Metryki z obrotem

Klasa metryk dla których główna kongruencja izotropowa posiada rotacje jest przypadkiem najtrudniejszym do zbadania.

Póki co, jedynym rozwiązaniem typu N należącym do tej klasy jest rozwiązanie znalezione przez Hauser’a [122]

(* rozwiązanie Hauser’a wyraża się bezpośrednio przez funkcje f, będąca rozwiązaniem równania f ’’ + 3/16 ( 1 + x2 ) f = 0. Jawne wyrażenie f przez funkcje hipergeometryczne podano w [123] *) Rozwiązanie to dopuszcza jedno wektorowe pole Killinga.

Metryka typu III z obrotem została stosunkowo niedawno znaleziona przez Robinsona [124, 125] i Held’a [126].

Rozwiązania typu D w próżni opisał w sposób pełny Kinnersley [91]. Najogólniejsze rozwiązanie tego typu nazywamy C-NUT-metryką, zawiera ono cztery stałe dowolne, odpowiadające masie , NUT-parametry ( „masa „magnetyczna” ), moment kątowy i przyspieszenie. C-NUT-rozwiązanie jest stacjonarne i osiowo symetryczne. Debever [127] oraz Plebański i Demiański [128] otrzymali semiparametryczny zbiór rozwiązań typu D we współrzędnych nazywanych przez Plebańskiego, współrzędnymi Boyera, metryka w takich współrzędnych ma postać :

ds2 = ( x + y)-2 {[ 1 + (xy)2 / G ] dx2 + [ G / 1 + (xy)2 ] ( dz + y2 dt )2 + [ 1 + (xy)2 / F ] dy2 – [ F / 1 + (xy)2 ]

( dt − x2dz )2 } (6.1)

G = ( − λ/6 – g02 + γ ) + 2nx – εx2 + 2mx3 + ( − λ/6 – e02 − γ )x4 (6.2) F = ( − λ/6 + g02 − γ ) + 2ny – εy2 + 2my3 + ( − λ/6 – e02 + γ )y4 (6.2) ε = − ( a2 − b2 ) / [ ab ( a2 + b2 )] , γ = ( a2 + b2 )−1 (6.2)

Rozwiązanie to posiada dwa komutujące pola wektorowe Killinga ∂/∂t, ∂/∂z.

Pole wektorowe ∂/∂t jest czasopodobne w obszarze F – y4G > 0, pole grawitacyjne w tym obszarze jest stacjonarne.

Metryka (6.1) – (6.2) opisuje pole grawitacyjne generowane przez układ o masie m i momentem kątowym L = ma, poruszający się z przyspieszeniem b i posiadającym ładunek : elektryczny e0 , magnetyczny g0, oraz zawierającym człon λ.

Parametr n nazywamy masą „magnetyczną” lub NUT-parametrem. Można w naturalny sposób utożsamić parami te parametry, wprowadzając zespolone wielkości : M = m + in, E = e0 + ig0 , A = a + ib.

Tensor Weyla Ψ2 jest różny od zera, jeśli tylko nie zerują się równocześnie wielkości M, E.

Pole EM jest różne od zera , jeśli E ≠ 0. Wielkości m, n, e0 , g0 , λ określające wartość tensora krzywizny, nazywamy parametrami dynamicznymi. Wielkości a, b nie pojawiają się w sposób jawny w wyrażeniach dla tensora krzywizny, jednakże własności rozwiązania istotnie zależą od nich; a, b – nazywamy parametrami kinematycznymi.

Plebański i Demiański [128] pokazali, że duża ilość znanych wcześniej ścisłych rozwiązań równań Einsteina-Maxwella może być otrzymana z metryki (6.1), (6.2) za pomocą odpowiednich przejść granicznych. Różnorodne przypadki szczególne pojawiające się w wyniku takich przejść granicznych pokazano w tablicy 4.1, którą zaczerpnięto z pracy [128]. (* Zobacz również prace [163, 164, 199, 200 ] *)

Tablica 4.1

Interesującym jest zauważyć, że wszystkie rozwiązania próżniowe typu D cechują się dwuparametryczną grupą ruchów.

Proste objaśnienie tego faktu podano w pracy [152].

Ogólny przypadek metryk typu II z rotacją został zbadany przez I. Robinsona, oraz przez J. Robinsona i Zunda [101].

Analogiczne rozpatrzenie takich metryk w ramach formalizmu NP przedstawił Talbot [153]. Równania Einsteina w próżni pozwalają w następujący sposób skonkretyzować postać metryki (3.1) :

ds2 = 2 (lµdxµ ) [ dr + Re( P−1 ( r + iΣ ) ω- dζ ] − Ulµ (dxµ ) – ½ P−2 ( r2 + Σ2 ) dζ dζ- (6.3)

Przy Σ = 0 kongruencja Γ(l) jest normalną i w związku z dowolnością wyboru przekształceń współrzędnościowych można wyzerować Q. W tym przypadku dwa ze wspomnianych równań różniczkowych pokazują ,że

Ψ0 2 = Ψ-0

2 = −m(u), a pozostałe równanie sprowadza się do równania Robinsona-Trautmana (5.3).

