Analogia hydromechaniczno-termiczna

Równanie różniczkowe ruchu płynu: Naviera - Stokesa (5.4) i równanie róż-niczkowe Fouriera – Kirchhoffa (1.47) dla ustalonego pola temperatury, gdy ∂ t/∂τ = 0, mają zbliżone postacie matematyczne.

Postacie te stają się p r a w i e i d e n t y c z n e , gdy w równaniu ruchu (5.4) pominie się siłę masową ( jako nieistotną w konwekcji wymuszonej oraz g) gradient ciśnienia ( P ), jako pomijalnie mały w wielu procesach konwek-cyjnych, a ponadto w równaniu pola temperatury pominie się wewnętrzne źródła ciepła (q ) ze względu na pomijalnie małe ciepło tarcia. _v

Otrzymuje się wówczas następujące zapisy tych równań:

albo dla laminarnego przepływu płaskiego wzdłuż ścianki, z którą pokrywa się oś x-ów (wtedy: w y = w z = 0):

Jeżeli więc dla jakiegoś płynu lepkość kinematyczna ν [m²/s] (którą można uważać za dyfuzyjność pędu) jest równa dyfuzyjności cieplnej a [m²/s], tj. gdy:

to funkcje: w x (x, y) i t(x, y) będące rozwiązaniami obu równań (dla tych sa-mych warunków brzegowych) powinny być pod względem matematycznym również i d e n t y c z n e .

Pokazuje to rys. 5.9 przedstawiający profile bezwymiarowych temperatur:

dla trzech różnych wartości liczb Prandtla.

Dla Pr = 1 profil temperatury pokrywa się z bezwymiarowym profilem prędkości:

gdzie: wo - jest prędkością w osi przewodu.

Wtedy gdy ν ≠ a, a więc: Pr ≠ 1, bezwymiarowe profile temperatury i prędkości nie są już tożsame, ale ich przebiegi zachowują analogiczny cha-rakter (rys. 5.9). Stąd zwykło się mówić o a n a l o g i i hydromechanicz-no - termicznej.

Rys.5.9 Profile temperatur dla różnych wartości liczby Prandtla na tle profilu prędkości w rurze okrągłej

Analogia ta ma jednak nie tylko formalny, tj. matematyczny charakter.

U jej podstaw leży wspólna natura m i k r o s k o p o w a obu zjawisk. Otóż przesuwające się względem siebie sąsiednie warstwy płynu, odległe o dłu-gość średniej drogi swobodnej drobin 1o , mają następujące:

prędkości bezwzględne: w x i temperatury: t i

Pokazuje to schematycznie rys. 5.10.

W rozpatrywanym przepływie laminarnym nie ma oczywiście makro-skopowych ruchów poprzecznych (bo wy = 0), ale spośród chaotycznych, mikroskopowych ruchów drobin część przemieszczeń ma miejsce w kie-runku sąsiednich warstw płynu, jak to zaznaczono na rys.5.10. Te dyfun-dujące molekuły przenoszą tam swój pierwotny pęd, będący iloczynem masy wszystkich przeniesionych drobin i prędkości makroskopowej tej warstwy płynu, z której przybyły. W rezultacie sąsiednie warstwy są od-powiednio hamowane lub przyspieszane przez import drobin o mniejszym pędzie do szybszej strugi lub przez import drobin o większym pędzie do strugi powolniejszej.

R y s . 5 . 1 0 S c h e m a t d r o b i n o we g o t r a n s p o r t u p ę d u i e n e r g i i c i e p l n e j w p r z e p ł y w i e l a m i n a r n y m

Makroskopowo manifestuje się to powstaniem napręŜeń stycznych na powierzchni kontrolnej między obydwiema rozpatrywanymi warstwa- mi. NapręŜenia te określone są zaleŜnością Newtona (5.53) i są miarą lepkości dynamicznej η [Ns/m²] lub kinematycznej ν [m²/s].

Te same dyfundujące drobiny przenoszą do sąsiedniej warstwy płynu swoje energie kinetyczne (mikroruchów), a te stanowią główną część ener-gii cieplnej, która, jak wiadomo, jest energią kinetyczną mikroruchów dro-bin i energią potencjalną tych drodro-bin w polu ich wzajemnego oddziały-wania.

