Asymptotyczne własności pola grawitacyjnego. Kwantowa teoria w czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej
Stwierdzenie 5.4.1. Dla dowolnego pola asymptotycznie regularnego φA1...Am w przestrzeni asymptotycznie płaskiej i dowolnej geodezyjnej izotropowej γ istnieje granica :
lim ( rm+1-i φ(i) ) = Φ±(i ) (4.9)
r→ ±∞
Dla Φ+
(m ) ( Φ
-(m ) ) granica ta jest jedna i taka sama dla wszystkich geodezyjnych izotropowych, kończących się w jednym i tym samym punkcie na ℑ+ ( ℑ
) i jest równa wartości granicznej w tym punkcie funkcji φ^ (m) = φ^A1...AmζA11... ζAm1
tj. zachodzi własność kolejnego zdegenerowania, a dokładnie wektor lµ jest i-krotnym głównym wektorem izotropowym dla współczynnika przy ri-m-1w rozkładzie spinora φA1...Am względem potęg r-1.
Penrose dowiódł, że jeśli na dowolnej izotropowej powierzchni Cauchy’ego u = const. wybrać pole spinorowe ζA 1 takie, że u ,µ ~ σµAA’ ζA
1ζ-A’
1, to funkcja zespolona φ(m) = φA1...AmζA11... ζAm1 całkowicie określa rozwiązanie równania (4.1) w całej przestrzeni (* Jest to zgodne z tym, że dla opisu pola bezmasowego o dowolnym spinie s > 0 konieczne są dwie dowolne funkcje rzeczywiste *). Ponieważ w przestrzeni asymptotycznie płaskiej powierzchnia izotropowa ℑ+ ( ℑ- ) jest powierzchnią Cauchy’ego, to dlatego obraz na ℑ+ ( ℑ- ) funkcji φA1...Am określa rozwiązanie w czasoprzestrzeni. Zatem, wprowadzenie nieskończoności konforemnej i konforemna inwariantność pól bezmasowych pozwala w miejscu zagadnienia rozpraszania w przestrzeni asymptotycznie płaskiej, rozważać zagadnienie Cauchy’ego ( rys. 5.4 )
Rys. 5.4
5.5 Teoria kwantowa w przestrzeni asymptotycznie płaskiej. Efekt Hawkinga.
Przy budowie teorii kwantowej w zewnętrznym polu grawitacyjnym podstawową trudnością jest określenie stanu próżniowego. Fizyczną przyczyną tego faktu jest to, że w obszarze silnego pola grawitacyjnego w którym krzywizna charakterystyczna czasoprzestrzeni ma rząd l-2 trudno ( i być może w zasadzie nie możliwe ) odróżnić kwant rzeczywisty o długości fali λ ~> l, od kwantów wirtualnych o analogicznej długości fali. Standardowa definicja stanu próżniowego jako najniższego stanu energetycznego jest możliwa tylko w stacjonarnym polu grawitacyjnym.
Stacjonarność metryki prowadzi do istnienia globalnego czasopodobnego wektorowego pola Killinga ξµ i zgodnie z twierdzeniem Noether, zachowywana całka energii ma postać :
E =
∫
Tµ ξν√−g dσµ (5.1)Σ
gdzie : Σ - dowolna powierzchnia Cauchy’ego , dσµ – element objętości na tej powierzchni.
