Index of /rozprawy2/11354

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej. Rozprawa doktorska. Podwójnie dominujące jądra w grafach i ich produktach. Paweł Bednarz. promotor dr hab. Iwona Włoch, prof. PRz. Kraków 2018.

(2) Spis treści Wstęp. 2. Wykaz oznaczeń. 6. 1 Podstawowe definicje i oznaczenia. 8. 2 Istnienie i liczba 2-dominujących jąder w grafach. 12. 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro . . . . . . . . . . . .. 21. 2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3 Związki liczby (2-d )-jąder z liczbami typu Fibonacciego. 35. 4 Istnienie i liczba (2-d )-jąder w produktach grafów. 44. 4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.3. (2-d )-jądra w uogólnionej koronie grafów . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 4.4. (2-d )-jądra w G-złączeniu grafów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5 Algorytm wyznaczający (2-d )-jądro w drzewach. 65. Podsumowanie i dalsze kierunki badań. 69. Bibliografia. 71. Dodatek - Przykłady produktów grafów posiadających (2-d )-jądro. 76.

(3) Wstęp Niezależność i dominowanie w grafach są znanymi i intensywnie badanymi problemami w teorii grafów. Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem. Podzbiór S ⊆ V (G) jest zbiorem niezależnym grafu G, jeżeli dowolne dwa wierzchołki ze zbioru S nie są sąsiednie. Moc największego zbioru niezależnego jest liczbą niezależności oznaczaną symbolem α(G). Podzbiór D ⊆ V (G) jest zbiorem dominującym grafu G, jeżeli każdy wierzchołek x ∈ V (G) \ D jest sąsiedni z wierzchołkiem ze zbioru D. Moc najmniejszego zbioru dominującego jest liczbą dominowania oznaczaną symbolem γ(G). Zbiory niezależne w grafach były badane od dawna, między innymi ze względu na ich związki z kolorowaniem grafów. Pojęcie zbioru dominującego zostało po raz pierwszy użyte przez O. Ore w 1962 roku w [45], a w 1977 roku E. J. Cockayne i S. T. Hedetniemi w [15] wprowadzili liczbę dominowania. Jednak pierwsze problemy, które można związać z niezależnością i dominowaniem, pojawiły się w XIX wieku i dotyczyły rozmieszczania figur na szachownicy. W 1862 roku C. F. de Jaenisch postawił problem dotyczący wyznaczenia najmniejszej liczby królowych na szachownicy o wymiarze n × n tak, aby każde pole było zajęte przez królową albo mogło zostać zaatakowane w kolejnym ruchu przez co najmniej jedną z królowych, [16]. W 1892 roku W. W. R. Ball w [2] wskazał trzy typy problemów związanych z rozmieszczeniami figur na szachownicy. Przy założeniu, że każde pole na szachownicy jest zajęte przez figurę danego typu albo może być zaatakowane w kolejnym ruchu przez co najmniej jedną z tych figur postawił następujące pytania. (i) Ile wynosi najmniejsza liczba figur? (ii) Ile wynosi najmniejsza liczba wzajemnie nieatakujących się figur? (iii) Ile wynosi największa liczba wzajemnie nieatakujących się figur? Modelując powyższe problemy przy pomocy grafów, ich rozwiązanie można sprowadzić do wyznaczenia odpowiednio: liczby dominowania, mocy najmniejszego niezależnego zbioru dominującego oraz liczby niezależności grafu..

(4) Wstęp. 3. Zbiory, które są jednocześnie dominujące i niezależne nazywamy jądrami. Klasyczne pojęcie jądra zostało wprowadzone w digrafach w połowie ubiegłego wieku. W pracy [42] J. Von Neumann i O. Morgenstern użyli pojęcia jądra w teorii gier. Jednym z pionierów badających jądra był C. Berge, a teoria jąder znalazła zastosowanie do rozwiązywania innych problemów, między innymi do kolorowania z listy i doskonałości grafów. W kolejnych dziesięcioleciach C. Berge, M. Blidia, P. Duchet i F. Maffray badali istnienie jąder w digrafach także w odniesieniu do ich zastosowań, [8, 9, 10, 37]. W literaturze zostało wprowadzonych i opisanych wiele różnych rodzajów i uogólnień zbiorów dominujących, niezależnych, a w konsekwencji jąder. A. Meir i J. W. Moon w [38] podali uogólnienie zbiorów dominujących i niezależnych w sensie odległościowym. W [12] M. Borowiecki i M. Kuzak opierając się na tych uogólnieniach wprowadzili pojęcie (k, l)-jądra. Literatura dotycząca (k, l)-jąder jest obszerna, a problematyka ta jest wciąż aktualna. Między innymi H. Galeana-Sánchez, C. Hernández-Cruz [24, 25, 31], M. Kwaśnik, M. Kucharska [34, 35, 36], A. Włoch i I. Włoch [55, 56] badali (k, l)-jadra zarówno w digrafach, jak i grafach nieskierowanych. Również szeroko znanym uogólnieniem klasycznych jąder są jądra przez drogi monochromatyczne w krawędziowo pokolorowanych digrafach, które wprowadzili B. Sands, N. Sauer i R. Woodrow, [47]. H. Galeana-Sánchez, S. Minggang, L. Pastrana Ram´ırez, I.Włoch opisali ten rodzaj jąder między innymi w [23, 26, 40, 57, 59]. Wiele rodzajów jąder w grafach nieskierowanych zostało zdefiniowanych przez nałożenie na dominowanie lub niezależność dodatkowych warunków. Przykładami takich jąder są między innymi znane w literaturze efektywne zbiory dominujące, powściągliwe jądra i (1,2)-jądra rozważane odpowiednio w [13, 14, 30]. Przedstawiona rozprawa dotyczy jednego z rodzajów jąder w grafach nieskierowanych – mianowicie podwójnie dominujących jąder nazywanych również 2-dominującymi jądrami. Zbiory 2-dominujące są szczególnym przypadkiem wielokrotnego dominowania w grafach wprowadzonego przez J. F. Finka i M. S. Jacobsona w [19]. Niech k 1 będzie liczbą naturalną. Podzbiór D ⊆ V (G) nazywamy zbiorem k-dominującym grafu G, jeżeli każdy wierzchołek x ∈ V (G) \ D jest sąsiedni z co najmniej k wierzchołkami ze zbioru D. Jeżeli k = 1, to zbiór D jest dominujący w klasycznym sensie. Jeżeli k = 2, to otrzymujemy definicję zbioru 2-dominującego (nazywanego również podwójnie dominującym). Moc najmniejszego zbioru 2-dominującego nazywamy liczbą 2-dominowania grafu G i oznaczamy symbolem γ2 (G). Poprzez nałożenie na zbiór 2-dominujący dodatkowego warunku niezależności w pracy [54] została wprowadzona definicja 2-dominującego jądra (krótko: (2-d)-jądra)..

(5) Wstęp. 4. Pojęcie (2-d)-jądra zostało uogólnione w 2017 roku w [44]. Odwołując się do definicji (2-d)-jądra Z. L. Nagy zdefiniował k-dominujące jądro jako zbiór niezależny i k-dominujący, k 1. Istnienie k-dominującego jądra w grafie wymaga odpowiednio dużych stopni wierzchołków, znacznie ograniczając klasy grafów posiadających k-dominujące jądro. W tej rozprawie rozważane są wyłącznie (2-d)-jądra w odniesieniu do problemów istnienia i ich liczby w grafach i produktach grafów. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale pierwszym podane są podstawowe definicje i oznaczenia zaczerpnięte głównie z [17]. Pozostałe są zamieszczone wewnątrz rozdziałów bezpośrednio przed ich wykorzystaniem. W rozdziale drugim przedstawione zostały wstępne rezultaty dotyczące istnienia (2d)-jądra w grafach. Udowodnione zostało, że problem istnienia (2-d)-jądra w dowolnym grafie jest problemem N P-zupełnym. Pokazane zostały zależności pomiędzy największym zbiorem niezależnym a (2-d)-jądrem oraz równością parametrów γ2 (G) i α(G) a istnieniem (2-d)-jądra w grafie. M. Blidia, M. Chellali, O. Favaron [11] oraz G. Gunther, B. Hartnell i D. F. Rall [28] zajmowali się największymi zbiorami niezależnymi i zbiorami 2-dominującymi w grafach oraz parametrami γ2 (G) i α(G) w drzewach. Otrzymane przez nich charakteryzacje zostały wykorzystane w niniejszej pracy do podania różnych, pełnych charakteryzacji drzew posiadających (2-d)-jądro. Oprócz rezultatów dla drzew, przedstawione zostały charakteryzacje grafów z cyklami posiadających (2-d)-jądra, ze szczególnym uwzględnieniem grafów jednocyklowych i uogólnień grafów Petersena. Podane zostały również wartości albo oszacowania liczb (2-d)-jądrowych w rozważanych klasach grafów. W rozdziale trzecim zostały przedstawione interpretacje grafowe liczb typu Fibonacciego z wykorzystaniem liczby (2-d)-jąder. Problemy rozważane w tym rozdziale nawiązują do zagadnień zliczania zbiorów niezależnych i ich związków z liczbami Fibonacciego. Problematyka ta została zapoczątkowana przez H. Prodingera i R. F. Tichy’ego w 1982 roku. W [46] pokazali, że liczba wszystkich zbiorów niezależnych ścieżek i cykli jest równa odpowiednio liczbie Fibonacciego i Lucasa. Podana interpretacja zapoczątkowała zainteresowanie się problemami zliczania w grafach i ich związków z liczbami Fibonacciego. Między innymi Z. F¨ uredi w [22] wykazał, że liczba wszystkich maksymalnych zbiorów niezależnych ścieżek i cykli jest równa odpowiednio liczbie Padovana i Perrina. W pracy zostały przedstawione konstrukcje grafów, w których liczba (2-d)jąder jest wyrażona liczbami typu Fibonacciego. Uzyskane interpretacje są dobrym narzędziem dowodowym dla wykazywania znanych tożsamości lub można je wykorzystać do otrzymywania nowych zależności dla liczb typu Fibonacciego. W pracy zostało pokazane zastosowanie tej interpretacji do nowego dowodu tożsamości Honsbergera..

