Cechy fali powierzchniowej oraz metoda wielokanałowej analizy fal powierzchniowych

4.2 Cechy fali powierzchniowej oraz metoda wielokanałowej analizy fal

powierzchniowych

Warunkiem wystąpienia zjawiska fali powierzchniowej jest obecność powierzchni swobodnej oraz medium, w którym dochodzi do propagacji wspomnianej fali (Achenbach 1999; Aki, Richard 2002). Fala powierzchniowa pobudza cząstki gruntu do drgań po torze eliptycznym, o zwrocie przeciwnym do kierunku jej rozchodzenia. Na rekordach sejsmicznych prezentuje się jako paczka falowa, której składowe posiadają odrębne prędkości fazowe. Każdy komponent fali powierzchniowej rozprzestrzenia się niezależnie, równolegle do powierzchni terenu. Reaguje również niezależnie na zmiany prędkości w gruncie. Wynika stąd szczególna cecha fali powierzchniowej jaką jest możliwość detekcji inwersji prędkości. Przełamuje ona ograniczenia fali refrakcyjnej (Miller 1999), której charakterystyka została omówiona w podrozdziale 5. Większość ośrodków przypowierzchniowych nie jest jednorodna, co przekłada się na dyspersyjne zachowanie fali powierzchniowej. Zależność pomiędzy prędkością a częstotliwością determinuje użyteczność dyskutowanego zjawiska (Haskell 1953). Związek pomiędzy prędkością grupową i fazową fali powierzchniowej przestawia wzór:

C = V [1 −_C^f𝑑𝐶_𝑑𝑓] (4.2-1)

,gdzie przez C oznaczono prędkość fazową, V- prędkość grupową. Normalnymi warunkami dyspersyjnymi odznaczają się ośrodki, które pozwalają na propagację komponentów fali powierzchniowej z prędkością fazową większą niż ich prędkość grupowa. Dyspersja nie występuje, gdy C i V są równe. Ze wzoru 4.2-1 wynika zależność prędkości fazowej C od częstotliwości f. Spadek wartości prędkości fazowej jest zbieżny ze wzrostem spektralnym komponentów fali powierzchniowej. Redukcji częstotliwości składników fali powierzchniowej towarzyszy wzrost ich prędkości fazowych.

Propagacja fali powierzchniowej zależy od dwóch rodzajów pól prędkości: fali poprzecznej (Vs) i podłużnej (Vp). Powstaje w wyniku konwersji modalnej i interferencji, polegającej na przekształceniu padającego frontu falowego na granicę warstw i sumy zbieżnych fazowo zjawisk dylatacyjno - kompresyjnych oraz skręceniowych (Foti 2014, Roma 2002). Wspomniany proces przedstawia rysunek 4.2 - 1. Początkowy schemat kształtowania się fali powierzchniowej jest tożsamy z uproszczonym wzorcem propagacji fali

45 konwertowanej. W wyniku interferencji powstaje eliptycznie zrotowana dystorsja zwana falą Rayleigh’a (Rys. 4.2 - 1).

Rys. 4.2 - 1 Schematyczne ujęcie konwersji modalnej na granicy warstw wraz zaznaczonym kierunkiem propagacji fali powierzchniowej.

Różni się ona kinematycznie od zapisu fali konwertowanej. Pozostaje z nią w związku opartym o podobieństwo pól prędkości, od których wspomniane fale wzajemnie zależą (Foti 2014). Fala powierzchniowa jest zjawiskiem wysoko energetycznym, ponieważ około 60% energii źródła zostaje przekształcone do jej postaci. Jej amplituda maleje eksponencjalnie wraz z głębokością.

W jednorodnym materiale przypowierzchniowym prędkość fazowa fali Rayleigh CRj

jest wielkością stałą (wzór 4.2 - 1). W ośrodku niejednorodnym, warstwowanym prędkość fazowa fali powierzchniowej jest funkcją czterech parametrów: prędkości fali podłużnej (α), prędkości fali poprzecznej β , gęstości ρ oraz miąższości warstw h. W rzeczywistych warunkach jest zdeterminowana przez równanie „F” (4.2-2) , podane przez Andersona i in. (2003):

𝐹(𝑓_𝑗, 𝐶_𝑅𝑗, 𝛽, 𝛼, 𝜌, ℎ) = 0 (𝑗 = 1,2, … . , 𝑚) (4.2-2) Gdzie:

46 𝛽 = (𝛽₁, 𝛽₂, … . , 𝛽_𝑛)𝑇 -jest wektorem fali poprzecznej, określającym wartość prędkości fali S (𝛽_𝑖) w i-tej warstwie

𝛼 = (𝛼₁, 𝛼₂, … . , 𝛼_𝑛)𝑇- jest wektorem fali podłużnej, określającym wartość prędkości fali S (𝛼_𝑖) w i - tej warstwie

𝜌 = (𝜌₁, 𝜌₂, … . , 𝜌_𝑛)𝑇- wektor rozkładu gęstości, określający wartość (𝜌_𝑖) w i - tej warstwie ℎ = (ℎ₁, ℎ₂, … . , ℎ_𝑛−1)𝑇- określa miąższości warstw jako (ℎ_𝑖) dla i - tej warstwy

n - stanowi numer kolejnych warstw ośrodka.

