Metoda Newmana- Penrose’a w Ogólnej Teorii Względności W. P Frolow

#################################################################################################

Metoda Newmana- Penrose’a w Ogólnej Teorii Względności W. P Frolow

AN- ZSSR Moskwa 1977

*************************************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2021-06-10 Tłumaczenie całości.

Stron 109

*************************************************************************************************

SPIS TREŚCI.

Wprowadzenie.

Rozdział I

Promienie świetlne i pole grawitacyjne.

1.1 Wprowadzenie.

1.2 Powierzchnie charakterystyczne i promienie bicharakterystyczne.

1.3 Optyka geometryczna i pole grawitacyjne.

1.4 Rozprzestrzenianie się cieni. Skalary optyczne.

1.5 Zespolone tetrady świetlne i współczynniki spinowe.

1.6 Geometryczny sens współczynników spinowych.

Dodatek do rozdziału 1.

Rozdział II

Kongruencja promieni świetlnych w przestrzeni Minkowskiego i własności pola EM.

2.1 Wprowadzenie

2.2 Zespolone współrzędne stereograficzne na sferze. Waga spinowa, waga konforemna i operatory Ə0 i Ə0- . 2.3 Kongruencje geodezyjnych izotropowych w przestrzeni Minkowskiego.

2.4 Kongruencja promieni świetlnych, związana z linią świata. Współrzędne Newmana – Unti.

2.5 Pole EM poruszającego się ładunku.

2.6 Własności algebraiczne pola EM.

2.7 Twierdzenie Mariota-Robinsona. Własność kolejnego zdegenerowania.

Rozdział III

Formalizm spinorowy. Równania Newmana-Penrose’a.

3.1 Wprowadzenie.

3.2 Spinory. Własności algebraiczne.

3.3 Spinory i tensory.

3.4 Wyrażenia spinorowe dla niektórych tensorów. Geometryczna interpretacja spinora.

3.5 Rozkład kanoniczny spinorów symetrycznych. Klasyfikacja Petrowa-Piraniego.

3.6 Analiza spinorowa.

3.7 Równania Newmana-Penrose’a. Spinorowa forma tożsamości Bianchi i równań pól bezmasowych.

Dodatek do rozdziału 3.

Rozdział IV

Algebraicznie specjalne, pola grawitacyjne.

4.1 Wprowadzenie.

4.2 Twierdzenie Goldberga-Sachs’a oraz jego uogólnienie.

4.3 Element liniowy Robinsona – Trautmana.

4.4 Metryki bez rozpływu.

4.5 Metryki bez obrotu.

4.6 Metryki z obrotem.

4.7 Metryki Kerra-Schilda.

4.8 Problem Vaidya.

Rozdział 5

Asymptotyczne własności pola grawitacyjnego. Kwantowa teoria w czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej.

5.1 Wprowadzenie

5.2 Asymptotyczne własności przestrzeni Minkowskiego.

5.3 Przestrzenie asymptotycznie płaskie. Grupa Bondiego-Metznera-Sachs’a symetrii asymptotycznych.

5.4 Pola bezmasowe w przestrzeni asymptotycznie płaskiej.

5.5 Teoria kwantowa w przestrzeni asymptotycznie płaskiej. Efekt Hawkinga.

Dodatki własne.

1) Pojęcie spinora.

Literatura

*************************************************************************************************

Wprowadzenie.

Tytuł niniejszego artykułu przeglądowego jest w pewnym stopniu umowny i tylko częściowo oddaje jego zawartość.

Właściwie, bowiem, formalizm rozwinięty przez Newmana i Penrose’a [1] ( nazywamy go również metodą

współczynników spinowych ), polega na wykorzystaniu zespolonych tetrad świetlnych w celu badania równań Einsteina oraz równań innych pól. Jak pokazał Newman i Penrose ich formalizm jest całkowicie równoważny podejściu

spinorowemu. Rozpisany układ równań wiążących współczynniki spinorowe tensora krzywizny ze współczynnikami spinowymi ( składowymi koneksji spinorowej ), otrzymał nazwę równań Newmana- Penrose’a

( lub w skrócie równań NP ).

Na pierwszy rzut oka, układ ten ( Pełny układ równań NP. wprowadzony jest w dodatku do rozdziału 3 ) wydaje się być bardzo skomplikowany i mało użyteczny dla dalszego wykorzystania. Stanowi to pewną psychologiczną barierę dla posługiwania się tą metodą. Jednakże w czasie, który upłynął od pojawienia się formalizmu NP stało jasne, że metoda ta jest bardzo żywotna i wygodna. Nadto, do chwili obecnej język współczynników spinowych stał się ogólnie przyjęty i szeroko wykorzystywany we współczesnej literaturze. W czym tkwi przyczyna takiej popularności ?

Jak można się przekonać podstawowa przyczyna związana jest z adekwatnością i naturalnym przystosowaniem tego formalizmu dla rozwiązań równań Einsteina ( oraz równań pól bezmasowych ), posiadających określone własności algebraiczne.

Algebraiczna klasyfikacja rozwiązań równań Einsteina po raz pierwszy została przedstawiona w pracach Petrowa [2-3]

i została ona wykorzystana w celu zbadania własności falowych pola grawitacyjnego [ Pirani 4]. Następnie Penrose [12]

wykorzystał formalizm spinowy, istotnie upraszczając pierwotną metodę Petrowa. Przy tym okazało się, że

przynależność pola grawitacyjnego do odpowiedniego typu algebraicznego związana jest ze spełnieniem określonych warunków algebraicznych nakładanych na współczynniki spinorowe tensora Weyla. Fakt, że podobne składowe wchodzą liniowo do równań NP pozwala z powodzeniem wykorzystać je w celu badania rozwiązań określonych typów algebraicznych.

Tensor Weyla ( pokrywający się w próżni z tensorem krzywizny ) określa zbiór izotropowych wektorów „własnych”

( nazywanych głównymi wektorami izotropowymi ), których wzajemne położenie związana jest bezpośrednio z algebraicznym typem pola grawitacyjnego. Krzywe całkowe głównych izotropowych pól wektorowych tworzą zbiór ( kongruencje ) krzywych izotropowych na rozmaitości czasoprzestrzennej. Geometryczne charakterystyki takich kongruencji mogą służyć dla bardziej szczegółowej klasyfikacji pól grawitacyjnych ( Jordan, Sachs [6,7,8] ).

Jeśli wybrać pole zespolonych tetrad zerowych tak, że jeden z dwóch rzeczywistych wektorów izotropowych pokrywa się z głównym wektorem izotropowym, to oddzielne współczynniki spinowe pokrywają się z inwariantami

różniczkowymi ( tzw. skalarami optycznymi ), charakteryzującymi własności głównej kongruencji izotropowej.

W tym przypadku te równania NP, które wiążą między sobą różne skalary optyczne, nabierają w pełni określonego geometrycznego sensu i często mogą być dostępne dla rozwiązania.

Duże znaczenie dla rozwiązania równań NP, jak i dla badania ich własności ma dobry wybór układu współrzędnych.

Najdogodniejszymi okazują się być współrzędne związane z jedną z głównych kongruencji izotropowych

rozpatrywanego pola grawitacyjnego. W takich współrzędnych, w sposób wewnętrzny związanych z własnościami badanej klasy rozwiązań oraz przy wykorzystaniu zgodnych z główną kongruencją izotropową, zespolonych

izotropowych tetrad, układ NP istotnie się upraszcza. Jeśli porównać podobne układy współrzędnych ze współrzędnymi standardowo wykorzystywanymi i związanymi z nałożeniem na metrykę określonych warunków ( np. współrzędne współporuszające się ), to przejście od jednych współrzędnych od drugich jest zazwyczaj złożonym , nieliniowym przekształceniem, którego jawny opis bywa często niemożliwy. Taka nieliniowa zamiana zmiennych prowadzi do tego, że, podczas gdy we współrzędnych związanych z jedną z głównych kongruencji izotropowych, rozwiązanie może być otrzymane w sposób jawny i ma prostą postać, to w innych współrzędnych jawnego rozwiązania znaleźć się nie udaje.

Zarówno wybór współrzędnych izotropowych związanych z główną kongruencją izotropową jak i wykorzystanie zespolonych tetrad izotropowych sprawiają, że formalizm NP staje się dogodny dla opisu i badania pól bezmasowych ( w tym pola grawitacyjnego )

Podobnie jak i inne możliwe klasyfikacje pól grawitacyjnych ( np. po grupach symetrii lub grupach holonomii ),

klasyfikacja algebraiczna (* Pod pojęciem klasyfikacji algebraicznej teraz i dalej rozumiemy rozbicie pól grawitacyjnych ( lub innych pól bezmasowych ) na klasy, przy czym dwa pola należy do jednej klasy, jeśli mają one jednakowy typ według Petrowa oraz jednakowe własności geometryczne ich głównych kongruencji izotropowych *) jest metodą otrzymywania rozwiązań szczególnych odpowiednich równań polowych.

Przynależność rozwiązania do określonej klasy algebraicznej można związać z zerowaniem się oddzielnych składowych spinorowych tensora Weyla i oddzielnych współczynników spinowych. Przy podobnych założeniach układ NP

upraszcza się i często jest możliwy do rozwiązania.

Przy tym okazuje się, że otrzymane w ten sposób rozwiązania zwykle posiadają niedużą grupę symetrii ,a możliwe jest, że nie posiadają jej wcale.

Do chwili obecnej otrzymano znaczna ilość ścisłych rozwiązań. Dlatego w niniejszej pracy chcieliśmy przedstawić przegląd znanych algebraicznych rozwiązań specjalnych.

Równania NP okazują się dogodne również dla badania własności asymptotycznych pól grawitacyjnych ( oraz innych pól bezmasowych ). Równania te wraz z wykorzystaniem wprowadzonej przez Penrose’a definicji przestrzeni

asymptotycznie płaskiej [9 –11] pozwalają dowieść szereg twierdzeń, dotyczących asymptotycznego zachowania pól w nieskończoności. Idea nieskończoności konforemnej Penrose’a, obecność grupy symetrii asymptotycznych [13, 14]

w przestrzeni asymptotycznie płaskiej wraz z własnością konforemnej inwariantności pól bezmasowych pozwalają zbudować klasyczną i kwantową teorię rozpraszania w przestrzeniach asymptotycznie płaskich. Zastosowanie podobnych metod pozwoliło otrzymać Hawking’owi znany wynik dotyczący niestabilności próżni w polu grawitacyjnym czarnej dziury [15].

