X i  EX i  X j  EX j  X k  EX k  X l  EX l ]  covX i , X j cov X k , X l   cov X i , X k  covX j , X l   cov X i , X l  covX j , X k  . 1.2.13. W szczególności, podstawiając we wzorze 1.2.4. : X j  X i , X k  X i oraz X l  X i , uzyskujemy. . 4. .  . E  X i  EX i   3 cov 2  X i , X i   3  i2. 2.  3 i4 .. 1.2.13. Pozostałe centralne momenty mieszane czwartego rzędu, przy odpowiednich podstawieniach zmiennych losowych we wzorze 1.2.13 , przyjmują postaci. E[ X i  EX i   X j  EX j ]  3 i2 covX i , X j  , 3. E[ X i  EX i   X j  EX j  ]   i2 2j  2 cov 2 X i , X j    i2 2j  2  ij2 i2 2j , 2. 2. 1.2.14 1.2.15. E[ X i  EX i   X j  EX j  X k  EX k ]   i2 cov X j , X k   2 covX i , X j cov X i , X k  . 2. 1.2.16 Z kolei moment centralny mieszany rzędu szóstego dla sześciu różnych zmiennych losowych (por. Fujikoshi, Ulyanov i Shimizu, 2010, str.11), dzięki formule 1.2.12  , można przedstawić jako E[ X i  EX i  X j  EX j  X k  EX k  X l  EX l  X s  EX s  X t  EX t ]   cov X i , X j cov X k , X l  cov X s , X t    covX i , X j cov X k , X s  cov X l , X t   covX i , X j cov X k , X t cov X l , X s    cov X i , X k  cov X j , X l cov X s , X t   cov X i , X k  cov X j , X s cov X l , X t    cov X i , X k  cov X j , X t cov X l , X s   cov X i , X l  covX j , X k cov X s , X t    cov X i , X l  covX j , X s cov X k , X t   cov X i , X l  covX j , X t cov X k , X s    cov X i , X s  covX j , X k cov X l , X t   cov X i , X s  covX j , X l cov X k , X t   14.

(16)  cov X i , X s  covX j , X t cov X k , X l   cov X i , X t  covX j , X k cov X l , X s    cov X i , X t  cov X j , X l cov X k , X s   cov X i , X t  cov X j , X s cov X k , X l  . 1.2.17 . Z formuły 1.2.17  , w sposób oczywisty, otrzymujemy wszystkie momenty centralne mieszane rzędu szóstego. Przechodząc do wyznaczenia postaci momentów centralnych wektora losowego zauważmy, że. . 4.  4,n  X   E  X  EX  n. . 2 n  n  2 2 2  E    X i  EX i      E  X i  EX i  X j  EX j     i , j 1  i 1. . . n. . . . .   E  X i  EX i    E  X i  EX i  X j  EX j  . 4. i 1. 2. 2. i , j 1 i j. Wobec równości 1.2.13 oraz 1.2.15 uzyskujemy. n.  4,n  X   3  i4  i 1. n.  .  2j  2  ij2 i2 2j  .. 2 i. 1.2.18. i , j 1 i j. Natomiast, formuła 1.2.17  implikuje postać. . 6.  6,n  E  X  EX  n. .  . . 3 n  n  2 2 2 2  E    X i  EX i      E  X i  EX i  X j  EX j   X k  EX k     i , j , k 1  i 1. . .  2j  k2  6 i2 cov 2 X j , X k   8 covX i , X j cov X i , X k covX j , X k  .. 2 i. i , j ,k 1. Ostatecznie więc, n.  6,n . .  2j  k2 1  6  2jk  8 ij  ik  jk .. 2 i. 1.2.19. i , j ,k 1. Pozostałe momenty centralne wektora losowego wyższych, parzystych rzędów ustalamy w analogiczny sposób.. Na koniec przedstawimy postać momentów mieszanych zwykłych oraz centralnych wektorów losowych, definiowanych przy zastosowaniu potęgi wektora oraz operatora „  ”, zaproponowanych przez Tatara (2002b, 2008a, 2008b). Niech zatem dane będą p, r  N oraz wektory losowe X :   R m , Y :   R n . Ponadto rozważmy macierze A  M lm  R  oraz B  M ln  R  . 15.

(17) Definicja 1.2.8. (Tatar 2002b, 2008a, 2008b)  A, B   momentem mieszanym zwykłym rzędu p  r wektorów losowych X i Y (o ile istnieje) nazywamy wielkość wyrażoną jako.  prAB  X , Y   E[ AX  p  BY r ] ..  A, B   moment. Definicja 1.2.9. (Tatar 2002b, 2008a, 2008b). mieszany centralny rzędu. p  r wektorów losowych X i Y to wielkość zdefiniowana jako.  prAB  X , Y   E[ A X  EX  p  BY  EY r ] . Definicja 1.2.10. (Tatar 2002b, 2008a, 2008b).  A, B  . moment mieszany centralny dla. p  r  1 , tj.. 11AB  X , Y   E  A X  EX , B Y  EY   nazywamy  A, B   kowariancją wektorów losowych X oraz Y .. W kolejnym podrozdziale omówione zostaną wybrane mierniki asymetrii rozkładu wielowymiarowego. W szczególności najistotniejszy z punktu widzenia rozważań prowadzonych w tej pracy współczynnik asymetrii oparty na definicji potęgi wektora (por. Tatar 2000a).. 1.3.. Współczynnik asymetrii wielowymiarowej Asymetria rozkładu, w przypadku jednowymiarowym, oznacza odchylenie od symetrii i. przesuniecie masy rozkładu od środka w kierunku jednej ze stron (por. np. Balakrishnan i Scarpa, 2012). W literaturze przedmiotu istnieje kilka definicji mierników tego pojęcia. Miary asymetrii rozkładu zmiennej losowej często określane są za pomocą momentów rozkładu jak również z wykorzystaniem kwantyli (por. Benjamini i Krieger, 2006). Klasyczna miara asymetrii jest przedstawiana w języku momentów rozkładu jako zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu zmiennej losowej. Definicja 1.3.1. (por. np. Cramer, 1958, str. 181) Dla zmiennej losowej  :   R z przestrzeni L3   współczynnik asymetrii to wielkość wyrażona jako 3.  1   . E[  E  ]. D   2. 3 2. .. 1.3.1. 16.

