Beta konwergencja

Jak już wspominano, konwergencja typu beta zachodzi, jeśli obszary o początkowo mniejszej wartości badanej cechy (np. PKB per capita) wykazują szybsze tempo wzrostu niż obszary o początkowo jej wyższej wartości. Statystycznym narzędziem weryfikacji tego faktu są najczęściej modele ekonometryczne, w których zmienną objaśnianą jest tempo wzrostu badanej cechy, a zmienną objaśniającą jej począt-kowa wartość. Jeśli jest to jedyna zmienna objaśniająca, to testowana jest hipo-teza o występowaniu konwergencji absolutnej lub bezwarunkowej. Jeśli w modelu występują dodatkowe czynniki warunkujące wzrost, to testowana jest hipoteza o konwergencji warunkowej. Weryfikacji obu typów konwergencji można doko-nać w oparciu o dane przekrojowe (dotyczące grupy badanych krajów/regionów 9 Procesy odwrotne – gdy kraje (regiony) o początkowo niższych (wyższych) wartościach

ba-danej zmiennej charakteryzują się jej niższą (wyższą) stopą zwrotu oraz gdy zwiększa się dys-persja badanej cechy w czasie – nazywane są odpowiednio beta dywergencją i sigma dywer-gencją.

10 Jednocześnie sigma konwergencja jest wystarczającym, lecz niekoniecznym warunkiem konwergencji typu beta (co oznacza, że brak sigma konwergencji nie pozwala jednocześnie stwierdzić, że biedniejsze początkowo kraje nie rozwijają się szybciej niż inne).

i dwóch skrajnych lat analizy) lub dane panelowe (dotyczące grupy badanych kra-jów/regionów i wielu następujących po sobie lat analizy). W zależności od rodzaju danych należy użyć innych metod szacowania modelu oceniającego konwergencję. Beta konwergencja dla danych przekrojowych

Do weryfikacji hipotezy beta konwergencji przy użyciu danych przekrojowych uży- wa się modelu objaśniającego przyrost badanej cechy (y) w regionach/krajach (i = 1, …, N), pomiędzy okresem t₀ i t₀ + T za pomocą początkowej wartości tej cechy w regionach (por. np. Sala-i-Martin [1996b, s. 1334]):

1 0 0 0 0 0 T y y ^{a b y u} it T it ^{it it t T} ln ln        ^ ( ) _, (4.1)

gdzie ujemna (dodatnia) i istotna statystycznie wartość estymatora b:

b ^e T

T

(4.2) oznacza występowanie konwergencji (dywergencji)11. Brak istotności parame-tru b oznacza, że nie występuje ani konwergencja, ani dywergencja badanego zjawiska12.

Estymator b służy najczęściej do wyliczenia kluczowego, dla konwergencji, parametru β zwanego współczynnikiem zbieżności, który wylicza się z przekształ-cenia równania (4.2), do postaci:

  ln(1 bT )

T ^(4.3)

11 Czasami regresję (4.1) zapisuje się z ujemnym znakiem przed parametrem b i wówczas do-datnia (ujemna) wartość b oznacza konwergencję (dywergencję), zaś współczynnik zbieżno-ści należy wyliczyć jako β = –ln(1–b).

12 Badanie istotności statystycznej b jest, w literaturze przedmiotu, czasami pomijane. Uspra-wiedliwieniem takiego postępowania może być fakt, że parametr ten wykorzystywany jest głównie do oszacowania tempa konwergencji danego wzorem (4.3) – wówczas nieistotna statystycznie wartość b przełoży się na niskie tempo konwergencji (dywergencji). Należy jednak-że zauważyć, jednak-że postępowanie takie jest słuszne tylko do pewnego stopnia, bowiem dla dużych wartości odchylenia standardowego S(b) (w 4.1) jeden z krańców przedziału ufności dla b może mieć inny znak niż parametr. W takim przypadku należy założyć, że istnieje prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość estymatora parametru b ma nie tylko inną wartość (co wpływa na tempo zbieżności), ale również inny znak – co zmienia wniosek co do istnienia konwergencji. Istotność statystyczna b daje gwarancję, że taka sytuacja nie wystąpi, lecz jednocześnie, przy standardowo przyjmowanych w badaniach ekonomicznych poziomach ufności nie niższych niż 90%, powodu-je, że w wielu analizach pomimo ujemnej wartości b należałoby stwierdzić brak konwergencji. W szczególności w regresjach przekrojowych dla stosunkowo niewielkich prób, standardowe błędy estymatorów są zazwyczaj na tyle duże, że często nie można potwierdzić istotności staty-stycznej estymatorów parametrów. W takich sytuacjach wydaje się lepszym rozwiązaniem „zła-godzenie” reżimu poziomu ufności niż nieprzeprowadzanie w ogóle testów istotności.