Dla pól bezmasowych analogiczne wyrażenie definiuje całkę zachowywaną również w tym przypadku, kiedy ξµ jest konforemnym polem wektorowym Killinga , tj. spełnia równanie :
ξα; β + ξβ; α = 2fgαβ (5.2)
W przypadku ogólnym, kiedy podobna symetria czasoprzestrzeni nie występuje nie udaje się określić całki energii i w związku z tym pojawia się niejednoznaczność przy wyborze stanu próżniowego (* Warto wspomnieć, że we
współrzędnych ( x0, xi ) wyrażenie H[x0 ] =
∫
T00√-g d3x jest hamiltonianem. Podobnie jak w teorii klasycznej w teorii kwantowej hamiltonian określa ewolucje układu z powierzchni x0 = const. na „sąsiednią” powierzchnięx0 + δx0 = const. Dlatego też wartość hamiltonianu zależy od wyboru czasu x0 na rozmaitości czasoprzestrzennej i przy różnych wyborach x0 stanu, minimalizowane wielkości H będą inne. Przy obecności globalnego czasopodobnego wektorowego pola Killinga ξµ w charakterze „standardowego” fizycznego czasu można wybrać czas t, taki że dxα/dt = ξα. Przy takim wyborze wartość hamiltonianu H[t] pokrywa się z energią E, określaną wzorem (5.1) *) W przestrzeni asymptotycznie płaskiej cząstki bezmasowe, poruszają się z prędkością światła, wcześniej lub później opuszczając obszar silnego pola grawitacyjnego, wpadając w obszar asymptotyczny, w którym odchylenie metryki czasoprzestrzeni od metryki płaskiej jest małe. Analogicznie, jeśli prześledzimy ruch cząstek ku przeszłości, możemy się przekonać, że w oddalonej przeszłości cząstka znajduje się daleko od źródeł pola grawitacyjnego i porusza się prawie jak cząstka swobodna. Przedstawienie takie pozwala mieć nadzieję, że w przestrzeni asymptotycznie płaskiej dla pól
bezmasowych można jednoznacznie określić macierz rozpraszania S oraz asymptotyczny stan próżniowy. W tym podrozdziale na przykładzie bezmasowego pola skalarnego zademonstrujemy w jaki sposób idea nieskończoności konforemnej pozwala zbudować teorię rozpraszania w przestrzeni asymptotycznie płaskiej.
Operator Heisenberga φ, opisujący skalarne pole bezmasowe, spełnia równanie ruchu :
( − 1/6 R ) φ = 0 (5.3)
Rozwiązanie tego równania możemy przedstawić w postaci : φ(x) =
Σ
( un(x) an + u-n(x) a*n ) (5.4)
n gdzie : { un , u
-n } – jest bazą, tj. peł-nym układem s-liczbowych zespolo-nych, asymptotycz-nie regular-nych rozwiązań równania (5.3), normowanych przez warunek :
< un , um > ≡ i
∫
u-n ∂↔µ um gµν √−g dσµ = δmn (5.5) Σ(* gdzie : A∂↔µB = (∂µA) B – A (∂µB) *)
< u-n , um > = < un , u
-m > = 0
Całkowanie prowadzimy po dowolnej powierzchni Cauchy’ego. Można sprawdzić, że iloczyn skalarny < f, g > dla dowolnych dwóch rozwiązań równania (5.3) nie jest zależny od wyboru Σ i posiada następujące własności :
< f, g >- = < g, f > (5.6)
< f- , g- > = − < g, f > , < αf, βg > = (αβ )- < f, g > (5.6) Zasady kwantowania kanonicznego prowadzą do następujących zależności komutacyjnych dla operatorów an , a*n :
[ an , a*m ] = δnm , [ an , am ] = [ a*n , a*m ] = 0 (5.7)
Zupełność bazy { un , u
-n } pozwala zapisać :
an = < un , φ > , a*n = − < u-n , φ > (5.8)
W przypadku istnienia globalnego czasopodobnego wektorowego pola Killinga wybór w charakterze un dodatnio częstościowych rozwiązań, prowadzi do jednoznacznego określenia próżni za pomocą warunku :
an | 0 > = 0 (5.9)
W przypadku ogólnym baza określona jest niejednoznacznie. Dla dowolnych baz { un , u
-n }i { v-n , v
-n }, związa-nych przekształceniem :
un =
Σ
( αnm vm + βnm v-m ) (5.10)
m
gdzie : αnm = < vm , un > , βnm = − < v-m , un >.
Macierze α, β spełniają warunek :
|| α β || || α† −βT || = || 1 0 || (5.11)
|| β- α- || || β† αT || || 0 1 ||
Przy takim przekształceniu operatory an , a*n przechodzą w nowe operatory bn , b*n za pomocą przekształcenia Bogoljubowa :
an =
Σ
( α-nm bm − β-nm b*m ) (5.12)m
a*n =
Σ
( αnm b*m − βnm bm ) (5.12)m
Rozpatrzmy teraz razem z wejściową, rzeczywistą czasoprzestrzenią ( M, gαβ ), ( niefizyczną ) czasoprzestrzeń ( M^, g^αβ ). Na mocy konforemnej inwariantności równania (5.3) operator Heisenberga φ^ = Ω-1φ spełnia równanie :
( ^ - 1/6 R^ ) φ^ = 0 (5.13)
gdzie wielkości z daszkiem odnoszą się do przestrzeni ( M^, g^αβ ).