Makroskopową miarą średniej prędkości ruchów drobin jest tempera-tura. Dyfundujące z warstwy o wyŜszej temperaturze drobiny mają, śred-nio biorąc, wyŜszą energię i na odwrót: wychodzące z warstwy o niŜ-szej temperaturze molekuły mają, średnio biorąc, niŜszą energię kinetycz-ną. RóŜnica tych mikroskopowych strumieni energii jest ciepłem przenie-sionym między sąsiednimi warstwami płynu – zgodnie z prawem Fouriera (1.4). Mikroskopowymi właściwościami płynu, za pomocą których mani-festuje się ten drobinowy transport energii, są: przewodność cieplna λ [W/mK] i dyfuzyjność cieplna a = λ/cp·ρ

Molekularne zachowanie się gazów daje się opisać dość prosto (w przeciwieństwie do cieczy, których teoria nie jest jeszcze w pełni opracowana), tak Ŝe stosując zasady kine-tycznej teorii gazów moŜna ująć podany wyŜej słowny opis zjawiska w zaleŜności matematyczne i z nich wyprowadzić wzór na lepkość gazu:

w którym: µ [kg] - jest masą drobiny, d [m] - jej średnicą, k = 1,3805·10^-23 [Nm / K]

stałą Boltzmanna, a T [K] - temperaturą bezwzględną.

Podobnie moŜna otrzymać wzór na przewodność cieplną:

Wzory te odnoszą się w szczególności do gazów jednoatomowych.

Szczegóły wyprowadzeń można znaleźć np. w książce St. Wiśniewskiego*) lub w podręcznikach fizykochemii.

Pomimo uproszczeń wprowadzonych przez teorię kinetyczną (pominięcie pola sił wzajemnego oddziaływania drobin, wprowadzenie nieprecyzyjnego pojęcia średnicy dro-biny i i.) wzory te pokazują, od jakich wielkości lepkość i przewodność cieplna ga-zów zależą. Np. obie wielkości n i e z a l e ż ą o d c i ś n i e n i a , co zostało potwier-dzone eksperymentalnie do ok. 2 MPa (powyżej tego ciśnienia następuje powolny ich wzrost).

W przepływie turbulentnym analogia hydromechaniczno – termiczna występuje również. Jej fizyczną podstawą są ruchy poprzeczne o charakte-rze m a k r o s k o p o w y m : przypadkowym pcharakte-rzemieszczeniom we wszyst-kich kierunkach, a więc i do sąsiedniej (w kierunku osi y ) warstwy płynu (poruszającego się z prędkością w x na kierunku osi x) podlegają już nie tyl-ko drobiny ale makrostyl-kopowe porcje płynu, które przemieszczają się w ramach drobnych wirów turbulentnych (rys.5.11). Porcje te wraz z substancją przenoszą pierwotny pęd i pierwotną energię cieplną. Inten-sywność przenoszenia pędu scharakteryzowana jest przez tzw. dyfuzyj-ność wirową ετ. Wywołuje ona wraz z lepkością kinematyczną („mole-lekularną dyfuzyjnością pędu”) łączne naprężenie styczne między warst-wami płynu określone znanym już wzorem (5.54).

Wzór ten można przedstawić w nieco zmienionej postaci:

(5.67)

R ys . 5 . 1 1 S c h e m a t wir o we g o t r a n s por t u pędu i energii cieplnej w pr z epł y wi e t ur b u l e n t nym

Dyfuzyjność wirowa ετ pobliżu ścianki (gdzie przepływ jest laminar-ny) nie występuje, a wzór (5.54) redukuje się do wzoru (5.53). Pojawia się ona dopiero w obszarze przejściowym, gdzie wielkość ετ staje się współ-mierna z ν; natomiast w obszarze turbulentnym jest ετ >> ν tak, że ν można tam pominąć.

W przepływie turbulentnym prędkość i temperatura podlegają szybko-zmiennym fluktuacjom, uchwytnym jedynie przez czułe przyrządy pomia-rowe. W normalnym opisie (tzw. quasi-stacjonarnym) operuje się wartoś-ciami średnimi w x i t. W niniejszym wykładzie nie będziemy szczegóło-wo rozpatrywali natury ani równań różniczkowych przepływu turbulent- nego, a pod oznaczeniami w x i t rozumieć będziemy te średnie wartości

_____________

*) St. Wiśniewski „Wymiana ciepła” PWN, Warszawa 1979.

prędkości przepływu w_x, jakie mierzy się np. rurką Prandtla i te śred- nie temperatury t , jakie mierzone są zwyczajnymi termometrami.

Ponieważ intensywność przemieszczania porcji płynu (w wirach) jest miarodajna dla intensywności przemieszczania wszystkich wielkości związanych z tymi porcjami (nie tylko intensywności pędu), więc dla przenoszenia energii cieplnej można wprowadzić dyfuzyjność wirową ciepła ε q, analogiczną do ε τ.. Wówczas przenoszony między

W drugim skrajnym przypadku: w obszarze pełnej turbulencji jest εq >> a.

Natomiast w obszarze przejściowym wielkości εq i a są do siebie zbliżone.