Znak parametru β, podobnie do b, informuje o występowaniu konwergencji lub dywergencji, a mianowicie, jeżeli:

ƒ β < 0, zachodzi proces dywergencji (rozbieżności) pomiędzy regionami i,

ƒ β > 0, zachodzi proces konwergencji (zbieżności) pomiędzy regionami i.

W kategoriach konwergencji do stanów równowagi współczynnik zbieżności

β informuje o tym, jaki procent odległości od stanu równowagi zostaje pokonany

w jednym okresie (najczęściej jednym roku) lub o ile zmniejsza się w danej jed-nostce czasu różnica między faktyczną wartością badanej zmiennej a wartością tej zmiennej w stacjonarnym stanie równowagi (por. Malaga, Kliber [2007, s. 85]). Im wyższa wartość (co do modułu) współczynnika β, tym szybsze tempo konwergen-cji (dywergenkonwergen-cji). Na podstawie współczynnika zbieżności można obliczyć tzw.

half-life informujący, jaki czas jest potrzebny, aby obecne różnice zostały

zreduko-wane o połowę13:

hl   ln2_(4.4)

Regresja 4.1 jest prostym i intuicyjnym sposobem badania konwergencji, do których można sformułować jednak pewne zarzuty (por. np. [Quah 1993], [Fried-man 1992], [Ciołek 2007]). Jednym z nich jest to, że pomija się w nich inne, niż początkowa wartość analizowanej zmiennej, cechy indywidualne każdej gospo-darki. Ich pominięcie sprawia, że stanowią one czynnik zakłócający, w związku z czym warunek o nieskorelowaniu składnika losowego ze zmiennymi objaśniają-cymi często nie jest spełniony, co powoduje obciążoność estymatorów (powoduje również niskie wartości R2 w regresjach przekrojowych, bowiem nieuwzględnione

explicite zmienne znajdują swoje odbicie w składniku losowym).

Uzupełnienie powyższych równań beta konwergencji absolutnej o dodatkowe czynniki wzrostu y prowadzi do modelu konwergencji warunkowej postaci:

1 0 0 0 0 0 T y y ^{a b y X u} it T it ^{it i it t T} ln  ln         ^ ( )  _, (4.5)

gdzie wektor X_i reprezentuje wszystkie indywidualne cechy rozpatrywanych go-spodarek.

13 Lub, jak definiują to autorzy pracy [Malaga, Kliber 2007, s. 85], wartość ta określa liczbę lat niezbędną do zmniejszenia o połowę różnicy między wartością badanej zmiennej w regionie i w momencie t, a jej wartością w stacjonarnym stanie równowagi. Autorzy nazywają ten współczynnik okresem połowicznej zbieżności.