(18) Często w literaturze przedmiotu spotkać można jako definicję współczynnika asymetrii kwadrat  1   . Otrzymujemy wówczas (por. np. Cramer, 1958, str. 181) miarę asymetrii rozkładu postaci. 1.3.2.  1     12   .. Inne mierniki stopnia asymetrii rozkładu jednowymiarowego przedstawione zostały także, m. in., w pracach Krzysztofiaka (1966), Smagi (1974) oraz Wywiała (1981). W przypadku wielowymiarowym również pojawia się wiele definicji miar asymetrii. Niejednoznaczność wynika tutaj dodatkowo z faktu, że różne kierunki asymetrii rozkładu wielowymiarowego mogą być charakteryzowane przez różne jednowymiarowe miary asymetrii (por. Balakrishnan i Scarpa, 2012). Obecnie przedstawimy wybrane, uznane w literaturze, propozycje miar asymetrii wielowymiarowej. W poniższych definicjach zakłada się, że rozważane wektory losowe są elementami przestrzeni L3n   oraz posiadają nieosobliwe macierze kowariancji. Jako podstawową, standardową i najczęściej stosowaną miarę asymetrii wielowymiarowej przyjmuję się wielkość zaproponowana w pracy Mardia (1970). Definicja 1.3.2. (Mardia, 1970) Współczynnikiem asymetrii wielowymiarowej nazywamy liczbę. . T. . 3. 1Mardia  X   E[  X  EX   1 Y  EY  ] , ,n. 1.3.3. gdzie X :   R n oraz Y :   R n to wektory losowe stochastycznie niezależne o identycznych rozkładach. Srivastava (1984), przy wykorzystaniu dekompozycji spektralnej nieosobliwej macierzy kowariancji  , przedstawił inną propozycję. Niech zatem   D  / , gdzie  to macierz ortogonalna tzn. macierz kwadratowa o ortogonalnych wierszach i kolumnach, czyli macierz spełniająca warunek  /   /   I n , natomiast D   /  jest macierzą diagonalną, której elementy na przekątnej głównej to uporządkowane wartości własne macierzy kowariancji, czyli D  diag 1 ,...,  n  , gdzie. 1  ...   n  0 . Ponadto, rozważmy wektor losowy Y  Y1 ,...Yn  :   R n. taki, że. Yi   iT X , gdzie  1 ,...,  n to kolumny macierzy  .. Definicja 1.3.3. (Srivastava, 1984) Współczynnik skośności wektora losowego X :   R n definiujemy następująco 17.

(19) 2. . Srivastava 1,n.  X 2.  3  1  E[Yi   i  ]     , 3 n i 1   i2   n. gdzie  i   iT EX dla wszystkich i  1,..., n . W powyższych definicjach miary asymetrii przedstawione zostały jako wielkości skalarne. Móri, Rohatgi i Székely (1993) proponują z kolei następującą wielkość wektorową. Definicja 1.3.4. (Móri, Rohatgi i Székely, 1993) Współczynnikiem asymetrii wektora losowego X :   R n nazywamy n  wymiarowy wektor postaci 2. s  X   E[ Y Y ] ,. 1.3.4. gdzie wektor Y jest zestandaryzowaną formą wektora losowego X , czyli wektorem losowym o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej macierzy kowariancji przyjmującym postać. Y . . 1 2.  X  EX  ,. 1.3.5. natomiast  to norma euklidesowa. Zauważmy, że wielkość s  X  to moment centralny trzeciego rzędu wektora losowego Y , oparty na definicji potęgi wektora, tj.. 1.3.6. s  X    3,n Y  .. Inne podejścia można spotkać także m.in. w pracach Malkovich i Afifi (1973), Kollo (2008). Najistotniejszą z punktu widzenia dalszych rozważań jest propozycja Tatara (2000a), oparta na koncepcji potęgi wektora, w której, w odróżnieniu od definicji powyższych, nie musimy wprowadzać założenia o nieosobliwości macierzy kowariancji. Definicja 1.3.5. (Tatar, 2000a) Współczynnik asymetrii wielowymiarowej to wielkość wyrażona jako.  1,n  X  .  3, n  X . D X  2. 3 2. .. 1.3.7. Zauważmy, że, podobnie jak miara 1.3.6  , współczynnik  1,n  X  to wielkość wektorowa. W celu ustalenia rozmiaru asymetrii za pomocą wielkości skalarnej proponuje się przyjęcie kwadratu (w sensie definicji 1.1.1) wielkości  1, n  X  . Prowadzi to do wyrażenia postaci.  1,n  X    12,n  X  .. 1.3.8. 18.

(20) Przedstawione miary są zatem naturalnymi „analogonami” wielkości 1.3.1 i 1.3.2  w przypadku jednowymiarowym. Postać współczynnika asymetrii dla wektora losowego o stochastycznie niezależnych współrzędnych wyznacza poniższe twierdzenie. Twierdzenie 1.3.1. Dla wektora losowego X   X 1 ,..., X n  :   R n o skończonym momencie absolutnym rzędu 3, którego współrzędne są stochastycznie niezależnymi zmiennymi losowymi współczynnik asymetrii przyjmuje postać.    1 X 1  D 2 X 1  1,n  X    3 2  2 D X . . . . . 3 2. 3   1  X n D 2 X n 2  ,..., . 3 2 2 D X  . 1.3.9. Natomiast kwadrat współczynnika asymetrii jest wyrażony jako.  D2 X i 1,n  X    1  X i  2 i 1 D X n. 3.   . . 1.3.10. Dowód: Moment centralny trzeciego rzędu wektora losowego, wprost z definicji, to  n  n  2 2  3,n  X    E   X i  EX i   X 1  EX 1  ,..., E   X i  EX i   X n  EX n   .   i 1    i 1. Stochastyczna niezależność współrzędnych wektora X implikuje postać. . .  3,n  X   E[ X 1  EX 1 3 ],..., E[ X n  EX n 3 ] . Po uwzględnieniu definicji 1.3.1 , współczynnika asymetrii w przypadku jednowymiarowym, otrzymujemy 3 3    3,n  X     1  X 1 D 2 X 1 2 ,...,  1  X n D 2 X n 2  ,  . co, w oczywisty sposób, prowadzi do wzorów 1.3.9  oraz 1.3.10  .. Na koniec zauważmy, że wszystkie rozważane w tym podrozdziale miary są równe zero dla rozkładów symetrycznych, w szczególności dla wielowymiarowego rozkładu normalnego.. 19.