(6) Wstęp. 5. Rozdział czwarty dotyczy istnienia i liczby (2-d)-jąder w produktach grafów. Rozważane są: produkt kartezjański, produkt tensorowy, uogólniona korona grafów i G-złączenie grafów. Podane zostały warunki konieczne i wystarczające dla istnienia (2-d)-jądra w tych produktach. Ponadto wyznaczona została liczba (2-d)-jąder. W niektórych przypadkach liczba (2-d)-jąder jest wyrażona rekurencyjnie i jest równa liczbie Padovana albo Perrina. Przedstawiona została pełna charakteryzacja uogólnionej korony grafów posiadającej (2-d)-jądra oraz warunki konieczne i wystarczające na istnienie (2-d)-jądra w G-złączeniu grafów. W rozdziale piątym przedstawiony został algorytm wyznaczający (2-d)-jądro w drzewie albo zwracający informację, że (2-d)-jądro nie istnieje. Zamieszczony jest pseudokod algorytmu wraz z przykładami działania tego algorytmu. W dodatku do pracy zostały pokazane przykłady produktów grafów posiadających (2-d)-jądra. Większość zamieszczonych rezultatów została opublikowana, zaś pozostała część jest przygotowana do publikacji. Treść niniejszej rozprawy stanowią artykuły. [A] P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch, On the existence and the number of (2-d)-kernels in graphs, Ars Combinatoria 121 (2015) 341-351, [B] P. Bednarz, I. Włoch, On (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs, Ann. Univ. Mariae Curie-Skłodowska Sect. A, 70 (2) (2016), 1-8, [C] P. Bednarz, I. Włoch, An algorithm determining (2-d)-kernels in trees, Utilitas Mathematica 102 (2017), 215-222, [D] P. Bednarz, The existence and the number of (2-d)-kernels in graphs and their products, manuskrypt. Znaczna część rezultatów zawartych w tej pracy była prezentowana w formie referatów na międzynarodowych konferencjach naukowych. 1. Seventh Cracow Conference on Graph Theory, Rytro, 2014, 2. The 23rd Workshop ’3in1’, Kraków, 2014, 3. 24th Workshop Cycles and Colourings, Nov´ y Smokovec, 2015, 4. The 25th Workshop ’3in1’, Dosłońce, 2016, 5. III Konferencja Matematyczno-Informatyczna „Congressio-Mathematica”, Rzeszów, 2017. Wyniki przedstawione w niniejszej rozprawie nie wyczerpują rozważanej tematyki i mogą stanowić przyczynek do dalszych badań..

(7) Wykaz oznaczeń G = (V, E). -. graf prosty (graf). V (G). -. zbiór wierzchołków grafu G. E(G). -. zbiór krawędzi grafu G. xy. -. krawędź incydentna z wierzchołkami x, y. degG (x). -. stopień wierzchołka x w grafie G. NG (x). -. sąsiedztwo otwarte wierzchołka x w grafie G. NG [x]. -. sąsiedztwo domknięte wierzchołka x w grafie G. NG (X). -. sąsiedztwo otwarte zbioru wierzchołków X w grafie G. NG [X]. -. sąsiedztwo domknięte zbioru wierzchołków X w grafie G. dG (x, y). -. odległość pomiędzy wierzchołkami x, y w grafie G. Nn. -. bezkrawędziowy graf n-wierzchołkowy. Pn. -. ścieżka n-wierzchołkowa. Cn. -. cykl n-wierzchołkowy. Kn. -. graf pełny n-wierzchołkowy. Kn,m. -. graf pełny dwudzielny. Kn1 ,n2 ,...,nr. -. graf pełny r-dzielny. K1,n−1. -. gwiazda n-wierzchołkowa. T. -. drzewo. γ(G). -. liczba dominowania grafu G. α(G). -. liczba niezależności grafu G. γ2 (G). -. liczba 2-dominowania grafu G. L(x). -. zbiór liści sąsiednich z wierzchołkiem x. L(G). -. zbiór liści grafu G. S(G). -. zbiór wierzchołków podtrzymujących grafu G. hW iG. -. podgraf grafu G indukowany przez zbiór W , W ⊆ V (G). G G∼ =H. -. dopełnienie grafu G. G+H. -. złączenie grafów G i H. GH. -. produkt kartezjański grafów G i H. - G izomorficzny z H.

(8) Wykaz oznaczeń G×H. -. produkt tensorowy grafów G i H. GH. -. silny produkt grafów G i H. G[H]. -. kompozycja grafów G i H. G◦H. -. korona grafów G i H. G ◦ hn. -. korona grafu G i ciągu grafów hn. G[hn ]. - G-złączenie grafu G i ciągu grafów hn. adG(x,y) (H). -. lokalne powiększenie grafu G o graf H. J (G). -. rodzina wszystkich (2-d)-jąder grafu G. J ∗ (G). -. rodzina (2-d)-jąder grafu G będąca podziałem zbioru V (G). Jx (G). -. rodzina wszystkich (2-d)-jąder grafu G zawierających wierzchołek. 7. x ∈ V (G) J−x (G). - rodzina wszystkich (2-d)-jąder grafu G niezawierających wierzchołka x ∈ V (G). σ(G). -. liczba wszystkich (2-d)-jąder grafu G. σx (G). - liczba wszystkich (2-d)-jąder grafu G zawierających wierzchołek x ∈ V (G). σ−x (G). -. liczba (2-d)-jąder grafu G niezawierających wierzchołka x ∈ V (G). T. -. rodzina drzew posiadających (2-d)-jądro. C. -. rodzina sklejonych parzystych cykli. j(G). -. dolna liczba (2-d)-jądrowa grafu G. J(G). -. górna liczba (2-d)-jądrowa grafu G. kG. - k rozłącznych kopii grafu G, k 1. |A|. -. fn. - n-ta liczba Fibonacciego. ln. - n-ta liczba Lucasa. pn. - n-ta liczba Pella. jn. - n-ta liczba Jacobsthala. pvn. - n-ta liczba Padovana. prn. - n-ta liczba Perrina. mn. - n-ta liczba Mersenne’a. moc zbioru A.

(9) Rozdział 1 Podstawowe definicje i oznaczenia W tym rozdziale podamy podstawowe definicje i oznaczenia używane w pracy, które są zaczerpnięte z [17]. Pozostałe są zamieszczone wewnątrz rozdziałów bezpośrednio przed ich wykorzystaniem. Grafem nieskierowanym, skończonym G nazywamy parę (V, E), gdzie V = V (G) jest zbiorem skończonym, natomiast E = E(G) jest rodziną mogących się powtarzać dwuelementowych podzbiorów, niekoniecznie różnych elementów ze zbioru V . Zbiór V (G) nazywamy zbiorem wierzchołków, a jego elementy wierzchołkami, zaś zbiór E(G) nazywamy zbiorem krawędzi, a jego elementy krawędziami. Jeżeli w grafie G istnieją co najmniej dwie krawędzie pomiędzy wierzchołkami x i y, to krawędź tę nazywamy krawędzią wielokrotną. Krawędź xx ∈ E(G) nazywamy pętlą. Graf bez pętli i krawędzi wielokrotnych nazywamy grafem prostym. W niniejszej pracy rozważane są wyłącznie grafy proste nazywane krótko grafami. Graf G = (∅, ∅) nazywamy grafem pustym i oznaczamy symbolem ∅. Jeżeli V (G) 6= ∅ i E(G) = ∅, to G nazywamy grafem bezkrawędziowym. Graf bezkrawędziowy n-wierzchołkowy, n 1, oznaczamy symbolem Nn . Graf jednowierzchołkowy nazywamy grafem trywialnym. Jeżeli |V (G)| 2, to mówimy, że G jest nietrywialny. Dwa wierzchołki x i y są sąsiednie w grafie G, jeżeli xy ∈ E(G). Mówimy wtedy, że wierzchołki x, y są incydentne z krawędzią xy. Sąsiedztwem otwartym wierzchołka x grafu G nazywamy zbiór NG (x) = {y ∈ V (G); xy ∈ E(G)}. Zbiór NG [x] = NG (x) ∪ {x} nazywamy domkniętym sąsiedztwem wierzchołka x grafu G. Niech X ⊆ V (G). Sąsiedztwem otwartym zbioru wierzchołków X grafu G nazywamy zbiór NG (X) =. S. NG (x), a domkniętym sąsiedztwem zbioru wierzchołków. x∈X. X grafu G zbiór NG [X] = NG (X) ∪ X. Stopniem wierzchołka x grafu G nazywamy liczbę krawędzi incydentnych z wierzchołkiem x oznaczaną symbolem degG (x)..

(10) 1. Podstawowe definicje i oznaczenia. 9. Jeżeli degG (x) = 0, to wierzchołek x nazywamy wierzchołkiem izolowanym grafu G, natomiast jeżeli degG (x) = 1, to wierzchołek x nazywamy liściem grafu G. Zbiór wszystkich liści sąsiednich z wierzchołkiem x oznaczamy symbolem L(x), a zbiór wszystkich liści grafu G symbolem L(G). Wierzchołek v ∈ V (G), dla którego L(v) 6= ∅ nazywamy wierzchołkiem podtrzymującym. Zbiór wszystkich wierzchołków podtrzymujących grafu G oznaczamy symbolem S(G). Jeżeli wierzchołek podtrzymujący x jest sąsiedni z co najmniej dwoma liśćmi, to x jest wierzchołkiem silnie podtrzymującym, a wierzchołek podtrzymujący sąsiedni z dokładnie jednym liściem nazywamy wierzchołkiem słabo podtrzymującym. Niech r 1 będzie liczbą naturalną. Graf G nazywamy r-regularnym, jeżeli każdy wierzchołek tego grafu ma stopień r. Podgrafem grafu G nazywamy każdy graf H taki, że V (H) ⊆ V (G) i E(H) ⊆ E(G). Podgrafem grafu G indukowanym przez zbiór W ⊆ V (G) nazywamy maksymalny (w sensie zawierania) podgraf H grafu G o zbiorze wierzchołków W . Podgraf indukowany przez zbiór W oznaczamy symbolem hW iG . Mówimy, że grafy G i H są izomorficzne, co oznaczamy symbolem G ∼ = H, jeżeli istnieje bijekcja f : V (G) → V (H) taka, że xy ∈ E(G) wtedy i tylko wtedy, gdy f (x)f (y) ∈ E(H). na. Funkcję f : V (G) −→ {1, 2, . . . , k} taką, że jeżeli xy ∈ E(G), to f (x) 6= f (y) nazywamy k-kolorowaniem grafu G. Dla n 1 drogą w grafie G łączącą wierzchołki x0 i xn nazywamy ciąg wierzchołków i krawędzi x0 , x0 x1 , x1 , . . . , xn−1 xn , xn . Jeżeli x0 = xn dla n 3, to otrzymujemy cykl. Odległością pomiędzy wierzchołkami x0 i xn nazywamy długość najkrótszej drogi łączącej wierzchołki x0 i xn w grafie G i oznaczamy symbolem dG (x0 , xn ). Przyjmujemy, że dG (x, x) = 0. Graf nazywamy spójnym, jeżeli dla każdych dwóch różnych wierzchołków istnieje łącząca je droga. Graf, który nie posiada takiej własności nazywamy grafem niespójnym. Przyjmujemy, że graf jednowierzchołkowy jest spójny. Ścieżką n-wierzchołkową nazywamy graf Pn , n 2 taki, że V (Pn ) = {x1 , x2 , . . . , xn } i E(Pn ) = {x1 x2 , x2 x3 , . . . , xn−1 xn }. Jeżeli n = 1, to P1 jest grafem trywialnym. Cyklem n-wierzchołkowym (lub n-cyklem) nazywamy graf Cn , n 3 taki, że V (Cn ) = {x1 , x2 , . . . , xn } i E(Cn ) = {x1 x2 , x2 x3 , . . . , xn−1 xn , xn x1 }. Drzewem nazywamy spójny graf bez cykli, a graf bez cykli lasem. Jeżeli graf G zawiera dokładnie jeden cykl, to mówimy, że G jest grafem jednocyklowym..