Jeśli uwzględnimy, że przy przekształceniu konforemnym dσµ nie przekształca się, to otrzymamy :
i
∫
f -^ ∂↔µ h^ g^µν √-g^ dσν ≡ < f^, h^ > = < f, h > (5.14) gdzie : f^ = Ω-1f , h^ = Ω-1h.W otoczeniu ℑ+ wybierzemy układ współrzędnych (3.3) i wykorzystując w charakterze Σ powierzchnie ℑ+, otrzymamy
< f, h > = << F+ , H+ >> ℑ+ (5.15)
gdzie : dΩ - element pola na powierzchni o metryce (3.1).
We współrzędnych Bondiego dΩ = sinυdυdφ.
Zdefiniujmy operator Φout poprzez warunek :
<< U+n , Φout >>ℑ+ = < un , φ > ≡ an (5.17)
Wykorzystując (5.4) możemy zapisać : Φout =
Σ
( U+n an + U-+n a*n ) (5.18)
n
Przekształcenie funkcji bazowych (5.10) indukuje odpowiednie przekształcenie dla obrazów ℑ+.
W przestrzeni asymptotycznie płaskiej na ℑ+ działa grupa BMS. We współrzędnych Bondiego generatory Pµ podgrupy translacji ( jednoznacznie wydzielane z pełnej grupy BMS ) zapiszemy w postaci :
P0 = ∂/∂u , P1 = sinυ cosφ ∂/∂u (5.19)
Realizujące operatorową reprezentacje generatorów podgrupy translacji, mają sens operatorów energii-pędu
wylatujących cząstek. Stan podstawowy | 0 >ℑ+ charakteryzujący się minimum energii, możemy zdefiniować poprzez warunek :
an | 0 >ℑ+ = 0 (5.21)
gdzie operatory anihilacji an pojawiają się przy rozkładzie Φout względem bazy { U+ n , U-+
n } dodatnio częstościowych ( względem współrzędnej Bondiego u ) funkcji na ℑ+. Jeśli przez Nout [ ] oznaczymy operacje normalnego uporządkowania względem próżni | 0 >ℑ+ , to ( skończony ) operator energii na ℑ+ może być zapisany w postaci :
Hout =
∫
du dΩ Nout ( ∂uΦout ∂uΦout ) (5.22)Jeśli przez { V-n , V^
-n } oz-naczymy bazę dodat-nio częstościowych ( względem współrzęd-nej Bo-ndiego v ) fu-nkcji -na ℑ-, to w analogiczny sposób stan próżniowy na ℑ- może być określony przez równanie :
bn | 0 >ℑ- = 0 (5.23)
gdzie : bn - operatory anihilacji na ℑ- , pojawiające się przy rozkładzie Φout względem bazy { V -n , V^
-n }:
Φin =
Σ
( V-n bn + V^-n b*-n ) (5.24)
n
W przypadku, kiedy pierwotnie nie występują żadne cząstki, a pole grawitacyjne kreuje cząstki, które następnie uchodzą ku nieskończoności, ich strumień energii mierzony przez oddalonego obserwatora w pewnym odcinku czasu, zadany jest wyrażeniem :
E[f] =
∫
du dΩℑ- < 0 | Nout [ ∂uΦout ∂uΦout ] | 0 >ℑ- f(u) (5.25) Gdzie amplituda funkcji f(u) jest równa jedności przy u odpowiadających interwałowi obserwacji strumienia cząstek i gładko zmienia się do zera poza tym interwałem. W celu obliczenia wielkości E[f] do (5.25) podstawiamy rozkład (5.18) E[f] =∫
du dΩ f(u)Σ
{ ∂uU+n ∂uU+m ℑ- < 0 | an am | 0 >ℑ- + ∂uU-+ Jeśli interwał czasu obserwacji T, jest wystarczająco duży ( tj. energia charakterystyczna cząstek wylatujących ε >> h/T i strumień energii, unoszonej przez cząstki o energii mniejszej niż h/T można zaniedbać ), to pierwsze dwa człony w nawiasie klamrowym, zawierające iloczyn dwóch jednakowo częstościowych funkcji, można opuścić. Pozostałe dwa człony w tym nawiasie są równe i dlatego otrzymujemy :E[f] = 2
∫
du dΩ f(u)Σ
∂uU-+n ∂uU+m ℑ- < 0 | a*n am | 0 >ℑ- (5.27)Dlatego ostatecznie zagadnienie dotyczące obliczenia strumienia energii kreowanych przez pole grawitacyjne cząstek sprowadza się do obliczenia współczynników βmn. Zgodnie z (5.29) współczynniki te określone są poprzez rozkład względem ujemnie częstościowym funkcjom V^-m na ℑ- funkcji U-n , obraz których na ℑ+ jest funkcją dodatnio częstościową. Zatem, w celu rozwiązania zagadnienia kwantowego dotyczącego kreacji cząstek wystarczy zbadać zachowania zespolonych s-liczbowych rozwiązań.