Drugim interesującym kierunkiem jest opracowana przez Newmana i współpracowników [16] próba związania

własności asymptotycznych pola grawitacyjnego z charakterem ruchu ciała, będącego jego źródłem. Całkowanie równań NP w obszarze asymptotycznym odgrywa ważną rolę w tym podejściu. Formalizm NP jest również dogodny dla badania problemów warunków początkowych oraz dla zadawania takich warunków na powierzchniach izotropowych [17, 18]. Jeśli wspomnimy również o wykorzystaniu równań NP przy badaniu ewolucji powierzchni złapanych oraz horyzontów [19, 20] oraz do rozwiązywania równań falowych metoda rozdzielania zmiennych w metryce Kerra [21-23]

to otrzymamy ( zapewne jeszcze nie pełny ) obraz możliwych zastosowań formalizmu NP.

Pierwotna idea wykorzystania spinorowej metody lub metody zespolonych tetrad izotropowych, w OTW Einsteina okazała się być organicznie związana z całym szeregiem innych kierunków badań tej teorii ( podejście algebraiczne, teoria kongruencji izotropowych, badanie asymptotycznych zachowań pól, itd. ). Doprowadziło to do tego, że pod metodą NP w chwili obecnej rozumiemy szerszy krąg zagadnień, niż tylko zapis równań Einsteina w zespolonych tetradach izotropowych.

Chociaż w chwili obecnej język formalizmu NP jest ogólnie przyjęty jest on na ogół jeszcze mało wykorzystywany.

Związane jest to zapewne z małą dostępnością prac poświęconych temu problemowi. Niniejszy artykuł został napisany z myślą przedstawienia podstawowych metod wykorzystywanych w formalizmie NP oraz podstawowych wynikach osiąganych przy jego zastosowaniu, w szczególności o jego wykorzystaniu w celu znajdowania ścisłych rozwiązań równań Einsteina. Dołączyliśmy również rozdział poświęcony teorii kwantowej w przestrzeniach asymptotycznie płaskich. Spowodowane jest to tym, że w chwili obecnej w literaturze omawiane są szeroko, procesy kwantowe zachodzące w czarnych dziurach. Zastosowanie w teorii kwantowej metod bliskich do metody NP pozwala istotnie uprościć rozpatrywanie takich zagadnień.

W pracy przyjęliśmy następujące oznaczenia.

Indeksy greckie α, β, γ ... przyjmują wartości od 0 do 3, indeksy łacińskie ze środka alfabetu i, j, k ... oznaczające składowe tensorów zmieniają się od 1 do 3. Indeksy łacińskie służące do oznaczania indeksów spinorowych a, b,...

przyjmują wartości od 0 do 1, indeksy łacińskie m, n, l ... standardowo wykorzystujemy dla oznaczenia składowych tetradowych tensorów , zmieniają się one od 1 do 4.

Duże litery A, B, C, .. oznaczają abstrakcyjne spinorowe indeksy i nie przyjmują wartości numerycznych.

Metryka gµν ma sygnaturę ( + - - - ), tensor krzywizny Rαβγδ oraz tensor Ricciego Rβγ definiowane są następująco : ξβ; γ; δ− ξβ; δ; γ = − Rαβγδξα , Rβγ = − Rαβγα

Równania Einsteina zapisujemy w postaci : Rαβ – ½ gαβR = − ( 8πG/c4 ) Tαβ

Symetryzacja i antysymetryzacja oznaczana jest odpowiednio za pomocą nawiasów okrągłych i kwadratowych, np. : ξ(αβ) = ½ (ξαβ + ξβα ) , ξ[αβ] = ½ ( ξαβ− ξβα )

εαβγδ – oznacza symbol całkowicie antysymetryczny εαβγδ = ε[αβγδ] , przy czym ε0123 = √−g

Rozdział I

Promienie świetlne i pole grawitacyjne.

1.1 Wprowadzenie.

Jednym ze sposobów uzyskania informacji dotyczących struktury pola grawitacyjnego jest badanie zachowania w tym polu różnorodnych cząstek próbnych. Jeśli rozpatrujemy cząstki bezmasowe ( np. fotony ), to odpowiadające im trajektorię są to geodezyjne izotropowe ( promienie świetlne geodezyjne świetlne lub zerowe ).

Okazuje się, że możemy odtworzyć metrykę czasoprzestrzeni znając trajektorie takich bezmasowych cząstek próbnych.

Metryka taka jest określona jednak z dokładnością do pewnego przekształcenia konforemnego [ 3, str. 319 ].

Niniejszy rozdział poświęcony będzie rozpatrzeniu własności geometrycznych kongruencji ( zbioru ) takich geodezyjnych w polu grawitacyjnym.

Waga pojęcia geodezyjnej izotropowej związana jest z tym, że rozprzestrzenianie się różnych pól fizycznych ( w tym i samego pola grawitacyjnego ) opisywane jest układem równań typu hiperbolicznego, a geodezyjne izotropowe

odgrywają role bicharakterystyk dla takich równań. Wymagane wiadomości dotyczące powierzchni charakterystycznych i bicharakterystycznych podane są w podrozdziale 1.2. Ogólne informacje o teorii równań różniczkowych typu

hiperbolicznego oraz o roli powierzchni charakterystycznych i bicharakterystycznych w rozwiązywaniu zagadnień Cauchy’ego można znaleźć w [27, 28].

Chociaż w ogólnym przypadku w związku z falowymi własnościami fotonów, wyobrażenie o promieniach światła jako trajektoriach realnej fizycznej cząstki bezmasowej nie jest ścisłe, to taka idealizacja jest całkowicie poprawna, kiedy długość fali odpowiedniego promieniowania jest pomijalnie mała. Takie przybliżenie nazywamy przybliżeniem optyki geometrycznej. W optyce geometrycznej energia propaguje się wzdłuż geodezyjnych zerowych, a powierzchnie zerowe są eikonałami tj. powierzchniami stałej fazy. Wymagane wiadomości dotyczące przybliżenia optyki geometrycznej w płaskiej przestrzeni można znaleźć np. w [29- 31].

W podrozdziale 1.3 rozpatrujemy przybliżenie optyki geometrycznej w zakrzywionej przestrzeni [32- 34].

Zauważmy na koniec, że promienie świetlne i kongruencje takich promieni ( tj. geodezyjnych izotropowych ) w sposób naturalny pojawiają się przy rozpatrywaniu algebraicznej klasyfikacji pola – grawitacyjnego, EM oraz innych pól bezmasowych ze spinem ( o takiej klasyfikacji powiemy w podrozdziałach 2.6, 3.5 ). To oczywiście sprawia, że zagadnienie badania własności geometrycznych kongruencji krzywych świetlnych jest bardzo ważne.

Istnieje ważna własność, odróżniająca krzywe izotropowe od krzywych przestrzenno- lub czaso – podobnych.

Mianowicie, chociaż krzywe izotropowe są podrozmaitościami przestrzeni, posiadającej metrykę ( tj. przestrzeni metrycznej ) pojęcie odległości wzdłuż takich krzywych jest nieokreślone. Przeniesienie równoległe wektorów wzdłuż krzywych izotropowych indukowanej jest przez ich włożenie do czasoprzestrzeni , a zatem nie posiada własności metrycznych – krzywe świetlne tworzą jednowymiarową przestrzeń afiniczną. To prowadzi do tego, że pewne własności takich krzywych i ich kongruencji są nie intuicyjne i trudne do wyobrażenia.

Badanie własności kongruencji krzywych izotropowych zostało zapoczątkowane w pracach [6, 7] w których to w szczególności pokazano, że istnieje zbiór inwariantów nazrywanych „skalarami optycznymi”, określających własności geometryczne kongruencji i mających prosty sens fizyczny. Podrozdział 1.4 i wszystkie dalsze podrozdziały niniejszego rozdziału poświęcone są badaniu własności geometrycznych kongruencji krzywych świetlnych w zakrzywionej

przestrzeni oraz opisowi tych własności w formalizmie zespolonych tetrad izotropowych oraz współczynników spinowych.

1.2 Powierzchnie charakterystyczne i promienie bicharakterystyczne.

Propagacja pól EM i innych w zadanym polu grawitacyjnym opisywana jest równaniem hiperbolicznym. Podstawową role w badaniu zagadnienia Cauchy’ego oraz zagadnieniu promieniowania odgrywają powierzchnie charakterystyczne i promienie bicharakterystyczne, ( wzdłuż których propagują się zaburzenia ).

Przypomnijmy na przykładzie bezmasowego pola skalarnego podstawowe pojęcia rozpatrywanej teorii.

Równanie bezmasowego pola skalarnego φ :

L[φ] ≡ gµν φ; µ ; ν≡ ( 1/ √−g ) ∂µ ( √−g gµν ∂νφ ) = 0 (2.1)

Zapiszemy w następującej, dogodnej dla dalszego wykorzystania formie :

g00 ∂02φ + 2g0i ∂0∂iφ + gij ∂i∂jφ + ( 1/ √−g ) ∂µ ( √−g gµν )∂νφ = 0 (2.2) Jeśli g00 ≠ 0 to warunki początkowe φ i ∂0φ ( dane Cauchy’ego ) na powierzchni Σ : x0 = const. pozwalają znaleźć ∂02φ na tej powierzchni i tym samym otrzymać jednoznaczne rozwiązanie φ, w skrajnym przypadku tylko w pewnym

otoczeniu powierzchni Σ. Jeśli w ogólnym przypadku powierzchnia Σ zadana jest równaniem u = u(xµ ), to wykorzystując nowe współrzędne x0’ = u( xµ) , xi’ = fi(xµ ) można przekonać się, że zagadnienie Cauchy’ego z zadanymi φ i ∂µφ na Σ jest poprawnie postawione i dopuszcza jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, kiedy guu ≡ g0’0’ = ∂µu ∂νu gµν ≠ 0.

Jeśli :

gµν = gµν ∂µu ∂νu = 0 (2.3)

to równanie (2.2) przedstawia sobą dodatkowy warunek, nakładany na dane początkowe i nie daje możliwości określenia

∂µ2φ. W tym przypadku dane początkowe φ i ∂µφ na Σ nie określają wartości pola φ na tej powierzchni.

Podobne hiperpowierzchnie na których dane Cauchy’ego nie określają drugich pochodnych, nazywamy powierzchniami charakterystycznymi.

Powierzchnie charakterystyczne odgrywają rolę czoła fali, tj. na tych powierzchniach rozwiązania równań (2.1) mogą posiadać nieciągłości np. nieciągłość drugich pochodnych. Załóżmy mianowicie, że φ i ∂µφ są ciągłe na pewnej, nie koniecznie charakterystycznej powierzchni Σ, postarajmy się wyjaśnić w jakim przypadku ∂, µν może posiadać

nieciągłość przy przejściu przez taka powierzchnię. Oznaczmy taką nieciągłość ( przeskok ) wielkości A na powierzchni Σ symbolem ∆[A], mamy wtedy :

∆[φ] = ∆[ φ,µ ] = 0 , ∆[φ,µν ] = Ψµν = Ψνµ (2.4) Rozpatrzmy dwa bliskie punkty xµ i xµ + dxµ na powierzchni, zadanej równaniem u(xµ ) = c.