(11) 1. Podstawowe definicje i oznaczenia. 10. Graf G taki, że każde dwa wierzchołki są sąsiednie nazywamy grafem pełnym. Graf pełny n-wierzchołkowy oznaczamy symbolem Kn . Przyjmujemy, że graf jednowierzchołkowy jest grafem pełnym. Graf G, którego zbiór wierzchołków można podzielić na r rozłącznych, niepustych podzbiorów V1 , V2 , . . . , Vr , r 2 takich, że jeżeli xy ∈ E(G), to x ∈ Vs i y ∈ Vt , 1 ¬ s, t ¬ r, s 6= t nazywamy grafem r-dzielnym. Graf r-dzielny oznaczamy symbolem G(V1 , V2 , . . . , Vr ). Jeżeli każde dwa wierzchołki x ∈ Vs i y ∈ Vt dla s, t = 1, 2, . . . , r, s 6= t są sąsiednie, to graf G(V1 , V2 , . . . , Vr ) jest grafem pełnym r-dzielnym, oznaczanym symbolem K|V1 |,|V2 |,...,|Vr | . Jeżeli r = 2, to graf G(V1 , V2 ) nazywamy grafem dwudzielnym. W szczególności, jeżeli |V1 | = n i |V2 | = m, to graf pełny dwudzielny oznaczamy symbolem Kn,m . Graf K1,n−1 nazywamy gwiazdą n-wierzchołkową, a wierzchołek x ∈ V (K1,n−1 ) taki, że degK1,n−1 (x) = n − 1 centrum gwiazdy K1,n−1 . Dopełnieniem grafu G jest graf G taki, że V (G) = V (G) i E(G) = {xy; xy ∈ / E(G)}. Podzbiór D ⊆ V (G) nazywamy zbiorem dominującym grafu G, jeżeli każdy wierzchołek x ∈ V (G) \ D jest sąsiedni z wierzchołkiem ze zbioru D. Mówimy, że wierzchołek x jest dominowany przez wierzchołek (wierzchołki) ze zbioru D. Przyjmujemy, że V (G) jest zbiorem dominującym. Minimalnym zbiorem dominującym grafu G nazywamy zbiór dominujący, którego żaden podzbiór właściwy nie jest zbiorem dominującym. Moc najmniejszego zbioru dominującego grafu G nazywamy liczbą dominowania i oznaczamy symbolem γ(G). Podzbiór S ⊆ V (G) nazywamy zbiorem niezależnym grafu G, jeżeli dowolne dwa wierzchołki ze zbioru S nie są sąsiednie. Ponadto przyjmujemy, że każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V (G) oraz zbiór pusty są zbiorami niezależnymi grafu G. Zbiór niezależny grafu G nazywamy maksymalnym, jeżeli nie jest on podzbiorem właściwym żadnego innego zbioru niezależnego. Moc największego zbioru niezależnego grafu G nazywamy liczbą niezależności i oznaczamy symbolem α(G), a największy zbiór niezależny α(G)-zbiorem (lub α-zbiorem, jeżeli wskazanie grafu G nie jest konieczne). Podzbiór zbioru wierzchołków będący jednocześnie dominujący i niezależny nazywamy jądrem. Niech G i H będą danymi grafami i niech x ∈ V (G), y ∈ V (H). Lokalnym powiększeniem grafu G o graf H nazywamy graf adG(x,y) (H) powstały przez identyfikację wierzchołków x i y. Gj. Niech G1 , G2 będą danymi grafami i dla i 1 niech Pi. będzie podgrafem grafu. Gj dla j = 1, 2. Krawędziowym sklejeniem grafów G1 i G2 wzdłuż ścieżki Pi , i 1 nazywamy operację polegającą na identyfikacji ścieżek PiG1 i PiG2 . Złączeniem grafów G i H nazywamy graf G + H taki, że V (G + H) = V (G) ∪ V (H) oraz E(G + H) = E(G) ∪ E(H) ∪ {xy; x ∈ V (G) i y ∈ V (H)}..

(12) 1. Podstawowe definicje i oznaczenia. 11. Produktem kartezjańskim grafów G i H nazywamy graf G H taki, że V (G H) = V (G) × V (H) oraz E(G H) = {(xi , yp )(xj , yq ); (xi = xj i yp yq ∈ E(H)) lub (yp = yq i xi xj ∈ E(G))}. Produktem tensorowym grafów G i H nazywamy graf G × H taki, że V (G × H) = V (G) × V (H) oraz E(G × H) = {(xi , yp )(xj , yq ); xi xj ∈ E(G) i yp yq ∈ E(H)}. Silnym produktem grafów G i H nazywamy graf G H taki, że V (G H) = V (G) × V (H) oraz E(G H) = {(xi , yp )(xj , yq ); (xi = xj i yp yq ∈ E(H)) lub (yp = yq i xi xj ∈ E(G)) lub (xi xj ∈ E(G) i yp yq ∈ E(H))}. Kompozycją dwóch grafów G, H nazywamy graf G[H] taki, że V (G[H]) = V (G) × V (H) oraz E(G[H]) = {(xi , yp )(xj , yq ); xi xj ∈ E(G) lub (yp yq ∈ E(H) i xi = xj )}. Niech G będzie grafem takim, że V (G) = {x1 , x2 , . . . , xn }, n 1 i niech hn = (Hi )i∈I={1,2,...,n} będzie ciągiem dowolnych grafów. Koroną grafu G i ciągu hn nazywamy graf G◦hn taki, że V (G◦hn ) = V (G)∪ oraz E(G ◦ hn ) = E(G) ∪. n S i=1. E(Hi ) ∪. n S. n S. V (Hi ). i=1. {xi y; y ∈ V (Hi )}.. i=1. Koronę grafu G i ciągu hn oznaczamy również symbolem G ◦ (H1 , H2 , . . . , Hn ). Jeżeli Hi ∼ = H dla każdego i = 1, 2, . . . , n, to otrzymujemy definicję korony dwóch grafów G, H, którą oznaczamy symbolem G ◦ H. Podziałem zbioru X nazywamy rodzinę X = {Xi ; i ∈ I = {1, 2, . . . , n}} podzbiorów zbioru X taką, że Xi 6= ∅ dla i ∈ I, Xt ∩ Xs = ∅ dla t, s ∈ I, t 6= s i. S i∈I. Xi = X..

(13) Rozdział 2 Istnienie i liczba 2-dominujących jąder w grafach W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie 2-dominującego jądra w grafach i przedstawimy problemy istnienia 2-dominujących jąder ze szczególnym uwzględnieniem drzew. Wykażemy, że problem istnienia (2-d)-jądra jest N P-zupełny dla dowolnego grafu G.. 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. Pojęcie 2-dominowania jest szczególnym rodzajem wielokrotnego dominowania wprowadzonego w 1985 roku przez J. F. Finka i M. S. Jacobsena w [19]. Niech k 1 będzie liczbą naturalną. Podzbiór D ⊆ V (G) nazywamy zbiorem k-dominującym grafu G, jeżeli każdy wierzchołek ze zbioru V (G) \ D ma co najmniej k sąsiadów w zbiorze D. Przyjmujemy, że V (G) jest zbiorem k-dominującym dla dowolnego k 1. Jeżeli k = 1, to zbiór 1-dominujący jest zbiorem dominującym. Jeżeli k = 2, to otrzymujemy definicję zbioru 2-dominującego. Dla dowolnego k 1 zbiór k-dominujący jest zbiorem dominującym. Moc najmniejszego zbioru 2-dominującego nazywamy liczbą 2-dominowania grafu G i oznaczamy symbolem γ2 (G), a najmniejszy zbiór 2-dominujący nazywamy γ2 (G)zbiorem. Minimalnym zbiorem 2-dominującym grafu G jest taki zbiór 2-dominujący, którego żaden podzbiór właściwy nie jest zbiorem 2-dominującym. Poprzez nałożenie na zbiór 2-dominujący dodatkowego warunku niezależności w pracy [54] została wprowadzona definicja 2-dominującego jądra. Podzbiór J ⊆ V (G) nazywamy 2-dominującym jądrem grafu G (krótko: (2-d)jądrem), jeżeli J jest 2-dominujący i niezależny..