(21) Rozdział 2. Kurtoza wektora losowego. 2.1.. Uwagi wstępne Słowo kurtoza, jak podają Seier i Bonett (2003) pochodzi od greckiego słowa kyrtosis. czyli wydęty, wypukły. Kurtoza w literaturze przedmiotu zwana jest także współczynnikiem spłaszczenia i traktowana jako miara koncentracji rozkładu wokół średniej. Według Zogrofosa (2008), opierającego się na interpretacji Ballanda i MacGillivray (1988), kurtoza to miara dwóch własności rozkładu łącznie: spłaszczenia oraz grubości ogonów. Zogrofos (2008) uważa, że „każdemu przesunięciu masy prawdopodobieństwa z ramion w kierunku ogonów rozkładu towarzyszyć musi, dla zachowania skali, przesuniecie masy prawdopodobieństwa w kierunku środka”. Kurtoza zatem, jak wykazują Ballanda i Mac Gillivray (1988) nie musi być formalnie określona w jednoznaczny sposób. W przypadku jednowymiarowym klasycznie kurtozę definiuje się jako zestandaryzowany moment centralny czwartego rzędu rozważanego rozkładu prawdopodobieństwa (ewentualnie pomniejszony o liczbę 3). Definicja 3.1.1. (por. np. Cramer, 1958, str. 181) Niech  :   R będzie zmienną losowa o skończonym momencie zwykłym rzędu czwartego. Kurtoza zmiennej losowej  to wielkość 4. 2 . E[  E  ]. D   2. 2. .. Tak zdefiniowany miernik przyjmuje wartości nie mniejsze niż 1. Nie istnieje jednak ograniczenia górne dla jego możliwych wartości. Krzysztofiak (1966) oraz Wywiał (1981) zaproponowali definicje kurtoz zmiennej losowej, dla których zbiory wartości to przedziały ograniczone. Krzysztofiak (1966) wprowadza korektę do klasycznej definicji. Wywiał (1981) natomiast przez kurtozę zmiennej losowej  rozumie współczynnik korelacji miedzy tą zmienną,. 20.

(22) 3. a zmienną losową postaci   E   3D 2 . Miernik ten przyjmuje więc wartości z przedziału domkniętego  1;1 . Bieżący rozdział poświęcony zostanie uogólnieniu pojęcia kurtozy na przypadek wielowymiarowy. W literaturze przedmiotu spotykamy kilka, różnych definicji kurtozy wektora losowego. W definicjach przedstawionych poniżej rozważać będziemy wektor losowy. X :   R n należący do przestrzeni L4n   o nieosobliwej macierzy kowariancji  . Na początek przybliżymy miarę zaproponowaną w pracy Mardia (1970), która w literaturze przedmiotu traktowana jest jako standardowa, podstawowa charakterystyka wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa. Definicja 2.1.2. (Mardia, 1970) Kurtozą wektora losowego X :   R n nazywamy liczbę. . . 2. T.  2Mardia  X   E[  X  EX   1  X  EX  ] . ,n. 2.1.1. Mardia (1970) wykazał, że tak skonstruowana wielkość jest niezmiennikiem przekształceń nieosobliwych (ang. nonsingular transformation), tj. przekształceń liniowych o nieosobliwej reprezentacji macierzowej, co jest uogólnienieniem własności niezmienniczości względem skali dla kurtozy w przypadku jednowymiarowym. Dla zmiennej losowej jednowymiarowej o rozkładzie normalnym kurtoza jest równa 3. Kurtoza 2.1.1 dowolnego wektora losowego o wielowymiarowym ( n - wymiarowym) rozkładzie normalnym, z nieosobliwą macierzą kowariancji jest stała i wynosi n  n  2  . W przypadku jednowymiarowym między kurtozą a współczynnikiem asymetrii zachodzi związek: 2.  2  1   1  .. 2.1.2. Dla współczynnika asymetrii oraz kurtozy zaproponowanych w pracy Mardia (1970), dla wektorów losowych wyższych wymiarów, analogiczna zależność nie zachodzi. Dla wektora losowego X :   R n o zerowym wektorze wartości oczekiwanych i jednostkowej macierzy kowariancji uzyskano natomiast związek:.  2Mardia X   n2  ,n. A2 , n.  n  n  gdzie A  E   X i   X i2  , co implikuje, ze względu na niezmienniczość kurtozy   i 1  i 1. względem przekształceń nieosobliwych, ograniczenie dolne dla wartości kurtozy postaci.  2Mardia X   n2 . ,n. 2.1.3 21.

