co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Tj) ⊆ J sąsiednie z wierzchołkiem x. Stąd x jest 2-dominowany przez zbiór J .
1.2. E0 6= ∅.
Niech V0 będzie zbiorem wierzchołków incydentnych z krawędziami należącymi do zbioru E0. Wtedy V0 ∩ S
i∈I
L(Ti) 6= ∅. Pokażemy, że zbiór J∗ = S
i∈I
L(Ti) \ V0 jest
(2-d)-jądrem drzewa T . Niezależność zbioru J∗ jest oczywista. Aby wykazać, że zbiór J∗ jest 2-dominujący rozważmy wierzchołek v ∈ V0∩ V (Tj), j ∈ I. Ponieważ v ∈ V0, więc
v /∈ J∗. Jeżeli v jest centrum gwiazdy Tj, to z warunku (i) istnieją co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Tj) ⊂ J∗ sąsiednie z wierzchołkiem v. Jeżeli v nie jest centrum gwiazdy Tj, to v ∈ L(Tj). Wtedy istnieje drzewo Ts, s 6= j takie, że V (Ts) ∩ V (Tj) = {v} oraz wierzchołek v jest centrum gwiazdy Ts. To oznacza, że istnieją co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Ts) ⊂ J∗. Zatem J∗jest 2-dominujący i ponieważ jest niezależny, więc jest (2-d)-jądrem.
2. Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że drzewo T posiada (2-d)-jądro J . Pokażemy, że istnieje podział drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n, n 2 taki, że spełniony jest warunek (i). Rozważmy następujące przypadki.
2.1. J = L(T ).
Ponieważ J jest zbiorem 2-dominującym, więc V (T ) = L(T ) ∪ S(T ). To oznacza, że
T ∼= T0 ◦N(1)
p1 , N(2)
p2 , . . . , N(r)
pr
jest koroną grafów, gdzie T0 jest r-wierzchołkowym drzewem, r 1, pi 2, i = 1, 2, . . . , r oraz r + Pr
i=1
pi = |V (T )|. Rozważmy podział
P = {T1, T2, . . . , Tr}, r 1 drzewa T taki, że T1 ∼= K1,p1 oraz Ti ∼= K
1,pi+1 dla każdego
i = 2, 3, . . . , r. Jeżeli r = 1, to P = {T1} oraz E0 = ∅, zatem podział P spełnia warunek
(i). Jeżeli r 2, to E0 = E(T0) a graf T \ E0 jest lasem złożonym z r rozłącznych gwiazd K1,pi, pi 2. Ponieważ pi 2, i = 1, 2, . . . , r, więc dla każdego wierzchołka xi ∈ S(Ti) zachodzi degTi(xi) 2. Zatem podział P spełnia warunek (i).
2.2. J = L(T ) ∪ J0, gdzie J0 6= ∅.
Niech u ∈ J0 oraz degT(u) = m, m 2. Aby dokonać podziału drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n, n 2 spełniające warunek (i) kopiujemy m-krotnie
wierzcho-łek u, otrzymując wierzchołki u1, u2, . . . , um i rozdzielamy drzewo T na m rozłącznych drzew T1, T2, . . . , Tm takich, że ui ∈ L(Ti), i = 1, 2, . . . , m. W otrzymanym lesie każde drzewo Ti, i = 1, 2, . . . , m posiada (2-d)-jądro Ji takie, że ui ∈ Ji. Powtarzamy tę operację dla każdego drzewa Ti, gdzie Ji = L(Ti) ∪ Ji0 dopóki (2-d)-jądro w każdym drzewie będzie zawierało tylko liście. Wtedy dowodząc dla każdego z drzew analogicznie jak w przypadku 2.1. otrzymujemy, że w każdym drzewie istnieje podział P spełniający warunek (i), który wyznacza podział drzewa T , co kończy dowód.
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 29
2.3 (2-d )-jądra w grafach z cyklami
W podrozdziale tym rozważymy problem istnienia (2-d)-jądra w grafach z cyklami. W [54] zostało podane następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.31. (A. Włoch [54]) Graf Cn, n 4 posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2p, p 2. Ponadto σ(C2p) = 2 dla p 2.