(14) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 13. Jeżeli graf G jest grafem bezkrawędziowym, to przyjmujemy, że V (G) jest (2-d)jądrem grafu G. Jeżeli G jest jednowierzchołkowy, to (2-d)-jądro grafu G nazywamy trywialnym. Obserwacja 2.1. Nie każdy graf posiada (2-d)-jądro. Z definicji (2-d)-jądra wynikają następujące warunki konieczne na istnienie (2-d)jądra. Obserwacja 2.2. Jeżeli J jest (2-d)-jądrem nietrywialnego, spójnego grafu G, to |J| 2 i dla każdego x ∈ V (G) \ J, degG (x) 2. Jeżeli L(G) 6= ∅, to L(G) ⊆ J i S(G) ∩ J = ∅. Pojęcie (2-d)-jądra zostało uogólnione przez Z. L. Nagy w 2017 roku w [44] i rozważane także w [43]. Odwołując się do definicji (2-d)-jądra Z. L. Nagy zdefiniował k-dominujące jądro jako zbiór niezależny i k-dominujący, k 1. Istnienie k-dominującego jądra w grafie wymaga odpowiednio dużych stopni wierzchołków w grafie, znacznie ograniczając klasy grafów posiadających k-dominujące jądro. Twierdzenie 2.3. (P. Bednarz [3]) Podzbiór J ⊆ V (G) jest (2-d)-jądrem grafu G wtedy i tylko wtedy, gdy J jest maksymalnym zbiorem niezależnym i minimalnym zbiorem 2-dominującym grafu G. Dowód. Jeżeli J jest maksymalnym zbiorem niezależnym i minimalnym zbiorem 2-dominującym grafu G, to z definicji (2-d)-jądra natychmiast wynika, że J jest (2-d)jądrem grafu G. Dla dowodu w drugą stronę niech J będzie (2-d)-jądrem grafu G. Załóżmy nie wprost, że J nie jest maksymalnym zbiorem niezależnym. To oznacza, że istnieje wierzchołek v ∈ V (G) \ J taki, że J ∪ {v} jest zbiorem niezależnym. Stąd wynika, że NG (v) ∩ J = ∅, czyli wierzchołek v nie jest dominowany przez zbiór J, co jest sprzeczne z założeniem, że J jest (2-d)-jądrem. Załóżmy z kolei, że J nie jest minimalnym zbiorem 2-dominującym. Zatem istnieje wierzchołek w ∈ J taki, że J \ {w} jest zbiorem 2-dominującym. Ponadto NG (w)∩J = ∅, w przeciwnym wypadku J nie jest zbiorem niezależnym, co jest sprzeczne z założeniem, że J jest (2-d)-jądrem. Z faktu, że NG (w) ∩ J = ∅ wynika, iż wierzchołek w nie jest dominowany przez zbiór J \ {w}, sprzeczność z założeniem, że J \ {w} jest 2-dominujący. Zatem J jest maksymalnym zbiorem niezależnym i minimalnym zbiorem 2-dominującym, co kończy dowód. Wniosek 2.4. (P. Bednarz [3]) Jeżeli J ⊆ V (G) jest (2-d)-jądrem, to J jest maksymalnym zbiorem niezależnym i minimalnym zbiorem dominującym grafu G. Z powyższych rozważań wynika, że (2-d)-jądro grafu G nie musi być α(G)-zbiorem..

(15) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 14. Niech G będzie grafem posiadającym (2-d)-jądro. Moc najmniejszego (2-d)-jądra grafu G nazywamy dolną liczbą (2-d)-jądrową i oznaczamy symbolem j(G). Moc największego (2-d)-jądra grafu G nazywamy górną liczbą (2-d)-jądrową i oznaczamy symbolem J(G). Pokażemy, że istnieje graf G, w którym różnica J(G) − j(G) jest równa ustalonej liczbie naturalnej n, n 1. Twierdzenie 2.5. (P. Bednarz [3]) Dla dowolnej liczby naturalnej n 1 istnieje graf G taki, że J(G) − j(G) = n. Dowód. Dla dowolnego n 1 wystarczy przyjąć jako graf G, graf pełny dwudzielny K2,n+2 . Jest oczywiste, że K2,n+2 posiada dokładnie dwa (2-d)-jądra, ponadto j(K2,n+2 ) = 2 i J(K2,n+2 ) = n + 2. Zatem J(K2,n+2 ) − j(K2,n+2 ) = n, co kończy dowód. Liczbę (2-d)-jąder w grafie G oznaczamy symbolem σ(G). Uwaga 2.6. Jeżeli graf G ma n komponent spójności Hi , i = 1, 2, . . . , n, to σ(G) =. n Y. σ(Hi ).. i=1. Niech J (G) będzie rodziną wszystkich (2-d)-jąder grafu G. Wtedy σ(G) = |J (G)|. Dla dowolnego wierzchołka x ∈ V (G) niech Jx (G) = {J ∈ J (G); x ∈ J} i J−x (G) = {J ∈ J (G); x ∈ / J}. Wtedy |J (G)| = |Jx (G)| + |J−x (G)|. Przyjmując oznaczenia σx (G) = |Jx (G)| oraz σ−x (G) = |J−x (G)| otrzymujemy, że σ(G) = σx (G) + σ−x (G).. (2.1). Równość (2.1) podaje podstawową zasadę zliczania (2-d)-jąder w grafach. Pokażemy, że istnieje graf, w którym liczba (2-d)-jąder jest równa ustalonej liczbie naturalnej n, n 1. Niech kC4 , k 1 będzie grafem składającym się z k kopii 4-cyklu C4 . Niech C4i , i = 1, 2, . . . , k oznacza i-tą kopię C4 w grafie kC4 . Przyjmijmy, że V (C4i ) = {xij ; j = 1, 2, 3, 4} dla i = 1, 2, . . . , k z numeracją wierzchołków na cyklu w naturalnej kolejności..

(16) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 15. Niech Gn , n 1 będzie grafem takim, że G1 ∼ = K1 , G2 ∼ = C4 , a dla n 3, V (Gn ) = V ((n − 1)C4 ) i E(Gn ) = E((n − 1)C4 ) ∪ {xi1 xi+1 4 ; i = 1, 2, . . . , n − 2}. Rysunek 2.1 przedstawia konstrukcję grafu Gn , n 3. x11. xn−2 1. x21. x14. x24 x12 x13. x22. .... x4n−2. x1n−1 xn−1 4. xn−2 3. x23. xn−1 2. xn−2 2 x3n−1. Rys. 2.1: Graf Gn , n 3 Twierdzenie 2.7. (P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Wtedy σ(Gn ) = n. Dowód (indukcyjny ze względu na n). Jeżeli n = 1, 2, to σ(G1 ) = σ(K1 ) = 1, σ(G2 ) = σ(C4 ) = 2. Niech n 3. Załóżmy, że dla grafu Gn−1 zachodzi σ(Gn−1 ) = n − 1. Pokażemy, że σ(Gn ) = n. Niech J ⊂ V (Gn ) będzie (2-d)-jądrem grafu Gn . Rozważmy następujące przypadki. 1. xn−1 ∈ J. 4 Wtedy xn−1 ∈ J oraz xi2 , xi4 ∈ J dla i = 1, 2, . . . , n − 2. To oznacza, że J = 2. n−1 S i=1. {xi2 , xi4 }. jest jedynym (2-d)-jądrem grafu Gn zawierającym wierzchołek xn−1 . Stąd σxn−1 (Gn ) = 1. 4 4. 2. xn−1 ∈ / J. 4 Wtedy xn−1 , xn−1 ∈ J. Z konstrukcji grafu Gn wynika, że J = J ∗ ∪ {xn−1 , xn−1 }, gdzie 1 3 1 3 J ∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Gn−1 . Stąd σ−x4n−1 (Gn ) = σ(Gn−1 ). Korzystając z założenia indukcyjnego σ(Gn−1 ) = n − 1, czyli σ−xn−1 (Gn ) = n − 1. 4. Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy, że σ(Gn ) = n − 1 + 1 = n. Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe. Wniosek 2.8. (P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Dla dowolnego m 4n − 4 istnieje m-wierzchołkowy graf G taki, że σ(G) = n. Dowód. Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu Gn , podamy konstrukcję m-wierzchołkowego grafu G dla m 4n − 4 takiego, że σ(G) = n. Jeżeli m = 4n − 4, to G ∼ = Gn dla każdego n 3. Niech m > 4n − 4. Wtedy V (G) = V (Gn ) ∪ {t0 , t1 , . . . , tp−1 }, p = m − 4n + 4, p 1 oraz E(G) = E(Gn ) ∪ {t0 x1j ; j = 1, 2, 3, 4} ∪ {t0 tk ; k = 1, 2, . . . , p − 1}. Stąd |V (G)| = |V (Gn )| + m − 4n + 4 = m. Ponadto zbiór.

(17) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 16. J ∗ = J ∪ {t1 , t2 , . . . , tp−1 } jest (2-d)-jądrem grafu G, gdzie J jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Gn . Zatem σ(G) = n. Kolejna konstrukcja pokazuje, że można zmniejszyć liczbę wierzchołków w grafie i uzyskać dużą liczbę (2-d)-jąder. Niech Rn , n 1 będzie grafem takim, że V (Rn ) = V (nC4 ) ∪ {y1 , y2 , y3 } i E(Rn ) = E(nC4 ) ∪ {y2 xi1 ; i = 1, 2, . . . , n} ∪ {y1 y2 , y2 y3 }. Rysunek 2.2 przedstawia konstrukcję grafu Rn , n 1. y1. y3 y2. x11 x12. x14. xn1. x21 x24. x13. x22. .... xn4. x23. xn2 xn3. Rys. 2.2: Graf Rn , n 1 Twierdzenie 2.9. (P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Wtedy σ(Rn ) = 2n . Dowód (indukcyjny ze względu na n). Jeżeli n = 1, to rodzina J (R1 ) wszystkich (2-d)jąder ma postać J (R1 ) = {J1 , J2 }, gdzie J1 = {x11 , x13 , y1 , y3 }, J2 = {x12 , x14 , y1 , y3 }. Stąd σ(R1 ) = 2. Niech n 2. Załóżmy, że σ(Rn−1 ) = 2n−1 . Pokażemy, że σ(Rn ) = 2n . Niech J ⊂ V (Rn ) będzie dowolnym (2-d)-jądrem grafu Rn . Wtedy y1 , y3 ∈ J i y2 ∈ / J. Ponieważ graf C4n ma dokładnie dwa (2-d)-jądra, więc korzystając z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że σ(Rn ) = σ(Rn−1 ) · 2 = 2n−1 · 2 = 2n . Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe. Wniosek 2.10. (P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch [4]) Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Dla dowolnego m 4n + 3 istnieje m-wierzchołkowy graf G taki, że σ(G) = 2n . Dowód. Niech n 1 będzie liczbą naturalną. Korzystając z grafu Rn podamy konstrukcję m-wierzchołkowego grafu G dla m 4n + 3 takiego, że σ(G) = 2n . Jeżeli m = 4n + 3, to G ∼ = Rn dla każdego n 1. Niech m > 4n + 3. Wtedy V (G) = V (Rn ) ∪ {t1 , . . . , tp }, p = m − 4n − 3, p 1 oraz E(G) = E(Rn ) ∪ {y2 ti ; i = 1, 2, . . . , p}. Stąd |V (G)| = |V (Rn )| + m − 4n − 3 = m. Ponadto zbiór J ∗ = J ∪ {t1 , t2 , . . . , tp } jest (2-d)-jądrem grafu G, gdzie J jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Rn . Zatem σ(G) = 2n ..

