W czasoprzestrzeni asymptotycznie płaskiej ( M, gαβ ) :

1) ∂Ω/x^µ ≠ 0 na i (∂Ω/∂x^µ )(∂Ω/∂x^ν ) = 0 na ℑ, tj. ℑ jest hiperpowierzchnią izotropową.

2) ℑ składa się z dwóch nie przecinających się części ℑ = ℑ+ ∪ ℑ- , przy czym każda z nich posiada topologię R × S2 ,a cała czasoprzestrzeń M posiada topologie R4.

3) ΨABCD = 0 na ℑ , tj. ( M, gαβ ) jest płaska na nieskończoności.

4) zachodzi własność kolejnego (sukcesywnego ) zdegenerowania , tj. wzdłuż dowolnej geodezyjnej izotropowej γ, uchodzącej na ℑ+ , współczynniki spinorowe tensora Weyla zanikają według następującej zasady :

Ψ0 ~ r −5 , Ψ1 ~ r −4 , Ψ2 ~ r −3 ,Ψ3 ~ r −2 , Ψ4 ~ r −1 gdzie : r – parametr kanoniczny wzdłuż γ.

Na ℑ+ ( i analogicznie na ℑ- ) dogodnie jest wprowadzić współrzędne w następujący sposób ( rys. 5.3 )

Rys. 5.3

Ponieważ ℑ+ jest hiperpowierzchnią izotropową, to generowana jest ona poprzez dwuparametryczny zbiór krzywych izotropowych ( jej tworzących ). Ponieważ tworzące ℑ+ znajdują się w relacji wzajemnie jednoznacznej z S2 ( punkt 2 stwierdzenia 5.3.1 ), to mogą one być sparametryzowane poprzez zespolone współrzędne stereograficzne (ζ , ζ- ) na tej sferze. Na ℑ+ można wybrać jednoparametryczny zbiór nie przecinających się przekroi przestrzennopodobnych ( każde z nich jest izomorficzne S2 ) i ponumerować ich monotonicznie wzrastającym parametrem u, tak, że u = const. na każdym z tych przekroi. We współrzędnych ( u, ζ , ζ- ) metryka na ℑ+ ma postać :

dl2 = dζ dζ- / P2 ( u, ζ , ζ- ) (3.1)

a same współrzędne ( u, ζ , ζ- ) określone są z dokładnością do przekształceń :

ζ = ( a ζ + b ) / ( cζ + d ) , ad – bc = 1 ( odwzorowanie konforemne sfery S2 na siebie ) (3.2) u’ = G( u, ζ , ζ- ) ( przejście do nowego zbioru przekroi )

Wybór określonego układu współrzędnych na ℑ+ pozwala w sposób jednoznaczny wprowadzić współrzędne w otoczeniu ℑ+ w czterowymiarowej przestrzeni ( M^, g^αβ ) za pośrednictwem następującej procedury ( zobacz rys. 5.3 ).

Wybierzemy dowolny przekrój u = const. i rozpatrzymy geodezyjne izotropowe nie leżące na ℑ+ i przecinające ten przekrój ortogonalnie. Jak pokazano w podrozdziale 1.6 takie geodezyjne tworzą hiperpowierzchnię Σ w

czasoprzestrzeni, na Σ wybierzemy współrzędną u stałą na tej hiperpowierzchni.

Wzdłuż geodezyjnych izotropowych wybierzemy kanoniczny parametr afiniczny r^ i jeśli uwzględnimy, że geodezyjna izotropowa określona jest przez jej punkt brzegowy na ℑ+ o współrzędnych ( u, ζ , ζ- , to otrzymamy w otoczeniu ℑ+

sztywny układ współrzędnych ( u, r^ , ζ , ζ- ) określony poprzez wybór współrzędnych na ℑ+ . Można się przekonać, że w takim układzie współrzędnych metryka ma postać :

g^αβ = || 0 1 0 0 || ; A, B = 2, 3 det ( g^αβ ) = det ( g^AB ) (3.3) || 1 g^11 g^12 g^13 ||

|| 0 g^12 g^AB g^AB ||

|| 0 g^13 g^AB g^AB ||

Przy przekształceniach konforemnych, geodezyjne izotropowe przechodzą w geodezyjne, dlatego rozpatrzona powyżej procedura określa ustalony układ współrzędnych ( u, r^ , ζ , ζ- ) w fizycznej czasoprzestrzeni ( M, gαβ ) , a metryka w tych współrzędnych zadana jest wyrażeniem :

