RÓWNANIA KONWEKCJI

Przenoszenie ciepła między ścianką i płynem charakteryzuje współ-czynnik przejmowania ciepła określony wzorem (1.7):

a w szczególnym i najczęstszym przypadku:

(5.1)

(5.2)

Do jego określenia potrzebna jest znajomość temperatury płynu z dala od ścianki tf oraz rozkładu temperatury płynu w obszarze przyściennym:

t = f(x,y,z), z którego wynikają: gradient i temperatura ścianki tw.

Do wyznaczenia rozkładu (pola) tempera- tury w pobliŜu ścianki słuŜy równanie róŜ- niczkowe pola temperatury, którym jest rów- nanie Fouriera-Kirchhoffa dla procesu izoba- rycznego (P = const): w zagadnieniach przenoszenia ciepła jest wielkością stacjonarną (lub quasi-stacjonarną dla przepływu turbulentnego) i teŜ musi być w jakiś sposób dana.

Składowe prędkości:

w_x (x, y, z) w_y (x, y, z), w_z (x, y, z)

mogą być znane np. z pomiaru mamy wtedy do czynienia z e m p i -r y c z n y m -r o z k ł a d e m p -r ę d k o ś c i . Podstawienie ich wy-raŜeń funk-cyjnych umoŜliwia rozwiązanie równania (5.3). Zawiera ono wtedy tylko jedną niewiadomą funkcję: t (x, y, z, τ).

Mechanice płynów znane jest jednak równanie róŜniczkowe pola pręd-kości - wyprowadzone z II zasady dynamiki Newtona - noszące nazwę r ó w n a n i a r u c h u albo równania Naviera - Stokesa*) . Równanie to w przypadku przepływu stacjonarnego odnosi się wyłącznie do przepływu laminarnego, co zupełnie wystarcza, bowiem w warstwie bezpośrednio przyściennej zawsze występuje przepływ laminarny.

Równanie N a v i e r a - S t o k e s a dla stałej lepkości i stałej gęstości płynu, tzn. dla η = η_śr = const ≠ f(t) i ρ = ρ_śr ≠ f(t), ma postać ogólną:

(5.4)

W szczególności dla współrzędnych prostokątnych wyraŜają je 3 równa-nia skalarowe – przedstawione na następnej stronie

*) Por. np.: J. Bukowski, P. Kijkowski: „Mechanika płynów", PWN, Warszawa 1980.

W. Prosnak: „Mechanika płynów" t. I, PWN, Warszawa 1970.

R y s . 5 . 1 S c h e m a t p r z e j m o wa n i a c i e p ł a n a ś c i a n c e

(5.3)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

W powyższych równaniach Naviera – Stokesa występuje nowa niewiadoma funkcja: P (x, y, z) wyrażająca rozkład ciśnienia w płynie. Pozostałe wiel-kości: jednostkowa siła masowa będąca przeważnie przyśpieszeniem grawita- cyjnym: g = g = _x g_y = g .oraz lepkość kinematyczna: _z

są oczywiście znane.

Przy 4 niewiadomych funkcjach skalarnych:

wx (x, y, z) , wy (x, y, z) , wz(x, y, z)

potrzebne są, do rozwiązania hydromechanicznego (ściślej: fluido-mechanicz-nego) aspektu zagadnienia, 4 równania różniczkowe. Tym brakującym czwartym równaniem jest r ó w n a n i e c i ą g ł o ś c i :

(5.8) które w przypadku stacjonarnym ma postać:

(5.9) Równania: Fouriera - Kirchhoffa, Naviera – Stokesa i ciągłości w zupeł-ności opisują konwekcyjne przenoszenie energii cieplnej w elementarnie ma-łej objętości płynu poruszającego się ruchem laminarnym.

Równania te opisują przede wszystkim k o n w e k c j ę w y m u s z o n ą i odnoszą się do przejmowania ciepła przez ściankę, którą omywa płyn przepły-wający zarówno laminarnie, jak i turbulentnie. W tym ostatnim przypadku bowiem warstwa przyścienna jest zawsze w całości lub części laminarna (rys.

5.5 i 5.6).

W przypadku k o n w e k c j i s w o b o d n e j siłą masową nie jest siła ciężkoś-ci, ale siła wyporu.

Jednostkowa (odniesiona do 1 kg płynu) siła ciężkości:

(5.10)

musi więc zostać zastąpiona przez jednostkową siłę wyporu skierowaną przeciwnie do poprzedniej.