(23) Mardia (1970), za pomocą kurtozy 3.1.1 , przedstawił także wielowymiarową wersję nierówności Czebyszewa w postaci:. . T. P  X  EX  . 1.  2Mardia X  ,n.  X  EX     . 2. .. 2.1.4. Uogólnienie nierówności 2.1.4  można znaleźć w pracy Budny (2014a). Twierdzenie 2.1.1. (Budny, 2014a) Załóżmy, że X :   R n jest wektorem losowym, dla. . . s. /. którego istnieje I s , n  X   E[  X  EX   1  X  EX  ] , gdzie s  0 . Wtedy, dla wszystkich.   0,. . . /. P  X  EX   1  X  EX    . I s ,n  X . s. .. 2.1.5. Z kolei Budny (2014b), proponuje rozszerzenie nierówności 2.1.5 na przypadek wektora losowego o osobliwej macierzy kowariancji. 4.  X   E[ Y ] , Zauważmy, że kurtoza  2Mardia  X  może być przedstawiona w postaci  2Mardia ,n ,n gdzie wektor Y jest zestandaryzowaną formą wektora losowego X , czyli wektorem losowym postaci 1.3.5 (por. Kotz, Balakrishnan i Johnson, s. 77). Wobec tego kurtoza 2.1.1 wektora losowego X to moment centralny czwartego rzędu, oparty na definicji potęgi wektora, wektora losowego Y , czyli.  2Mardia  X    4, n Y  . ,n. 2.1.7 . Inne podejście prezentują Malkovich i Afifi (1973), w którym wykorzystują jednowymiarowe kurtozy kombinacji liniowych współrzędnych wektora losowego o współczynnikach z jednostkowej sfery n  wymiarowej tj. wielkości postaci.   D c X . 4.  2 c  . E[ c T  X  EX  ] 2. T. 2. , gdzie c  S n1  x  R n : x  1.. Definicja 2.1.3 (Malkovich i Afifi, 1973). Kurtozą wektora losowego nazywamy wielkość.  2* wyrażoną przez 2.  2*2  max  2 c   3 . n 1 cS. Istnienie  2*2 zapewnia Twierdzenie Weierstrassa, gdyż rozpatrujemy maksimum funkcji ciągłej na zbiorze zwartym. Srivastava (1984), z kolei wraz z miarą asymetrii (por. definicja 1.3.3) zaproponował także postać kurtozy wielowymiarowej, przy wykorzystaniu dekompozycji spektralnej nie22.

(24) osobliwej macierzy kowariancji  . Zachowując oznaczenia przyjęte w definicji 1.3.3 otrzymujemy poniższą wielkość. Definicja 2.1.4. (Srivastava, 1984) Kurtozę wektora losowego X :   R n definiujemy następująco 4. . Srivastava 2, n. n E[Yi   i  ] X   1  , n i 1 2i. gdzie  i   iT EX dla wszystkich i  1,..., n . Dla tak zdefiniowanej wielkości, niezależnie od wymiaru, kurtoza wielowymiarowego rozkładu normalnego wynosi 3. Ponadto, również dla dowolnego wymiaru wektora losowego X , zachodzi związek.  2Srivastava  X   1  1Srivastava  X  . ,n ,n 2. W przedstawionych powyżej definicjach kurtoza to wielkość skalarna, w pracy Móri, Rohatgi i Székely (1993) kurtoza ma postać macierzową. Definicja 2.1.5. (Móri, Rohatgi i Székely, 1993) Wielowymiarową kurtozą nazywamy macierz o wymiarach n  n wyrażoną jako k  X   E[YY T YY T ]  n  2I n ,. 2.1.8. gdzie Y to wektor losowy postaci 1.3.5 . Móri, Rohatgi i Székely (1993) ustalili zależność między wielowymiarowym współczynnikiem asymetrii i kurtozą wektora losowego o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej macierzy kowariancji opisaną następującą nierównością: 2. trk  X   s X   2n .. 2.1.9. gdzie trk  X  oznacza ślad macierzy k  X  . Zauważmy, że trk  X    4,n Y   nn  2 .. 2.1.10. Wobec warunku 2.1.7  otrzymujemy zatem.  2Mardia  X   trk  X   nn  2  , ,n. 2.1.11. lub równoważnie.  2Mardia  X   trk  X   n  2 I n  ,n (por. Móri, Rohatgi i Székely, 1993).. 23.

(25) Przedstawione dotychczas definicje wielowymiarowej kurtozy sformułowane zostały za pomocą odpowiednich, wybranych momentów centralnych mieszanych rzędu czwartego wektora losowego. Koziol (1989) zaproponował natomiast wielkość uwzględniającą wszystkie momenty centralne rzędu czwartego. Definicja 2.1.6. (Koziol, 1989) Przez kurtozę wektora losowego X :   R n rozumiemy charakterystykę postaci  n 2  2Koziol  X   E   EYi Y j Yk Yl   , ,n i , j , k ,l 1  gdzie Y  Y1 ,..., Yn  to wektor losowy postaci 1.3.5 . Kollo (2008) z kolei, podobnie jak Móri, Rohatgi i Székely (1993), jako definicję kurtozy konstruuje macierz. Jednakże, poddając krytyce postać 2.1.8 , proponujepodobnie jak Kozioł (1989), definicję uwzględniającą wszystkie momenty centralne rzędu czwartego. Definicja 2.1.7. (Kollo, 2008) Kurtozą macierzową wektora losowego X :   R n nazywamy macierz o wymiarach n n postaci. B X  . n.  E Y Y YY , T. i. j. i , j 1. gdzie Y  Y1 ,..., Yn  to wektor losowy zadany przez 1.3.5 . W literaturze przedmiotu istnieją także inne podejścia, przedstawione m. in. w pracach Isogai (1982), Song (2001). W kolejnym podrozdziale przedstawimy kurtozę wektora losowego skonstruowaną przy pomocy momentów centralnych opartych na definicji potęgi wektora. Podejście to nie wymaga założenia o nieosobliwości macierzy kowariancji. Postać kurozy wektora losowego jest tutaj naturalnym „analogonem” przypadku jednowymiarowego. 2.2.. Definicja kurtozy wektora losowego i jej podstawowe własności W dalszej części tego rozdziału zakładać będziemy, że wektor losowy X :   R n jest. elementem przestrzeni L4n   . Definicja 2.2.1. (Budny i Tatar, 2009, Budny, 2009) Kurtoza wektora losowego X :   R n to wielkość wyrażona jako. 24.