Wniosek 2.32. (P. Bednarz [3]) Jeżeli p 2, to j(C2p) = J (C2p) = p.
Kolejne twierdzenie podaje warunki konieczne na istnienie dwóch (2-d)-jąder w gra-fach jednocyklowych.
Twierdzenie 2.33. (P. Bednarz [3]) Niech G 6∼= Cm, m 3 będzie grafem jednocy-klowym, C będzie cyklem grafu G i niech V0 = NG(C) \ V (C). Jeżeli G posiada dwa (2-d)-jądra J1, J2, to spełnione są jednocześnie warunki
(i) (J1∩ J2) ∩ NG(C) = ∅,
(ii) V0∩ (J1∪ J2) = ∅,
(iii) |NG(y) ∩ (J1 ∩ J2)| 2 dla każdego y ∈ V0, (iv) C jest cyklem parzystym.
Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem
grafu G. Niech V0 = NG(C) \ V (C). Załóżmy, że G ma dwa (2-d)-jądra J1, J2. Pokażemy, że spełnione są jednocześnie warunki (i)-(iv). Ponieważ G nie jest cyklem, więc istnieje w grafie G wierzchołek będący liściem, czyli L(G) 6= ∅. Jest oczywiste, że L(G) ⊂ J1
i L(G) ⊂ J2. To oznacza, że J1 ∩ J2 6= ∅. Niech J = J1∩ J2.
(i) Pokażemy, że J ∩ NG(C) = ∅.
Załóżmy nie wprost, że J ∩NG(C) 6= ∅. Niech y ∈ J ∩NG(C). Wtedy istnieje x ∈ V (C)\J taki, że wierzchołki x, y są sąsiednie w grafie G. Stąd J1, J2 są (2-d)-jądrami grafu
G \ {x}. Ponieważ x ∈ V (C), więc G \ {x} jest lasem i korzystając z Wniosku 2.20
otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że istnieją dwa (2-d)-jądra w G \ {x}. Zatem
J ∩ NG(C) = ∅.
(ii) Pokażemy, że V0∩ (J1∪ J2) = ∅.
Załóżmy nie wprost, że V0∩(J1∪J2) 6= ∅. Niech y ∈ V0∩(J1∪J2). Bez straty dla ogólności rozważań przypuśćmy, że y ∈ J1. Niech x ∈ V (C) będzie sąsiedni z wierzchołkiem y. To oznacza, że x /∈ J1 i zbiór J1 jest (2-d)-jądrem grafu G\{x}. Niech T będzie komponentą grafu G \ {x} zawierającą wierzchołek y. Wtedy JT = J1∩ V (T ) jest jedynym
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 30
JT ⊂ J2. Stąd JT ⊂ J. To oznacza, że y ∈ J i J ∩ NG(C) 6= ∅. Otrzymujemy sprzeczność z warunkiem (i). Zatem dla dowolnego wierzchołka y ∈ V0 wynika, że y /∈ J1∪ J2.
(iii) Pokażemy, że dla każdego y ∈ V0 zachodzi nierówność |NG(y) ∩ J | 2.
Innymi słowy pokażemy, że dowolny wierzchołek y ∈ V0 jest 2-dominowany przez zbiór
J . Z założenia graf G ma dwa (2-d)-jądra J1, J2. Ponadto z warunku (ii) wynika, że dla każdego y ∈ V0, y /∈ J1∪ J2 więc J1, J2 są (2-d)-jądrami grafu G \ V0. Komponentami grafu G \ V0 są drzewa Ti, i 1 oraz cykl C. Wtedy JTi = J1∩ V (Ti), i 1 jest jedynym (2-d)-jądrem drzewa Ti. Rozumując analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 2.19 mamy, że JTi ⊂ J2. Stąd JTi ⊂ J. Wtedy dla każdego wierzchołka v ∈ V (G) \ NG(C) takiego, że
v ∈ J1 wynika, że v ∈ J . Ponieważ J1 jest (2-d)-jądrem grafu G, stąd istnieją wierzchołki
y1, y2 ∈ J1 sąsiednie z wierzchołkiem y. Zauważmy, że y1, y2 nie mogą jednocześnie należeć do zbioru V (C). Z kolei, jeżeli y1, y2 ∈ V (C), to natychmiast otrzymujemy, że/ |NG(y) ∩ J | 2. Niech y1 ∈ V (C) i y2 ∈ V (C). To oznacza, że y/ 2 ∈ V (G) \ NG(C). Ponieważ y2 ∈ J1, stąd y2 ∈ J. Z warunku (i) wynika, że y1 ∈ J/ 2. Ponieważ zbiór J2 jest (2-d)-jądrem grafu G, to istnieje wierzchołek y3 ∈ J2, y3 ∈ V (G) \ NG(C) sąsiedni z wierzchołkiem y. To oznacza, że y3 ∈ J. Zatem |NG(y) ∩ J | 2 dla dowolnego wierzchołka y ∈ V0.