Wielokanałowa analiza fal powierzchniowych jest jednym z wariantów metodycznych sejsmiki inżynierskiej, wykorzystującym zjawisko propagacji fali powierzchniowej. Jest ona szczególnie przydatna w obrazowaniu ośrodków o wysokim stopniu dezintegracji wewnętrznej. Proces przetwarzania danych w wielokanałowej analizie fal powierzchniowych rozpoczyna się od obliczenia krzywej dyspersji. Do tego celu wykorzystuje się technikę przesunięcia fazowego Park i in. (1998), zwaną żargonowo metodą transformacji pola falowego (ang. Phase-Shift Method).

Rekord w dziedzinie czas - offset u(x,t) jest przekształcany do postaci offset - częstotliwość kątowa U(x,ω) przy użyciu transformaty Fouriera o następującej postaci:

𝑈(𝑥, 𝜔) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 dla <-∞, +∞> (4.2-3) ,gdzie ω jest częstotliwością kątową. U(x,ω) jest iloczynem spektrum fazowego [P(x,ω)] oraz amplitudowego [A(x,ω)] :

𝑈(𝑥, 𝜔) = 𝐴(𝑥, 𝜔)𝑃(𝑥, 𝜔) (4.2-4) [𝑃(𝑥, 𝑤)] zawiera informacje o dyspersji, natomiast [𝐴(𝑥, 𝑤)] charakteryzuje analizowany sygnał pod kątem zmienności amplitudy. 𝑈(𝑥, 𝜔) można zapisać jako:

𝑈(𝑥, 𝜔) = 𝐴(𝑥, 𝜔)𝑒−𝑖∅𝑥 (4.2-5)

We wzorze 4.2-5 składnik ∅ określa się jako:

∅ =_𝑐^𝜔

47 ,gdzie 𝑐_𝜔 jest prędkością fazową. Wykorzystanie transformacji całkowej (4.2-7) należy rozumieć jako kierunkową sumę amplitud sygnału każdej z tras rekordu sejsmicznego, którego postać stanowi reprezentację czasową ściśle zdefiniowanej częstotliwości (ang. Swept- Frequency Record, Rys. 4.2-2-a, Lai 2008).

𝑆(𝜔, 𝜃) = ∫ 𝑒𝑖∅𝑥[_{|𝑈(𝑥,𝜔)|}^{𝑈(𝑥,𝜔)}] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒−𝑖(∅−𝜃)𝑥[_{|𝐴(𝑥,𝜔)|}^{𝐴(𝑥,𝜔)}] 𝑑𝑥 (4.2-7) Poszczególne amplitudy są sumowe na kierunkach określonych przez zależne offsetowo przesunięcie fazowe 𝜃 = ^𝑥

𝑐𝜔, którego wartość jest odwrotnie proporcjonalna do wartości prędkości fazowej 𝑐_𝜔. Dla danej częstotliwości kątowej 𝜔 wartości 𝑆(𝜔, 𝜃) osiągają swoje maksimum dla kryterium opisanego zależnością 4.2-8:

∅ = 𝜃 =^𝜔

𝑐 𝜔 ^(4.2-8)

Na rysunku 4.2 – 2 - b określono je jako „a”. Symbolem „N” oznaczono wpływ ilości tras na wartość normalizowanej amplitudy. Na podstawie wzorów 4.2-7 oraz 4.2-8 definiuje się postać krzywej dyspersji jako S(𝜔, ^𝜔𝑥_∅).

Rys. 4.2 - 2 Ilustracja przedstawiająca działanie transformacji określonej wzorem 4.2-7. Otrzymana krzywa dyspersji jest rozkładem prędkości fazowej fali powierzchniowej w dziedzinie częstotliwości. Większość analiz zmierzających w stronę ustalenia postaci trendu krzywej dyspersji odbywa się na mapach zdefiniowanych w następującej postaci macierzowej:

48 [ 𝐴(𝜔₁, 𝑐_𝜔(1,1) max |𝐴(𝜔₁, 𝑐_𝜔(𝑖, 𝑗)| ^⋯ 𝐴(𝜔_𝑛, 𝑐_𝜔(𝑛, 1) max |𝐴(𝜔_𝑖, 𝑐_𝜔(𝑖, 𝑗)| ⋮ ⋱ ⋮ 𝐴(𝜔₁, 𝑐_𝜔(1, 𝑚) max |𝐴(𝜔_𝑖, 𝑐_𝜔(𝑖, 𝑗)| ^⋯ 𝐴(𝜔_𝑛, 𝑐_𝜔(𝑛, 𝑚) max |𝐴(𝜔_𝑖, 𝑐_𝜔(𝑖, 𝑗)|] (4.2-9)