Obie wielkości ετ i εq mają ten sam wymiar: [m²/s], a że wyrażają intensywność tego samego mechanizmu, transportu wirowego, można oczekiwać, że będą sobie równe:

Równanie (5.68) można również przedstawić w następującej formie:

(5.70)

Równania (5.70) i (5.67) z warunkiem (5.69) stają się pod wzglę-dem matematycznym identyczne, gdy a = ν, czyli dla Pr = ν/a = 1. To znaczy, że dla identycznych (pod względem matematycznym) warunków brzegowych rozwiązania tych równań w postaci bezwymiarowych pro-fili prędkości i temperatury stają się również identyczne. zmierzone w turbulentnym przepływie powietrza przez rurę okrągłą przy Re = 80000. Profile te są, zgodnie z przewidywaniami, bardzo do siebie zbliżone chociaż nie identyczne, gdyż dla powietrza jest: Pr = 0,7 ≠ 1.

Rys.5.12 Profile temperatury i prędkości zmierzone w turbulentnym przepływie powietrza przez przewód okrągły

Wobec złożoności przepływu turbulentnego i niedostatków jego teorii, skuteczną metodą a n a l i t y c z n e g o ujmowania procesu przejmowania ciepła jest metoda ana-logii hydromechaniczno - termicznej. Pozwala ona określić wielkości cieplne z łatwiej-szych do zmierzenia wielkości hydromechanicznych.

Pierwszy użytkowy wzór oparty na tej analogii wyprowadził Osborne Reynolds (1874). Był on zresztą pierwszym, który zwrócił uwagę na istnienie analogii między wymianą pędu i energii cieplnej.

Zgodnie z tym, co stwierdzono wyżej, dla: ν = a i ετ = εq, równania (5.67) i (5.70) stają się identyczne pod względem matematycznym, a ich rozwiązania w postaci bez-wymiarowego profilu prędkości i bezbez-wymiarowego profilu temperatury są również iden-tyczne. Skoro tak jest, to i gradienty obydwu profili na ściance kanału muszą być identyczne:

(5.71)

a wobec:

(5.72) jest: cp·η = λ, i równanie (5.71) można napisać w postaci:

(5.73)

Równanie definicyjnie na współczynnik przejmowania ciepła (5.2) może być zapisane przy pomocy temperatury bezwymiarowej:

Jeżeli z tego wyznaczy się pochodną:

to wtedy równanie (5.2) przyjmie postać:

(5.74)

Jak widać, prawe strony równań (5.73) i (5.74) są identyczne, zatem i lewe strony są sobie równe:

(5.75)

Pochodna po prawej stronie wyraŜająca gradient prędkości przy ściance (gdzie nie ma turbulencji i ετ = 0) jest równa na mocy (5.67):

(5.76)

Opór przepływu, wywołujący spadek ciśnienia 2P w przewodzie, spowodowany jest wyłącznie przez napręŜenia styczne. Zatem warunek równowagi siły pokonującej ten opór i siły tarcia:

(5.77) pozwala, po wprowadzeniu znanej zaleŜności na opór przepływu w przewodzie o średnicy d i długości L:

(5.78) w której ζ jest bezwymiarową liczbą oporu tarcia (Darcy - Weissbacha), uzyskać nas-tępujące wyraŜenie na napręŜenie styczne w płynie:

(5.79)

Teraz naleŜy juŜ tylko podstawić (5.79) do (5.76), a to z kolei do (5.75), aby otrzy-mać związek:

(5.80) który moŜe być sprowadzony do postaci bezwymiarowej:

(5.81)

Związek ten nazywa się a n a l o g i ą R e y n o l d s a i pozwala wyznaczyć licz-bę Stantona (lub Nusselta, albo wprost współczynnik przejmowania ciepła α) ze zmierzo-nej liczby oporu tarcia ζ , tzn. bez jakichkolwiek pomiarów termicznych! uw-zględnieniem pełnej struktury warstwy przyściennej i występujących w niej zaleŜ-ności, przez co otrzymane wzory waŜne są dla szerszego zakresu liczb Prandtla: Pr ≠ 1.

We wszystkich analogiach, co naleŜy podkreślić, opór przepływu spowodowany być moŜe jedynie przez tarcie, zgodnie z równaniem (5.77), tak Ŝe otrzymane z nich wzory dotyczą t y l k o p r z e p ł y w u przez p r z e w o d y i k a n a ł y zamknięte oraz przypadku o p ł y w u p ł y t y p ł a s k i e j . Nie mają one zastosowania do opły- wu ciał wykazujących opór kształtu, jak np. prostopadły opływ rur, płyt itp.

4.3. Przejmowanie ciepła w przepływie wewnątrz kanałów