(iv) Pokażemy, że cykl C jest parzysty.
Załóżmy nie wprost, że C jest cyklem nieparzystym. Z warunku (ii) wynika, że graf
G \ V0 ma dwa (2-d)-jądra J1, J2. Jedną z komponent spójności grafu G \ V0 jest cykl
C. Ponieważ C jest cyklem nieparzystym, więc nie posiada (2-d)-jądra. To oznacza, że
graf G \ V0 nie posiada (2-d)-jądra, co jest sprzeczne z założeniem, że G \ V0 ma dwa (2-d)-jądra. Zatem C jest parzysty.
Wniosek 2.34. (P. Bednarz [3]) Niech G 6∼= Cm, m 3 będzie grafem jednocyklowym i niech C będzie cyklem grafu G. Jeżeli G posiada dwa (2-d)-jądra, to podgraf G \ C
posiada (2-d)-jądro.
Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem
grafu G. Niech V0 = NG(C) \ V (C). Załóżmy, że G ma dwa (2-d)-jądra J1, J2. Z Twier-dzenia 2.33 (warunek (iii)) wynika, że każdy wierzchołek y ∈ V0 jest 2-dominowany przez wierzchołki ze zbioru (V (G) \ NG(C)) ∩ (J1 ∩ J2). Ponadto każdy wierzchołek
z ∈ V (G) \ NG(C), z /∈ Ji, i = 1, 2 jest 2-dominowany przez zbiór Ji. Jest oczywiste, że zbiór Ji ∩ V (G), i = 1, 2 jest niezależny. Zatem graf G \ C posiada (2-d)-jądro Ji\ V (C), i = 1, 2.
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 31 Wniosek 2.35. (P. Bednarz [3]) Niech G 6∼= Cm, m 3 będzie grafem jednocyklowym i niech C będzie cyklem parzystym grafu G. Jeżeli J jest (2-d)-jądrem podgrafów G \ C i G \ NG(C), to G posiada dwa (2-d)-jądra.
Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem
parzystym grafu G. Załóżmy, że J jest (2-d)-jądrem grafów G \ C i G \ NG(C). To oznacza, że J ∩ (NG(C) \ V (C)) = ∅. Ponadto każdy wierzchołek ze zbioru NG(C) \ V (C) jest 2-dominowany przez zbiór J . W przeciwnym wypadku J nie jest (2-d)-jądrem grafu
G \ C. Ponieważ C jest parzysty, więc posiada dwa (2-d)-jądra J1, J2. Pokażemy, że
J ∪ Ji, i = 1, 2 jest (2-d)-jądrem grafu G. Niezależność zbioru J ∪ Ji, i = 1, 2 jest oczywista. Rozważmy wierzchołek x ∈ V (G) \ (J ∪ J1). Jeżeli x ∈ V (G) \ V (C), to jest 2-dominowany przez J . Z kolei, jeżeli x ∈ V (C), to jest 2-dominowane przez zbiór J1. Analogicznie dowodzimy, że zbiór J ∪ J2 jest zbiorem 2-dominującym.
Rozważmy rodziny C(n), n 0 grafów takie, że C(0) = {C2p; p 2} oraz dla dowolnego n 1 każdy graf G należący do rodziny C(n)jest otrzymany z pewnego grafu
H ∈ C(n−1) przez krawędziowe sklejenie grafu G i dowolnego cyklu C2k, k 2 wzdłuż ścieżki Pi, 1 ¬ i < 2k.