(26)  2,n  X  .  4, n  X . D X  2. 2. 2.2.1. .. Poniżej omówione zostaną istotne, pożądane własności kurtozy wektora losowego. Własności te uzasadniają wybór tak skonstruowanej miary na wielowymiarowy odpowiednik kurtozy zmiennej losowej (jednowymiarowej). Na początek zauważmy, że 2.2.1 jest niezmiennicza względem wybranych, ważnych przekształceń afinicznych, m.in. jest ona niezmiennikiem skali oraz translacji. Twierdzenie 2.2.1. (Budny, 2012c) Dla każdej liczby rzeczywistej a  R \ 0 oraz każdego wektora b  R n zachodzi równość.  2, n aX  b    2, n  X . 2.2.2.  2, n CX    2, n  X . 2.2.3. oraz. dla dowolnej macierzy ortogonalnej C  M nn  R  . Dowód: Równość 2.2.2  wynika bezpośrednio z własności 1.2.10  dla momentów centralnych wektora losowego. Zależność 2.2.3 z kolei, to natychmiastowy wniosek z Twierdzenia 1.2.2. Ponadto, wartość kurtozy wektora losowego, podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, posiada ograniczenie dolne. Ograniczenie to podaje kolejne Twierdzenie 2.2.2. Twierdzenie 2.2.2. Wartość kurtozy wektora losowego X :   R n jest nie mniejsza niż 1, tzn.. 2.2.4.  2, n  X   1 .. Dowód. Kluczową rolę w dowodzie odgrywać będzie nierówność Jensena (por. np. Jakubowski i Sztencel, 2004, str. 91). Przypomnijmy zatem jej postać:. g EZ   Eg Z  ,. 2.2.5. gdzie Z :   R to zmienna losowa spełniająca odpowiednie założenia techniczne dotyczące istnienia wartości oczekiwanych, natomiast g to funkcja wypukłą. 2. Wobec tego, jeżeli w nierówności Jensena przyjmiemy Z   X  m  to, dla funkcji wypukłej g  x   x 2 , uzyskamy:. E X  m  2. 2. .  ],. 2 2.  E[  X  m . 25.

(27) czyli. D X . 2. 2. . 4. .  E  X  m .. 4. Mamy więc. E[ X  m  ]. D X . 2. 2.  1 , a zatem  2,n  X   1 .. Dodatkowe spostrzeżenia dotyczące wartości kurtozy wektora losowego zestawimy w postaci poniższych uwag. Uwaga 2.2.1. (Budny, 2012c) Ograniczenie dolne dla kurtozy wektora losowego w przypadku n – wymiarowym jest realizowane przez rozkład wektora losowego, będącego zestawieniem n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym (zero jedynkowym ) z p . 1 , czyli przez szczególny przypadek wielowymiarowego rozkładu dwu2. punktowego. Dowód. Istotnie, dla wektora losowego X   X 1 ,..., X n  :   R n spełniającego powyższe założenia kurtoza jest postaci: n. . n. . . .  E  X i  m i    E  X i  m i  E X j  m j  4. i 1.  2, n  X  . . . n D2 X i. 2. 2. i , j 1 i j. D X     X   nn  1D X  n D X  2. 2. 2. i. 2. 2. i. 2. 2. i. . 2. 2. . . 2 X i   n 1 , n. gdzie X i to zmienna losowa o rozkładzie zero – jedynkowym z p . 1 , dla której kurtoza 2.   1 2   3   3 1   1  2  2   3 p2  3 p 1 wynosi , czyli  2  X i     1 dla wszystkich i  1,..., n . p 1  p   1  1   1    2  2 . . . Wobec tego  2, n  X  . 1 n 1  1. n. Zauważmy ponadto, że pośród wektorów losowych będących zestawieniem n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym (zero - jedynkowym) jedynie wektor z p . 1 ma kurtozę równą 1. 2 26.

(28) Istotnie, z poprzednich obliczeń wynika iż. 3 p  2, n  X  . . 2.  3p 1  n 1 p1  p  3 p 2  3 p  1  n  1 p1  p   . n np 1  p . . . 2.2.6. Szukamy p  0,1 spełniających równanie  2, n  1 , a więc. 3 p. 2. .  3 p  1  n  1 p 1  p   1. np 1  p . Otrzymujemy wobec tego równanie kwadratowe zmiennej p postaci: 4 p 2  4 p  1  0 , którego jedynym rozwiązaniem jest p . 1 . 2. Uwaga 2.2.2. Nie ma górnego ograniczenia dla wartości kurtozy n - wymiarowego wektora losowego. Dowód. Rzeczywiście, zwróćmy uwagę na fakt iż dla wektorów losowych będących zestawieniem n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym (zero - jedynkowym), dzięki postaci 2.2.6  , jeżeli p  0  lub p  1 to  2, n  X    .. Dla wektorów losowych o szczególnej postaci macierzy kowariancji i niesymetrycznym rozkładzie możemy uzyskać lepsze od 2.2.4  oszacowanie dolne dla wartości kurtozy. Twierdzenie 2.2.3.(Budny, 2012c) Niech X :   R n będzie wektorem losowym o parami nieskorelowanych współrzędnych, posiadających identyczne wariancje równe  2 tj. macierz kowariancji wektora losowego X ma postać  2 I . Wówczas miedzy kurtozą, a kwadratem współczynnika asymetrii rozważanego wektora zachodzi związek:.  2, n  X   1  n1,n  X 2 .. 2.2.7 . Dowód. Na początek wykażemy, że nierówność 2.2.7  jest prawdziwa dla wektorów losowych o zerowym wektorze wartości oczekiwanych oraz jednostkowej macierzy kowariancji Zauważmy, że dla wszystkich a0  R , a1  R n oraz a 2  R zachodzi warunek:. E[a 0  a1 , X  a 2  ]  0 . 2. 2.2.8. Z własności całki uzyskujemy:. 27.