Ponieważ dxµ – jest wektorem przemieszczenia wzdłuż tej powierzchni, to u ,µdxµ = 0.

Dla każdego takiego przemieszczenia funkcja ∂µφ( x + dx ) = u ,µ(x) + φ,µν dxν jest ciągła na Σ i dlatego :

∆[ φ,µ(x + dx) ] = ∆[ φ,µ(x) ] + ∆ [ φ,µν(x) dxν ] = 0 lub

∆[ φ,µν(x) dxν ] = Ψµνdxν = 0 (2.5)

Jeśli ustalić indeks µ i oznaczyć Ψµν = P(µ)ν, to otrzymamy, że u ,ν i P(µ)ν są ortogonalne do tych samych powierzchni tworzonych przez wektory przemieszczenia wzdłuż Σ i dlatego są one równoległe :

Ψµν = P(µ)ν = P(µ) u ,µ (2.6)

Na mocy symetrii Ψµν mamy :

∆[ φ,µν ] = Ψµν u ,µ u ,ν (2.7)

Z drugie strony, równanie (2.1) jest spełnione w całej przestrzeni. Rozpatrując to równanie w otoczeniu Σ i obliczając skok obu jego części po uwzględnieniu zależności (2.4), otrzymujemy :

gµν ∆[ φ,µν ] = Ψgµν u ,µ u ,ν = 0 (2.8)

Stad wynika, że skok φ,µν jest możliwy tylko na powierzchniach charakterystycznych. Dlatego też zamiast definiować powierzchnie charakterystyczne jako powierzchnie, na których nie można zadać danych Cauchy’ego, możemy je określić równoważnie, jako powierzchnie na których możliwe są nieciągłości rozwiązań ( mające zazwyczaj jakiś fizyczny sens ).

Podobne powierzchnie, nazywamy czołem fali (front fali ). Taki front fali pojawia się np. na granicy, za którą w chwili t nie istnieją zaburzenia. Rozwiązanie opisujące takie zaburzenie, zeruje się tożsamościowo po jednej stronie tej

powierzchni, a po drugiej jej stronie jest różne od zera.

Z powyższego przykładu widać, że równanie powierzchni charakterystycznej (2.3) nie jest w żaden sposób związane ze specyfiką pola skalarnego, tylko ze strukturą czasoprzestrzeni lub, ściślej z jej topologią. Dlatego nie jest dziwnym, że powierzchnie u = const., gdzie u spełnia równanie (2.3) są charakterystykami również dla równań Maxwella oraz dal równań opisujących rozprzestrzenianie się słabych zaburzeń pola grawitacyjnego [5, 37 ].

Ponadto, przy badaniu nieliniowych równań Einsteina okazuje się, że jeśli założyć ciągłość gµν i ∂λgµν , to nieciągłości tensora krzywizny Rαβγδ , zawierającego drugie pochodne gµν , możliwe są tylko na powierzchniach

charakterystycznych [38, 39].

Przy tym, na mocy ciągłości gµν równanie (2.3) posiada dobrze określony sens.

Zaburzenia pól fizycznych w próżni rozprzestrzeniają się z prędkością równą prędkości świtała (* oczywiście dotyczy to pól bezmasowych *), dlatego charakterystyki, opisujące położenie czoła fali w różnych chwilach czasu, są

powierzchniami izotropowymi. Fizyczne nieciągłości rozwiązań przemieszczają się po tych powierzchniach wzdłuż promieni bicharakterystycznych, a rozprzestrzenianie się nieciągłości opisywane jest prostymi równaniami

różniczkowymi zwyczajnymi.

Aby to pokazać, rozpatrzymy dokładniej pojęcie promieni bicharakterystycznych na podstawie ich własności.

Załóżmy, że powierzchnia charakterystyczna Σ określona jest równaniem u(x) = c. Wtedy ∂µu jest wektorem normalnym do niej, a uµ = gµν ∂µu – jest wektorem normalnym do Σ. Wektory ξµ styczne do Σ spełniają równanie ξµ u, µ = 0.

Z drugiej strony zależność (2.3) pokazuje, że uµ u, µ = gµν u, µu, ν = 0 i dlatego sam wektor uµ jest styczny do powierzchni Σ. Odpowiednio wektor uµ jest wektorem izotropowym.

Wszystkie pozostałe nie równoległe do uµ, wektory przestrzeni stycznej do Σ, określone równaniem ξµ u, µ = 0, jak łatwo sprawdzić są przestrzennopodobne

( rys. 1.1 )

Rys. 1.1

Dlatego powierzchnia charakterystyczna jest izotropowa (* Hiperpowierzchnie nazywamy izotropową (świetlną ), jeśli w każdym punkcie jej przestrzeń styczna posiada jeden i tylko jeden kierunek izotropowy.

Jeśli w każdej przestrzeni stycznej istnieją dwa kierunki świetlne, to hiperpowierzchnie taka nazywamy czasopodobną, a jeśli nie ma żadnego takiego kierunku to nazywamy ją przestrzennopodobną *)

Dowolna powierzchnia charakterystyczna u(xµ ) = 0 może być włączona w jednoparametryczną rodzinę powierzchni charakterystycznych u(xµ ) = c. Rodzina taka generuje w pewnym otoczeniu czasoprzestrzeni izotropowe pole wektorowe uµ. Krzywe całkowe xµ(r) tego pola określone są równaniem :

dxµ /dr = gµν u ,ν (2.9)

i nazywane są krzywymi bicharakterystycznymi ( lub po prostu bicharakterystykami ) Zachodzi następujące :

Stwierdzenie 1.2.1 Bicharakterystyki posiadają następujące własności :

1)każde rozwiązanie równania (2.9) przechodzące przez punkt powierzchni u(x) = c należy całkowicie do tej powierzchni. Dowolna powierzchnia charakterystyczna generowana jest poprzez dwu parametryczny zbiór krzywych bicharakterystycznych.

2) bicharakterystyki są krzywymi izotropowymi tj. wektory do nich styczne są izotropowe.

3) bicharakterystyki są geodezyjnymi izotropowymi.

Dowód pierwszego punktu powyższego stwierdzenia można znaleźć np. w [27]. Drugi punkt jest oczywisty, jeśli przypomnieć sobie, że wektor uµ spełnia zależność (2.3). Aby dowieść punkt trzeci wystarczy sprawdzić, że wektor uµ przenosi się równolegle wzdłuż krzywej bicharakterystycznej , tj. :

Duµ /dr ≡ uν u µ,ν = 0 (2.10)

Równość tą uzyskujemy w następujący sposób :

uν u µ,ν = uν ( gµα u ,α ) ;ν = uν gµα u; ν; α = ½ gµν ( uν uν ) ;α = 0

Pokażemy teraz, że nieciągłości w rozwiązaniach rozprzestrzeniają się po bicharakterystykach.

W tym celu wybierzemy układ współrzędnych xµ, w którym x0 = u, tj. powierzchnie x0 = const. są powierzchniami charakterystycznymi dla równania (2.1). Ze wzoru (2.7) wynika, że nieciągłość na powierzchni Σ : x0 = const.

ma wielkość φ, 00 , podczas gdy sama φ oraz jej pierwsze pochodne i wszystkie drugie pochodne oprócz φ, 00 są ciągłe.

Jeśli oznaczymy φ, 00 = w i uwzględnimy, że g00 = guu = 0, to różniczkując (2.2) po x0 otrzymamy :

2g0i ∂iw + (1/ √−g ) ∂µ ( √−g gµ0 )w + J = 0 (2.11)

gdzie : J – oznacza sumę członów nie zawierających φ, 00

Jeśli oznaczyć nieciągłość ∆[ φ, 00 ] = ∆[w] = Ψ i uwzględnić, że wielkość J w równaniu (2.11) jest ciągła na Σ, to otrzymamy równanie a rozprzestrzenianie się Ψ :

2g0i ∂iΨ + (1/ √−g ) ∂µ ( √−g gµ0 )Ψ = 0 (2.12)

Aby zapisać (2.12) w dowolnym układzie współrzędnych, należy zauważyć, że g0i ∂iΨ = gµν u, µΨ, ν = uν Ψ, ν i dlatego pierwszy człon (2.12) przedstawia sobą pochodną w kierunku bicharakterystyki.

Drugi człon jest równy L[u], gdzie operator L[φ] określony jest wzorem (2.1). Dlatego mamy :

dΨ/dr + PΨ = 0 (2.13)

gdzie : d/dr – oznacza różniczkowanie wzdłuż kierunku bicharakterystyki na powierzchni Σ , P ≡ ½ L[u] na Σ.

Równanie (2.13) daje nam prawo propagacji nieciągłości fali, leżących na charakterystycznej powierzchni nieciągłości.

Ma ono postać równania różniczkowego zwyczajnego i pokazuje, w szczególności , że wielkość nieciągłości nie może być równa zeru w ani jednym punkcie bicharakterystyki, jeśli nieciągłość gdziekolwiek na niej jest różna od zera.

Pokazaliśmy wcześniej, że rodzina charakterystyk u(x) = c generuje izotropowe pole wektorowe uµ = gµν u, ν, którego krzywe całkowe ( bicharakterystyki ) generują powierzchnie izotropowe ( charakterystyki ).

Założymy teraz, że w pewnym obszarze czasoprzestrzeni zadane jest izotropowe pole wektorowe ξµ. Okazuje się, że w ogólnym przypadku krzywe całkowe tego pola nie nakładają się na powierzchnie izotropowe.

A ma miejsce następujące :

Stwierdzenie 1.2.2 Spełnienie warunku :

ξ[λ ξµ, ν] = 0 (2.14)

jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby istniała rodzina hiperpowierzchni izotropowych u(x) = c, taka, że krzywe całkowe

dxµ /dr = ξµ (2.15)

pola wektorowego ξµ leżały całkowicie na tych powierzchniach. Jeśli zależność (2.14) jest spełniona, to krzywe całkowe tego pola są geodezyjnymi izotropowymi.

