Jednorodnym, liniowym równaniem rekurencyjnym o stałych współczynnikach
nazy-wamy równanie postaci
an = b1an−1+ b2an−2+ . . . + bkan−k, n k, (3.1) gdzie bi, i = 1, 2, . . . , k są dowolnymi stałymi, natomiast a0, a1, . . . , ak−1 są dane.
Dla szczególnych wartości k, bi, i = 1, 2, . . . , k oraz a0, a1, . . . , ak−1 otrzymujemy równania rekurencyjne znanych ciągów liczbowych.
Poniższe zestawienie podaje najczęściej występujące ciągi.
1. fn = fn−1+ fn−2, n 2 i f0 = f1 = 1 - ciąg Fibonacciego 2. ln= ln−1+ ln−2, n 2 i l0 = 2, l1 = 1 - ciąg Lucasa 3. pn = 2pn−1+ pn−2, n 2 i p0 = 0, p1 = 1 - ciąg Pella 4. jn= jn−1+ 2jn−2, n 2 i j0 = 0, j1 = 1 - ciąg Jacobsthala 5. pvn= pvn−2+ pvn−3, n 3 i pv0 = pv1 = pv2 = 1 - ciąg Padovana 6. prn = prn−2+ prn−3, n 3 i pr0 = 3, pr1 = 0, pr2 = 2 - ciąg Perrina
Liczby będące elementami powyższych ciągów nazywamy odpowiednio liczbami
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 36
W Tabeli 3.1 podane zostały początkowe wyrazy zdefiniowanych powyżej ciągów.
n 0 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 pn 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741 jn 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 pvn 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 prn 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 22 Tabela 3.1: Początkowe wyrazy ciągów fn, ln, pn, jn, pvn, prn
Ogólnie ciągi zdefiniowane jednorodnym, liniowym równaniem rekurencyjnym o cał-kowitych, nieujemnych współczynnikach są nazywane ciągami typu Fibonacciego, a ich elementy liczbami typu Fibonacciego. Liczby typu Fibonacciego mają wiele interpretacji także w grafach. W pracy [7] U. Bednarz, I. Włoch i M. Wołowiec-Musiał podały ogólną, grafową interpretację liczb typu Fibonacciego związaną ze szczególnym krawędziowym kolorowaniem grafów.
W rozdziale tym podamy konstrukcje grafów, w których liczba (2-d)-jąder jest liczbą typu Fibonacciego. Rezultaty te nawiązują do zagadnienia zliczania zbiorów niezależnych w grafach.
Problem zliczania zbiorów niezależnych został postawiony po raz pierwszy w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku przez P. Erd˝osa i L. Mosera i dotyczył wyznaczenia największej liczby maksymalnych zbiorów niezależnych dowolnego n-wierzchołkowego grafu. Problem ten został rozwiązany między innymi przez J. W. Moona i L. Mosera w [41], ale duże zainteresowanie zagadnieniami zliczania zbiorów niezależnych zostało zapoczątkowane dwie dekady później. W 1982 roku H. Prodinger i R. F. Tichy w [46] podali związki liczb Fibonacciego i liczb Lucasa z liczbą wszystkich zbiorów niezależnych odpowiednio ścieżek i cykli. Liczba zbiorów niezależnych grafu G została nazwana liczbą
Fibonacciego grafu i oznaczona symbolem F (G).
Twierdzenie 3.1. (H. Prodinger, R. F. Tichy [46]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną.
Wtedy
F (Pn) = fn+1, F (Cn) = ln.
Niezależnie, dwóch amerykańskich chemików R. E. Merrifield i H. E. Simmons w 1989 roku w [39] wprowadziło problematykę zliczania zbiorów niezależnych w grafie molekularnym (w którym wierzchołki odpowiadają atomom a krawędzie wiązaniom
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 37
pomiędzy atomami) do kombinatoryki chemicznej. Pokazali oni zastosowanie zliczania zbiorów niezależnych w badaniu własności alkanów.