Rodzinę C = S
n0
C(n) będziemy nazywać rodziną sklejonych parzystych cykli.
Twierdzenie 2.36. (P. Bednarz [3]) Jeżeli G ∈ C, to G posiada dwa (2-d)-jądra będące
podziałem zbioru V (G).
Dowód (indukcyjny ze względu na n). Niech G ∈ C = S
n0
C(n). Stąd G ∈ C(n) dla pewnego n 0. Wystarczy udowodnić, że dla dowolnego n 0 grafy należące do rodziny
C(n) posiadają dwa (2-d)-jądra będące podziałem zbioru wierzchołków. Zastosujemy indukcję ze względu na n. Jeżeli n = 0, to G jest cyklem parzystym i twierdzenie jest oczywiste. Niech n 1. Załóżmy, że każdy graf należący do rodziny C(n−1) posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem jego zbioru wierzchołków. Pokażemy, że G ∈ C(n) posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem V (G). Ponieważ G ∈ C(n), więc G jest grafem otrzymanym w wyniku sklejenia pewnego grafu H ∈ C(n−1) i cyklu C2k, k 2 wzdłuż drogi Pi, 1 ¬ i < 2k. Niech V (C2k) = {x1, x2, . . . , x2k} z numeracją wierzchołków na
cyklu w naturalnej kolejności. Załóżmy bez straty dla ogólności rozważań, że V (Pi) =
{x1, x2, . . . , xi}, 1 ¬ i < 2k. Z założenia indukcyjnego graf H posiada dwa (2-d)-jądra J1H, J2H, które są podziałem zbioru V (H), czyli JiH 6= ∅, i = 1, 2, JH
1 ∩ JH
2 = ∅,
J1H ∪ JH
2 = V (H). Ponadto każdy wierzchołek ścieżki Pi należy do zbioru J1H albo J2H. Załóżmy, że x1 ∈ JH
1 . Jeżeli i jest nieparzyste, to zbiory J1H ∪ {xi+2, xi+4, . . . , x2k−1}, JH
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 32
J1H∪ {xi+1, xi+3, . . . , x2k−1}, JH
2 ∪ {xi+2, xi+4, . . . , x2k} są (2-d)-jądrami grafu G. W obu
przypadkach te zbiory są podziałem zbioru V (G).
Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe.
Wniosek 2.37. (P. Bednarz [3]) Niech G ∈ C. Jeżeli (2-d)-jądra Ji ⊂ V (G), i = 1, 2 są podziałem zbioru V (G), to dla dowolnych x, y ∈ Ji, i = 1, 2 zachodzi dG(x, y) ≡ 0(mod 2).
Istnieją grafy należące do rodziny C posiadające więcej niż dwa (2-d)-jądra. Rozważ-my dla przykładu graf G ∈ C(3) przedstawiony na Rysunku 2.8, który oprócz dwóch (2-d)-jąder J1 = {v1, v3, v8, v7}, J2 = {v2, v5, v4, v6} będących podziałem zbioru V (G)
posiada (2-d)-jądro J3 = {v2, v5, v8, v7}. Jest oczywiste, że rodzina J (G) = {J1, J2, J3}
nie jest podziałem zbioru V (G). Podziałem zbioru V (G) jest J∗(G) = {J1, J2}.
v1 v2 v3 v4 v8 v6 v7 v5 Rys. 2.8: Graf G ∈ C(3)
Niech n 5 będzie liczbą naturalną. Rozważmy cykl Cn i dopełnienie Cn, gdzie
V (Cn) = {x1, x2, . . . , xn}, V (Cn) = {xc
1, xc
2, . . . , xc
n} z numeracją wierzchołków na
cyklu i jego dopełnieniu w naturalnej kolejności. Niech G(n) będzie grafem takim, że
V (G(n)) = V (Cn) ∪ V (Cn) i E(G(n)) = E(Cn) ∪ E(Cn) ∪ {xixc
i; i = 1, 2, . . . , n}. Jeżeli n = 5, to G(5) jest izomorficzny z grafem Petersena.