(29) E[a 0  a1 , X  a 2  ]  2. 2.  E[a 02  2a 0 a1 , X  a1 , X  a 02  2a0 E  a1 , X   E[ a1 , X.  2a 0 a 2 X 2  2 a1 , X a 2 X 2  a 22 X 4 ] .  . 2. . .  . ]  2a0 a 2 E X 2  2a 2 E a1 , X X 2  a 22 E X 4 .. Ponadto, biorąc pod uwagę fakt, że macierz kowariancji to macierz jednostkowa, otrzymujemy równości: . E  a1 , X   0 ,. . E[ a1 , X. 2. 2.2.9 2.2.10. ]  a1 , a1 ..  n  n Rzeczywiście, E  a1 , X   E  a 1i X i    a1i E  X i   0 , natomiast  i 1  i 1. . 2. E a1 , X n.  .   a1i. 2. . n  n 1  2   n  n 2  E   a i X i    E   ai1a 1j X i X j    ai1 E X i2   a1i a 1j E  X i X j   i , j 1    i 1 i , j 1  i 1 i j.    .  a1 , a1 .. i 1. Rozważać będziemy zatem nierówność postaci. 2.2.11. a02  a1 , a1  2a 0 a 2 n  2a 2 E[ a1 , X X 2 ]  a 22 E[ X 4 ]  0 ,. spełnioną dla wszystkich a0  R , a1  R n oraz a 2  R . Zauważmy, że dla wektora losowego o zerowym wektorze wartości oczekiwanych i jednostkowej macierzy kowariancji zachodzi równość: .   .    . 2. E E X3 ,X X 2  E X3. 2.2.12. w dowodzie której, wykorzystamy związek . E X  3. 2.  n     E X 2j X i i 1  j 1 n. . 2.   ,  . . 2.2.13. uzasadniony następującym ciągiem przekształceń:. E X  3. 2.    .  E X 3 ,E X 3 .  n  n    n   n    E  X 2j X 1 ,..., E  X 2j X n  ,  E  X 2j X 1 ,..., E  X 2j X n     j 1     j 1     j 1   j 1    n  n    E X 2j X 1 ,...,  E X 2j X n j 1  j 1. . . . n  n ,   E X 2j X 1 ,...,  E X 2j X n   j 1 j 1 . . . . . n  n       E X 2j X i   i 1  j 1 . . . 2.   .  . . Istotnie, 28.

(30)  E E X 3 , X X 2  E .   . . n   n 2  n   E  X j X 1 ,..., E  X 2j X n  ,  X 1,..., X n    X s2     j 1   s 1     j 1   . n  n  n  n  n  n  n     E    E X 2j X i X i   X s2   E     E X 2j X i X i  X s2      E X 2j X i  i , s 1 j 1  s 1   i , s 1 j 1  i 1  j 1. . . . n  n     E X 2j X i i 1  j 1. .   EX n.  s 1. 2 s. . .  n  n X i      E X 2j X i  i 1  j 1. . . EX X   2 s. i. . 2.  . . Równość 2.2.13 prowadzi zatem do 2.2.12  . Nierówność 2.2.11 jest prawdziwa dla wszystkich a0  R , a1  R n oraz a 2  R , a więc w szczególności dla a 2 spełniającego warunek a 22  Przyjmijmy a 2 . 1 oraz a0 takiego, że a02  2a0a2 n  1 . n2. 1 1 . Wówczas funkcja f a 0   a 02  2a0 n  a 02  2a0 osiąga minimum w n n. punkcie a0  1 równe f min  1  1 .Przyjmijmy zatem a0  1 . Zauważmy, że (przy powyższych a0 i a2 ), jeśli a1  cE[ X 3 ] , gdzie c  R to na podstawie własności. 2.2.12 nierówność 2.2.11 przyjmuje postać:.    . 2. 3. 1 c E X , E X. 3. 2c  E X3 n.   . 2.  . E X4   0. n2. Mamy zatem  c 2 n  2c   E X 3  1   n  .   .   2, n  X   0 ,. . 2. 2. co jest równoważne nierówności. .  1  c 2 n 3  2cn 2 1, n  X    2, n  X   0 , dla dowolnego c  R . Stałą c  R chcemy tak dobrać, aby c 2 n 3  2cn 2  n . Otrzymujemy więc równanie kwadratowe zmiennej c postaci n 3 c 2  2n 2 c  n  0 , w którym   0 , czyli posiadające (w zbiorze 1 liczb rzeczywistych ) jedyne rozwiązanie postaci c0   . Za a1 wobec tego przyjmujemy n. wektor postaci . 1 E X3 . n.  . 29.

(31) Podsumowując, dla wektorów losowych o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej ma1 1 cierzy kowariancji podstawienie a0  1 , a1   E X 3 oraz a 2  do 2.2.11 prowadzi n n.  . do nierówności 2.2.7  . Weźmy teraz pod uwagę wektor losowy X o (niekoniecznie zerowym) wektorze wartości oczekiwanych EX oraz macierzy kowariancji postaci  2 I . Po dokonaniu standaryzacji uzyskujemy wektor losowy postaci Y . X  EX o zerowym wektorze wartości oczekiwanych i . jednostkowej macierzy kowariancji. Dla tego wektora zatem spełniona jest nierówność. 2.2.7  . Własności niezmienniczości współczynnika asymetrii i kurtozy względem translacji oraz skali implikują warunki:  2, n Y    2,n  X  oraz  1,n Y    1, n  X  , co prowadzi do tezy.. W dowodzie twierdzenia 2.2.3, dla wektorów losowych o zerowej wartości oczekiwanej 1 i jednostkowej macierzy kowariancji, zostały wskazane wielkości a0  1 , a1   E X 3 n.  . oraz a 2 . 1 , dla których nierówność 2.2.11 jest tożsama z 2.2.7  . Można wykazać, że n. żaden inny wybór wielkości a0 , a1 oraz a 2 nie prowadzi do lepszego ograniczenia dolnego wartości kurtozy wyrażonego za pomocą kwadratu współczynnika asymetrii. Istotnie, aby uzyskać w nierówności 2.2.11 kwadrat współczynnika asymetrii, opierając się na własności. 2.2.12 ,. rozważmy (tak jak w dowodzie twierdzenia 2.2.3) wektor.  . a1  cE X 3 , gdzie c  R . Otrzymujemy dzięki temu nierówność.   . a 02  c 2 E X 3. 2.   .  2a 0 a 2 n  2a 2 c E X 3. 2.  .  a 22 E X 4  0 ,. równoważną nierówności postaci. a02 2a0 a 2 a 22 2 2 2  c    X     2 a c    X     2 ,n  X   0 , 1,n 2 1, n n n3 n2 która przy założeniu a 2  0 prowadzi do.  2, n  X  .  a 02  2a0 a 2 n   c 2 n  2a 2 nc   1,n  X 2 .   2 2 2 n a2 a2  . 2.2.14. Aby uzyskać najlepsze oszacowanie tzn. największe ograniczenie dolne dla wartości kurtozy wektora losowego o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej macierzy kowariancji nale30.