Zarówno zliczanie zbiorów niezależnych w grafach prowadzone z czysto teoretycznego punktu widzenia jak i ich zastosowania dały duży impuls do rozważania problemów zliczania w grafach. Przeglądowy artykuł [51] S. Wagnera i I. Gutmana z 2010 roku liczy 128 pozycji bibliografii, z których większość stanowią publikacje z ostatnich lat.
W przypadkach klas grafów, gdzie liczba zbiorów niezależnych nie może być wy-znaczona dokładnie, a jedynie podane są oszacowania, ekstremalne wartości są często wyrażone liczbami typu Fibonacciego.
Liczba wszystkich zbiorów niezależnych w grafie jest nazywana również indeksem
Merrifielda-Simmonsa.
Tematyka zliczania różnego rodzaju zbiorów niezależnych, dominujących lub jąder w grafach i ich związków z liczbami typu Fibonacciego jest obszerna i aktualna, była rozważana między innymi w [18, 49, 60].
Nawiążemy do problemów zliczania zbiorów niezależnych w grafach podając nowe, grafowe interpretacje liczb typu Fibonacciego związane z liczbą (2-d)-jąder.
Niech kC4, k 1 będzie grafem składającym się z k kopii 4-cyklu C4. Niech C4i,
i = 1, 2, . . . , k oznacza i-tą kopię C4 w grafie kC4. Przyjmijmy, że V (C4i) = {xij; j = 1, 2, 3, 4} dla i = 1, 2, . . . , k z numeracją wierzchołków na cyklu w naturalnej kolejności.
Niech Hn, n 1 będzie grafem takim, że H1 ∼= K
1, H2 ∼= C
4, a dla n 3,
V (Hn) = V ((n − 1)C4) i E(Hn) = E((n − 1)C4) ∪ {xi
2xi+14 ; i = 1, 2, . . . , n − 2}. Rysunek 3.1 przedstawia konstrukcję grafu Hn, n 3.
x1 4 x11 x12 x13 x2 4 x21 x23 x22 xn−24 xn−21 xn−22 xn−23 xn−14 xn−11 xn−12 xn−13 . . . Rys. 3.1: Graf Hn, n 3
Twierdzenie 3.2. (P. Bednarz, C. Hern´andez-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 1 będzie
liczbą naturalną. Wtedy σ(Hn) = fn.
Dowód. Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Jeżeli n = 1, 2, to σ(H1) = σ(K1) = 1 = f1,
σ(H2) = σ(C4) = 2 = f2. Załóżmy, że n 3. Pokażemy, że σ(Hn) = fn. Niech
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 38
1. xn−14 ∈ J.
Wtedy xn−12 , xn−21 , xn−23 ∈ J. Z konstrukcji grafu Hn wynika, że J = J∗∗ ∪ {xn−1
4 , xn−12 , xn−21 , xn−23 }, gdzie J∗∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn−2. Stąd σxn−1
4 (Hn) =
σ(Hn−2). 2. xn−14 ∈ J./
Wtedy xn−11 , xn−13 ∈ J. Z konstrukcji grafu Hn wynika, że J = J∗∪ {xn−11 , xn−13 }, gdzie J∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn−1. Stąd σ−xn−1
4 (Hn) = σ(Hn−1).
Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci
σ(Hn) = σ(Hn−2) + σ(Hn−1), n 3.
Uwzględniając warunki początkowe σ(H1) = 1 i σ(H2) = 2 otrzymujemy, że σ(Hn) = fn
dla n 1, co należało wykazać.
Wniosek 3.3. (P. Bednarz, C. Hern´andez-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 3 będzie
liczbą naturalną. Dla dowolnego m 4n − 4 istnieje m-wierzchołkowy graf H taki, że σ(H) = fn.