W metodzie MASW poszukuje się skończonego układu parametrów fizycznych m, które można zapisać wzorem 4.2-10 dla n - warstwowego modelu strefy przypowierzchniowej:

𝑚 = [𝛽₁, 𝛼₁, 𝜌₁, ℎ₁; 𝛽₂, 𝛼₂, 𝜌₂, ℎ₂; … ; 𝛽_𝑛, 𝛼_𝑛, 𝜌_𝑛, ℎ_𝑛 ] (4.2-10) Dane pomierzone d stanowią rozkład prędkości fazowej fali Rayleigh dla j - tej częstotliwości:

𝑑 = ⌊𝐶_𝑅1, 𝐶_𝑅2, … , 𝐶_𝑅𝑗 ⌋ (4.2-11) Dla każdej częstotliwości funkcja G stanowi macierz przejścia pomiędzy parametrami modelu a rozkładem prędkości fazowych:

𝐶_𝑅1= 𝐺₁[𝛽₁, 𝛼₁, 𝜌₁, ℎ₁; 𝛽₂, 𝛼₂, 𝜌₂, ℎ₂; … ; 𝛽_𝑛, 𝛼_𝑛, 𝜌_𝑛, ℎ_𝑛] 𝐶_𝑅2 = 𝐺₂[𝛽₁, 𝛼₁, 𝜌₁, ℎ₁; 𝛽₂, 𝛼₂, 𝜌₂, ℎ₂; … ; 𝛽_𝑛, 𝛼_𝑛, 𝜌_𝑛, ℎ_𝑛] . . 𝐶_𝑅𝑗 = 𝐺_𝑗[𝛽₁, 𝛼₁, 𝜌₁, ℎ₁; 𝛽₂, 𝛼₂, 𝜌₂, ℎ₂; … ; 𝛽_𝑛, 𝛼_𝑛, 𝜌_𝑛, ℎ_𝑛] (4.2-12)

Układ 4.2-12 przedstawia liniowy zestaw równań, możliwy do rozwiązania przy zastosowaniu metody najmniejszych kwadratów. Symbolicznie równania 4.2-12 reprezentują liniową zależność :

C=G*m (4.2-13)

49

E=m*G-C (4.2-14)

Minimalizując sumę błędów kwadratowych:

E=(m*G-C)^T(m*G-C)= ||m*G-C||² => Min. (4.2-15) Oraz różniczkując (E) po (dX) (4.2-15):

𝑑𝐸

𝑑𝑋= 2 ∗ 𝐺𝑇∗ (𝐺 ∗ 𝑚 − 𝐶) = 0 (4.2-16) Rozwiązanie układu względem m wyprowadza się na podstawie równania:

(G^TG)m=G^TC (4.2-17)

Podstawowym zadaniem inwersji w metodzie MASW jest obliczenie parametrów fizycznych m ośrodka na podstawie pomierzonych wartości krzywej dyspersji. Proces polega na obliczeniu teoretycznej postaci krzywej dyspersji C0(G) (4.2-18) oraz dopasowanie jej do wartości pomierzonych (C) (4.2-9). Krzywa teoretyczna jest konstruowana na podstawie znanych (zadanych) parametrów ośrodka m0, które w procesie iteracyjnym są modyfikowane Δm, aż do osiągnięcia odpowiedniego dopasowania do krzywej polowej. Miarą zbieżności obu krzywych jest wartość średniego błędu kwadratowego (4.2-22).

Obliczona, teoretyczna krzywa dyspersji:

C₀(G)=C(G,m₀) (7.1-18)

Zostaje porównana z jej odpowiednikiem polowym. Pomiędzy nimi zostaje obliczona różnica ΔC:

ΔC=C-C0 (4.2-19)

Przy użyciu metody najmniejszych kwadratów obliczana jest korekta wartości początkowych m_0:

(G^TG)Δm=GTΔC (4.2-20)

Poprawiony rozkład parametrów m1 zostaje wprowadzony do wzoru (4.2-18):

50 Na podstawie otrzymanej wartości 𝛥𝐶_𝑖 jest obliczany średni błąd kwadratowy:

𝑅𝑀𝑆 = √

𝑤 ^(4.2-22)

Gdzie w oznacza ilość elementów wektora C, natomiast k = 1…n jest ilością iteracji. Kroki procedury (zgodnie z zapisanymi wzorami : 4.2-14 - 4.2-22) są powtarzane, aż do spełnienia założonego progu błędu: RMS << ΔC.

Efektem inwersji w metodzie MASW jest macierz złożona z czterech wektorów, określających rozkład miąższości warstw, gęstość pozorną oraz prędkości fali podłużnej i poprzecznej (Xia 1997, 1999a i 1999b; Song 1989; Strobbia 2010). Obecnie MASW należy do najpowszechniej stosowanych wariantów sejsmiki inżynierskiej. Znalazła zastosowanie w zagadnieniach geotechnicznych (Park 1998,1999) oraz naftowych (Ivanov 2006, 2008; Lin 2004; Miller 1999b; Pelekis 2011; Strobbia 2010).