Twierdzenie 2.38. (P. Bednarz [3]) Niech n 5 będzie liczbą naturalną. Graf G(n)
posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste. Dowód. Niech n 5 będzie nieparzyste. Pokażemy, że J = {xc
2, xc
3, x1, x4, x6, . . . , xn−1}
jest (2-d)-jądrem grafu G(n). Niezależność zbioru J jest oczywista. Wykażemy, że J jest zbiorem 2-dominującym. Z definicji grafu G(n) możemy przyjąć, że xn+1 = x1. Załóżmy, że y ∈ V (G(n)) \ J . Wtedy y ∈ V (Cn) albo y ∈ V (Cn).
Niech y ∈ V (Cn). Wtedy y = xk, k = 2, 3, 5, . . . , n. Jeżeli xc
k∈ J, to istnieją wierzchołki/ xk−1, xk+1 ∈ J sąsiednie z wierzchołkiem xk. Jeżeli xc
k ∈ J, to k = 2 albo k = 3.
Dla k = 2 wierzchołek x2 jest sąsiedni z wierzchołkami x1, xc
2 ∈ J. Z kolei dla k = 3
wierzchołek x3 jest sąsiedni z wierzchołkami x4, xc3 ∈ J. Zatem każdy wierzchołek ze
zbioru V (Cn) jest 2-dominowany przez zbiór J . Niech y ∈ V (Cn), stąd y = xc
k, k = 1, 4, 5, . . . , n. Wtedy wierzchołek xc
k, k = 5, 6, . . . , n jest sąsiedni z wierzchołkami xc
2, xc
3 ∈ J. Jeżeli k = 1, to xc
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 33
x1, xc3 ∈ J. Z kolei dla k = 4 wierzchołek xc
4 jest sąsiedni z wierzchołkami x4, xc2. To oznacza, że wierzchołki ze zbioru V (Cn) są 2-dominowane przez zbiór J . Zatem J jest (2-d)-jądrem grafu G(n).
Załóżmy, że graf G(n) posiada (2-d)-jądro J . Pokażemy, że n jest nieparzyste. Z definicji grafu G(n) otrzymujemy, że J ∩ V (Cn) 6= ∅. W przeciwnym wypadku wierzchołki ze zbioru V (Cn) nie są 2-dominowane przez zbiór J . Załóżmy, że xc1 ∈ J . Wtedy xc2 ∈ J albo xc
n ∈ J. W przeciwnym razie wierzchołki xc
2, xcn nie są 2-dominowane przez zbiór J . Stąd |J ∩ V (Cn)| = 2. Bez straty dla ogólności rozważań załóżmy, że xc
1, xc
2 ∈ J. To oznacza, że wierzchołek xc
i, i = 4, 5, . . . , n − 1 jest 2-dominowany przez zbiór J a wierzchołki xc
3, xc
n są dominowane przez zbiór J . Niech
J∗ = J \ {xc1, xc
2}. Wtedy J∗ ⊂ V (C). Ponieważ J jest (2-d)-jądrem, to x3, xn ∈ J∗
, w przeciwnym wypadku wierzchołki xc3, xcn nie są 2-dominowane przez zbiór J . Aby wierzchołki ze zbioru V (Cn) \ J∗ były 2-dominowane, to z konstrukcji grafu G wynika, że h{x3, x4, . . . , xn}iG(n) ∼= Pn−2 posiada (2-d)-jądro. Z Twierdzenia 2.16 wynika, że (2-d)-jądro istnieje jeżeli n jest nieparzyste. Wtedy J∗ = {x3, x5, . . . , xn}, co kończy
dowód.
Wniosek 2.39. (P. Bednarz [3]) Jeżeli n 5 jest nieparzyste, to σ(G(n)) = n oraz
j(G(n)) = J (G(n)) =jn2k+ 2.
Dowód. Załóżmy, że n 5 jest nieparzyste. Z konstrukcji (2-d)-jądra opisanej w
do-wodzie Twierdzenia 2.38 wynika, że dokładnie dwa niesąsiednie wierzchołki ze zbioru
V (Cn) ⊂ V (G(n)) należą do (2-d)-jądra. Wybór tych dwóch wierzchołków jednoznacznie wyznacza (2-d)-jądro w grafie G(n). Ponieważ dwa niesąsiednie wierzchołki mogą być wybrane na n sposobów, więc σ(G(n)) = n. Ponadto z konstrukcji (2-d)-jąder w grafie
G(n) wynika, że wszystkie są równoliczne, czyli j(G(n)) = J (G(n)) =jn2k+ 2, co kończy dowód.