(18) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 17. W przypadku niektórych klas grafów, rodzina J (G) wszystkich (2-d)-jąder grafu G jest podziałem zbioru V (G). Przykładem takich klas grafów są cykle parzyste i grafy pełne dwudzielne Kn,m dla n, m 2. W szczególnych grafach można wskazać podrodzinę rodziny J (G) będącą podziałem zbioru wierzchołków. Niech J ∗ (G) ⊆ J (G) będzie rodziną (2-d)-jąder grafu G, która jest podziałem zbioru V (G). Wtedy |J ∗ (G)| ¬ σ(G). Jeżeli rodzina J ∗ (G) w grafie G istnieje, to niekonieczne jedna. Przykładem grafu, który ma dwie różne rodziny (2-d)-jąder będące podziałami zbioru wierzchołków jest graf C3 C3 . Twierdzenie 2.11. (P. Bednarz [3]) Niech n 4 będzie liczbą naturalną i niech G będzie spójnym n-wierzchołkowym grafem mającym (2-d)-jądro. Jeżeli J ∗ (G) jest rodziną (2d)-jąder, która jest podziałem zbioru V (G), to |J ∗ (G)| ¬ jeżeli G jest grafem pełnym. j k n 2. . Ponadto |J ∗ (G)| =. j k n 2. j k n 2. -dzielnym K2,2,...,2,p , gdzie p = 2 + n(mod 2).. Dowód. Niech n 4 będzie liczbą naturalną, a G spójnym n-wierzchołkowym grafem mającym (2-d)-jądro. Załóżmy nie wprost, że |J ∗ (G)| = t . j k n 2. + 1. Niech J ∗ (G) =. {J1 , J2 , . . . , Jt }, gdzie Ji jest (2-d)-jądrem grafu G dla i = 1, 2, . . . , t. Jest oczywiste, że dla każdego 1 ¬ i ¬ t, |Ji | 2. Zatem |V (G)| =. t P. |Ji | 2t 2. i=1. j k n 2. . + 1 > n, co jest. sprzeczne z założeniem, że G jest n-wierzchołkowym grafem. Pokażemy, że |J ∗ (K2,2,...,2,p )| =. j k n 2. dla n 4, p = 2 + n(mod 2). Z definicji grafu. K2,2,...,2,p wynika, że V (K2,2,...,2,p ) = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vb n c , gdzie Vi ∈ J ∗ (K2,2,...,2,p ) jest 2. (2-d)-jądrem grafu K2,2,...,2,p , co kończy dowód. Wykażemy, że problem istnienia (2-d)-jądra jest problemem N P-zupełnym. Twierdzenie 2.12. (P. Bednarz, C. Hernández-Cruz, I. Włoch [4]) Problem istnienia (2-d)-jądra jest N P-zupełny. Dowód. Niech G będzie dowolnym grafem. Dla podzbioru J ⊆ V (G) w czasie wielomianowym można sprawdzić czy J jest (2-d)-jądrem. Stąd problem istnienia (2-d)-jądra jest problemem N P. Aby udowodnić, że jest to problem N P-trudny (a stąd N P-zupełny), zredukujemy znany przypadek 3-kolorowania grafu G, który jest N P-zupełny do przypadku (2-d)jądra grafu H. Pokażemy, że G jest 3-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy H ma (2-d)-jądro i długość kodowania grafu H jest ograniczona wielomianowo względem długości kodowania grafu G. Niech graf G będzie 3-kolorowalny oraz załóżmy, że jest spójny. Konstruujemy graf H w następujący sposób: dla każdego wierzchołka u ∈ V (G) tworzymy w grafie H.

(19) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 18. wierzchołki xu , x0u , yu , yu0 , zu , zu0 , wu , wu0 oraz krawędzie tak, że zbiory Xu = {xu , x0u }, Yu = {yu , yu0 }, Zu = {zu , zu0 } tworzą graf pełny trójdzielny. Ponadto wierzchołek wu jest sąsiedni ze wszystkimi wierzchołkami. Rysunek 2.3 przedstawia gadżet dla wierzchołka u ∈ V (G). x0u. xu. wu yu. zu0. wu0 yu0. zu. Rys. 2.3: Gadżet dla wierzchołka u ∈ V (G) Dla każdej krawędzi uv ∈ E(G) tworzymy w grafie H wszystkie możliwe krawędzie pomiędzy zbiorami Xu , Xv i Yu , Yv i Zu , Zv , tak jak to zostało pokazane na Rysunku 2.4.. Rys. 2.4: Gadżet dla krawędzi grafu G Z konstrukcji grafu H wynika, że |V (H)| = 8|V (G)| oraz |E(H)| = 19|V (G)| + 12|E(G)|. Ponadto dla każdego u ∈ V (G) wierzchołek wu0 musi należeć do każdego (2-d)-jądra grafu H. Niech u ∈ V (G) będzie dowolnym wierzchołkiem grafu G. Pokażemy, że jeżeli J jest (2-d)-jądrem grafu H, to (i) xu ∈ J wtedy i tylko wtedy, gdy x0u ∈ J, (ii) yu ∈ J wtedy i tylko wtedy, gdy yu0 ∈ J, (iii) zu ∈ J wtedy i tylko wtedy, gdy zu0 ∈ J..

(20) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 19. (i) Jeżeli xu ∈ J, to NH (xu ) ∩ J = ∅. Ponieważ NH (xu ) = NH (x0u ), więc x0u ∈ J. W przeciwnym wypadku wierzchołek x0u nie jest 2-dominowany. W analogiczny sposób dowodzimy warunki (ii) oraz (iii). Z kolei pokażemy, że jeżeli J jest (2-d)-jądrem grafu H, to dla każdego wierzchołka u ∈ V (G) spełniony jest dokładnie jeden z warunków (iv) Xu ⊆ J, (v) Yu ⊆ J, (vi) Zu ⊆ J. Z definicji (2-d)-jądra wynika, że dla każdego u ∈ V (G) wierzchołek wu0 ∈ V (H) musi należeć do każdego (2-d)-jądra grafu H. To oznacza, że wu ∈ / J. Aby wierzchołek wu był 2-dominowany przez zbiór J, to Xu ∩ J = 6 ∅ lub Yu ∩ J 6= ∅, lub Zu ∩ J 6= ∅. (iv) Przypuśćmy bez straty dla ogólności rozważań, że Xu ∩ J 6= ∅. Wtedy Xu ⊆ J. Ponieważ hXu ∪ Yu ∪ Zu iH jest grafem pełnym trójdzielnym, to Yu ∩ J = ∅ = Zu ∩ J. W analogiczny sposób dowodzimy warunki (v) oraz (vi). Załóżmy, że H posiada (2-d)-jądro J. Niech c : V (G) → {X, Y, Z} będzie funkcją taką, że c(u) = C wtedy i tylko wtedy, gdy Cu ⊆ J. Z wcześniejszych rozważań wynika, że funkcja c jest dobrze określona. Z niezależności zbioru J i konstrukcji grafu H wynika, że jeżeli uv ∈ E(G), to c(u) 6= c(v). To oznacza, że funkcja c jest 3-kolorowaniem grafu G. Niech c : V (G) → {X, Y, Z} będzie 3-kolorowaniem grafu G. Przyjmijmy J = S u∈V (G). {wu0 } ∪. S. c(u)u . Ponieważ funkcja c jest 3-kolorowaniem grafu G, więc dla. u∈V (G). każdej krawędzi uv ∈ E(G) mamy c(u) 6= c(v). Stąd zbiór J jest zbiorem niezależnym. Ponadto dla każdego u ∈ V (G) wierzchołki w zbiorze (Xu ∪ Yu ∪ Zu ∪ {wu }) \ c(u)u są 2-dominowane przez zbiór c(u)u . Zatem J jest (2-d)-jądrem grafu H. Oznacza to, że graf G jest 3-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy graf H posiada (2-d)-jądro. Ponadto istnieje bijekcja odwzorowująca 3-kolorowanie grafu G na (2-d)jądro grafu H. Ponieważ długość kodowania grafu H jest ograniczona liniowo przez długość kodowania grafu G, to problem istnienia (2-d)-jądra jest N P-zupełny. Jednym z kierunków badań dotyczących zbiorów 2-dominujących i ich związków ze zbiorami niezależnymi jest porównywanie liczb γ2 (G) oraz α(G). Takie rozważania były prowadzone między innymi w [11, 21, 28]. M. Blidia, M. Chellali i O. Favaron w [11] wykazali, że w klasie drzew iloraz. γ2 (T ) α(T ). zawiera się w małym przedziale.. Twierdzenie 2.13. (M. Blidia, M. Chellali, O. Favaron [11]) Dla dowolnego drzewa T zachodzi α(T ) ¬ γ2 (T ) ¬ 23 α(T )..

(21) 2.1. Przedstawienie problemu i wstępne rezultaty. 20. W [11] podana została charakteryzacja drzew, dla których α(T ) = γ2 (T ). Z kolei J. Fujisawa, A. Hansberg, T. Kubo, A. Saito, M. Sugita i L. Volkmann w [21] podali pełną charakteryzację drzew, dla których γ2 (T ) = 32 α(T ). Pokazali również, że nierówność γ2 (G) ¬ 32 α(T ) jest prawdziwa także dla grafów dwudzielnych. G. Gunther, B. Hartnell i D. F. Rall w [28] scharakteryzowali drzewa, w których największy zbiór niezależny jest 2-dominujący. Innymi słowy podali charakteryzację drzew, w których α-zbiór jest (2-d)-jądrem. Twierdzenie 2.14. (G. Gunther, B. Hartnell, D. F. Rall [28]) Niech T będzie drzewem. Następujące warunki są równoważne: (i) α(T ) = α(T \ {e}) dla e ∈ E(T ), (ii) T ma 2-dominujący α(T )-zbiór, (iii) T ma dokładnie jeden α(T )-zbiór. Rozważania te były motywacją do poszukiwania zależności pomiędzy α-zbiorem i (2-d)-jądrem oraz pomiędzy równością parametrów γ2 (G) i α(G) a istnieniem (2-d)jądra w grafie. Z Twierdzenia 2.3 wynika, że (2-d)-jądro jest maksymalnym zbiorem niezależnym, więc nie musi być α-zbiorem. Istnieją grafy, w których (2-d)-jądro jest zawsze α-zbiorem, na przykład cykle parzyste. Są grafy, w których α-zbiór jest (2-d)jądrem i posiadające (2-d)-jądro niebędące α-zbiorem. Przykładem takiego grafu jest P3 P3 , w którym istnieją dokładnie dwa (2-d)-jądra. Jednym (2-d)-jądrem jest α-zbiór, a drugim maksymalny zbiór niezależny niebędący α-zbiorem. Co więcej, istnieją grafy posiadające (2-d)-jądro, w których α-zbiór nie jest (2-d)-jądrem. Przykładem takiego grafu jest złączenie N2 + P6 . Pokażemy, że istnieje graf, w którym różnica pomiędzy liczbą niezależności a licznością (2-d)-jądra jest równa ustalonej liczbie naturalnej n, n 1. Twierdzenie 2.15. (P. Bednarz [3]) Dla dowolnej liczby naturalnej n 1 istnieje graf G taki, że α(G) − J(G) = n. Dowód. Dla dowolnego n 1 wystarczy przyjąć jako graf G złączenie N2 + P2n+4 . Niech V (N2 ) = {x1 , x2 } i niech V (P2n+4 ) = {y1 , y2 , . . . , y2n+4 } z numeracją wierzchołków na ścieżce w naturalnej kolejności. Jest oczywiste, że graf N2 + P2n+4 posiada dokładnie jedno (2-d)-jądro postaci J = {x1 , x2 }, stąd J(N2 +P2n+4 ) = 2. Ponadto zbiór {y2i−1 ; i = 1, 2, . . . , n + 2} jest największym zbiorem niezależnym grafu N2 + P2n+4 , stąd α(N2 + P2n+4 ) = n + 2. Zatem α(N2 + P2n+4 ) − J(N2 + P2n+4 ) = n, co kończy dowód..