ds2 = Wdu2 + 2Bdudr – r2 hAB ( dxA – Uadu ) ( dxB – Ubdu ) (3.4)

gdzie : A, B = 2, 3 ; W, B, UA , hAB – funkcje zmiennej xα, a współrzędne xA są stałe wzdłuż promieni świetlnych, przy czym :

lim (ds2 ) = du2 + 2dudr – r2 ( dυ2 + sin2υ dφ2 ) (3.5)

r→ ∞

Wymóg istnienia współrzędnych u0 ≤ u ≤ u1 ; r0 ≤ r < ∞ ; 0 ≤ υ < π ; 0 ≤ φ < 2π w których metryka przyjmuje postać (3.4), a funkcje W, B , UA i hAB w obszarze r → ∞ zachowują się tak, że spełniony jest warunek (3.5), przy spełnieniu pewnych dodatkowych założeń dotyczących ich zachowania asymptotycznego tych funkcji, może być postawiony w charakterze definicji przestrzeni asymptotycznie płaskiej. (* Dokładniej omówienie tego zagadnienia przedstawiono w pracach [8, 14] *).

Na przykładzie płaskiej czasoprzestrzeni widzieliśmy już , że grupa ruchów w czasoprzestrzeni ( M, ηαβ ) generuje grupę przekształceń na ℑ+ i na ℑ-. W ogólnym przypadku w zakrzywionej czasoprzestrzeni ( M, gαβ ) nie ma żadnej symetrii. W przestrzeni asymptotycznie płaskiej przy oddalaniu się od źródeł ( r → ∞ ) odchylenie przestrzeni od przestrzeni płaskiej dąży do zera i naturalnym jest oczekiwać, że chociaż ścisła symetria nie występuje, istnieje jednak symetria „asymptotyczna”. Aby opisać to pojęcie dokładniej potrzebować będziemy następującego stwierdzenia [14, 191 ] :

Stwierdzenie. Funkcja f( u, r, x2, x3 ) nazywa się asymptotycznie gładką rzędu r-k : f : O*( r-k ) , jeśli we współrzędnych (3.4) zachodzą następujące równości :

f = O(r−k ) ; ∂f/∂r = O( r−k −1 ) ; ∂f/∂u, ∂f/∂x2 , ∂f/∂x3 = O(r−k ) (3.6)

∂2f/∂r2 = O( r−k−2 ) ; ∂2f/∂r∂u = ...= O( r−k−1 ) (3.6)

∂2f/∂u∂x2 = ... = O( r-k ) , ... itd.

Jeśli czasoprzestrzeń dopuszcza pewną grupę ruchów, to pole wektorowe ξµ , generujące taki ruch spełnia równanie Killinga :

ξα; β + ξβ; α = 0 (3.7)

Dla dowolnego pola wektorowego ξµ w czasoprzestrzeni oznaczymy przez δgαβ wielkość δgαβ = - ξα; β - ξβ; α . Stwierdzenie. Mówimy, że czasoprzestrzeń dopuszcza grupę asymptotycznych symetrii [14], jeśli istnieje nietrywialne pole wektorowe ξµ , dla którego we współrzędnych (3.4) :

δg11 = 0 , δg1A = 0 , δgAB gAB = 0 (3.8)

δg00 = O*( r −1 ) , δg1A = O*(1) , δgAB = O*( r −2 ) , δgAB = O*(r ) Podobne przekształcenia zachowują postać i własności asymptotyczne (3.4).

Grupa, generująca przekształcenia związane z takimi polami wektorowymi ξµ nazywa się grupą Bondiego-Metznera-Sachs’a ( w skrócie grupą BMS )

Penrose ( [11, str. 180 ] ) pokazał, że grupę BMS jako grupę przekształceń hiperpowierzchni ℑ+ ( lub ℑ- ), zachowującą silną geometrię konforemną na tej powierzchni. Geometria ta wprowadzana jest na ℑ+ w następujący sposób.