Beta konwergencja dla danych panelowych

Teoria ekonomiczna angażująca regresje panelowe rozwija się ostatnio bardzo szybko, czemu towarzyszy rosnąca liczba zastosowań ekonomicznych wykorzy-stujących dane w skali mikro- i makroekonomicznej, jak i międzynarodowej czy regionalnej [por. Phillips, Sul 2007, s. 1771]. Stosowanie modeli beta konwergencji opartych o analizę szeregów przekrojowych wiąże się z utratą informacji doty-czącej zmienności gospodarek poszczególnych obszarów w czasie (poza skrajny-mi lataskrajny-mi), a także z poskrajny-minięciem cech indywidualnych dla każdej gospodarki. Pominięcie nieobserwowalnych cech poszczególnych gospodarek sprawia, że stanowią one czynnik zakłócający, w związku z czym warunek o nieskorelowa-niu składnika losowego ze zmiennymi objaśniającymi może nie być spełniony, a estymatory wówczas nie są zgodne i nieobciążone. Jako kolejną wadę stosowa-nia szeregów przekrojowych wymiestosowa-nia się małą liczbę obserwacji, która prze-kłada się na niewielką liczbę stopni swobody, co ogranicza liczbę zmiennych ob-jaśniających w modelu. Islam [1995] oraz Canova i Mercet [1995] pokazują, że w tradycyjnej analizie konwergencji beta na danych przekrojowych parametr β może być niedoszacowany. Połączenie danych czasowych i przekrojowych w jed-ną próbę – panelową – pozwala przezwyciężyć ten ostatni problem, jak również, poprzez zastosowanie odpowiednich metod estymacji (dla danych panelowych), pozwala na uwzględnienie efektów specyficznych dla obiektów (regionów) i/lub dla czasu. Równania dla danych panelowych, pozwalających zweryfikować hipo-tezę o beta konwergencji, mają postać (4.6) w przypadku testowania konwergen-cji absolutnej: log Y Y_it^{it a e log yit i t uit      }      ^{  } 1 ¹ 1 ( ) ( )   (4.6)

lub (4.7) w przypadku konwergencji warunkowej:

log ^Y log Y_it^{it a e yit Xit i t uit      }     

 

η_i – efekty specyficzne dla poszczególnych obiektów (krajów/regionów) i. Efekty

η_i pokazują zróżnicowanie pomiędzy nimi wynikające z innych, niż uwzględnione po prawej stronie równania, czynników, które są zwykle niemierzalne i dlatego nie mogą explicite zostać uwzględnione w równaniu;

ν_t – efekty okresowe dla roku t odzwierciedlają wspólne dla wszystkich obiektów (krajów, regionów) wydarzenia w latach objętych analizą (np. efekt wpływu kryzy-su z lat 2008/2009);

W celu oszacowania powyższych funkcji stosuje się zazwyczaj postać zlineary-zowaną względem parametrów, tzn.:

log ^Y log Y_it^{it a b y}it i t ^uit  ^     ^{  } 1 ¹ ( )   (4.8) log ^Y og Y_it^{it a bl y}it ^Xit i t ^uit  ^         1 ¹ ( )    (4.9) gdzie: b  (1 et)   ln(1b).

Modele panelowe mogą przybrać postać modelu tzw. pooled regression, dla którego próbę łączy się w panel, lecz poza zwiększeniem liczby stopni swobody nie dokonuje się wyróżnienia żadnych dodatkowych efektów. Najczęściej jednak szacuje się model z efektami nielosowymi (nazywanymi czasami ustalonymi), tzw. FEM – Fixed Effects Model oraz modele z efektami losowymi: REM – Random

effects Model. Wyboru jednego z tych trzech typów modeli (pooled, FEM, REM)

dokonuje się na podstawie testów statystycznych, najczęściej: Chowa, Breucha- -Pagana oraz Hausmana.

Istnieje szereg metod służących analizie danych panelowych. Wśród najpopu-larniejszych estymatorów, służących do szacowania danych panelowych, poza Kla-syczną Metodą Najmniejszych Kwadratów, wymienia się modele z efektami usta-lonymi (Fixed Effects Model – FEM) oraz modele z efektami losowymi (Random

effects Model – REM).

Modele panelowe szacowane KMNK nie uwzględniają ani efektów indywidual-nych, ani efektów czasowych. W literaturze przedmiotu podaje się, że w przypadku zastosowania KMNK do danych panelowych w analizie konwergencji wyniki czę-sto są przeszacowane. Niemniej jednak metoda ta może być czę-stosowana jako punkt wyjściowy w analizach danych panelowych (model szacowany KMNK może być zastosowany w przypadku, gdy wszystkie obiekty w panelu są jednorodne, a ewen-tualne odchylenia wartości empirycznych od teoretycznych wynikają z przyczyn losowych).