(22) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 21. Okazuje się również, że dla dowolnego grafu G nie ma bezpośredniego związku pomiędzy równością γ2 (G) = α(G) a istnieniem (2-d)-jądra. Równość γ2 (G) = α(G) nie jest równoważna istnieniu (2-d)-jądra w grafie G. Przykładem jest graf P2 P3 nieposiadający (2-d)-jądra, dla którego γ2 (P2 P3 ) = α(P2 P3 ). Z kolei w grafie P3 P3 istnieje (2-d)-jądro, pomimo że γ2 (P3 P3 ) 6= α(P3 P3 ). W dalszej części pracy pokażemy, że wspomniane zależności zachodzą w klasie drzew.. 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. W podrozdziale tym podamy różne, pełne charakteryzacje drzew posiadających (2-d)-jądro. Pokażemy, że w klasie drzew (2-d)-jądro jest α(T )-zbiorem oraz że równość γ2 (T ) = α(T ) jest równoważna istnieniu (2-d)-jądra. Twierdzenie 2.16. (A. Włoch [54]) Graf Pn , n 1 posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste. Ponadto, jeżeli n jest nieparzyste, to σ(Pn ) = 1. Wniosek 2.17. (P. Bednarz [3]) Jeżeli n 1 jest nieparzyste, to j(Pn ) = J(Pn ) =. l m n 2. .. Rozważmy rodziny T (n) , n 0 drzew i w każdym drzewie T ∈ T (n) wyróżnijmy (n). (0). (1). podzbiór JT ⊆ V (T ). Niech T (0) = {P1 } i JP1 = V (P1 ), T (1) = {P3 } i JP3 = L(P3 ). Dla n 2 każde drzewo T ∈ T (n) jest otrzymane z pewnego drzewa T ∗ ∈ T (n−1) przez zastosowanie jednej z następujących operacji. (n−1) Operacja O1 : T ∼ oraz y ∈ L(K1,p ). = adT ∗ (x,y) (K1,p ), p 2, gdzie x ∈ JT ∗ (n). (n−1). Wtedy JT = JT ∗ T∗ :. V (T ∗ ) (n−1) JT ∗. x. ∪ (L(K1,p ) \ {y}). K1,p :. T : y. .. .. Rys. 2.5: Operacja O1. V (T ∗ ) (n−1) JT ∗. .. ..

(23) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 22. (n−1) Operacja O2 : T ∼ / JT ∗ oraz y ∈ L(K1,p ). = adT ∗ (x,y) (K1,p ), p 3, gdzie x ∈ (n). (n−1). Wtedy JT = JT ∗. ∪ (L(K1,p ) \ {y}).. T∗ :. K1,p : V (T ∗ ). T : y. x. V (T ∗ ). .. .. (n−1) JT ∗. .. .. (n−1) JT ∗. Rys. 2.6: Operacja O2. (n−1) Operacja O3 : T ∼ / JT ∗ oraz y ∈ S(K1,p ). = adT ∗ (x,y) (K1,p ), p 1, gdzie x ∈ (n). (n−1). Wtedy JT = JT ∗. ∪ L(K1,p ).. T∗ :. K1,p :. T :. ∗. V (T ) (n−1). JT ∗. x. y. .. .. V (T ∗ ) (n−1). JT ∗. .. .. Rys. 2.7: Operacja O3 Niech T =. S. T (n) .. n0. Twierdzenie 2.18. (P. Bednarz, I. Włoch [6]) Drzewo T posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy T ∈ T . Dowód. 1. Niech T będzie drzewem posiadającym (2-d)-jądro J. Pokażemy, że T ∈ T . Jeżeli T jest drzewem jednowierzchołkowym, to T ∈ T (0) ⊂ T . Z definicji (2-d)-jądra wynika, że nietrywialne drzewo posiadające (2-d)-jądro ma co najmniej 3 wierzchołki. Zastosujemy indukcję ze względu na liczbę wierzchołków drzewa T . Niech T będzie m-wierzchołkowym drzewem, m 3. Jeżeli m = 3, to T ∈ T (1) ⊂ T . Niech m 4 oraz załóżmy, że każde s-wierzchołkowe drzewo T 0 , 3 ¬ s < m posiadające (2-d)-jądro należy do rodziny T . Pokażemy, że m-wierzchołkowe drzewo T posiadające (2-d)-jądro należy do rodziny T . Jeżeli T jest gwiazdą, to korzystając z założenia indukcyjnego oraz operacji O3 otrzymujemy, że T ∈ T . Załóżmy, że T nie jest gwiazdą. Wtedy w drzewie zawsze istnieje wierzchołek x ∈ V (T ) taki, że degT (x) = |L(x)| + 1 oraz |L(x)| 1. Stąd wynika, że istnieje dokładnie jeden wierzchołek y ∈ NT (x) \ L(x). Oczywiście L(x) ⊂ J oraz x ∈ / J..

(24) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 23. Jeżeli |L(x)| = 1, to y ∈ J, a drzewo T jest otrzymane z poddrzewa T \ (L(x) ∪ {x}) przez zastosowanie operacji O1 . Ponieważ T \ (L(x) ∪ {x}) jest s-wierzchołkowym drzewem, gdzie s < m oraz T \ (L(x) ∪ {x}) posiada (2-d)-jądro J 0 = J \ L(x), więc korzystając z założenia indukcyjnego T \ (L(x) ∪ {x}) ∈ T oraz przez zastosowanie operacji O1 otrzymujemy, że T ∈ T . Jeżeli |L(x)| 2, to y ∈ J albo y ∈ / J. Jeżeli y ∈ J, to dowodząc analogicznie jak poprzednio otrzymujemy, że T ∈ T stosując operację O1 lub złożenie operacji O1 i O3 . Jeżeli y ∈ / J, to przez zastosowanie operacji O2 lub dla |L(x)| > 2 ze złożenia operacji O2 i O3 otrzymujemy, że T ∈ T . Zatem, jeżeli T posiada (2-d)-jądro, to T ∈ T . 2. Załóżmy, że T ∈ T =. T (n) . Stąd T ∈ T (n) dla pewnego n 0. Wystarczy. S n0. udowodnić, że dowolne drzewo z rodziny T (n) posiada (2-d)-jądro. Zastosujemy indukcję (0). (1). ze względu na n. Jeżeli n = 0, 1, to jest oczywiste, że odpowiednio JP1 , JP3 jest (2-d)-jądrem drzewa T . Niech n 2 i załóżmy, że każde drzewo T ∗ ∈ T (n−1) posiada (n−1). (2-d)-jądro JT ∗. (n). . Pokażemy, że dowolne drzewo T ∈ T (n) posiada (2-d)-jądro JT .. Rozważmy następujące przypadki: 2.1. n-tą operacją jest O1 . Z definicji operacji O1 wnioskujemy, że drzewo T ∈ T (n) jest otrzymane przez lokalne powiększenie pewnego drzewa T ∗ ∈ T (n−1) . Korzystając z założenia indukcyjnego drzewo (n−1). T ∗ posiada (2-d)-jądro JT ∗. (n). oraz y ∈ L(K1,p ). Zatem JT. (n−1). . Wtedy T = adT ∗ (x,y) (K1,p ), p 2, gdzie x ∈ JT ∗ (n−1). = JT ∗. ∪ (L(K1,p ) \ {y}) jest (2-d)-jądrem drzewa. T ∈ T (n) ⊂ T . 2.2. n-tą operacją jest O2 . (n). Dowodząc jak w przypadku 2.1. otrzymujemy, że (2-d)-jądro JT (n). (n−1). ma postać JT = JT ∗. drzewa T ∈ T (n) ⊂ T. ∪ (L(K1,p ) \ {y}).. 2.3. n-tą operacją jest O3 . (n). Analogicznie jak w powyższych przypadkach otrzymujemy, że (2-d)-jądro JT (n) JT. drzewa. (n−1) T ∈ T (n) ⊂ T ma postać = JT ∗ ∪ L(K1,p ) dla p 2. Jeżeli p = 1, to K1,p (n) (n−1) grafem izomorficznym z P2 oraz JT = JT ∗ ∪ {z}, gdzie z ∈ V (P2 ) i z 6= y.. jest. Stąd otrzymujemy, że T ∈ T (n) ⊂ T posiada (2-d)-jądro, zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe..