Wykorzystując to, że przy przekształceniu (3.3) wielkość P zmienia się według prawa :

P’ = G−1P (3.9)

I wybierając nową współrzędną u’ możemy osiągnąć, to że powierzchnie u’ = const. będą izometryczne do sfery jednostkowej , tj. P’ = P0 = ½ ( 1+ ζζ- ).

W takiej metryce na ℑ+ przesunięcie i rozpływ tworzących są równe zeru. W tym przypadku możemy, zatem określić przeniesienie równoległe wektorów na ℑ+ z pomocą określonych na ( M^, g^αβ ) symboli Christoffela.

Takie zasady przenoszenia wektorów, pozwalają ustno wić równoważność między kątami izotropowymi, która nie jest zależna od konkretnego wyboru metryki g^αβ.

Współrzędne ( u, ζ ,ζ- ) na ℑ± w których dl2 = dζdζ- / P02 nazywają się „współrzędnymi Bondiego”.

Przekształcenia zachowujące silną geometrię konforemną, pokrywają się z przekształceniami (3.2) , (3.3), za pomocą których dokonuje się przejście między jednymi współrzędnymi Bondiego a drugimi takimi współrzędnymi. Można się przekonać, że określone przez takie warunki przekształcenia, tworzące grupę BMS, mają postać :

ζ’ = ( aζ + b) / ( cζ + d ) , u’ = K( u + α(ζ ,ζ- ) ) (3.10) gdzie :

K = ( 1 + ζζ- ){ [ ( aζ + b)/ (a-ζ- + b- )] + [( cζ + d )/ (c-ζ- + d- )] }−1 (3.11) α(ζ ,ζ- ) – dowolna funkcja rzeczywista.

Grupa BMS jest szersza niż grupa Poincare’go symetrycznej i płaskiej czasoprzestrzeni. Jeśli porównać (3.10) z przekształceniami (2.14) indukowanymi na ℑ+ poprzez działanie w ( M, ηαβ ) grupy Poincare’go, to widać, że przy : α(ζ ,ζ- ) = a0 + a1 [ (ζ + ζ- )/ ( 1 + ζζ- ) ] + a2 [ (ζ − ζ- )/ i ( 1 + ζζ- ) ] + a3 [ (ζζ- − 1 ) / ( 1 + ζζ- ) ] ≡

Przekształcenia (3.13) przy α(ζ, ζ- ) zadanym przez zależność (3.12), tworzą podgrupę translacji. Struktura grupy BMS została zbadana przez Sachs’a [14], który dowiódł następującego :

Stwierdzenie 5.3.2 Supertranslacje (3.13) tworzą abelową, normalną podgrupę grupy BMS, odpowiadająca jej grupa ilorazowa jest izomorficzna ( ortochronicznej ) grupie Lorentza. Translacje tworzą czterowymiarową podgrupę normalną, grupy BMS. Jedyną czterowymiarową podgrupą normalną grupy BMS jest podgrupa translacji.

McCarthy [185] na prostym przykładzie dwuwymiarowej przestrzeni, pokazał, że pojawienie się grupy BMS ( istotnie szerszej niż grupa Poincare’go ), w charakterze grupy asymptotycznych symetrii związane jest z wolnym zanikaniem pola grawitacyjnego w nieskończoności. Reprezentacje grupy BMS były rozpatrywane w pracach [186 – 190].

To, że czteroparametryczna podgrupa translacji może być jednoznacznie wydzielona z pełnej grupy BMS, pozwala w naturalny sposób zdefiniować energię –pęd zarówno samego układu grawitacyjnego w przestrzeni asymptotycznie płaskiej, jak i różnych pól fizycznych w zadanej przestrzeni asymptotycznie płaskiej.

Trudności pojawiają się głownie, przy próbie określenia momentu pędu układu i pojęcia centrum mas. Trudności te związane są z niejednoznacznością wydzielenia podgrupy Lorentza z grupy BMS.

5.4 Pola bezmasowe w przestrzeni asymptotycznie płaskiej.

Pojęcie nieskończoności konforemnej ℑ czasoprzestrzeni, okazuje się ważne przy badaniu własności asymptotycznych pól bezmasowych. Problem ten w sposób systematyczny był badany przez Penrose’a [10, 191]. Płodność idei

nieskończoności konforemnej, jest związana bezpośrednio z konforemną inwariantnością równań dla pól bezmasowych.