(32) ży wyznaczyć maksimum funkcji f a 0 , a 2  .  a 02  2a 0 a 2 n  c 2 n  2a 2 nc oraz   . g c , a  2 n 2 a 22 a 22. Maksimum to dla funkcji f jest realizowane w punktach a 0 , a 2  , gdzie a0   na 2 i wynosi 1, natomiast dla funkcji g w punktach c, a 2  , gdzie c  a 2 i wynosi n . Nie uda się zatem dokonać wyboru wielkości a0 oraz a 2 , które podstawione do nierówności 2.2.14  dostarczyłyby lepszego oszacowania dla wartości kurtozy od przedstawionego w 2.1.1 . Wniosek 2.2.1. Dla kurtozy 2.1.1 wektora losowego X :   R n o nieosobliwej macierzy kowariancji uzyskujemy (lepsze dla rozkładów asymetrycznych) ograniczenie dolne, w postaci związku między kurtozą 2.1.1 , a wielowymiarowym współczynnikiem asymetrii 1.3.4  2.  X   n 2  s X  .  2Mardia ,n Dowód: Wektor losowy Y  . . 1 2. 2.2.15.  X  EX  to wektor o zerowej wartości oczekiwanej i jed-. nostkowej macierzy kowariancji. Na podstawie Twierdzenia 2.2.3, dla wektora Y otrzymujemy.  4,n Y  n2.  Y . 2. 1 n. 3, n.  32  n     . 2. .. Wobec własności 2.1.7  oraz 1.3.6  otrzymujemy 2.2.15 . Wniosek 2.2.2. Nierówność 2.1.9  zachodzi dla dowolnego wektora losowego o nieosobliwej macierzy kowariancji (nie tylko dla wektora losowego o zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej macierzy kowariancji). Dowód: Zależność 2.2.15 , przy uwzględnieniu 2.1.11 , prowadzi do nierówności 2.1.9  . Osiewalski i Tatar (1999) przedstawili wielowymiarowa wersję nierówności Czebyszewa szacując prawdopodobieństwo znalezienia się wartości wektora losowego we wnętrzu kuli. n –wymiarowej, o środku EX i promieniu  , za pomocą wariancji całkowitej. Twierdzenie 2.2.4. (Osiewalski i Tatar, 1999) Dla dowolnej liczby   0 zachodzi nierówność:.  n  D2 X 2 P X       P   X i  EX i    2   1  2   i 1 . 2.2.16. lub równoważnie 31.

(33)  n  D2 X 2 P X       P   X i  EX i    2   2 .   i 1 . 2.2.17 . Nierówność 2.2.16  została także sformułowana i udowodniona przez Monhora (2007). W rozważaniach tych ograniczył się jednak tylko do przypadku wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Dla rozważanego prawdopodobieństwa można znaleźć, w pewnych przypadkach, lepsze ograniczenie dolne wyrażone za pomocą kurtozy wektora losowego. Przed sformułowaniem odpowiedniego twierdzenia przypomnimy postać, użytecznej w jego dowodzie nierówności Markowa (por. Jakubowski i Sztencel 2004, str. 92). Dla dowolnego K  0 mamy zatem PZ  K  . EZ K. 2.2.18. gdzie Z jest nieujemną zmienną losową z przestrzeni L1   . Twierdzenie 2.2.5. Dla dowolnej liczby   0 zachodzi nierówność:. .  X  D 2 X  n  2 P X  EX     P   X i  EX i    2   1  2, n 4  i 1 . . 2. 2.2.19. . 4. Dowód: Zauważmy, że dzięki 1.1.1 zachodzi własność  X  EX   X  EX . Wobec 4. tego. . . P X  EX     P  X  EX    4 . 4. 4. Zastosowanie nierówności Markowa do nieujemnej zmiennej losowej Z   X  EX  prowadzi do oszacowania  n   4,n  X  2 , P X  EX     P   X i  EX i    2   4  i 1  co wobec definicji kurtozy i własności prawdopodobieństwa kończy dowód. Proste obliczenia prowadzą do wniosku, że nierówność 2.2.19  dostarcza bardziej precyzyjnego oszacowaniu, w porównaniu z 2.2.16  , dla wszystkich    2,n  X D 2 X . W przypadku jednowymiarowym oszacowanie to jest lepsze dla wszystkich   3 , gdzie.  to odchylenie standardowe rozważanej zmiennej losowej.. 32.

(34) W kolejnym podrozdziale zaprezentowane zostaną postaci kurtozy dla wybranych, standardowych typów rozkładów, w tym dla wielowymiarowego rozkładu normalnego.. 2.3.. Kurtoza wektora losowego dla wybranych typów rozkładów Na początek przedstawimy postać kurtozy dla wektora losowego o stochastycznie nie-. zależnych współrzędnych, ustalając zarazem związek między kurtozą rozkładu wielowymiarowego, a kurtozami rozkładów brzegowych Twierdzenie 2.3.1. (Budny, 2009) Załóżmy, że X   X 1 ,...X n  :   R n jest wektorem losowym z przestrzeni L4n   o stochastycznie niezależnych współrzędnych. Wówczas jego kurtozę można przedstawić w postaci n.    X   1D i. 2.  2, n  X   1 . 2. Xi. . 2. 2.3.1. i 1. D X  2. 2. Dowód: Definicja 2.2.1 kurtozy wektora losowego oraz stochastyczna niezależność jego współrzędnych uzasadniają ciąg poniższych przekształceń:.  2, n  X  .  4, n  X .   X . 2. 2 ,n n. . . . E  X  EX . . 2 2. D X . . . 2. 2.  n 2 2 E    X i  EX i  X j  EX j   i , j 1    2 2 D X. n. . . .  E  X i  EX i    E  X i  EX i  E X j  EX j  4. i 1. 2. 2. i , j 1 i j. . .. D X . 2. 2. . Wobec definicji kurtozy zmiennej losowej (jednowymiarowej) otrzymujemy n. n. n.   2  X i D 2 X i    D 2 X i D 2 X j   D 2 X i   2, n  X  . 2. i 1. i , j 1. i 1. D X  2. 2. 2. ,. co, w oczywisty sposób, prowadzi do 2.3.1 .. Inny dowód tego twierdzenia, odwołujący się do pewnej szczególnej postaci ekscesu zmiennej losowej (jednowymiarowej) można znaleźć w pracy Budny (2009). Wniosek 2.3.1. (Budny, 2009) Dla wektora losowego X :   R n , spełniającego założenia Twierdzenia 2.3.1, o identycznych wariancjach brzegowych uzyskujemy 33.

