Analiza spinorowa

Do tej pory w niniejszym rozdziale rozpatrywaliśmy tylko własności algebraiczne tensorów i spinorów i dlatego wszystkie rozumowania prowadziliśmy dla tensorów lub spinorów określonych w pewnym punkcie.

Przy przejściu do badania równań opisujących propagacje pól EM i grawitacyjnego w czasoprzestrzeni, musimy jednak rozpatrywać pola tensorowe i spinorowe, określone na pewnej rozmaitości.

Podobnie jak w przypadku analizy tensorowej, przy konstrukcji analizy spinorowej ważna rolę odgrywa pojęcie pochodnej kowariantnej. W tym podrozdziale zdefiniujemy pochodną kowariantną pola spinorowego i rozpatrzymy podstawowe jej własności.

Jeśli na rozmaitości czasoprzestrzennej V każdemu punktowi P z otoczenia U ⊂ V przyporządkowano pewien spinor ζA, to mówimy , że w obszarze U zadano pole spinorowe ζA(P ). Dokładniej oznacza to następujące własności.

Na rozmaitości V w obszarze U ⊂ V wybieramy gładkie pole ortonormalnych ( względem metryki

pseudoriemannowskiej gµν o sygnaturze ( +, - , - , - ) określającej interwał czasoprzestrzenny ds2 = gµν dxµ dxν ) tetrad eµm. W punkcie P ∈ U zadany jest spinor ζ , jeżeli każdej takiej tetradzie w tym punkcie przyporządkujemy parę liczb zespolonych, w ten sposób , że przy przejściu od jednego ortoreperu do drugiego za pomocą przekształceń Lorentza, składowe spinora ( para liczb ) przekształcają się w ten sposób jak to było opisane w podrozdziale 3.2

Różniczkowanie kowariantne ∇X pola spinorowego T... typu ( n, m ; p’ , q’ ) wzdłuż kierunku X definiujemy Jako odwzorowanie pola spinorowego T... w pole spinorowe ( ∇X T)... spełniające następujące warunki :

1) Liniowość :

Zauważmy, że warunki (6.1) – (6.4) i (6.7) przy dodatkowym założeniu braku skręcenia w przypadku pól tensorowych określają jednoznacznie koneksje riemannowską oraz operacje różniczkowania kowariantnego.

W podobny sposób aksjomaty (6.1) – (6.6) określają jednoznacznie operacje różniczkowania kowariantnego pól spinorowych w przypadku braku skręcenia. Ponadto, wprowadzona w ten sposób pochodna kowariantna rozpatrywana na polach tensorowych, otrzymanych z hermitowskich pól spinorowych za pomocą σAA’µ pokrywa się ze standardową riemannowską pochodną kowariantną.

Stwierdzenie 3.6.1 Niech ζA

a (P) – będzie parą pól spinorowych na rozmaitości, normowanych przez warunek : εAB ζA

aζB

b = εab (6.8)

wtedy pochodna kowariantna pola spinorowego SA...C...B’...

D’... określona jest jednoznacznie przez warunki (6.1) – (6.6) i w bazie ζA

a zadana jest przez następującą zależność : ( ∇X S )a...c...b’...

Dowód. Na początku zauważmy, że jeśli X = Xµ ∂µ , to wykorzystując własność (6.2) otrzymamy :

( ∇X S )... = Xµ ( ∇µ S )... (6.12)

Pochodna kowariantna ∇µζA

a bazowego pola spinorowego przedstawia sobą pole spinorowe i dlatego można go rozłożyć względem pól bazowych :

∇µζA

a = Γµab ζA

b (6.13)

Wykorzystując wzory (6.3) i (6.4) możemy otrzymać :

∇µζ-A’ Dla uproszczenia podamy dowód zależności (6.9) dla przypadku pola spinorowego SAD’ typu ( 1, 0 ; 0’ , 1’ ).

W tym celu zapiszemy : Stosując zasadę Leibniza (6.3) oraz wykorzystując (6.13) i (6.14) mamy : ( ∇µ S )ad’ = ζa

Tym samym wzór (6.9) dla przypadku pola spinorowego SAD’ został dowiedziony. Dowód dla przypadku ogólnego prowadzimy analogicznie.

Przejdziemy teraz do wyprowadzenia zależności (6.10) i (6.11).

W tym celu pokażemy, że : Pierwszą z równości (6.16) otrzymuje się, jeśli pomnożymy obie strony (6.17) przez εab. Dowód drugiej zależności (6.16) jest całkowicie analogiczny.

Zauważmy teraz, że wielkości σλbb’ przedstawiają sobą zbiór wektorów i dlatego mamy :

∇µ σλbb’ = ∂µ σλbb’ + Γµνλ σνbb’ (6.18)

Porównując (6.18) i (6.20) otrzymujemy ostatecznie szukaną zależność (6.10).

Wzór (6.11) możemy dowieść w sposób analogiczny.

Wykorzystując pojęcie pochodnej kowariantnej, można w standardowy sposób sformułować pojęcie przeniesienia równoległego spinora. Mówimy, mianowicie, że spinor S... przenosi się równolegle wzdłuż krzywej γ : xµ = xµ(u), jeśli :

∇S... = 0 , ∇ ≡ (dxµ /du ) ∇µ (6.21)

Jeśli wektor Aµ przenosi się równolegle wzdłuż krzywej γ ( ∇Aµ = 0 ), to wektory Aµ określają w każdym punkcie tej krzywej pewien kierunek. Pole wektorowe Bµ = λ(x)Aµ , określające takie pole kierunku co wektory Aµ , już nie spełniają równania ∇Bµ = 0, jeśli ∇λ ≠ 0. Zamiast tego, jak łatwo sprawdzić spełnia ono równanie B[µ ∇ Bµ] = 0.