(25) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 24. Jak zostało wspomniane wcześniej, jeżeli graf posiada (2-d)-jądro, to nie musi być to α-zbiór. Pokażemy, że w drzewach (2-d)-jądro jest α-zbiorem. Twierdzenie 2.19. (P. Bednarz [3]) Jeżeli drzewo T posiada (2-d)-jądro, to dokładnie jedno i jest nim α(T )-zbiór. Dowód. Załóżmy nie wprost, że T ma dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Wtedy L(T ) ⊂ Ji , i = 1, 2. Niech T0 , T1 , . . . , Tp , p 1 będzie ciągiem podgrafów drzewa T takim, że T0 = T oraz Tk = Tk−1 \ (L(Tk−1 ) ∪ S(Tk−1 ) ∪ I(Tk−1 )), gdzie V (Tp ) = L(Tp ) ∪ S(Tp ) ∪ I(Tp ) oraz I(Tj ) jest zbiorem wierzchołków izolowanych grafu Tj , j = 0, 1, . . . , p. Jest oczywiste, że I(T0 ) = ∅. Niech J ∗ =. p−1 S. (L(Tj ) ∪ I(Tj )). Wtedy J ∗ ⊂ Ji , i = 1, 2. Ponieważ. j=0. Ji \ J ∗ = L(Tp ) ∪ I(Tp ), więc otrzymujemy sprzeczność, że T ma dwa (2-d)-jądra. Ponadto z konstrukcji zbioru J ∗ otrzymujemy, że (2-d)-jądro jest α(T )-zbiorem. Wniosek 2.20. (P. Bednarz [3]) Jeżeli las F posiada (2-d)-jądro, to dokładnie jedno i jest nim α(F )-zbiór. Kolejny wniosek podaje oszacowanie liczby (2-d)-jądrowej w drzewach. Wniosek 2.21. (P. Bednarz [3]) Niech T ∈ T będzie n-wierzchołkowym drzewem, l m. l m. n 3. Wtedy n2 ¬ j(T ) = J(T ) ¬ n − 1. Ponadto j(T ) = J(T ) = n2 wtedy i tylko wtedy, gdy T ∼ = Pn dla n nieparzystego, natomiast j(T ) = J(T ) = n − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy T ∼ = K1,n−1 . Z Twierdzenia 2.14 i Twierdzenia 2.19 otrzymujemy kolejną, pełną charakteryzację drzew posiadających (2-d)-jądro. Twierdzenie 2.22. (P. Bednarz [3]) Drzewo T posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy T ma dokładnie jeden α(T )-zbiór. W pracy [11] M. Blidia, M. Chellali oraz O. Favaron badali wartości α(T ) i γ2 (T ) w drzewach oraz podali rodzinę drzew, dla których spełniona jest równość α(T ) = γ2 (T ). Twierdzenie 2.23. (M. Blidia, M. Chellali, O. Favaron [11]) Niech T będzie drzewem. Następujące warunki są równoważne: (i) γ2 (T ) = α(T ), (ii) T ma dokładnie jeden γ2 (T )-zbiór będący jednocześnie jedynym α(T )-zbiorem..

(26) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 25. Z Twierdzenia 2.22 i Twierdzenia 2.23 wynika inna pełna charakteryzacja drzew z (2-d)-jądrem. Twierdzenie 2.24. (P. Bednarz [3]) Drzewo T posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy γ2 (T ) = α(T ). Korzystając z Twierdzenia 2.22 i Twierdzenia 2.24 otrzymujemy Wniosek 2.25. (P. Bednarz [3]) Drzewo T posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy T ma dokładnie jeden γ2 (T )-zbiór. Niech TO1 ⊂ T będzie podrodziną rodziny T drzew mających (2-d)-jądro, otrzymanych po zastosowaniu wyłącznie operacji O1 dla p = 2. Twierdzenie 2.26. (P. Bednarz [3]) Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Jeżeli T jest n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J, to X. degT (v) ¬ 2(α(T ) − 1).. v∈J. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy T ∈ TO1 . Dowód. Niech n 3 będzie liczbą naturalną i T będzie n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J. Ponieważ J jest α(T )-zbiorem, więc n − α(T ) wierzchołków nie należy do zbioru J. Z lematu o uściskach dłoni otrzymujemy zależność 2(n − 1) =. X. degT (v) +. v∈J. X. degT (u).. u∈J /. Jest oczywiste, że dla każdego u ∈ / J, degT (u) 2, więc 2(n − 1) =. X. degT (v) +. v∈J. X. degT (u) . X. degT (v) + 2(n − α(T )).. v∈J. u∈J /. Po przekształceniach otrzymujemy następującą nierówność X. degT (v) ¬ 2(α(T ) − 1).. v∈J. Dla dowodu równości załóżmy, że T ∈ TO1 . Z konstrukcji drzewa T wynika, że n jest nieparzyste i dowolne dwa wierzchołki należące do zbioru V (T ) \ J nie są sąsiednie. Z tego wynika, że. P u∈J /. X v∈J. degT (u) = n − 1. Zatem. degT (v) = n − 1 = 2. . n+1−2 =2 2 . n −1 . 2. . .

(27) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 26. Ponieważ T ∈ TO1 , więc liczba wierzchołków w (2-d)-jądrze jest o jeden większa od liczby wierzchołków spoza (2-d)-jądra. Stąd |J| =. l m n 2. . Z kolei z Twierdzenia 2.19. wynika, że |J| = α(T ), czyli X v∈J. Załóżmy, że. P v∈J. n − 1 = 2 (|J| − 1) = 2(α(T ) − 1). 2. . degT (v) = 2. . / J, degT (u) = 2. degT (v) = 2(α(T ) − 1). Stąd wynika, że dla każdego u ∈. To oznacza, że dowolne dwa wierzchołki spoza J nie są sąsiednie, w przeciwnym wypadku nie są 2-dominowane. Pokażemy, że T ∈ TO1 . Drzewo T ma (2-d)-jądro, więc T ∈ T , czyli jest otrzymane w wyniku operacji O1 , O2 , O3 . Operacje O2 , O3 zwiększają stopień wierzchołka, który nie należy do (2-d)-jądra. To oznacza, że T jest drzewem powstałym przy użyciu wyłącznie operacji O1 dla p = 2. W przeciwnym wypadku istniałby wierzchołek t ∈ V (G) \ J taki, że degT (t) 3. Zatem T ∈ TO1 , co kończy dowód. Z Twierdzenia 2.24 i Twierdzenia 2.26 wynika Wniosek 2.27. (P. Bednarz [3]) Niech n 3 będzie liczbą naturalną. Jeżeli T jest n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J, to X. degT (v) ¬ 2(γ2 (T ) − 1).. v∈J. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy T ∈ TO1 . Twierdzenie 2.28. (P. Bednarz [3]) Niech n 4 będzie liczbą naturalną. Jeżeli T jest n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J takie, że J = L(T ), to 2 α(T ) n. 3 Równość zachodzi, jeżeli T ∼ = Pp ◦ N2 dla n = 3p. Dowód. Niech n 4 będzie liczbą naturalną i niech T będzie n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J takie, że J = L(T ). Z lematu o uściskach dłoni otrzymujemy równość 2(n − 1) =. X v∈J. degT (v) +. X u∈J /. degT (u) = |J| +. X. degT (u).. u∈J /. Z Twierdzenia 2.19 mamy, że |J| = α(T ) i każdy wierzchołek u ∈ / J jest wierzchołkiem silnie podtrzymującym, czyli degT (u) 3. Ponadto co najwyżej dwa wierzchołki.

(28) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 27. podtrzymujące mają stopień 3, zatem 2(n − 1) = |J| +. X. degT (u) α(T ) + 6 + 4(n − 2 − α(T )).. u∈S(T ). Po przekształceniach otrzymujemy, że 2 α(T ) n. 3 Jeżeli T ∼ = Pp ◦ N2 dla n = 3p, to jest oczywiste, że |L(T )| = α(T ) = 2p, co należało pokazać. Z Twierdzenia 2.24 i Twierdzenia 2.28 wynika Wniosek 2.29. (P. Bednarz [3]) Niech n 4 będzie liczbą naturalną. Jeżeli T jest n-wierzchołkowym drzewem posiadającym (2-d)-jądro J takie, że J = L(T ), to 2 γ2 (T ) n. 3 Równość zachodzi, jeżeli T ∼ = Pp ◦ N2 dla n = 3p. Kolejne twierdzenie podaje pełną charakteryzację drzew posiadających (2-d)-jądro ze względu na podziały drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy. Twierdzenie 2.30. (P. Bednarz [3]) Drzewo T posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podział P = {Ti ; i ∈ I = {1, 2, . . . , k}} drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n , n 2 taki, że spełniony jest warunek (i) jeżeli E0 = {xy; x ∈ S(Ti ), y ∈ S(Tj ), i = 6 j dla i, j ∈ I}, to wierzchołki x, y mają stopień co najmniej 2 w podgrafie T \ E0 . Dowód. 1. Niech T będzie drzewem takim, że istnieje podział P = {Ti ; i ∈ I = {1, 2, . . . , k}} na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n , n 2 oraz P spełnia warunek (i). Pokażemy, że T posiada (2-d)-jądro. Jest oczywiste, że. S. E(Ti ) = E(T ) i dowolne. i∈I. dwie gwiazdy Ti , Tj ∈ P, i 6= j mają co najwyżej jeden wspólny wierzchołek. Aby pokazać istnienie (2-d)-jądra w drzewie T rozważmy następujące przypadki. 1.1. E0 = ∅. Pokażemy, że J =. S. L(Ti ) jest (2-d)-jądrem drzewa T . Z definicji zbioru J wynika, że. i∈I. jest zbiorem niezależnym, więc wystarczy udowodnić, że J jest 2-dominujący. Niech x ∈ V (Tj ), j ∈ I oraz x ∈ / J. To oznacza, że x ∈ / L(Tj ), czyli x jest centrum gwiazdy Tj . Ponieważ Ti dla każdego i ∈ I jest izomorficzny z gwiazdą K1,n , n 2, więc istnieją.