Dowód. Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu Hn podamy kon-strukcję m-wierzchołkowego grafu H dla m 4n − 4 takiego, że σ(H) = fn. Je-żeli m = 4n − 4, to H ∼= Hn dla każdego n 3. Niech m > 4n − 4. Wtedy
V (H) = V (Hn)∪{t0, t1, . . . , tp−1}, p = m−4n+4, p 1 oraz E(H) = E(Hn)∪{t0x1j; j = 1, 2, 3, 4} ∪ {t0tk; k = 1, 2, . . . , p − 1}. Stąd |V (H)| = |V (Hn)| + m − 4n + 4 = m. Po-nadto zbiór J∗ = J ∪ {t1, t2, . . . , tp−1} jest (2-d)-jądrem grafu H, gdzie J jest dowolnym
(2-d)-jądrem grafu Hn. Zatem σ(H) = fn.
Korzystając z podanej interpretacji liczb Fibonacciego pokażemy jej zastosowanie podając nowy dowód tożsamości Honsbergera dla liczb Fibonacciego.
Twierdzenie 3.4. (R. Honsberger [32]) Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Wtedy
fn = fk−1fn−k−1+ fkfn−k dla 1 ¬ k ¬ n − 1.
Dowód (P. Bednarz). Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Jeżeli n = 2, to k = 1
i równość zachodzi. Załóżmy, że n 3, 1 ¬ k ¬ n − 1 i niech J ⊂ V (Hn) będzie (2-d)-jądrem grafu Hn. Z Twierdzenia 3.2 wiemy, że σ(Hn) = fn. Rozważmy następujące
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 39
1. xk4 ∈ J.
Wtedy xk
2, xk−11 , xk−13 , x1k+1, xk+13 ∈ J. Z konstrukcji grafu Hn wynika, że J = J∗∗∪ {xk
4, xk
2, xk−11 , xk−13 , x1k+1, xk+13 }, gdzie J∗∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn\ {Ck−1
4 , Ck 4, C4k+1} ∼= Hk−1∪ Hn−k−1. Stąd σxk 4(Hn) = σ(Hk−1)σ(Hn−k−1). 2. xk 4 ∈ J./
Wtedy xk1, xk3 ∈ J. Z konstrukcji grafu Hn wynika, że J = J∗∪ {xk
1, xk3}, gdzie J∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn\ Ck
4 ∼= H
k∪ Hn−k. Stąd σ−xk
4(Hn) = σ(Hk)σ(Hn−k).
Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci
σ(Hn) = σ(Hk−1)σ(Hn−k−1) + σ(Hk)σ(Hn−k), n 3, 1 ¬ k ¬ n − 1. Korzystając z Twierdzenia 3.2 otrzymujemy, że
fn= fk−1fn−k−1+ fkfn−k, n 3, 1 ¬ k ¬ n − 1,
co należało wykazać.
Niech Hn∗, n 1 będzie grafem takim, że H1 ∼= K
1, H2 ∼= H 3, a dla n 3, V (Hn∗) = V (nC4) i E(Hn∗) = E(nC4) ∪ {xi 2xi+14 ; i = 1, 2, . . . , n − 1} ∪ {xn 2x1 4}.
Rysunek 3.2 przedstawia konstrukcję grafu Hn∗, n 3.
x1 4 x1 1 x1 2 x1 3 x2 4 x2 1 x2 3 x2 2 xn−14 xn−11 xn−12 xn−13 xn 4 xn 1 xn2 xn3 . . . . . . Rys. 3.2: Graf Hn∗, n 3
Twierdzenie 3.5. (P. Bednarz, C. Hern´andez-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 1 będzie
liczbą naturalną. Wtedy σ(Hn∗) = ln.
Dowód. Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Jeżeli n = 1, 2, to σ(H1∗) = σ(K1) = 1 = l1,
σ(H2∗) = σ(H3) = 3 = l2. Załóżmy, że n 3. Pokażemy, że σ(Hn∗) = ln. Niech J ⊂ V (Hn∗) będzie (2-d)-jądrem grafu Hn∗. Rozważmy następujące przypadki.