Dowód. Aby dowieść konieczności warunku (2.14) założymy, że istnieje rodzina hiperpowierzchni izotropowych u(x) = c, a krzywe całkowe leżą na tej hiperpowierzchni. Ponieważ ξµ jest wektorem izotropowym, stycznym do krzywej całkowej, to powinien on być proporcjonalny do wektora uµ – izotropowego wektora jednostkowego w przestrzeni stycznej do powierzchni izotropowej u(x) = c, dlatego :

ξµ = fu, µ (2.16)

W tym przypadku z równości u, [µ ] = 0 wynika, że ξ[µ, ν] = f -1ξ[µ f, ν]. Mnożąc obie części tego równania ξλ i alternując (2.14). Wystarczającość warunku (2.14) wynika z następujących rozumowań. Rozpatrzmy równanie Pfaffa :

ξµ dxµ = 0 (2.17)

Zgodnie z twierdzeniem Forbeniusa [40, 41] spełnienie warunku (2.14) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla pełnej całkowalności równania (2.17), tj. istnienia zbioru rozwiązań przechodzących przez każdy punkt

hiperpowierzchni u(x) = const. , takich że ξµ = fu, µ.

Ponieważ gµν u, µ u, ν = f -2ξµ ξµ = 0 , to powierzchnie u(x) = const. są izotropowe.

Zauważmy teraz, że jeśli wektory ξµ i uµ są proporcjonalne, to geometrycznie, krzywe całkowe obu pól tych

wektorowych pokrywają się. Ze stwierdzenia 1.2.1 wynika, że krzywe całkowe pola wektorowego uµ są geodezyjnymi izotropowymi, dlatego takimi tez są krzywe całkowe pola ξµ.

Kongruencje Γ(ξ ) krzywych izotropowych generowaną przez pole wektorowe ξ i spełniającą warunek (2.14) będziemy nazywali „kongruencją normalną”. (* W literaturze spotyka się również nazwę „kongruencja ortogonalna do

hiperpowierzchni” *)

Jak widać warto zwrócić uwagę na to, że nawet w tym przypadku, kiedy (2.14) nie jest spełniony, krzywe całkowe (2.15) można wykorzystać w celu zbudowania rodziny hiperpowierzchni. Jednakże podobne hiperpowierzchnie w ogólnym przypadku będą czasopodobne i tylko przy spełnieniu warunku (2.14) będą izotropowe.

1.3 Optyka geometryczna i pole grawitacyjne.

Pojęcia powierzchni charakterystycznej ( czoła fali ) i bicharakterystyki okazują się istotne również przy badaniu rozprzestrzeniania się wysokoczęstotliwościowych fal pola EM ( lub innych pól ) w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

W przypadku małej długości fali promieniowania w porównaniu z charakterystycznymi parametrami zmian pola

grawitacyjnego można oczekiwać, że dla praw propagacji promieniowania otrzymamy dobre pierwsze przybliżenie, jeśli całkowicie zaniedbamy skończoną długość fali.

Przybliżenie, w którym całkowicie zaniedbujemy skończoną długość fali promieniowania

( odpowiada to granicy λ → 0 ) nazywamy przybliżeniem optyki geometrycznej. Nazwa ta związana jest z tym, że w takim przybliżeniu prawa optyki, opisujące rozprzestrzenianie się promieniowania można sformułować w języki geometrycznym. W ramach optyki geometrycznej przyjmuje się, że promieniowanie propaguje się wzdłuż

bicharakterystyk. Z każdą taka bicharakterystyką związany jest określony stan polaryzacji , a zmiana intensywności promieniowania związana jest ze zmianą przekroju pęku izotropowych.

Aby ściślej sformułować warunki przy których słuszne jest przybliżenie optyki geometrycznej, rozpatrzymy następujące parametry charakterystyczne rozmiaru długości, pojawiające się np. w zagadnieniu propagacji fali EM w zadanym polu grawitacyjnym :

1) λ – długość charakterystyczna fali promieniowania

2) L – długość charakterystyczna na której istotnie zmienia się amplituda, polaryzacja lub długość fali , np. promień krzywizny czoła fali lub rozmiar pakietu falowego.

3) R – promień charakterystyczny krzywizny czasoprzestrzeni w obszarze rozprzestrzeniania się fali.

Przybliżenie optyki geometrycznej odpowiada sytuacji, kiedy :

λ/2π << L , λ/2π << R (3.1)

Jeśli oznaczymy : l = min(L, R), to w obszarze czasoprzestrzeni o wymiarze d : λ/2π << d << l fale EM rozprzestrzeniają się jako fale płaskie na tle prawie płaskiej czasoprzestrzeni.

Rozpatrzymy rozprzestrzenianie się w takim obszarze fali monochromatycznej (* rozprzestrzenianie się dowolnej fali można opisać wykorzystując standardowy rozkład Fouriera *). Potencjał wektorowy Aµ pola EM przedstawimy w postaci :

Aµ = Re ( aµ eiΘ ) (3.2)

gdzie : aµ – wolno zmieniająca się amplituda , Θ - szybko zmieniająca się faza ( zmiana fazy Θ na odległości l jest wielkością rzędu 2πl / λ ). Oznaczmy ε = 2πl / λ , wtedy przy powyższych założeniach otrzymamy :

aµ = O(1) , aµ; ν = O(1) , kµ ≡ ∂µΘ = O( ε -1) (3.3)

kµ; ν = O(ε -1) , Rµν = O(1) (3.3)

gdzie : Rµν – tensor Ricciego pola grawitacyjnego.

Równania Maxwella w polu grawitacyjnym :

Fµν;ν = 0 , F[µν, λ] = 0 (3.4)

są równoważne następującym równaniom dla potencjału wektorowego Aµ ( Fµν = ∂µAν − ∂ν Aµ ) :

A;αµ; α + Rµσ Aσ = 0 (3.5a)

A;µ; µ = 0 (3.5b)

Podstawiając wyrażenie (3.2) dla potencjału do równania (3.5) i wykorzystując (3.3) otrzymamy :

[ −kα kα aµ ] + i [ 2kα aµ; α + kα; α aµ ] + [ a;αµ; α + Rµα aα ] = 0 (3.6a)

ikµ aµ + aµµ = 0 (3.6b)

W (3.6a) wyrażenia stojące w nawiasach kwadratowych mają odpowiednio rząd ε−2, ε−1 i 1.

Przyrównując do zera człon rzędu ε−2, otrzymamy :

kα kα ≡ gαβ Θ, αΘ, β = 0 (3.7)

Wzór (3.6b) w pierwszym przybliżeniu daje :

kµ aµ = 0 (3.8)

Jeśli oznaczymy : aµ = aeµ , gdzie eµ – wektor polaryzacji, eµeµ = −1 i a = sqrt( −aµ aµ ) – amplituda skalarna, to człon rzędu ε−1 w (3.6a) będzie prowadził do zależności :

aµ; α kα = 0 (3.9)

( a2kα );α = 0 (3.10)

Bicharakterystyki określone są jako krzywe, normalne do powierzchni stałej fazy Θ.

Dlatego ich równanie jest następujące :

dxµ /dr = gµν Θ, ν (3.11)

Bicharakterystyki tak określone są bicharakterystykami dla powierzchni charakterystycznych Θ = const. i dlatego , zgodnie ze stwierdzeniem 1.2.1 są geodezyjnymi izotropowymi.

Otrzymane powyżej wyniki pozwalają sformułować następujące :

Stwierdzenie 1.3.1. W optyce geometrycznej rozprzestrzenianie się światła zachodzi po geodezyjnych izotropowych.

Wektor polaryzacji jest prostopadły do bicharakterystyki i przenosi się równolegle wzdłuż nich. Amplituda skalarna a, zmienia się wzdłuż bicharakterystyki zgodnie ze wzorem (3.10).

Zależność (3.10) pokazuje, że wielkość N =

∫

Z kwantowego punktu widzenia wielkość N/ 8πħ reprezentuje sobą liczbę fotonów w promieniu świetlnym [32].

Wielkość ta nie jest absolutnym inwariantem, a reprezentuje sobą to co nazywa się adiabatycznym inwariantem tj.

wielkość, której wartość nie zmienia się przy wolnej zmianie ( w stosunku do okresu charakterystycznego ) parametrów układu.

Jeśli w wyrażeniu dla tensora energii-pędu pola EM podstawimy wyrażenie (3.2) dla potencjału i ograniczymy się przybliżeniem pierwszego rzędu względem ε ( członami rzędu ε−2 ), to po uśrednieniu po obszarze czasoprzestrzennym o rozmiarze d ( λ/2π << d << l ) otrzymamy następujące wyrażenie dla efektywnego tensora energii-pędu [33, 34] :

Tµν = q lµ lν (3.12)

gdzie : q – efektywna gęstość energii, lµ = ε Θ, µ – wektor świetlny propagacji strumienia energii.

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla efektywnego tensora energii-pędu promieniowania wysokoczęstotliwościowego oraz innych pól bezmasowych.

1.4 Rozprzestrzenianie się cieni. Skalary optyczne.

W poprzednich podrozdziałach pokazaliśmy, że krzywe świetlne odgrywają ważną rolę przy rozprzestrzenianiu się promieniowania. Okazuje się również, że przy rozpatrywaniu zagadnienia dotyczącego algebraicznej klasyfikacji tensora pola EM i tensora Weyla pola grawitacyjnego (* zagadnieniu algebraicznej klasyfikacji poświęcono podrozdziały 2.6, 3.5 *) , z każdym takim tensorem związany jest zbiór jego „własnych” wektorów izotropowych.

Dlatego odpowiednie pola tensorowe ( EM i grawitacyjne ) generują w czasoprzestrzeni izotropowe pola wektorowe.

Krzywe całkowe takich pól obrazują kongruencje krzywych izotropowych (* pod pojęciem kongruencji rozumiemy taki zbiór krzywych ( lub powierzchni ) dla którego istnieje taki jego element, który przechodzi przez zadany dowolnie i nieosobliwy punkt przestrzeni *)

W niniejszym podrozdziale rozpatrzymy własności geometryczne kongruencji geodezyjnych izotropowych.

Ważną własnością krzywych izotropowych jest to, że chociaż leżą one w przestrzeni posiadającej metrykę pojęcie odległości wzdłuż nich nie jest określone. Podobne krzywe przedstawiają sobą jednowymiarową przestrzeń afiniczną ( w przestrzeni takiej zdefiniowane jest jedynie pojęcie przeniesienia równoległego , bez pojęcia odległości )

Szereg niestandardowych własności krzywych izotropowych jest odbiciem właśnie tej okoliczności.

Kongruencje geodezyjnych izotropowych można zadać parametrycznie w postaci xα = xα ( r, yi ) ( i = 1, 2, 3) przy tym Osobna krzywa takiej kongruencji określona jest równaniem yi = ci = const. , r – parametr afiniczny wzdłuż krzywej.