Fakt ten jest słuszny dla obliczeń dowolnych obserwabli ( nie tylko energii ) i jak dobrze wiadomo, jest następstwem liniowości równania Heisenberga (5.3).
Do najbardziej interesujących wyników prowadzi zastosowanie wyłożonej powyżej metody do obliczenia strumienia energii cząstek, kreowanych w polu grawitacyjnym czarnej dziury. Hawking [15, 195] pokazał, że efekt spontanicznej kreacji cząstek z próżni w polu czarnej dziury prowadzi do promieniowania stacjonarnego, o spektrum Plancka, o charakterystycznej temperaturze : Θ = ħc3/8πGM , M – masa schwarzschildowskiej czarnej dziury (* Czarnym dziurom, efektowi Hawkinga oraz astrofizycznym następstwom zjawiska kwantowego parowania czarnych dziur, poświęcono prace [196], w której można znaleźć odsyłacze do odpowiedniej literatury. Procesy kwantowe w czarnych dziurach o zmiennych parametrach zostały rozpatrzone w pracy [197] w formalizmie analogicznym jaki przedstawiliśmy w niniejszym rozdziale *)
W niniejszym rozdziale ograniczyliśmy się tylko do pewnych ogólnych uwag dotyczących problemów zagadnienia promieniowania i samej obecności czarnej dziury.
Po pierwsze, ściśle mówiąc w obecności czarnej dziury (rys. 5.5 ) czasoprzestrzeń nie spełnia podanej w podrozdziale 5.3 definicji przestrzeni asymptotycznie płaskiej, ponieważ istnieją promienie świetlne ( spadające do czarnej dziury ), które nie uchodzą ku nieskończoności. Z drugiej strony struktura nieskończoności konforemnej w przypadku istnienia
czarnej dziury zmienia się zasadniczo.
Rys. 5.5
Pewną modyfikacje definicji przestrzeni asymptotycznie płaskiej [10], polegająca na tym, że dopuszcza się istnienie razem z konforemną nieskończonością ℑ, zbudowaną tak jak to opisywaliśmy, innych punktów brzegowych
czasoprzestrzeni, pozwala to zachowując wszelkie dogodności pojęcia nieskończoności konforemnej i asymptotycznej płaskości, rozpatrywać również przestrzenie, zawierające czarne dziury.
Inną ważną okolicznością jest to, że w przypadku obecności czarnej dziury ℑ+ już nie obrazuje oddzielnej powierzchni Cauchy’ego. Teraz taką powierzchnią jest suma ℑ+ ∪ H+ ( zobacz rys. 5.5 ), gdzie H+ - horyzont zdarzeń ( brzeg czarnej dziury ). Dlatego też stan próżniowy na takiej powierzchni Cauchy’ego przedstawia się w postaci iloczynu tensorowego :
| 0 >out = | 0 >ℑ- ⊗ | 0 >H+
Okazuje się ,że konkretny wybór | 0 >H+ ( powiązany z trudnościami w określeniu pojęcia cząstki w obszarze silnego pola grawitacyjnego ) jest nie istotny, jeśli interesujemy się charakterystykami cząstek tylko na ℑ+. W takim przypadku następuje naturalna faktoryzacja pełnej przestrzeni stanów Ξout względem przestrzeni, generowanej przez próżnie
| 0 >H+ .
Chociaż stan końcowy opisywany jest przez wektor należący do Ξout i jest on stanem szczególnym, przy obliczaniu obserwabli na ℑ+ musimy wykorzystywać macierz gęstości.
Przedstawiona w tym rozdziale metoda kwantowania w przestrzeniach asymptotycznie płaskich może być bezpośrednio uogólniona na przypadek cząstek o niezerowym spinie i wykorzystana w różnorodnych zagadnieniach, w tym również w budowie macierzy S teorii pól bezmasowych w standardowej przestrzeni płaskiej.
Na zakończenie pracy chciałbym wyrazić wdzięczność I. A Egorowoj oraz W. S. Kupinskomu za pomoc w przygotowaniu rękopisu.
************************************************************************************************