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 40 1. xn4 ∈ J. Wtedy xn 2, xn−11 , xn−13 , x1 1, x1 3 ∈ J. Z konstrukcji grafu H∗ n wynika, że J = J∗∗ ∪ {xn 4, xn 2, xn−11 , xn−13 , x1 1, x1
3}, gdzie J∗∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn∗\ {C1
4, C4n−1, Cn 4} ∼= Hn−2. Stąd σxn 4(Hn∗) = σ(Hn−2) = fn−2. 2. xn 4 ∈ J./
Wtedy xn1, xn3 ∈ J. Z konstrukcji grafu H∗
n wynika, że J = J∗∪ {xn
1, xn3}, gdzie J∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Hn∗\ Cn
4 ∼= H
n. To oznacza, że σ−xn
4(Hn∗) = σ(Hn) = fn.
Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci
σ(Hn∗) = fn+ fn−2, n 3.
Korzystając ze znanej tożsamości pomiędzy liczbami Fibonacciego i Lucasa, że ln =
fn+ fn−2 i uwzględniając warunki początkowe σ(H1∗) = 1 i σ(H2∗) = 3 otrzymujemy, że
σ(Hn∗) = ln dla n 1, co należało wykazać.
Wniosek 3.6. (P. Bednarz, C. Hern´andez-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 3 będzie liczbą
naturalną. Dla dowolnego m 4n istnieje m-wierzchołkowy graf H taki, że σ(H) = ln. Dowód. Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu Hn∗ podamy konstruk-cję m-wierzchołkowego grafu H dla m 4n takiego, że σ(H) = ln. Jeżeli m = 4n, to
H ∼= Hn∗ dla każdego n 3. Niech m > 4n. Wtedy V (H) = V (Hn∗) ∪ {t0, t1, . . . , tp−1}, p = m − 4n, p 1 oraz E(H) = E(Hn∗) ∪ {t0x1j; j = 1, 2, 3, 4} ∪ {t0tk; k = 1, 2, . . . , p − 1}. Stąd |V (H)| = |V (Hn∗)| + m − 4n = m. Ponadto zbiór J∗ = J ∪ {t1, t2, . . . , tp−1} jest (2-d)-jądrem grafu H, gdzie J jest dowolnym (2-(2-d)-jądrem grafu Hn∗. Zatem σ(H) = ln.
Podamy konstrukcję grafu, w którym liczba (2-d)-jąder jest wyrażona liczbami Pella.
Niech kK2,2,2, k 1 będzie grafem składającym się z k kopii grafu K2,2,2. Niech K2,2,2i ,
i = 1, 2, . . . , k oznacza i-tą kopię K2,2,2 w grafie kK2,2,2. Przyjmijmy, że V (Ki
2,2,2) = Xi∪ Yi∪ Zi, gdzie Xi = {xi 1, xi 2}, Yi = {yi 1, yi 2}, Zi = {zi 1, zi 2} dla i = 1, 2, . . . , k. Niech C4 będzie 4-cyklem takim, że V (C4) = {c1, c2, c3, c4} z numeracją wierzchołków na
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 41
Niech Bn, n 1 będzie grafem takim, że B1 ∼= K
1, B2 ∼= C
4, V (B3) = V (C4) ∪
V (K2,2,2) i E(B3) = E(C4) ∪ E(K2,2,2) ∪ {c1x1
1}, a dla n 4, V (Bn) = V (C4) ∪ V ((n − 2)K2,2,2) i E(Bn) = E(C4) ∪ E((n − 2)K2,2,2) ∪ {c1x11} ∪n−3S
s=1
{xs
1xs+11 , y1sxs+12 }.
