Podobieństwo przepływu płynów (fluidomechaniczne) Pozostajemy przy założeniu stacjonarności przepływu i traktujemy

płyn jako nieściśliwy. Przepływ odbywać się musi w układach podob-nych pod względem geometrycznym,

tzn. mających kąty identyczne, a od-powiadające sobie wymiary liniowe proporcjonalne. Interesującym nas układem niech będzie np. przewód z rys. 5.2. Wszystkie wielkości dla tego przewodu będą oznaczane zwyczajnie, natomiast dla modelu tego przewodu otrzymają apostrof ('), są one bowiem inne, nawet przepływający płyn może być in- nego rodzaju.

Równanie ciągłości (5.9) nie daje żadnych ograniczeń dla podobieństwa.

Pozostają równania ruchu płynu lepkiego, które wystarczy napisać dla jednego tylko kierunku, np. dla osi x (z pozostałych otrzyma się identyczne wyniki), Należy jednak zauważyć, że równania Naviera - Stokesa. obowiązują dla płynu, w którym nie ma różnic temperatury, tj. dla przepływu izotermicznego. W zagadnieniach przenoszenia ciepła natomiast zawsze występują różnice temperatury w płynie i wywołane nimi siły w y p o r u , a przepływ jest n i e i z o t e r m i c z n y . Zatem prze-pisując dla takich warunków równanie (5.5) trzeba zastąpić w nim jed-nostkową siłę ciężkości (5.10) jedjed-nostkową siłą wyporu (5.16), wtedy otrzymuje się dla obiektu naturalnego równanie:

(5.17) Dla modelu jest analogicznie:

(5.18) Obydwa przepływy mają być podobne, a więc między odpowiednimi wiel-

kościami muszą być zachowane stałe stosunki tzw. skale podobieństwa:

(5.19)

R y s . 5 . 2 P r z e w ó d m o d e l o w y

WyraŜamy wielkości w równaniu (5.19) dla modelu za pomocą wiel-kości w skali naturalnej, np. x' = x·C_l , w'_x = w _x·C _w , ν' = ν·C_v itd.

Otrzymujemy po uporządkowaniu:

(5.20)

Warunkiem identyczności równań ruchu dla modelu i układu naturalnego jest moŜliwość skrócenia wyrazów zawierających skale podobieństwa w równaniu (5.20). MoŜliwość ta zachodzi, gdy wszystkie te wyrazy są so-bie równe:

(5.21) Wtedy ilościowy opis zjawiska modelowego będzie taki sam jak natu- ralnego i zastosowane skale podobieństwa (C₁, C _w ...) nie będą zniekształ- cać ilościowego opisu zjawiska w tym sensie, Ŝe wyniki liczbowe otrzy- mane z badań modelowych będą, po uwzględnieniu skal (5.19), identyczne z wynikami pomiarów uzyskanymi na obiekcie naturalnym.

Inaczej mówiąc: moŜliwość eliminacji skal z równania róŜniczkowego (i warunków brzegowych) oznacza, Ŝe równieŜ rozwiązania (pola prędkoś- ci czy ciśnienia) będą sobie równowaŜne, tj. zmienione proporcjonalnie według tych skal. Będą więc podobne w myśl podstawowej definicji po-dobieństwa (str.116).

Z potrójnej równości (5.21) wydzielamy kolejno pojedyncze równania wyprowadzając z nich poszczególne liczby podobieństwa.

Z przyrównania skrajnych członów otrzymuje się po prostych przekształ-ceniach:

(5.21a) albo po ponownym uwzględnieniu (5.19) i uporządkowaniu:

(5.22)

Bezwymiarowe wyraŜenia (5.22), które muszą być identyczne w modelu i obiekcie naturalnym, nazywają się liczbami R e y n o l d s a *.

Równość pierwszego i drugiego członu w (5.21) prowadzi do zaleŜności:

(5.21b)

W liczniku występują tu, poza skalą liniową, jedynie skale wielkości wy-wołujących konwekcję swobodną (skale składające się na skalę siły wyporu), natomiast w mianowniku jest skala prędkości, a więc skala wielkości która w zasadzie charakteryzuje konwekcję wymuszoną. Bowiem, gdy chodzi o konwekcję swobodną, jest to wielkość wtórna wobec siły wyporu, gdyŜ prędkość jest przez tę siłę wywołana.

_________

* Osborne Reynolds (1842 – 1912) - angielski fizyk i inŜynier

Należy więc tę skalę C w wyeliminować, aby otrzymać kryterium jednoznacznie związane z konwekcją swobodną. W tym celu z (5.21a) wyznaczamy:

i po podstawieniu do (5.21b) otrzymujemy równość:

a po uwzględnieniu (5.19) i rozdzieleniu wielkości odnoszących się do mo- delu, od tych dla układu naturalnego, dochodzimy do drugiego warunku:

(5.23)

tj. warunku identyczności bezwymiarowych liczb G r a s h o f a * . Różnica temperatur w liczbie Grashofa wyrażona jest jako:

Wreszcie równość pierwszego i trzeciego wyrażenia w (5.21) daje:

czyli warunku równości liczb E u l e r a * * :

(5.24)

Poszczególne liczby podobieństwa są wielkościami bezwymiarowy-mi, a ich nazwy ustalono umownie kierując się chęcią uczczenia pa-mięci badaczy, którzy szczególnie zasłużyli się do rozwoju danej dzie-dziny nauki.

Wchodzący w skład liczb podobieństwa wymiar liniowy jest w za-sadzie dowolny, skoro bowiem istnieje podobieństwo geometryczne, to wszystkie wymiary są do siebie proporcjonalne. W praktyce bierze się wymiar najbardziej charakterystyczny dla danego układu (np. średnica dla rury, długość dla płyty itp.}, a określa go zawsze ten, kto opracowu- je wyniki pomiarów dokonanych na modelu.