S i ł a w y p o r u działająca na element objętościowy płynu dV, w którym gęstość płynu ρ jest m n i e j s z a od gęstości płynu otaczają-cego ρ f , jest siłą wypadkową z: róŜnicy naporów na górną i dolną po-wierzchnię elementu (czyli pełnej siły wyporu): g·ρ f ·dV skierowanej do góry, z jednej strony i cięŜaru płynu w elemencie: g·ρ·dV skierowane-go w dół, z drugiej:

(5.11)

Zatem jednostkowa siła wyporu spowodowana mniejszą gęstością płynu w elemencie (ρ < ρ f) wynosi:

(5.12)

Jest to p r z y ś p i e s z e n i e u n o s z e n i a elementu objętościowego, tak samo jak jednostkowa siła cięŜkości (5.10) jest przyśpieszeniem grawita-cyjnego opadania.

JeŜeli róŜnica gęstości: (ρ f - ρ) spowodowana jest rozszerzalnością obję-tościową płynu (a nie róŜnicą faz), to charakteryzuje ją współczynnik roz-szerzalności objętościowej:

i wtedy:

(5.13)

albo

(5.14) czyli:

(5.15) Po podstawieniu tego do (5.11) jest:

i ostateczne wyraŜenie na jednostkową siłę wyporu ma postać:

(5.16)

w którym: 5t = t – t f jest róŜnicą temperatur płynu w elemencie (t) i je-go otoczeniu (t f). WyraŜenie (5.16) przedstawia przyśpieszenie unoszenia nagrzanego elementu płynu w funkcji róŜnicy temperatur to przyspieszenie wywołującej.

Podany wyżej zestaw równań do obliczania pola temperatury w warstwie przyściennej płynu nosi nazwę r ó w n a ń k o n w e k c j i .

Równania te wyrażają podstawowe prawa fizyki (zasady zachowa-wania: energii, pędu i ilości substancji) i opisują konwekcję w sposób zupełnie ogólny. Odnoszą się one do bardzo wielu przypadków szcze-gólnych, różniących się między sobą wieloma istotnymi cechami. Te cechy wyróżniające to tzw. w a r u n k i j e d n o z n a c z n o ś c i .

Składają się na nie:

1. warunki geometryczne - a więc kształt i rozmiary ciał, w których przebiega proces;

2. właściwości fizyczne płynu - takie jak przewodność cieplna (λ), lepkość (η), ciepło właściwe (c p), gęstość (ρ) i rozszerzalność cieplna (β);

3. warunki brzegowe - osobliwości procesu na granicy ciała, w szcze-gólności rozkłady temperatury i prędkości na tych granicach;

4. warunki czasowe - osobliwości czasowego przebiegu procesu cieplnego, w procesie stacjonarnym oczywiście nie występują.

Na przykład: Rozpatrywany jest przypadek przenoszenia ciepła podczas przepływu cieczy w rurze. Warunki jednoznaczności mogą tu być następujące:

2. METODY ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ KONWEKCJI 2.1. Metoda analityczna

Matematyczne sformułowanie problemu obejmuje:

1. równanie przejmowania ciepła (5.1) lub (5.2), 2. równanie różniczkowe pola temperatury (5.3), 3. równania ruchu (5.5)...(5.7),

4. równanie ciągłości (5.8), 5. warunki jednoznaczności.

Rozwiązanie analityczne tak postawionego problemu możliwe jest jednak tylko w szczególnych przypadkach i przy wielu założeniach upraszczających.

Na przykład: dla przejmowania ciepła podczas przepływu w rurze trzeba było przyjąć następujące założenia:

-rura absolutnie gładka o przekroju kołowym,

-ciecz nieściśliwa, właściwości fizyczne stałe i niezależne od temperatury.

-przepływ ustalony w czasie, w całości laminarny z parabolicznym rozkła-dem prędkości (a więc izotermiczny), temperatura na wlocie stała,

Uzyskane rozwiązanie tego tzw. problemu Graetza jest oczywiście waż-ne jedynie w granicach poczynionych założeń i wykazuje odchylenia od rezultatów otrzymywanych doświadczalnie w warunkach rzeczywistych.

Tak więc metoda analityczna, mimo że może dać najbardziej wnikli-wy obraz zjawiska, ma ze względu na trudności czysto matematyczne oraz niezbędne w niej założenia idealizacyjne, raczej ograniczone znaczenie.