Rysunek 3.3 przestawia konstrukcję grafu Bn, n 4.
x1 1 x1 2 y1 1 y1 2 z1 1 z21 c1 c2 c3 c4 x2 1 x2 2 y2 1 y2 2 z2 1 z22 xn−21 xn−22 y1n−2 y2n−2 zn−21 z2n−2 . . . Rys. 3.3: Graf Bn, n 4
Twierdzenie 3.7. (P. Bednarz [3]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Wtedy
σ(Bn) = pn.
Dowód. Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Jeżeli n = 1, 2, to odpowiednio σ(B1) =
σ(K1) = 1 = p1 i σ(B2) = σ(C4) = 2 = p2. Jeżeli n = 3, to rodzina J (B3) wszyst-kich (2-d)-jąder ma postać J (B3) = {J1, J2, J3, J4, J5}, gdzie J1 = {X1, c2, c4}, J2 =
{Y1, c1, c3}, J3 = {Y1, c2, c4}, J4 = {Z1, c1, c3}, J5 = {Z1, c2, c4}. Czyli σ(B3) = 5 = p3. Załóżmy, że n 4. Pokażemy, że σ(Bn) = pn. Niech J ⊂ V (Bn) będzie (2-d)-jądrem grafu Bn. Rozważmy następujące przypadki.
1. xn−21 ∈ J.
Wtedy xn−22 , z1n−3, z2n−3 ∈ J. Z konstrukcji grafu Bn wynika, że J = J∗∗∪ Zn−3∪ Xn−2, gdzie J∗∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Bn−2. Stąd σxn−2
1 (Bn) = σ(Bn−2). 2. xn−21 ∈ J./ Wtedy y1n−2 ∈ J albo yn−2 1 ∈ J. Jeżeli y/ n−2 1 ∈ J, to yn−2 2 ∈ J. Z konstrukcji grafu Bn
wynika, że J = J∗∪ Yn−2, gdzie J∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Bn−1. To oznacza, że σ(Bn−1) jest liczbą (2-d)-jąder J grafu Bn, które nie zawierają wierzchołka xn−21 i zawierają wierzchołek y1n−2. Jeżeli y1n−2∈ J, to z/ 1n−2, zn−22 ∈ J. Dowodząc analogicznie
jak poprzednio otrzymujemy, że liczba (2-d)-jąder J grafu Bn, które nie zawierają wierzchołków xn−21 i y1n−2 wynosi σ(Bn−1). Stąd σ−xn−2
1 (Bn) = σ(Bn−1) + σ(Bn−1). Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 42
Uwzględniając warunki początkowe σ(B1) = 1, σ(B2) = 2 i σ(B3) = 5 otrzymujemy, że
σ(Bn) = pn dla n 1, co należało wykazać.
Wniosek 3.8. (P. Bednarz [3]) Niech n 4 będzie liczbą naturalną. Dla dowolnego
m 6n − 8 istnieje m-wierzchołkowy graf B taki, że σ(B) = pn.
Dowód. Niech n 4 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu Bn podamy konstruk-cję m-wierzchołkowego grafu B, m 6n − 8 takiego, że σ(B) = pn. Jeżeli m = 6n − 8, to
B ∼= Bndla każdego n 4. Niech m > 6n − 6. Wtedy V (B) = V (Bn) ∪ {t0, t1, . . . , tp−1}, p = m−6n+8, p 1 oraz E(B) = E(Bn)∪{t0cj; j = 1, 2, 3, 4}∪{t0tk; k = 1, 2, . . . , p−1}. Stąd |V (B)| = |V (Bn)|+m−6n+8 = m. Ponadto zbiór J∗ = J ∪{t1, t2, . . . , tp−1} jest (2-d)-jądrem grafu B, gdzie J jest dowolnym (2-(2-d)-jądrem grafu Bn. Zatem σ(B) = pn.
Oprócz przedstawionych interpretacji grafowych liczb typu Fibonacciego podobne rozważania możemy prowadzić dla innych znanych liczb.
Podamy konstrukcję grafu, w którym liczba (2-d)-jąder wyraża się liczbami Mersenne’a.