Będziemy przyjmowali, że r jest parametrem kanonicznym wzdłuż geodezyjnej izotropowej, tj. jeśli lα = ∂xα/∂r , to :

lα lα = 0 , Dlα /dr ≡ lα; β lβ = 0 (4.1)

Kanoniczny parametr r wzdłuż każdej geodezyjnej izotropowej określony jest z dokładnością do liniowego, niejednorodnego przekształcenia. Dlatego jest on dla każdej kongruencji geodezyjnych izotropowych określony z dokładnością do przekształcenia :

r → r’ = ( A0 )−1+ R0 , lα → l’α = A0 lα (4.2)

gdzie : A0 i R0 zależą tylko od yi

Kluczowym w zrozumieniu własności geometrycznych takich geodezyjnych jest rozpatrzenie następującego

eksperymentu myślowego. Załóżmy mianowicie, że obserwator w określonej chwili czasu umieszcza nieprzeźroczysty przedmiot na drodze promienia świetlnego. Jeśli drugi obserwator postawił ekran na drodze tego promienia świetlnego, to forma, rozmiar i położenie cieni na ekranie określona będzie nie tylko poprzez charakterystyki nieprzeźroczystego przedmiotu, ale w istotny sposób będzie zależała od własności geometrycznych kongruencji promieni świetlnych.

Rozpatrzmy dokładnie taki eksperyment. Założymy, że linia świata pierwszego obserwatora jest dana xµ = xµ(τ) ( rys. 1.2 )

Rys. 1.2

Jeśli parametr τ jest czasem własnym, to wektor prędkości obserwatora Vµ = dxµ/dτ jest czasopodobny i unormowany Vµ Vµ = 1. Zbiór zdarzeń jednoczesnych ze zdarzeniem M, które ma współrzędne xµ (τ0 ), obrazuje trójwymiarową powierzchnię Π, ortogonalną do wektora Vµ (* Określenie jednoczesności i opis odpowiedniej procedury synchronizacji zegarów można znaleźć np. w [29 , str. 302 ] *).

Łatwo sprawdzić, że tensor : hµν (V) = δµ

ν − Vµ Vµ (4.3)

jest operatorem rzutowania czterowymiarowych wektorów na powierzchnię Π.

Niech γ0 – będzie geodezyjną izotropową z rozważanej kongruencji, przechodzącą przez punkt świata M, a lµ – niech będzie wektorem stycznym do γ0 w tym punkcie. Wtedy wektor λµ = hµν (V) lµ leży w trójwymiarowej przestrzeni Π I definiuje kierunek rozprzestrzeniania się świtała w standardowej trójwymiarowej przestrzeni.

W kierunku prostopadłym ( w trójwymiarowym sensie ) do rozprzestrzeniania się tego promienia świetlnego umieścimy dwuwymiarowy obiekt π, nieprzeźroczysty w chwili γ0. Jeśli dowolny wektor, łączący M z punktem przedmiotu π, oznaczymy przez ζµ , to zachodzi następująca równość :

λµ ζµ = ζµ hµ

ν (V) lν = 0 (4.4)

Rozkład cieni, wywoływany przez przedmiot π, określony jest przez te promienie z kongruencji, które przechodzą przez przedmiot π w chwili jego nie przeźroczystości τ0.

Zbiór tych promieni obrazuje dwuparametryczną rodzinę geodezyjnych izotropowych Γ.

Założymy teraz, że zµ (τ’ ) – jest linią świata obserwatora, badającego cienie rzucane przez przedmiot π, którego prędkość wynosi Uµ = dzµ /dτ’ , Uµ Uµ = 1. Niech promień γ0 przecina linie świata takiego obserwatora w punkcie M’

w chwili τ’0. Trójwymiarowa powierzchnia Π’ przechodząca przez M’ rozpięta na wektorach ortogonalnych do Uµ określa zbiór zdarzeń jednoczesnych z M’ , a operatorem rzutowania na ta powierzchnię jest :

hµν (U) = δµ

ν − Uν Uµ

(4.5)

Wektor l’µ styczny do promienia γ0 w punkcie M’ określa trójkierunek λ’µ = hµν (U)l’ ν.

Ekran tj. dwuwymiarową powierzchnię π’ ułożymy prostopadle ( w trójwymiarowym sensie ) do promienia λ’µ.

Jeśli ζ’µ – jest wektorem łączącym M’ z punktem ekranu π’ w chwili τ’0 to mamy : λ’µ ζ’µ = ζ’ν hµ

ν (U) l’ν = 0 (4.6)

Przez Σ oznaczymy trójwymiarową hiperpowierzchnię, tworzoną przez linię świta punktów ekranu π’ w czasie jego ruchu. Jest jasne, że promienie należące do zbioru Γ, leżące w pobliżu γ0 , przecinają Σ , tj. wpadają na ekran , nie jest jednak jasne, że wszystkie one przecinają Σ w jednej i tej samej chwili czasu τ’0 , tj. przechodzą przez dwuwymiarową powierzchnie π’. W związku z tym okazuje się, że zachodzi i jest słuszne następujące :

Stwierdzenie 1.4.1 ( Twierdzenie Ehlers’a-Sachs’a [6-7] ) W rozpatrzonym powyżej eksperymencie myślowym : 1) wszystkie części cienia osiągają ekran jednocześnie.

2) rozmiar, forma i orientacja cieni zależy tylko od położenia ekranu i nie zależy od prędkości ruchu obserwatora.

3) jeśli ekran ułożony jest na małej odległości δr od obiektu, to cienie są zwiększone, obrócone i zdeformowane o wielkości θδr, ωδr i | σ^ |δr , gdzie :

θ = ½ lα;α , ω = [ ½ l[α; β] lα; β ] ½ , | σ^ | = [ ½ l(α; β) lα; β ] ½ (4.7) Dowód. Aby dowieść pierwszy punkt tego stwierdzenia rozpatrzmy razem z γ0 dowolny inny promień γ należący do rodziny Γ. Przez r oznaczmy parametr kanoniczny wzdłuż tych krzywych. Niech ζµ(r) – będzie wektorem, łączącym punkty γ0 z γ o jednakowej wartości parametru kanonicznego r. (rys. 1.3 ).

Rys. 1.3

Pole wektorów ζµ (r) jest polem równoległym w sensie Liego (* definicje przeniesienia równoległego w sensie Liego, oraz pojęcie pochodnej Liego można znaleźć np. w [ 42, str. 112 ]*) wzdłuż γ0 i dlatego pochodna Liego od tego pola lµ

= dxµ /dr ( wektor styczny do γ0 ) jest równa zeru :

£ ζµ = lν ζµ

; ν − ζν lµ; ν = 0 (4.8)

Zmiana iloczynu lµ ζµ wzdłuż γ0 określona jest przez zależność :

d/dr ( lµ ζµ ) = lν ( lµ ζµ ); ν = lν lµ; ν ζµ + lν lµ ζµ ; ν (4.9) Drugi człon po prawej stronie (4.9) można przepisać, wykorzystując (4.8) w postaci ζν lµ lµ ; ν , jest on równy zeru

ponieważ lµ lµ = 0. Pierwszy człon w (4.9) jest równy zeru na mocy tego, że γ0 jest geodezyjną. Odpowiednio do tych faktów wielkość lµ ζµ jest stała wzdłuż γ0. Zauważmy również, że przy zmianie parametryzacji kanonicznej wzdłuż γ wektor ζµ(r) przechodzi w ζµ(r) + α(r) lµ(r) ,a przy tej zmianie iloczyn lµ(r) ζµ(r ) nie zmienia się.

Wybierzemy parametry kanoniczne wzdłuż promieni rodziny Γ w taki sposób, aby dla wszystkich promieni γ należących do tej rodziny w punktach przedmiotu π, wartość parametru r była równa r0, a dla punktów padania na ekran parametr r przyjmował wartość r1. Niech teraz ζµ

(r0 ) – będzie dowolnym wektorem, łączącym M z pewnym punktem π.

Ponieważ ζµ

(r0 ) należy do Π, to równanie (4.4) daje nam :

lµ (r0 ) ζµ (r0 ) = 0 (4.10)

Dlatego na mocy stałości iloczynu lµ(r) ζµ(r ) wzdłuż krzywej mamy również :

lµ (r1 ) ζµ (r1 ) = 0 (4.11)

Zauważmy, że ponieważ ekran położony jest prostopadle do promienia γ0 , to zachodzi wzór (4.6), który pozwala zapisać :

λ’µ (r1 ) ζµ (r1 ) ≡ζµ (r1 ) ( δµν - UµUν ) lν (r1) = 0 (4.12) Porównując zależności (4.11) i (4.12) oraz uwzględniając to, że iloczyn skalarny wektora izotropowego lν przez wektor czasopodobny Uν nie może być równy zeru, otrzymujemy :

ζµ (r1 )Uµ = 0 (4.13)

Spełnienie tego warunku oznacza, że wszystkie cząstki cieni osiągają ekran jednocześnie.

Aby dowieść drugiego punktu omawianego twierdzenia, rozpatrzymy linie świata zµ1(τ’ ) i zµ2(τ’ ) przechodzące przez punkt M’ ( rys 1.4 ). Niech prędkości tych obserwatorów w punkcie M’ są dane odpowiednio : Uµ1 i Uµ

2 ,

a Π’1 ( Π’2 ) – to trójwymiarowa powierzchnia zdarzeń, jednoczesnych z M’ z punktu widzenia pierwszego ( drugiego ) obserwatora. Dwu wymiarowe ekrany, leżące w Π’1 i Π’2 i prostopadłe do promieni γ0, oznaczymy odpowiednio przez π’1 i π’2. Zgodnie z tym co już dowiedliśmy, promienie świetlne rodziny Γ osiągają ekran , położony prostopadle do promieni świetlnych w układzie odniesienia dowolnego obserwatora, jednocześnie z punktu widzenia tego obserwatora, dlatego π’1 i π’2 leżą całkowicie na hiperpowierzchni Γ.

Rys. 1.4

Niech teraz promień γ należący do Γ przecina ekran π’1 w punkcie P1, wtedy jego przedłużenie przecina ekran π’2 w punkcie P2 i odpowiednio, wektory ζµ

1 i ζµ

2, wskazujące punkty spadania jednego i tego samego promienia γ na ekrany π’1 i π’2, różniące się tylko o wielkość proporcjonalną do lµ (r1) :

ζµ 2 = ζµ

1 + α lµ (r1) (4.14)

Rozmiar i forma cieni określona jest przez wartości iloczynów skalarnych wektorów ζµ , łączących punkt M’ i brzeg cienia na ekranie. Jednakże z zależności (4.14) i warunków ζµ

1lµ(r1) = ζµ

2lµ(r1) = lµ(r1) lµ(r1) = 0 wynika, że dla punktów P1 i Q1 cieni na pierwszym ekranie i odpowiadającym im punktom P2 i Q2 cieni na drugim ekranie zachodzi następująca równość :

ζµ ( P1 )ζµ( Q1) = ζµ ( P2 )ζµ( Q2 )

Dlatego rozmiar i forma cieni na ekranie nie zależy ani od prędkości ani od kierunku ruchu obserwatora.