Równanie to określa przeniesienie równoległe pola kierunków wzdłuż krzywej γ.

Całkowicie analogiczną sytuacje będziemy mieli, kiedy w każdym punkcie krzywej zadana jest para wektorów Aµ i Bµ określająca dwuwymiarową płaszczyznę A[µ Bµ] , mówimy wtedy, że ta dwuwymiarowa płaszczyzna przenosi się wzdłuż γ, jeśli dowolny wektor tej płaszczyzny, po przeniesieniu równoległym leży w dalszym ciągu na odpowiedniej płaszczyźnie, tj. spełniony jest warunek :

A[µ Bν ∇ ( αAλ] + βBλ] ) = 0 lub, co równoważne :

A[µ Bν ∇ Aλ] = A[µ Aν ∇ Bλ] = 0 (6.22)

Jak pokazano w podrozdziale 3.4 obrazem geometrycznym spinora ξλ jest flaga , tj. dwu wymiarowa powierzchnia, zbudowana na wektorze izotropowym ξa = σαAA’ ξAξ-A’ . Łatwo się przekonać, że słuszne jest następujące Stwierdzenie 3.6.2 Spinor ξA

przenosi się równolegle wzdłuż krzywej γ wtedy i tylko wtedy, kiedy przenosi się równolegle wzdłuż tej krzywej wektor ξa = σαAA’ ξAξ-A’ i dwuwymiarowa płaszczyzna określona przez spinor ξA zgodnie ze wzorem (4.10).

Wprowadzony operator ∇µ różniczkowania kowariantnego przeprowadza wielkości spinorowe w obiekty geometryczne, dla których razem z indeksami spinorowymi pojawia się dodatkowy indeks tensorowy µ.

Zamiast tego operatora łatwo możemy zdefiniować operator różniczkowania kowariantnego, przeprowadzający spinory w spinory poprzez następującą zależność :

W stwierdzeniu 3.4.2 pokazano, że wektory σµaa’ tworzą zespoloną tetradę świetlną, dlatego też operatory ∂aa’

przedstawiają sobą operatory różniczkowania kowariantnego wzdłuż kierunków świetlnych, określonych przez wektory tetrady. Dla dalszego wykładu użytecznym będzie wprowadzenie następujących standardowych oznaczeń :

D = lµ∇µ = ∂00’ , ∆ = nµ∇µ = ∂11’ (6.25)

δ = mµ∇µ = ∂01’ , δ- = m-µ∇µ = ∂10’ (6.25)

Wielkości Γb

µa i Γ-b’

µa’ wprowadzone poprzez wzory (6.13) i (6.14) są spinorowymi analogami współczynników obrotu Ricciego. Razem z tymi wielkościami użytecznym jest wprowadzić analogiczne obiekty, posiadające tylko indeksy spinorowe :

Ponieważ wykorzystywana przez nas baza w przestrzeni spinorowej jest unormowana, to słuszna jest zależność (6.16), która pokazuje, że :

Γabcd’ = Γbacd’ , Γ

-a’b’c’d = Γ

-b’a’c’d’ (6.27)

Stwierdzenie 3.6.3 Wielkości Γabcd’ można wyrazić bezpośrednio przez pochodne od σµab’ w następujący sposób : Γabcd’ = ½ εp’q’

Dowód. Dowiedziemy na początku równości (6.28). W tym celu zauważmy w pierwszej kolejności, że :

∇ν (σµbp’ ) = ∇ν ( σµAB’ ζA

( drugi człon w nawiasie nie daje wkładu do całego wyrażenia, ponieważ εp’q’ ζ

-q’B’ ∇νζ-B’

p’ = 0 ) Równość (6.29) jest następstwem dowiedzionej zależności (6.28) oraz tożsamości :

Γbacd’ = Γa(bc)d’ + Γb(ca)d’ - Γc(ab)d’ (6.31)

Bezpośrednim następstwem dowiedzionego stwierdzenia jest związek między wielkościami Γabcd’ i współczynnikami spinowymi wprowadzonymi w rozdziale 1 poprzez wzór (1.5.7). W istocie, bowiem σµab są wektorami i pokrywają się z wektorami zmµ zespolonej tetrady świetlnej (4.1). Równania (6.29) i (6.30) pokazują ,że Γabcd’ są kombinacjami liniowymi współczynników obrotu Ricciego dla tych tetrad. Poprzez bezpośrednie sprawdzenie możemy się przekonać, że są to dokładnie te same liniowe kombinacje, które były wprowadzone przy definiowaniu współczynników spinowych (1.5.7). Związek między oddzielnymi współczynnikami spinowymi i wielkościami Γ abcd’ przedstawia tablica 3.3 TABLICA 3.3

Przy działaniu na funkcje skalarną φ operatory ∇µ i ∇ν różniczkowania kowariantnego komutują między sobą , tj.

(∇µ∇ν - ∇ν ∇µ )φ = 0

Dla operatorów ∂aa’ wprowadzonych wzorem (6.24) taka zależność komutacyjna nie jest już słuszna.

Okazuje się, że współczynniki spinowe Γabcd’ stanowią miarę niekomutatywności takich operatorów. Ponadto zachodzi następujące :