Najogólniejsze znane ścisłe rozwiązanie typu II z obrotem, zawierające trzy dowolne funkcje holomorficzne zmiennej zespolonej ζ ( lub co równoważne – sześciu funkcje rzeczywistych jednej zmiennej ), otrzymano w pracy [124].

W przypadku ogólnym rozwiązanie to nie dopuszcza ani jednego wektorowego pola Killinga. Rozwiązania mniej ogólne tej klasy, otrzymali I. Robinson, J. Robinson, Zund [101, 155, 156] ( dwie dowolne funkcje holomorficzne zmiennej ζ ), Kerr, Schild [43] ( jedna dowolna funkcja holomorficzna zmiennej ζ ) , Kerr, Debney [154] ( trzy dowolne parametry ), Kerr [143] ( dwa dowolne parametry ). Dla wszystkich tych metryk charakterystycznym jest to, że tensor krzywizny zanika w nieskończoności jak r -3 , tj. nie występuje promieniowanie grawitacyjne.

Pola grawitacyjne typu II, generowane przez pole EM i dopuszczające bezprzesunięciową kongruencje geodezyjną, było badane przez Lind’a [157]. Pokazał on, że metryka i pole EM określone są całkowicie przez pięć funkcji nie zależnych od parametru afinicznego r i spełniających układ pięciu nieliniowych równań różniczkowych. Lind i Newman [50]

pokazali, że podobne rozwiązania można opisać jako pola grawitacyjne i EM pochodzące od naładowanego źródła, poruszającego się po dowolnej zespolonej, krzywej czasopodobnej w zespolonej przestrzeni Riemanna.

Regularne rozwiązanie równań Einsteina-Maxwella ( tj. nie posiadające osobliwości kątowych ), którego główna

kongruencja izotropowa jest geodezyjna, bezprzesunięciowa i posiada rozpływ, nazywa się przestrzenia Kerra-Maxwella.

Lind [161, 162] pokazał, że nie istnieją rozwiązania Kerra-Maxwella typu II i N ( tj. podobne rozwiązania posiadają osobliwość kątową ). Jedynym rozwiązaniem Kerra-Maxwella bez promieniowania jest metryka Kerra- Newmana [137], należąca do typu D.

Trim i Wainwright [158, 159] zbadali ogólną postać metryk, dopuszczających kongruencje geodezyjną i

bezprzesunięciową, posiadającą rozpływ w przypadku, kiedy pole grawitacyjne generowane jest przez rozłożone źródło , dla którego Λ = Φ00 = Φ01 = Φ02 = 0 i pokazali, że ogólne rozwiązanie danej klasy przy zadanym rozkładzie nośników, określone jest jednoznacznie przez trzy funkcje : P ( funkcja rzeczywista ) i Q, Ψ0

2 ( funkcje zespolone ), niezależnymi od r. Funkcje te spełniają trzy nieliniowe równania różniczkowe. W pracy [159] otrzymano jawne rozwiązanie dla metryk bez promieniowania W przypadku przestrzeni pustej rozwiązania te przechodzą w rozwiązania I. Robinsona, J. Robinsona [124].

W przypadku obecności materii , jeśli Φ11 ≠ 0, to Φ11 posiada zachowanie asymptotyczne : Φ11 = Φ0

11 r −4 + O(r −5 )

W tym przypadku ogólne rozwiązanie gαβ bez promieniowania otrzymywane jest z rozwiązania w próżni g(0) αβ w następujący sposób :

gαβ = g(0)

αβ + 2Φ0

11 ( r2 + Σ )−1 lα lβ

W pracach [158, 159] znaleziono rozwiązania dla metryk typu II przy obecności pola EM I pola neutronowego.

Na zakończenie tego podrozdziału, zastanowimy się krótko nad algebraicznie ogólnymi ( typu I ) polach grawitacyjnych.

Dla podobnych metryk w przypadku, kiedy jedna z głównych kongruencji izotropowych Γ(l) jest geodezyjna, rozwiązanie równań NP pozwala otrzymać dowolnie pełny opis.

Zgodnie z twierdzeniem Goldberga –Sachs’a dla metryk typu I σ ≠ 0 zatem na podstawie twierdzenia Sachs’a

( stwierdzenie1.6.6 ) możemy wnioskować, ze przy σ ≠ 0 nie występują rozwiązania z ρ = 0, widać więc , że przy ρ = 0 klasa algebraicznie ogólnych rozwiązań jest pusta. Przypadek, kiedy kongruencja Γ(l) jest normalna (ω = 0 ), został zbadany przez Newmana i Tamburino [113]. Otrzymali oni jawne wyrażenie dla metryki, podobnie zarówno w przypadku sferycznej θ2 ≠ σσ-, jak i cylindrycznej θ2 = σσ-, powierzchni falowej. Unti i Torrence [160] rozpatrzyli ogólny przypadek metryk z obrotem i pokazali, że przy ω ≠ 0 wszystkie rozwiązania posiadają cylindryczne powierzchnie falowe , tj. spełniony jest warunek σσ- = ρρ-.