Zastosowanie m e t o d n u m e r y c z n y c h i komputera szczególnie w połączeniu z gotowymi, ale i kosztownymi, programami do obliczeń flu-idomechanicznych (np. „Fluent” lub CFD) znakomicie rozszerza możliwoś-ści uzyskiwania rozwiązań na drodze czysto matematycznej. Jest to szcze-gólnie przydatne w odniesieniu do aparatury o dużym stopniu odpowie-dzialności, kiedy duży nakład pracy programistycznej staje się opłacalny, a połączenie z badaniami doświadczalnymi pozwala zweryfikować otrzy-mane rezultaty. Wielką zaletą tej metody jest możliwość dogłębnej ana-lizy przebiegu zjawiska.

2.2. Metody analityczno - doświadczalne

Metody te były długo jedynym spolegliwym sposobem badania zjawisk przejmowania ciepła i uzyskiwania rezultatów potrzebnych w praktyce in-żynierskiej.

Należy tu wspomniana wyżej możliwość podstawienia do równania Fouriera - Kirchhoffa wartości składowych p r ę d k o ś c i uzyskanych z p o m i a r u w przepływie rzeczywistym i wyznaczenia następnie rozkła-du temperatury przez całkowanie tego równania. Mając ten rozkład obli.-licza się następnie współczynnik przejmowania ciepła α z równania (5.1).

Sposób ten eliminuje konieczność rozwiązywania równań: ruchu i ciąg-łości zmniejszając znacznie trudności matematyczne z jednej, a uprosz-czenia idealizacyjne z drugiej strony.

Można z kolei ominąć równanie różniczkowe pola temperatury (5.3) przez bezpośredni p o m i a r r o z k ł a d u t e m p e r a t u r y w pobliżu ścian-ki na obiekcie rzeczywistym, wyznaczenie gradientu i obliczenie α z rów-nania (5.1).

Można wreszcie zrealizować podejście w p e ł n i e m p i r y c z n e wyzna-czając α z pomiaru, na rzeczywistym obiekcie, wielkości wchodzących do równania wyrażającego prawo Newtona (1.6). Otrzymany rezultat uw-zględnia wszystko, co ma wpływ na zjawisko, bo całkowania równań kon-wekcji dokonuje tu sama natura, ale jest on najmniej analityczny w sen-sie wglądu we wzajemne zależności między wielkościami determinujący-mi przebieg zjawiska i najmniej ogólny w sensie możliwości zastosowa-nia go do różnych pojawiających się w praktyce inżynierskiej przypadków.

Ten ostatni mankament może być usunięty przez oparcie się na p o -d o b i e ń s t w i e z j a w i s k f i z y c z n y c h i uogólnienie otrzymanych na drodze czysto doświadczalnej rezultatów na całą klasę przypadków, które łączy podobieństwo geometryczne i fizyczne. Zasady, na jakich odbywa się to uogólnienie, ujmuje teoria podobieństwa uważana w ogólności za teorię eksperymentu.

2.3. Metoda analogowa

Metoda ta dostarcza wzorów użytecznych w praktyce inżynierskiej wykorzystując podobieństwo matematycznych postaci równań różniczko-wych: przepływu płynu i pola temperatury.

Szczególnie gdy pominie się niektóre człony tych równań, to zbliżają się one do matematycznej identyczności. Pominięcia te ograniczają zastoso-sowanie metody analogowej do k o n w e k c j i w y m u s z o n e j . Identycz-ność równań różniczkowych wraz z identycznością warunków brzegowych prowadzi do identyczności funkcji całkowych, tj. rozkładów prędkości lub ciś-nień w pierwszym i temperatur w drugim przypadku. Pozwala to na wyko-rzystanie wyników, łatwiejszych do przeprowadzenia, badań przepływowych do rozwiązania problemów cieplnych. Jednak równania dla obu zjawisk są identyczne tylko w szczególnym przypadku. Ogólnie jednak biorąc pozostają w pewnej relacji zwanej a n a l o g i ą h y d r o m e c h a n i c z n o - c i e p l n ą . Ma ona zastosowanie w analizie wymuszonych przepływów t u r b u l e n t -n y c h wew-nątrz przewodów zamk-niętych i wzdłuż płyt płaskich. Dla tych przypadków dostarcza ona wzorów użytkowych o dość dobrej dokładności jak np. wzór (5.90) podany dalej.

Sama metoda analogii hydromechaniczno - termicznej jest wyjaśniona w podrozdziale 4.2.

3. ZASTOSOWANIE TEORII PODOBIEŃSTWA