Wybierzemy teraz w punkcie M pewien wektor jednostkowy eµ (r0 ) leżący na płaszczyźnie π i definiujący pewien kierunek na tej płaszczyźnie. Przez eµ( r1 ) oznaczymy wektor otrzymany przez przeniesienie równoległe wektora eµ (r0 ) do punktu M’ wzdłuż γ0 (* W charakterze wektora eµ (r ) można wybrać wektor polaryzacji, który jak to było pokazane w podrozdziale 1.3 w przybliżeniu optyki geometrycznej przenosi się równolegle wzdłuż promienia świetlnego

*)

Ponieważ eµ (r0 ) lµ (r0 ) = 0 , to eµ (r1 ) lµ (r1 ) = 0 i dlatego wektor eµ (r1 ) leży w przestrzeni stycznej w M’ do zbioru Γ i określa w tej rodzinie pewną krzywą γ’. Dlatego na każdym z ekranów π’1 i π’2 ta krzywa i odpowiednio

eµ (r1 ) wyróżniają pewien kierunek. Orientacja cieni tj. położenie wektorów ζµ 1 i ζµ

2 względem wyróżnionych na π’1 i π’2 kierunków nµ(1) = eµ ( r1 ) + β1lµ (r1 ) i nµ(2) = eµ (r1 ) + β2 lµ (r1 ) , określona jest przez wartości iloczynów skalarnych ζµ

1 n(1)µ i ζµ

2 n(2)µ. Jednak wektory brzegów cieni na ekranie pierwszego i drugiego obserwatora spełniają zależność (4.14) i na mocy ortogonalności lµ (r1 ) eµ(r1 ) = 0 otrzymujemy :

ζµ

1 n(1)µ = ζµ

2 n(2)µ

tj. orientacja cieni nie zależy od prędkości ruchu obserwatora.

Na zakończenie dowiedziemy ostatni punkt omawianego stwierdzenia. Ponieważ orientacja, forma i rozmiar cieni nie zależą od prędkości Uµ obserwatora, to ze względu na wygodę wybierzemy Uµ pokrywające się z przeniesionym wzdłuż γ0 w punkcie M’ wektorem Vµ. Wybierając dowolny wektor ζµ (r0 ), odpowiadający punktowi na przedmiocie,

przeniesiemy go następnie równolegle wzdłuż γ0 w M’. Otrzymany w ten sposób wektor nµ (r1 ) tak jak i poprzednio będzie ortogonalny do promienia świetlnego w pewnym otoczeniu Uµ i odpowiednio zawiera on M’ jako jeden z punków cienia π’. Jeśli przez γ oznaczymy promień przechodzący przez ζµ (r0 ), to ten promień wpadający na ekran π’

określa wektor ζµ (r1 ). Wyżej zauważyliśmy, że ten wektor otrzymywany jest z ζµ (r0 ), za pomocą przeniesienia równoległego w sensie Liego.

Dlatego mamy : Dζµ (r )/dr ≡ lµ ζµ

; ν = ζµ lµ; ν ; Dηµ (r ) / dr = 0 (4.15)

Jeśli ekran znajduje się na niedużej odległości δr od przedmiotu, to zakładając r1= r0 + δr, mamy z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem δr :

ζµ (r1 ) = nµ (r1 ) + ην (r1 ) lµ

; ν δr (4.16)

Zależność ta pokazuje, ze jeśli lµ ; ν nie jest zerem, to cień doznaje deformacji, opisywanej operatorem liniowym δµν + lµ; ν δr. Operator ten przeprowadzający wektory dwuwymiarowej powierzchni π’ w siebie, różni się od operatora jednostkowego o wielkość nieskończenie małą lµ; ν δr.

Okazuje się wygodnie rozłożyć nieskończenie małą deformacje lµ; ν δr na trzy nieprzywiedlne składowe : rozciągnięcie ½ lα; α δr , obrót l[ α; β] δr

i przesunięcie [ l(α; β) – ½ gαβ lγ

; γ ] δr.

Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia : θ = ½ lα; α δr

ω = [ ½ l[α; β] lα; β ] ½

| σ^ | = [ ½ l(α; β) lα; β – θ2 ] ½ (4.17)

to wychodząc ze standardowej interpretacji operatorów – rozciągnięcia, obrotu i przesunięcia można przedstawić działanie każdego z nich w taki sposób jak to pokazano na rys. 1.5

Rys. 1.5

Należy zwrócić uwagę na to, że chociaż wielkości θδr, ωδr i | σ^ |δr są jednoznacznie wyznaczone przez geometrię kongruencji, wartości prędkości rozciągania θ, obrotu ω i przesunięcia | σ^ | zależne są od wyboru parametru kanonicznego i przy jego zmianie (4.2) przekształcają się w następujący sposób :

θ' = A0 θ , ω’ = A0 ω , | σ^ | = A0 | σ^ | (4.18)

Inaczej mówiąc, inwariantami są stosunki θ : ω : | σ^ |. Wielkości θ, ω i | σ^ | nazywamy „skalarami optycznymi”.

1.5 Zespolone tetrady świetlne i współczynniki spinowe.

W celu rozpatrzenia wielu zagadnień, w szczególności przy badaniu własności geometrycznych kongruencji krzywych izotropowych ( świetlnych ) ( nie koniecznie geodezyjnych ), okazuje się dogodne wprowadzenie dobranego w odpowiedni sposób wybranego pola tetrad, zgodnego z zadaną kongruencją. W tym celu w dowolnym punkcie P czasoprzestrzeni zbudujemy wektor izotropowy lµ, styczny do przechodzącej przez ten punkt krzywej izotropowej należącej do kongruencji. Dowolny drugi, różny od lµ, wektor izotropowy nµ, skierowany ku przyszłości, będzie liniowo niezależny od lµ i lµnµ > 0. Mnożąc wektor nµ przez odpowiedni czynnik możemy sprawić, że lµnµ = 1.

Para wektorów lµ i nµ określa ortogonalną do nich dwu wymiarowa podprzestrzeń ( rys. 1.6 ).

Wybierzemy w tej podprzestrzeni pewną ortonormalną bazę, składająca się z pary wektorów aµ i bµ : lµ nµ = −1 , bµ bµ = −1 , aµ bµ = 0

i tym samym otrzymamy bazę ( lµ , nµ , bµ , aµ ) w przestrzeni stycznej.

Rys. 1.6

Okazuje się wygodnym pracować nie z tą bazą, a z jej pewną modyfikacją zespoloną.

Przyjmiemy : mµ = ( aµ + ibµ ) / √2 , m- = ( aµ − ibµ ) / √2 wtedy : mµ mµ = m-µ m-µ = 0 , mµ m-µ = − 1

W wyniku tego w każdym punkcie czasoprzestrzeni otrzymujemy tetradę : zµm = ( lµ , nµ , mµ , m-µ ), unormowaną przez warunek :

zµm znµ = ηmn

| 0 1 0 0 | (5.1)

ηmn = | 1 0 0 0 | | 0 0 0 −1 | | 0 0 −1 0 |

Podobne tetrady nazywamy “zespolonymi tetradami świetlnymi”.

Oczywiście, że zbudowane pole zespolonych tetrad świetlnych, związane z kongruencją krzywych świetlnych, określone jest bardzo niejednoznacznie. Wektor lµ określa kongruencje z dokładnością do przekształcenie l’µ = Alµ ,

odpowiadającego zmianie parametryzacji krzywych kongruencji świetlnej. Jeśli rozpatrujemy kongruencje geodezyjnych świetlnych i wybrana jest parametryzacja kanoniczna, to A = A0 (yi ) i nie zależy od r.

Warunek normalizacji prowadzi do przekształcenia nµ → n’µ = A-1nµ. Dalsza dowolność związana jest z

niejednoznacznością wyboru kierunku izotropowego nµ. Każdy taki wybór przy ustalonym lµ odpowiada wyborowi dwuwymiarowej podprzestrzeni, ortogonalnej do lµ i nµ. Taka podprzestrzeń, będąc ortogonalną do lµ , leży na hiperpłaszczyźnie, stycznej do stożka świetlnego wzdłuż kierunku lµ. Baza w nowej dwuwymiarowej podprzestrzeni, otrzymanej przy zmianie nµ, może być otrzymana z bazy aµ i bµ ( w starej podprzestrzeni ) za pomocą przekształcenia : a' µ = aµ + β1lµ , b' µ = bµ + β2lµ

lub dla wektorów zespolonych mµ i m-µ :

m' µ = mµ + Blµ , m-µ = m-µ + B- lµ , B = ( β1 + iβ2 ) / √2

Warunki ortogonalności nµ do m mµ i m-µ oraz normalizacja lµnµ = 1 pozwalają określić odpowiednie przekształcenie nµ :

n’µ = nµ + B- mµ + Bm-µ + BB- lµ

Pozostaje jeszcze dowolność w wyborze tetrady związany z niejednoznacznością wyboru bazy aµ, bµ w dwuwymiarowej przestrzeni. Baza ta określona jest z dokładnością do obrotu i dlatego odpowiadająca jej dowolność w wyborze mµ jest następująca : m’µ = eiCmµ.

Podsumowując to co zostało powiedziane powyżej, możemy wnioskować, że ogólna dowolność w wyborze zespolonych tetrad świetlnych, opartych na kongruencji krzywych świetlnych opisywana jest poprzez przekształcenia :

l'µ = Alµ (5.2)

n’µ = A−1( nµ + B-mµ + Bm-µ + BB-lµ ) (5.2)

m’µ = eiC ( mµ + Blµ ) (5.2) m’-µ = eiC ( m-µ + B- lµ ) (5.2) Ściślej, wzór (5.2) opisuje maksymalną grupę przekształceń, zachowujących kierunek wektora lµ i warunki normalizacji (5.1). Przekształcenia te tworzą czteroparametryczną podgrupę grupy Lorentza (* każde przekształcenie bazy określone jest przez cztery parametry : dwa rzeczywiste A, C i jeden zespolony B. Łatwo przekonać się, że przekształcenia te tworzą grupę *). Dlatego całkowita dowolność w wyborze pola zespolonych tetrad świetlnych opisywana jest przez cztery dowolne funkcje , czterech zmiennych. W przypadku kongruencji geodezyjnych świetlnych sparametryzowanej kanonicznie, jedna z tych dowolnych funkcji (A) zależy tylko od trzech współrzędnych.