(35) n.  2, n  X   1 .   2  X i   1 i 1. n2. n. 1  1  n.   X  2. i. i 1. n2. 2.3.2. Wniosek 2.3.2. (Budny i Tatar, 2009) Niech X :   R n będzie wektorem losowym o wielowymiarowym rozkładzie normalnym, z diagonalną macierzą kowariancji. Wówczas n.  2, n  X   1 . 2  i4 i 1. . 2.3.3. ,. n 2 i. . 2 j. i , j 1. gdzie  i2  D 2 X i dla wszystkich i  1,...n. Ponadto, jeżeli  12  ...   n2   2 to 2  2, n  X   1  . n. 2.3.4. Wniosek 2.3.3. (Budny i Tatar, 2009) Kurtoza wektora losowego X :   R n o stochastycznie niezależnych współrzędnych, z których każda ma rozkład t – Studenta odpowiednio z  i stopniami swobody dla zmiennej X i , gdzie  i  4 , dla wszystkich i  1,2,..., n ma postać 2. n.  6   i   2      i  4   i  2  i 1   2, n  X   1  . n   i   j          2   2 i , j 1 i  j . 2.3.5. Dodatkowo, jeżeli  1  ...   n    4 to. 2.  2, n  X   1 . 6  4 . n. 2.3.6. Analizując własności rozkładu wielowymiarowego, podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, często dokonuje się porównania charakterystyk tego rozkładu z charakterystykami odpowiedniego rozkładu normalnego. Istotne dla dalszych rozważań będzie wyznaczenie postaci kurtozy wielowymiarowego rozkładu normalnego. Postać tę, w kolejnym podrozdziale, wykorzystamy do skonstruowania ekscesu wektora losowego, będącego „analogonem” ekscesu jednowymiarowej zmiennej losowej.. 34.

(36) Twierdzenie 2.3.2. (Budny, 2012a) Niech N :   R n będzie wektorem losowym o wielo-.   12  1n 1 n    wymiarowym rozkładzie normalnym i macierzy kowariancji       . 2   1n 1 n   n   Wówczas.  2, n  N   1 .  n  n  4 2 2 2  2     i    ij  i  j  i , j 1  i 1  i j   n. . 2 i. . .. 2.3.7 . 2 j. i , j 1. Dowód: Opierając się na równości 1.2.11 , wyznaczonej dzięki formule Isserlisa (1918), uzasadnienie postaci 2.3.7  jest oczywiste. Zauważmy, dla wartości kurtozy wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym prawdziwe są następujące oszacowania: 1   2, n  X   3 (por. Budny, 2012a). Wielowymiarowy rozkład normalny może być również rozpatrywany jako szczególny przypadek wielowymiarowego rozkładu skośno – normalnego zaproponowanego w pracy Azzalini i Dalla Valle (1996). Definicja 2.3.1. (Azzalini i Dalla Valle, 1996) Mówimy, że wektor losowy X :   R n ma wielowymiarowy rozkład skośno – normalny, jeżeli jest rozkładem ciągłym z funkcją gęstości postaci. . . 2 n  x,    T x ,. x  R  n. gdzie  jest n  wymiarowym wektorem, będącym parametrem kształtu rozkładu,  n  x,   to gęstość wielowymiarowego rozkładu normalnego o zerowym wektorze wartości oczekiwanych, jednostkowych wariancjach brzegowych i macierzy korelacji  , natomiast   to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N 0,1 . Zauważmy, że jeśli   0 to wielowymiarowy rozkład skośno - normalny redukuje się do wielowymiarowego rozkładu normalnego N n 0,   .. 35.

(37) Dla wielowymiarowego rozkładu normalnego przyjmuje się oznaczenie X ~ SN n ,   . Wektor wartości oczekiwanych i macierz kowariancji tego rozkładu to  X .  . 1. 2  , gdzie π. T. T. 1   .  oraz  X     X  X  (por. Azzalini i Capitanio, 1999).. Genton, He i Liu (2001) dla wielowymiarowego rozkładu skośnie - normalnego poddanego translacji o wektor  , czyli rozkładu o funkcji gęstości 2 n  x   ,    T  x    , dla którego przyjęto oznaczenie X ~ SN n  , ,   (por. Azzalini i Capitanio, 1999) wyznaczyli postaci pierwszych czterech momentów (w sensie definicji 1.2.5) oraz postaci, istotniejszych z punktu widzenia naszych rozważań, momentów pierwszego i drugiego rzędu jego form kwadratowych X T AX . W szczególności otrzymujemy stąd, że dla wielowymiarowego rozkładu skośnie - normalnego   0  moment drugiego rzędu formy kwadratowej dla A  I jest postaci. . . 2.3.8. D 2 X T X  2tr[ 2 ] .. Przyjmując dodatkowo, że EX  0 , a więc także   0 , a zatem dla wielowymiarowego rozkładu normalnego, uzyskujemy. .  4,n  X   D 2 X T X   E X T X.  . 2. Postać 2.3.8 implikuje równość.  4,n  X   2tr[ 2 ]  tr2 , czyli także 1.2.11 . Prowadzi to zatem do postaci 2.3.7  kurtozy wektora losowego dla wielowymiarowego rozkładu normalnego. Jako kolejny rozważmy wielowymiarowy centralny rozkład t – Studenta, wyznaczając dla niego postać kurtozy. Wielowymiarowy rozkład t – Studenta z  stopniami swobody to rozkład ciągły, którego funkcja gęstości ma postać. f x  .    n  / 2 . π . n/2.  / 2 R. 1/ 2.  1  T 1 1    x    R  x   .    n  / 2. ,. x  R  2.3.9 n. gdzie  to wektor wartości oczekiwanych, R  [rij ] to macierz korelacji (por. Kotz i Nadarajah, 2004, str.1). Dla wektora losowego T o wielowymiarowym rozkładzie t – Studenta z  stopniami swobody z wektorem wartości oczekiwanych  i macierzą kowariancji R przyj36.