Z uzyskanych trzech liczb podobieństwa charakteryzujących nieizo-termiczne przepływy płynów dwie, a mianowicie Reynoldsa i Grashofa, zawierają wielkości zmienne (które są niezależne) wchodzące w skład warunków jednoznaczności, są to więc liczby o k r e ś l a j ą c e , natomiast liczba Eulera zawiera zmienną zależną, nie wchodzącą do tych warun-ków, w postaci ciśnienia P, jest więc liczbą n i e o k r e ś l a j ą c ą .

Zamiast ciśnienia P stosuje się przeważnie różnicę ciśnień ∆P. Re-prezentuje ona, szukany w zagadnieniach przepływowych , spadek ciśnie- nia spowodowany oporami przepływu.

_________

* Franz Grashof (1826 - 1893) - inżynier niemiecki

** Leonhard Euler (1707 - 1783) - szwajcarski matematyk i fizyk

Tak więc liczbami w a r u n k u j ą c y m i podobieństwo przepływów nieizotermicznych są liczby Reynoldsa i Grashofa. Aby przepływy pły-nów były podobne, liczby te muszą mieć identyczne wartości w odpo-wiadających sobie punktach poszczególnych przepływów:

Re = idem (5.25)

Gr = idem

Wtedy pola prędkości i ciśnień są podobne, tzn. róŜnią się jedynie skalami.

W zagadnieniach przepływowych poszukiwaną wielkością jest zaz-wyczaj opór przepływu /P. Wchodzi on w skład nieokreślającej licz-by Eulera.

Zgodnie z drugim twierdzeniem teorii podobieństwa (Buckinghama) rozwiązanie równań Naviera - Stokesa (uzyskane w szczególności na dro-dze doświadczalnej) moŜna przedstawić w postaci, w której nieokreśla-jąca liczba Eulera jest funkcją obydwu liczb określających: Reynoldsa i Grashofa:

ZaleŜność ta jest waŜna dla wszystkich przepływów podobnych, tzn. takich których powierzchnie ograniczające przepływ mają identycz-tyczne kształty (chociaŜ róŜne rozmiary) oraz wykazują idenidentycz-tyczne war-tości liczb Reynoldsa i Grashofa.

PrzewaŜnie rozwiązanie doświadczalne uzyskiwane jest od razu dla dostatecznie duŜego zakresu liczb (Re) i (Gr) tak, aby objąć moŜliwie wszystkie mogące wystąpić później w praktyce przypadki.

Liczby podobieństwa moŜna zinterpretować jako stosunki sił działających na płyn.

Szczególnie uŜyteczna jest ta interpretacja w przypadku liczby R e y n o l d s a : jest ona stosunkiem sił bezwładności i do sił lepkości.

Aby to udowodnić utwórzmy wyraŜenia na te siły odniesione do masy płynu: m = ρ·V.

S i ł a b e z w ł a d n o ś c i powodująca przyspieszenie masy m od prędkości 0 do

w którym gradient prędkości (w poprzek przepływu) wyraŜony jest przez zmianę prędkości od 0 do w na odcinku l . NapręŜenie to działa na powierzchnię A da-

Liczbę Reynoldsa można więc przekształcić następująco

Jak widać, jest ona istotnie stosunkiem sił bezwładności płynu do sił lepkości w tym płynie. Małe wartości (Re) oznaczają przewagę sił lepkości nad siłami bez-ładności - przepływ jest wtedy laminarny (uwarstwiony). Wzrost (Re) powyżej war-tości krytycznej powoduje przekształcenie przepływu w turbulentny (burzliwy) - siły bezwładności przeważają teraz nad siłami lepkości, te ostatnie nie są już w stanie stłumić pojawiających się wirów (dysypacja lepkościowa energii kinetycznej staje się niewystarczająca) i przepływ przestaje być uwarstwiony - staje się zbiorowiskiem wirów o różnej wielkości (skali).

W turbulentnych przepływach wymuszonych prądy konwek- cji swobodnej giną w ogólnej burzliwości płynu, konwekcja swobod- na nie ma tu znaczenia, a więc liczba Grashofa jest zbędna. Do stwier-dzenia podobieństwa wystarcza identyczność liczb R e y n o l d s a :

(5.26)

a rozwiązaniem równań różniczkowych przepływu jest funkcja:

Eu = f (Re)

Konwekcja swobodna (naturalna) jako jedyny rodzaj prądów w płynie występuje wtedy, gdy nie ma zewnętrznego wymuszenia przepły-wu (w = 0). Wtedy podobieństwo przepływów w geometrycznie podob-nych układach warunkuje wyłącznie identyczność

liczb G r a s h o f a :

(5.27)

Szczególny przypadek konwekcji swobodnej stanowi grawitacyjny spływ cieczy, spowodowany działaniem siły ciężkości. W tym zjawis-ku siłą masową w równaniu (5.17) jest rzecz jasna siła ciężkości (5.10), a nie siła wyporu (5.16), tak że równanie ruchu ma postać (5.5).

Warunkiem podobieństwa (jedynym) jest wtedy identyczność liczb G a l i l e u s z a :

(5.28)

Z innym szczególnym przypadkiem konwekcji swobodnej mamy do czynienia wtedy, gdy ruch konwekcyjny spowodowany jest siłami wy- poru p ę c h e r z y k ó w gazu lub pary o gęstości ρ" mniejszej od gęstości otaczającej cieczy ρ'. Siła wyporu w równaniu ruchu wyrażona jest wtedy ogólniejszym wzorem (5.12).

Warunkiem podobieństwa takiego przepływu staje się identyczność bez-wymiarowych liczb A r c h i m e d e s a :

(5.29)