Oznaczmy sprzężoną do bazy zµm wektorów, bazę form zm

µ , wtedy ma miejsce : zmµ zµ

n = δm

n (5.3)

Wykorzystując tą zależność oraz warunek normalizacji (5.1) łatwo otrzymujemy, że : zmµ = gµν ηmn

zν n , zm

µ = ( nµ lµ – m-

µ − mµ ) (5.4)

Mnożąc równość zµm znµ = ηmn przez zn

ν , otrzymujemy zależność zµ m zn zn

ν = zmν , słuszną dla wszystkich wektorów zµm. Równość ta pozwala wnioskować, że :

gµν = zmµ zm

ν = ηmn zm µ zn

ν = 2 [ l(µ nν) – m(µ m-

ν) ] (5.5)

gµν = ηmn ν zµ

m zν

n = 2 [ l (µ nν)

– m(µ m-ν)

] (5.5a)

Zadanie w czasoprzestrzeni pola zespolonych tetrad świetlnych pozwala dla opisu obiektów geometrycznych

wykorzystać formalizm tetradowy. Operacja różniczkowania kowariantnego, tak jak standardowo, określona jest poprzez zadanie współczynników obrotu Ricciego γmnl :

γmnl = zνn zλl zmν; λ = − γnml (5.6)

Ostatnia równość wynika z zależności z νn zmν = ηnm , po zastosowaniu do niej operatora zλ l ∇λ.

Na mocy własności antysymetrii mamy 24 niezależne, rzeczywiste wielkości γmνl , które w przypadku wykorzystania powyższych zespolonych tetrad świetlnych grupują się w 12 wielkości zespolonych.

Zwykle oznaczamy te wielkości ( ściślej następujące ich kombinacje liniowe ) oddzielnymi literami :

Wielkości te otrzymały nazwę „współczynniki spinowe”

(* Nazwa współczynniki spinowe wskazuje ma to, że wielkości te w naturalny sposób pojawiają się w formalizmie spinorowym. Dokładniej związek ten rozpatrzony jest w rozdziale 3 *)

Jeśli pole zespolonych tetrad świetlnych określone jest przez kongruencje krzywych świetlnych, to współczynniki spinowe niosą informacje dotyczącą zarówno własności geometrycznych kongruencji jak i konkretnego wyboru tetrady.

Łatwo sprawdzić, że zależność :

γm[nl] = ½ zνn zλl ( zmν ; λ – zmλ ; ν ) = ½ zνn zλl (zmν , λ – zmλ , ν ) (5.8) oraz równość (5.6) pozwalają zapisać :

γmnl = γm[nl] + γn[lm] − γl[mn] (5.9)

Dlatego obliczenie wielkości γmnl po zadanym zµ

m wymaga zastosowania razem z operacjami algebraicznymi tylko operacji różniczkowania cząstkowego.

Podobnie jak w standardowych rachunkach, w formalizmie tetradowym wszystkie obliczenia dogodnie jest prowadzić wykorzystując tetradowe składowe tensorów, które są określone następująca zależnością :

Tα1...αpβ1...βq ↔ Tm1...mpn1...nq = zmpαp .... zβ1n1 ... zβqnq Tα1...αpβ1...βq (5.10) Przy tym :

Tα1...αpβ1...βq ↔ Tm1...mpn1...nq; m = zmα zm1α1 .... zmpαp ... zβ1n1 ... zβqnq Tα1...αpβ1...βq ; α=

= Tm1...mpn1...nq, m + γl

m1mTlm2...mpn1...nq + ... + γl

mpmTm1...mp-1n1...nq + γl n1m Tm1...mpln2...nq + ...

+ γlnqm Tm1...mpn2...nq-1l (5.11)

gdzie : Tm1...mpn1...nq, m = zmν ( Tm1...mpn1...nq ), ν Tożsamość Ricciego :

zmµ[ ; α; β] = − ½ zmν Rν

µαβ (5.12)

służąca jako definicja tensora krzywizny, po odpowiednim zawężeniu z wielkościami znµzp αzq

β może być wykorzystana dla znajdowania współczynników tetradowych, tensora krzywizny :

Rmnqp = γmnp, q – γmnq, p + γmlq γlnp − γlmp γlnq + γmnl ( γlpq − γlqp ) (5.13) W oznaczeniach tetradowych tożsamości Bianchi Rαβ[γδ ; µ] = 0 przyjmują postać :

Rmn[pq, r] – γml

[rRpq]ln + γnl

[rRpq]lm + 2Rmnl[pγrl

q] = 0 (5.14)

1.6 Geometryczny sens współczynników spinowych.

W tym podrozdziale ponownie powrócimy do omówienia własności geometrycznych kongruencji krzywych świetlnych po to, aby sens geometryczny oddzielnych współczynników spinowych i znaleźć ich związek z wprowadzonymi wcześniej skalarami optycznymi.

Rozpatrzmy jeszcze raz eksperyment myślowy dotyczący rozprzestrzeniania się cieni ( omawiany w podrozdziale 1.4, rys. 1.2 )

Wybierzemy w punkcie M wektor świetlny nµ(r0 ), leżący na dwuwymiarowej płaszczyźnie, rozpiętej na wektorach lµ (r0 ) i Vµ , unormowany przez warunek : nµ(r0 ) lµ(r0 ) = 1. Na dwuwymiarowej powierzchni π, ortogonalnej do nµ i lµ wybierzemy bazę aµ( r0 ) i bµ( r0 ) i zdefiniujemy wektory zespolone

mµ = ( aµ + ibµ ) / √2 , m-µ = ( aµ – ibµ ) / √2.

Dowolny wektor rzeczywisty ζµ należący do π, możemy przedstawić w tej bazie :

ζµ = ζm-µ + ζ- mµ (6.1)

Zbudowaną w punkcie M zespoloną tetradę świetlną zµm przeniesiemy równolegle wzdłuż γ0 do punktu M’ ,

odpowiadającą tej konstrukcji bazę oznaczmy jako zµm (r1 ). Ponieważ ani rozmiar, forma ani orientacja cieni nie zależy od prędkości Uµ – obserwatora, badającego cienie, to dla wygody przyjmiemy, że Uµ pokrywa się z wektorem

otrzymanym przez przeniesienie równoległe wektora Vµ z M do M’. W takim przypadku wektory mµ(r1 ) i m-µ(r1 ) rozpinają dwuwymiarową przestrzeń rzeczywistą w której leży ekran π’.

Wektor nµ(r1 ), otrzymany z ζµ(r0 ) poprzez przeniesienie równoległe, posiada takie same składowe w bazie mµ(r1 ), m-µ(r1 ), co wektor ζµ( r0 ) w bazie mµ(r0 ), m-µ(r0 ) :

nµ(r1 ) =ζm-µ ( r1 ) + ζ- mµ(r1 ) (6.2)

Promień γ, przechodzący przez punkt ζµ(r0 ) przedmiotu, określa na ekranie wektor ζµ(r1 ) :

ζµ(r1 ) = ( ζ + δζ )m-µ(r1 ) + ( ζ-µ + δζ- ) mµ(r1 ) (6.3)

Jeśli wykorzystamy zależność (4.16), mnożąc obie jej strony przez mµ(r1 ), a następnie wykorzystamy definicje współczynników spinowych (5.7), to można otrzymać :

δζ = − ( ρζ + σζ- ) δr (6.4)

Zatem, odwzorowanie :

ζ→ζ’ = ζ + δζ = ζ( 1 – ρδr ) - ζ-σδr (6.5)

ustanawia związek między formą przedmiotu i formą cieni. Jeśli w charakterze przedmiotu wybierzemy okrąg, którego brzeg ζ = exp (iΦ ), to brzeg cieni określony będzie równaniem :

ζ’ = ( 1 – ρδr ) exp(iΦ ) – σδr exp(−iΦ ) (6.6)

opisującym elipse o półosiach a± = 1 – ( ρ + ρ- −/+ | σ | ) δr.

Kierunek osi głównej tworzy kąt Φ0 z osią OX, gdzie :

e2iΦ0 = ( σ- / σ )1/2 (6.7)

Pole elipsy dane jest wzorem : π a+ a- = π [ 1 – ( ρ + ρ- ) δr ] i odpowiednio współczynnik - Re ρ = − ½ ( ρ + ρ- ) określa zwiększenie skali liniowej. Elipsa (6.6) obrócona jest względem okręgu rzucającego cień o kąt, określony przez wartość średnią arg( ζ- / ζ ) równego ( ρ – ρ- )δr /2i.

Moduł przesunięcia | σ | określony jest przez stosunek półosi : a+ a- = 1 + 2 |σ | δr

Porównując wszystkie te wyniki z wyrażeniami dla skalarów optycznych θ, ω i | σ^ |, wprowadzonych w podrozdziale 1.4 , łatwo otrzymujemy, że :

ρ = − (θ + iω ) , | σ | = | σ^ | (6.8)

Wyjaśnimy teraz w jaki sposób zmieniają się skalary optyczne wzdłuż promieni świetlnych. Na początku zauważymy, że tożsamość Ricciego (5.12) pozwala zapisać :

lµ ; α; β] = lµ ; β; α - Rν µαβ lν Dlatego :

D/dr ( lµ; α ) = lβ

lµ ; α; β = lµ ; β; α lβ− Rνµαβ lν lβ = lµ ; β lβ; α − Rνµαβ lν lβ (6.9) Ostatnią równość otrzymano wykorzystując to ,że lµ ; β lβ

= 0.

Jeśli pomnożymy teraz obie strony (6.9) przez mµ m-α

a wektory bazowe wybierzemy jako przenoszone wzdłuż γ0, to łatwo sprawdzi, że równość (6.9) prowadzi ku zależności :

Dρ = (∂ρ/∂r) = ρ2 + σσ-− Rνµαβ lν lβ mµ m-α (6.10) Zauważmy dalej, że :

Rνβ lν lβ = − gµα Rνµαβ lν lβ = 2Rνµαβ lν lβ mµ m-α (6.11) Przy wyprowadzeniu tego równania wykorzystane zostały własności symetrii tensora krzywizny R(νµ)αβ = 0 ,

Rνµαβ = Rαβνµ oraz wyrażenie (5.5a) dla tensora metrycznego gµα.

Na podstawie (6.10) i (6.11) ostatecznie mamy :

Dρ = ρ2 + σσ- + Φ00 (6.12)

gdzie : Φ00 = − ½ Rνβ lν lβ

W analogiczny sposób otrzymujemy równanie (* Równania (6.12) i (6.13) w rozpatrywanym przypadku pokrywają się z pierwszymi dwoma równaniami z pełnego układu równań Newmana-Penrose’a ( D3.4) *)

Dσ =σ ( ρ – ρ- ) + Rαβγδ lα lγ mβ mδ (6.13)

Aby wyjaśnić fizyczny sens równania (6.12), wybierzemy dowolna dwuwymiarową przestrzennopodobną powierzchnię S. Niech aµ i bµ - będą dwoma, liniowo niezależnymi polami wektorowymi, stycznymi do S.