Ciągiem Mersenne’a nazywamy ciąg zdefiniowany rekurencyjnie niejednorodnym liniowym równaniem postaci mn = 2mn−1+ 1, n 1 i m0 = 0.
Wyrazy ciągu Mersenne’a 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, . . . nazywamy liczbami Mersenne’a.
Niech An, n 1 będzie grafem takim, że A1 ∼= K
1, A2 ∼= K 2,2,2, a dla n 3, V (An) = V ((n − 1)K2,2,2) i E(An) = E((n − 1)K2,2,2) ∪n−2S s=1 {ys 1xs+11 , zs 1xs+12 }.
Rysunek 3.4 przestawia konstrukcję grafu An, n 3.
x1 1 x1 2 y1 1 y1 2 z1 1 z21 x2 1 x2 2 y2 1 y2 2 z2 1 z22 xn−11 xn−12 yn−11 yn−12 z1n−1 z2n−1 . . . Rys. 3.4: Graf An, n 3
Twierdzenie 3.9. (P. Bednarz [3]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Wtedy
σ(An) = mn.
Dowód. Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Jeżeli n = 1, 2, to odpowiednio σ(A1) =
σ(K1) = 1 = m1 i σ(A2) = σ(K2,2,2) = 3 = m2. Załóżmy, że n 3. Pokażemy, że
σ(An) = mn. Niech J ⊂ V (An) będzie (2-d)-jądrem grafu An. Rozważmy następujące przypadki.
3. Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego 43
1. xn−11 ∈ J.
Wtedy xn−12 ∈ J i xi
1, xi
2 ∈ J dla i = 1, 2, . . . , n − 2. To oznacza, że J = n−1S
i=1
Xi jest jedynym (2-d)-jądrem grafu An zawierającym wierzchołek xn−11 . Stąd σxn−1
1 (An) = 1. 2. xn−11 ∈ J./
Wtedy y1n−1 ∈ J albo yn−11 ∈ J. Jeżeli y/ n−11 ∈ J, to y2n−1 ∈ J. Z konstrukcji grafu An wynika, że J = J∗∪ Yn−1, gdzie J∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu An−1. To oznacza, że σ(An−1) jest liczbą (2-d)-jąder J , które nie zawierają wierzchołka xn−11 i zawierają wierzchołek y1n−1. Jeżeli y1n−1∈ J, to z/ n−1
1 , zn−12 ∈ J. Dowodząc analogicznie
jak poprzednio otrzymujemy, że liczba (2-d)-jąder J , które nie zawierają wierzchołków
xn−11 i y1n−1 wynosi σ(An−1). Zatem σ−xn−1
1 (An) = σ(An−1) + σ(An−1).
Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci
σ(An) = 1 + 2σ(An−1), n 3.
Uwzględniając warunki początkowe σ(A1) = 1 i σ(A2) = 3 otrzymujemy, że σ(An) = mn dla n 1, co należało wykazać.
Wniosek 3.10. (P. Bednarz [3]) Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Dla dowolnego
m 6n − 6 istnieje m-wierzchołkowy graf A taki, że σ(A) = mn.
Dowód. Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu An podamy konstruk-cję m-wierzchołkowego grafu A, m 6n−6 takiego, że σ(A) = mn. Jeżeli m = 6n−6, to
A ∼= Andla każdego n 3. Niech m > 6n − 6. Wtedy V (A) = V (An) ∪ {t0, t1, . . . , tp−1}, p = m − 6n + 6, p 1 oraz E(G) = E(Gn) ∪ {t0x1
1, t0x1 2, t0y1 1, t0y1 2, t0z1 1, t0z1 2} ∪ {t0tk; k = 1, 2, . . . , p − 1}. Stąd |V (A)| = |V (An)| + m − 6n + 6 = m. Ponadto zbiór J∗ =
J ∪ {t1, t2, . . . , tp−1} jest (2-d)-jądrem grafu A, gdzie J jest dowolnym (2-d)-jądrem