Przypomnijmy, że równanie pola bezmasowego o spinie s > 0 w formie spinorowej ma postać (3.7.30) :

∂A1A’ φA1...A2s = 0 , s = ½ , 1, 3/2, ... (4.1)

Przy definiowaniu nieskończoności konforemnej dla fizycznej czasoprzestrzeni ( M, gαβ ) wprowadziliśmy przestrzeń ( M^, g^αβ ), taką , że :

g^αβ = Ω2 gαβ , g^αβ = Ω-2gαβ (4.2)

Jeśli przyjąć, że symbole σµAB i σAB’

µ wiążące spinory i tensory przy przekształceniu (4.2) się nie zmieniają, to zależność (3.3.12) pozwala wnioskować, że :

ε^AB = Ω εAB , ε^AB = Ω-1εAB (4.3)

ε^A’B’ = Ω εA’B’ , ε^A’B’ = Ω-1εA’B’ (4.3)

Przez ΓAA’ oznaczymy wielkość Ω-1∂AA’Ω i niech ∂^AB’ – będzie kowariantną pochodna spinorową względem metryki g^αβ wtedy można się przekonać, że :

∂^AB’ TDD’...

( aby dowieść tę zależność wystarczy pokazać, ze określony w ten sposób operator ∂^AA’ spełnia aksjomaty (3.6.1) – (3.6.7) )

Wykorzystując (4.4) łatwo sprawdzić, ze jeśli φA1...A2s jest rozwiązaniem równania (4.1), to :

φ^A1...A2s = Ω−1 φA1...A2s (4.5)

jest rozwiązaniem równania :

∂^ A1A’φ^A1...A2s = 0 (4.6)

tj. łatwo jest dowieść konforemnej inwariantności równania (4.1).

Konforemna inwariantność równań Maxwella, jest przypadkiem szczególnym ( przy s = 1 ) rozpatrzonej wcześniej konforemnej inwariantności równania (4.1), łatwo ustanawianej w formie tensorowej, jeśli uwzględnimy, że F^αβ = Fαβ ,a równania Maxwella zapiszemy w postaci :

∂α ( √−g gαβ gγδ Fβδ ) = 0 , ∂[α Fβγ] = 0 (4.7)

Skalarne pole bezmasowe, opisywane równaniem :

( − 1/6 R ) φ = 0 (4.8)

również jest konforemnie inwariantne.

Własność konforemnej inwariantność równania (4.1) pozwala ustanowić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną między polami bezmasowymi φA1...A2s w fizycznej czasoprzestrzeni ( M , gαβ ) i rozwiązaniami φ^A1...A2s analogicznego równania (4.6) w przestrzeni ( M^ , g^αβ ).

Definicja. Pole bezmasowe φA1...Am nazywamy asymptotycznie regularnym, jeśli pole φ^A1...Am na M^, związane jest z φA1...Am zależnością (4.5) w obszarze M^ \ ℑ oraz jest ono ograniczone i ciągłe na ℑ.

Warunek asymptotycznej regularności wydziela klasę rozwiązań równania (4.1), charakteryzujących się „dobrymi”

własnościami asymptotycznymi i odgrywa rolę analogiczną do warunku promieniowania Sommerfelda.

W szczególności nieskończona ( jeśli chodzi o długość ) fala monochromatyczna, nadchodząca z nieskończoności, nie spełnia warunku asymptotycznej regularności.

Aby bardziej szczegółowo omówić własności asymptotyczne pól bezmasowych, wybierzemy dowolną geodezyjną izotropową γ : xµ = xµ (r), gdzie r – parametr kanoniczny wzdłuż γ, niech ζ

-0 będzie takim spinorem, że dxµ /dr ≡ l- = σµAA’ ζA

0 ζ-A’

0’ i ζA

0 przenosi się równolegle wzdłuż γ. Wybierzmy dodatkowy spinor ζA 1 przenoszony równolegle wzdłuż γ, taki, że ζ0AζA

1= 1.

Przez φ(i ) oznaczymy wielkości : φA1...AiAi+1...AmζA11... ζAi1 ζAi+10 ... ζAm 0.

Penrose [191] dowiódł następującego stwierdzenia.

Stwierdzenie 5.4.1. Dla dowolnego pola asymptotycznie regularnego φA1...Am w przestrzeni asymptotycznie płaskiej i