Zgodnie z twierdzeniem Forbeniusa [ 40, 41], dla tych pól spełniony jest warunek :

aν bµ, ν − bν aµ,ν = αaµ + βbµ (6.14)

Parę pól wektorowych, spełniającą warunek (6.14), będziemy nazywali polami wektorowymi generującymi dwuwymiarową powierzchnię.

Jeśli

mµ = ( aµ + ibµ ) / √2 , m-µ = ( aµ – ibµ ) / √2 to równanie (6.14) pozwala zapisać :

mν m-µ,ν – m-ν mµ

,ν = i ( ζm-µ + ζ-mµ ) (6.15)

W każdym punkcie S wybierzemy jeden z dwóch kierunków świetlnych, ortogonalny do S i przeprowadzimy geodezyjne świetlne, takie do których wektor styczny lµ na powierzchni S pokrywa się z wybranym kierunkiem. Pokażemy, że wielkość ρ – ρ- dla tej rodziny krzywych izotropowych zeruje się na powierzchni S. W tym celu wykorzystamy warunek mµlµ = m-µlµ = 0 i przedstawimy ρ – ρ- w postaci :

ρ – ρ- = ( lµ, ν – lν, µ ) mµ m-µ = − lµ ( mµ

, ν m-ν − m-µ, ν mν ) Dlatego na mocy równości (6.15) na powierzchni S mamy ρ = ρ-.

Równanie (6.12) pokazuje, że ρ pozostaje wielkością rzeczywistą również na zewnątrz powierzchni S wzdłuż promieni świetlnych.

Dowiedziona równość ρ = ρ- oznacza, że rodzina geodezyjnych izotropowych, wypuszczonych ortogonalnie do powierzchni S, tworzy powierzchnie izotropową (* Jest to następstwem stwierdzenia 1.6.3 ( zobacz końcówką niniejszego rozdziału ) *)

Rozpatrzmy teraz w jaki sposób zmienia się przekrój pęku geodezyjnych izotropowych, ortogonalnych do powierzchni S.

Przy analizie rozprzestrzeniania się cieni pokazaliśmy, że zmiana powierzchni s przecięcia pęku opisywana jest przez równanie :

(1/s ) (ds/dr ) = − ( ρ + ρ- ) (6.16)

Lub, ponieważ ρ jest wielkością rzeczywistą możemy, to zapisać następująco :

d ( √s ) / dr = − ρ√s (6.17)

Różniczkując to równanie jeszcze raz względem r, otrzymamy :

d2 ( √s ) / dr2 = − ( σσ- + Φ00 ) √s ≤ 0 (6.18)

Zatem, jeśli ρ > 0 w pewnym punkcie krzywej izotropowej, to (6.17) pokazuje, że s zmniejsza się, a jeśli Φ00 ≥ 0 (* Nierówność ta nazywa się słabą nierównością energetyczną *), to z (6.18) wynika, że s zmniejsza się do zera.

Zatem, pęk izotropowych nieuchronnie osiąga punkt ogniskowy. W tym właśnie przejawia się ogniskujące działanie pola grawitacyjnego.

Na zakończenie tego podrozdziału dowiedziemy szeregu stwierdzeń dotyczących własności geometrycznych kongruencji krzywych izotropowych.

Przez Γ(l) oznaczymy kongruencje krzywych izotropowych, do których styczne tworzą pole wektorów izotropowych lµ.

Stwierdzenie 1.6.1 Kongruencja Γ(l) jest geodezyjną wtedy i tylko wtedy, kiedy k = 0 i poprzez odpowiedni wybór parametry afinicznego wzdłuż Γ(l) można spełnić równanie : ε + ε- = 0

Dowód. Zależność (D1.11a) daje nam : Dlµ ≡ lµ lµ

,ν = ( ε + ε- )lµ − k-mµ - km-µ

Krzywe Γ(l) są geodezyjnymi w tym przypadku, kiedy Dlµ ~ lµ , dlatego k = 0. Wybierając w odpowiedni sposób parametr wzdłuż Γ(l), można otrzymać ε + ε- = 0

Stwierdzenie 1.6.2 Zespolona tetrada świetlna zµm przenosi się równolegle wzdłuż Γ(l) wtedy i tylko wtedy, kiedy k = π = ε = 0.

Dowód. Wynika to z zależności (D1.11) – (D.1.14), jeśli uwzględni się, że przy przeniesieniu równoległym wzdłuż Γ(l) Dlµ = Dnµ = Dmµ = Dm-µ = 0.

Stwierdzenie 1.6.3 Niech Γ(l) jest kongruencją geodezyjnych izotropowych, wtedy warunek l[λ∇µ lν] = 0 jest równoważny ρ = ρ- , tj. warunek Im(ρ) = 0 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla normalności kongruencji geodezyjnych izotropowych. Pole lµ jest polem gradientowym lµ = ∂µu wtedy i tylko wtedy, kiedy spełnione są następujące równania :

ρ = ρ- , τ = α- + β (6.19)

Dowód. Ze stwierdzenia 1.6.1 wynika, że k = 0. Warunek Im(ρ) = 0 można otrzymać, jeśli przy obliczaniu l[λ∇µ lν] dla

∇[µ lν] wykorzystamy wzór (D1.6). Pole lµ jest polem gradientnym, jeśli wykorzystamy równość ∇[µ l ν] = 0.

Wzór (d1.6) pokazuje, że w tym przypadku spełnione są równania (6.19).

Stwierdzenie 1.6.4 Niech Γ(l) będzie kongruencją geodezyjnych izotropowych, a parametr wzdłuż niej wybrany jest w ten sposób, że ε + ε- = 0. Wtedy wektor prędkości kątowej, rotacji kongruencji Γ(l)

Ωµ ≡ ½ εµαβγ l α∇[β l γ] jest równy Ωµ

= - Im(ρ) lµ Dowód. Zauważmy, że :

εµαβγ nµlα mβ m-γ= − iεµαβγ [ ( nµ+ lµ ) / √2 ] [ ( lα − nα ) / √2 ] αβ bγ = i (6.20) gdzie : mβ = ( aβ + ibβ ) / √2 , m-β = ( aβ − ibβ ) / √2.

Zależność (6.20) jest następstwem faktu, że objętość czterowymiarowego równoległoboku, prostokątnego, zbudowanego na wektorach jednostkowych ( nµ + lµ ) / √2 , ( lµ − nη ) / √2, aµ , bµ , jest równa jedności. Następstwem zależności (6.20) jest równość :

εµαβγ lα mβ m-γ= − i lµ (6.21)

Szukana równość Ωµ = - Im(ρ) lµ jest następstwem zależności (D1.6) i (6.21).

Stwierdzenie 1.6.5 Sformułowane powyżej stwierdzenia dotyczące kongruencji Γ(l) przenoszą się na przypadek kongruencji Γ(n), jeśli dokonamy następującej zamiany :

k ↔ - ν , ε ↔ - γ , π ↔ - τ , ρ ↔ - µ , α ↔ β , λ ↔ - σ (6.22)

Dowód jest oczywisty, jeśli zauważymy, że przy zamianie lµ ↔ nµ zachodzi przekształcenie współczynników spinowych (5.7), opisywane wzorem (6.22).

Stwierdzenie 1.6.6 ( Twierdzenie Sachsa [7] ). Jeśli wielkości Φ00 = − ½ Rνβγδ lα lγ

mβ mδ

zerują się, a r jest parametrem kanonicznym wzdłuż kongruencji geodezyjnych izotropowych Γ(l), to współczynniki spinowe ρ i σ mają następująca postać :

ρ = − ( r – i Σ ) / ( r2 + Σ2 - Ω2 ) , σ = Ω /( r2 + Σ2 − Ω2 ) jeśli σσ- ≠ ρρ- (6.23) ρ = − ( 1 – i Ω ) / 2r , σ = ( 1 + iΩ ) / 2r jeśli σσ- = ρρ- , Re(ρ) ≠ 0 (6.24) ρ = − iΩ , σ = iΩ jeśli σσ- = ρρ- , Re(ρ) = 0 (6.25) gdzie : Σ, Ω są funkcjami rzeczywistymi, nie zależnymi od r.

Dowód oparty jest na układzie równań (6.12) i (6.13), mających przy zrobionych powyżej założeniach następująca postać :

∂ρ/∂r = ρ2 + σσ- , ∂/σ/∂r = σ( ρ + ρ- ) (6.26)

Rozpatrzmy następnie macierz o postaci : Z = | −ρ σ |

| σ- −ρ- |

Łatwo się przekonać, że układ równań (6.26) jest równoważny następującemu równaniu macierzowemu :

∂Z/∂r = − Z2 (6.27)

Jeśli det Z ≡ ρρ- − σσ- ≠ 0, to mnożąc obie strony (6.27) przez Z−2, otrzymamy :

∂Z−1/∂r = I i dlatego :

Z−1 = | r + iΣ −Ω | | −Ω r − iΣ | gdzie Σ, Ω nie zależą od r.

Wykorzystując dowolność w wyborze początku układu współrzędnych parametru r, zawsze można osiągnąć to, żeby Ω i Σ były funkcjami rzeczywistymi. Odwracając macierz Z-1 otrzymamy :

Z−1 = | ( r − iΣ)/R Ω/R |

| Ω/R ( r + iΣ)/R | , R = r2 + Σ2 − Ω2

skąd wynika równość (6.23). Jeśli det Z = 0 , to można podstawić σ = −ρ.

Proste całkowanie (6.26) w tym przypadku prowadzi do równości (6.24) i (6.25) i tym samym dowód omawianego stwierdzenia można zakończyć.

Jeśli ograniczymy się do kongruencji normalnej ( Im(ρ) = 0), to promienie świetlne tych kongruencji leżą na

powierzchniach izotropowych u = u0. Geometria dwu wymiarowych przekrojów t= const., powierzchni izotropowych u = u0 ( powierzchnie czoła fali ) określone są przez wartości skalarów optycznych θ = -ρ i | σ |.

W związku z tym zachodzi następujące

Stwierdzenie 1.6.7 Niech H – będzie krzywizną skalarną czoła fali, K – jej krzywizną Gaussa, wtedy :

H = − ρ , K = ρ2 − | σ |2 (6.28)

A jeśli r – jest parametrem kanonicznym i Φ00 = Ψ00 = 0, to wielkości H i K mają postać :

H = r / ( r2 − Ω2 ) , K = 1 / ( r2 − Ω2 ) , | σ |2 ≠ ρ2 ( fale sferyczne) (6.29) H = 1/ 2r , K = 0 , | σ |2 = ρ2 , ρ ≠ 0 ( fale cylindryczne ) (6.30) H = 0 , K = 0 , | σ |2 = ρ2 = 0 ( fale płaskie ) (6.31) gdzie : Ω - funkcja rzeczywista, nie zależna od r.