Niech n 3, k < n2 będą liczbami naturalnymi. Graf G(n, k) nazywamy
uogólnionym grafem Petersena, jeżeli V (G(n, k)) = n−1S
i=0
{ui, vi} oraz E(G(n, k)) =
n−1
S
i=0
{uiui+1, uivi, vivi+k}, gdzie indeksy są liczbami całkowitymi modulo n.
Twierdzenie 2.40. (B. Alspach, J. Liu [1]) Niech n 3, k < n2 będą liczbami natural-nymi. Graf G(n, k) jest grafem dwudzielnym wtedy i tylko wtedy, gdy n jest parzyste i k jest nieparzyste.
2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami 34 Twierdzenie 2.41. (P. Bednarz [3]) Niech n 3, k < n2 będą liczbami naturalnymi. Jeżeli n jest parzyste i k jest nieparzyste, to graf G(n, k) posiada dwa (2-d)-jądra będące
podziałem zbioru V (G(n, k)).
Dowód. Niech n 3 będzie parzyste, k < n2 nieparzyste. Wtedy z Twierdzenia 2.40 wynika, że graf G(n, k) jest grafem dwudzielnym. To oznacza, że istnieją dwa niezależne zbiory wierzchołków V1, V2 będące podziałem zbioru V (G(n, k)). Ponieważ graf G(n, k) jest grafem 3-regularnym, więc jest oczywiste, że zbiory V1, V2 są (2-d)-jądrami grafu
G(n, k).
Twierdzenie 2.42. (P. Bednarz [3]) Niech n 3, k < n2 będą liczbami naturalnymi. Jeżeli n ≡ 0(mod 5), k ≡ j(mod 5), j = 2, 3, to graf G(n, k) posiada (2-d)-jądro.
Dowód. Niech n 3, k < n2 będą liczbami naturalnymi i n ≡ 0(mod 5), k ≡ j(mod 5),
j = 2, 3. Pokażemy, że J = {ui; i = 0, 5, . . . , n} ∪ {ui+2; i = 0, 5, . . . , n} ∪ {vi+3; i = 0, 5, . . . , n} ∪ {vi+4; i = 0, 5, . . . , n} jest (2-d)-jądrem grafu G(n, k). Niezależność zbioru
J wynika z definicji grafu G(n, k). Załóżmy, że x ∈ V (G(n, k)) \ J . Wtedy x = us,
s = 0, 1, . . . , n−1, s ≡ a(mod 5), a = 1, 3, 4 albo x = vt, t = 0, 1, . . . , n−1, t ≡ b(mod 5),
b = 0, 1, 2. Rozważmy następujące przypadki.
1. x = us.
Jeżeli s ≡ 1(mod 5), to us jest sąsiedni z wierzchołkami us−1, us+1 ∈ J. Jeżeli s ≡
3(mod 5), to us jest sąsiedni z wierzchołkami us−1, vs∈ J. Jeżeli s ≡ 4(mod 5), to us
jest sąsiedni z wierzchołkami us+1, vs ∈ J.
2. x = vt.
Niech t ≡ 0(mod 5). Jeżeli k ≡ 2(mod 5), to vtjest sąsiedni z wierzchołkami ut, vt−2 ∈ J.
Jeżeli k ≡ 3(mod 5), to vtjest sąsiedni z wierzchołkami ut, vt+3 ∈ J. Jeżeli t ≡ 1(mod 5),
to vt jest sąsiedni z wierzchołkami vt−k, vt+k ∈ J, k ≡ j(mod 5), j = 2, 3. Niech t ≡ 2(mod 5). Jeżeli k ≡ 2(mod 5), to vt jest sąsiedni z wierzchołkami ut, vt+2 ∈ J.
Jeżeli k ≡ 3(mod 5), to vt jest sąsiedni z wierzchołkami ut, vt−3 ∈ J.
To oznacza, że każdy wierzchołek x ∈ V (G(n, k)) \ J jest 2-dominowany przez zbiór