Modele z efektami nielosowymi (FEM) pozwalają na wychwycenie efektów indywidualnych dla każdego obiektu w przekroju. Wyróżniamy trzy typy modeli FE. Pierwszy z nich to model between. Szacowany jest za pomocą MNK. Jednak zamiast poszczególnych obserwacji w modelu wykorzystywane są średnie grupo-we zmiennych. Modele te pozwalają na redukcję błędów pomiaru. Drugi model to LSDV. Istnieje kilka podejść do budowy takiego modelu. Pierwsze podejście to model jednokierunkowy uwzględniający jedynie różnice w grupach, budowany poprzez dołączenie do modelu KMNK zmiennych zero-jedynkowych dla n-1 obiektów. W przypadku braku istotnych różnic między grupami budowany jest

model uwzględniający różnice w czasie. Wówczas do modelu KMNK dołącza się zmienne zero-jedynkowe dla każdego obiektu w czasie. Oba te modele mają charakter modeli jednokierunkowych. Istnieje także możliwość budowy modelu dwukierunkowego, w którym uwzględnione są zarówno efekty indywidualne, jak i efekty czasowe. Tak zbudowane modele estymowane są MNK. Ostatnim – trzecim typem modelu FE, często stosowanym w analizach konwergencji jest model within. W przeciwieństwie do modelu LSDV zamiast zmiennych zero--jedynkowych w modelu uwzględnia się odchylenia zmiennej od średniej gru-powej. W modelu także nie uwzględnia się stałej. Parametry modelu szacowane są za pomocą MNK, a współczynnik kierunkowy jest taki sam jak w przypadku estymacji modelu LSDV.

Modele z efektami losowymi (REM) są takimi modelami panelowymi, według których efekty indywidualne wynikają z efektów losowych i nie ulegają zmianom w czasie. Różnice między poszczególnymi obiektami w takich modelach odwzo-rowane są w postaci wariancji międzygrupowej błędu. Aby oszacować efekty indywidualne w modelu, szacuje się parametry rozkładu. W celu oszacowania estymatora RE wykorzystuje się najczęściej Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów. Niestety w przypadku małych prób estymatory RE często są obcią-żone i nieefektywne.

Aby spośród omówionych trzech rodzajów modeli panelowych wybrać model najlepszy, należy posłużyć się dwoma podstawowymi testami dla panelu: testem Breuscha-Pagana oraz testem Hausmana, które są opisane w wielu podręcznikach i pakietach komputerowych.

Generalnie wyniki analizy konwergencji z wykorzystaniem danych panelowych różnią się istotnie od wyników na danych przekrojowych, bowiem uzyskiwane w modelach panelowych oszacowania tempa konwergencji są znacznie wyższe. Na przykład tempo konwergencji krajów OECD wyniosło 9% [Islam 1995], dla regionów UE – aż 23% [Cannova, Marcet 1995], dla regionów Hiszpanii – 12,7% [de la Fuente 2002]. Częściowym wyjaśnieniem tak wysokich temp konwergencji w modelach panelowych jest fakt, że są to prędkości zbiegania do indywidualnego dla każdej jednostki terytorialnej (a nie wspólnego) punktu równowagi okresowej [Wójcik 2018, s. 52].

Drugą przyczyną wysokich temp wzrostu w modelach konwergencji dla da-nych panelowych jest problem endogeniczności zmienda-nych objaśniających czy autokorelacji składnika losowego. Arellano i Bond [1991] oraz Blundell i Bond [1998] wykazują, że szacowanie omówionych powyżej równań regresji za po-mocą UMNK prowadzi do uzyskania obciążonych estymatorów tempa konwer-gencji. Należy bowiem zauważyć, że modele wzrostu stosowane w analizie kon-wergencji są w istocie modelami autoregresyjnymi, bowiem można je zapisać w postaci:

W przypadku dynamicznej postaci modelu panelowego (jakim jest powyższe równanie), literatura zaleca stosowanie specjalnych metod estymacji. Wśród tych metod (których przegląd można znaleźć w Baltagi [1995], Dańska-Borsiak [2011]) większość wykorzystuje Uogólnioną Metodę Momentów (GMM).