(29) 2.2. Charakteryzacje drzew posiadających (2-d )-jądro. 28. co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Tj ) ⊆ J sąsiednie z wierzchołkiem x. Stąd x jest 2-dominowany przez zbiór J. 1.2. E0 6= ∅. Niech V0 będzie zbiorem wierzchołków incydentnych z krawędziami należącymi do zbioru E0 . Wtedy V0 ∩. S. L(Ti ) 6= ∅. Pokażemy, że zbiór J ∗ =. i∈I. S. L(Ti ) \ V0 jest (2-. i∈I. d)-jądrem drzewa T . Niezależność zbioru J ∗ jest oczywista. Aby wykazać, że zbiór J ∗ jest 2-dominujący rozważmy wierzchołek v ∈ V0 ∩ V (Tj ), j ∈ I. Ponieważ v ∈ V0 , więc v∈ / J ∗ . Jeżeli v jest centrum gwiazdy Tj , to z warunku (i) istnieją co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Tj ) ⊂ J ∗ sąsiednie z wierzchołkiem v. Jeżeli v nie jest centrum gwiazdy Tj , to v ∈ L(Tj ). Wtedy istnieje drzewo Ts , s 6= j takie, że V (Ts ) ∩ V (Tj ) = {v} oraz wierzchołek v jest centrum gwiazdy Ts . To oznacza, że istnieją co najmniej dwa wierzchołki w zbiorze L(Ts ) ⊂ J ∗ . Zatem J ∗ jest 2-dominujący i ponieważ jest niezależny, więc jest (2-d)-jądrem. 2. Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że drzewo T posiada (2-d)-jądro J. Pokażemy, że istnieje podział drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n , n 2 taki, że spełniony jest warunek (i). Rozważmy następujące przypadki. 2.1. J = L(T ). Ponieważ J jest zbiorem 2-dominującym, więc V (T ) = L(T ) ∪ S(T ). To oznacza, że T ∼ = T 0 ◦ N (1) , N (2) , . . . , N (r) jest koroną grafów, gdzie T 0 jest r-wierzchołkowym p1. p2. pr. r P. drzewem, r 1, pi 2, i = 1, 2, . . . , r oraz r + pi = |V (T )|. Rozważmy podział i=1 P = {T1 , T2 , . . . , Tr }, r 1 drzewa T taki, że T1 ∼ = K1,p1 oraz Ti ∼ = K1,pi +1 dla każdego i = 2, 3, . . . , r. Jeżeli r = 1, to P = {T1 } oraz E0 = ∅, zatem podział P spełnia warunek (i). Jeżeli r 2, to E0 = E(T 0 ) a graf T \ E0 jest lasem złożonym z r rozłącznych gwiazd K1,pi , pi 2. Ponieważ pi 2, i = 1, 2, . . . , r, więc dla każdego wierzchołka xi ∈ S(Ti ) zachodzi degTi (xi ) 2. Zatem podział P spełnia warunek (i). 2.2. J = L(T ) ∪ J 0 , gdzie J 0 6= ∅. Niech u ∈ J 0 oraz degT (u) = m, m 2. Aby dokonać podziału drzewa T na rozłączne krawędziowo gwiazdy K1,n , n 2 spełniające warunek (i) kopiujemy m-krotnie wierzchołek u, otrzymując wierzchołki u1 , u2 , . . . , um i rozdzielamy drzewo T na m rozłącznych drzew T1 , T2 , . . . , Tm takich, że ui ∈ L(Ti ), i = 1, 2, . . . , m. W otrzymanym lesie każde drzewo Ti , i = 1, 2, . . . , m posiada (2-d)-jądro Ji takie, że ui ∈ Ji . Powtarzamy tę operację dla każdego drzewa Ti , gdzie Ji = L(Ti ) ∪ Ji0 dopóki (2-d)-jądro w każdym drzewie będzie zawierało tylko liście. Wtedy dowodząc dla każdego z drzew analogicznie jak w przypadku 2.1. otrzymujemy, że w każdym drzewie istnieje podział P spełniający warunek (i), który wyznacza podział drzewa T , co kończy dowód..

(30) 2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami. 2.3. 29. (2-d )-jądra w grafach z cyklami. W podrozdziale tym rozważymy problem istnienia (2-d)-jądra w grafach z cyklami. W [54] zostało podane następujące twierdzenie. Twierdzenie 2.31. (A. Włoch [54]) Graf Cn , n 4 posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2p, p 2. Ponadto σ(C2p ) = 2 dla p 2. Wniosek 2.32. (P. Bednarz [3]) Jeżeli p 2, to j(C2p ) = J(C2p ) = p. Kolejne twierdzenie podaje warunki konieczne na istnienie dwóch (2-d)-jąder w grafach jednocyklowych. Twierdzenie 2.33. (P. Bednarz [3]) Niech G ∼ 6= Cm , m 3 będzie grafem jednocyklowym, C będzie cyklem grafu G i niech V0 = NG (C) \ V (C). Jeżeli G posiada dwa (2-d)-jądra J1 , J2 , to spełnione są jednocześnie warunki (i) (J1 ∩ J2 ) ∩ NG (C) = ∅, (ii) V0 ∩ (J1 ∪ J2 ) = ∅, (iii) |NG (y) ∩ (J1 ∩ J2 )| 2 dla każdego y ∈ V0 , (iv) C jest cyklem parzystym. Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem grafu G. Niech V0 = NG (C) \ V (C). Załóżmy, że G ma dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Pokażemy, że spełnione są jednocześnie warunki (i)-(iv). Ponieważ G nie jest cyklem, więc istnieje w grafie G wierzchołek będący liściem, czyli L(G) 6= ∅. Jest oczywiste, że L(G) ⊂ J1 i L(G) ⊂ J2 . To oznacza, że J1 ∩ J2 6= ∅. Niech J = J1 ∩ J2 . (i) Pokażemy, że J ∩ NG (C) = ∅. Załóżmy nie wprost, że J ∩NG (C) 6= ∅. Niech y ∈ J ∩NG (C). Wtedy istnieje x ∈ V (C)\J taki, że wierzchołki x, y są sąsiednie w grafie G. Stąd J1 , J2 są (2-d)-jądrami grafu G \ {x}. Ponieważ x ∈ V (C), więc G \ {x} jest lasem i korzystając z Wniosku 2.20 otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że istnieją dwa (2-d)-jądra w G \ {x}. Zatem J ∩ NG (C) = ∅. (ii) Pokażemy, że V0 ∩ (J1 ∪ J2 ) = ∅. Załóżmy nie wprost, że V0 ∩(J1 ∪J2 ) 6= ∅. Niech y ∈ V0 ∩(J1 ∪J2 ). Bez straty dla ogólności rozważań przypuśćmy, że y ∈ J1 . Niech x ∈ V (C) będzie sąsiedni z wierzchołkiem y. To oznacza, że x ∈ / J1 i zbiór J1 jest (2-d)-jądrem grafu G\{x}. Niech T będzie komponentą grafu G \ {x} zawierającą wierzchołek y. Wtedy JT = J1 ∩ V (T ) jest jedynym (2-d)jądrem drzewa T . Rozumując analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 2.19 mamy, że.

(31) 2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami. 30. JT ⊂ J2 . Stąd JT ⊂ J. To oznacza, że y ∈ J i J ∩ NG (C) 6= ∅. Otrzymujemy sprzeczność z warunkiem (i). Zatem dla dowolnego wierzchołka y ∈ V0 wynika, że y ∈ / J1 ∪ J2 . (iii) Pokażemy, że dla każdego y ∈ V0 zachodzi nierówność |NG (y) ∩ J| 2. Innymi słowy pokażemy, że dowolny wierzchołek y ∈ V0 jest 2-dominowany przez zbiór J. Z założenia graf G ma dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Ponadto z warunku (ii) wynika, że dla każdego y ∈ V0 , y ∈ / J1 ∪ J2 więc J1 , J2 są (2-d)-jądrami grafu G \ V0 . Komponentami grafu G \ V0 są drzewa Ti , i 1 oraz cykl C. Wtedy JTi = J1 ∩ V (Ti ), i 1 jest jedynym (2-d)-jądrem drzewa Ti . Rozumując analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 2.19 mamy, że JTi ⊂ J2 . Stąd JTi ⊂ J. Wtedy dla każdego wierzchołka v ∈ V (G) \ NG (C) takiego, że v ∈ J1 wynika, że v ∈ J. Ponieważ J1 jest (2-d)-jądrem grafu G, stąd istnieją wierzchołki y1 , y2 ∈ J1 sąsiednie z wierzchołkiem y. Zauważmy, że y1 , y2 nie mogą jednocześnie należeć do zbioru V (C). Z kolei, jeżeli y1 , y2 ∈ / V (C), to natychmiast otrzymujemy, że |NG (y) ∩ J| 2. Niech y1 ∈ V (C) i y2 ∈ / V (C). To oznacza, że y2 ∈ V (G) \ NG (C). Ponieważ y2 ∈ J1 , stąd y2 ∈ J. Z warunku (i) wynika, że y1 ∈ / J2 . Ponieważ zbiór J2 jest (2-d)-jądrem grafu G, to istnieje wierzchołek y3 ∈ J2 , y3 ∈ V (G) \ NG (C) sąsiedni z wierzchołkiem y. To oznacza, że y3 ∈ J. Zatem |NG (y) ∩ J| 2 dla dowolnego wierzchołka y ∈ V0 . (iv) Pokażemy, że cykl C jest parzysty. Załóżmy nie wprost, że C jest cyklem nieparzystym. Z warunku (ii) wynika, że graf G \ V0 ma dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Jedną z komponent spójności grafu G \ V0 jest cykl C. Ponieważ C jest cyklem nieparzystym, więc nie posiada (2-d)-jądra. To oznacza, że graf G \ V0 nie posiada (2-d)-jądra, co jest sprzeczne z założeniem, że G \ V0 ma dwa (2-d)-jądra. Zatem C jest parzysty. Wniosek 2.34. (P. Bednarz [3]) Niech G ∼ 6= Cm , m 3 będzie grafem jednocyklowym i niech C będzie cyklem grafu G. Jeżeli G posiada dwa (2-d)-jądra, to podgraf G \ C posiada (2-d)-jądro. Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem grafu G. Niech V0 = NG (C) \ V (C). Załóżmy, że G ma dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Z Twierdzenia 2.33 (warunek (iii)) wynika, że każdy wierzchołek y ∈ V0 jest 2-dominowany przez wierzchołki ze zbioru (V (G) \ NG (C)) ∩ (J1 ∩ J2 ). Ponadto każdy wierzchołek z ∈ V (G) \ NG (C), z ∈ / Ji , i = 1, 2 jest 2-dominowany przez zbiór Ji . Jest oczywiste, że zbiór Ji ∩ V (G), i = 1, 2 jest niezależny. Zatem graf G \ C posiada (2-d)-jądro Ji \ V (C), i = 1, 2..

(32) 2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami. 31. Wniosek 2.35. (P. Bednarz [3]) Niech G ∼ 6= Cm , m 3 będzie grafem jednocyklowym i niech C będzie cyklem parzystym grafu G. Jeżeli J jest (2-d)-jądrem podgrafów G \ C i G \ NG (C), to G posiada dwa (2-d)-jądra. Dowód. Niech G będzie grafem jednocyklowym różnym od cyklu i C będzie cyklem parzystym grafu G. Załóżmy, że J jest (2-d)-jądrem grafów G \ C i G \ NG (C). To oznacza, że J ∩ (NG (C) \ V (C)) = ∅. Ponadto każdy wierzchołek ze zbioru NG (C) \ V (C) jest 2-dominowany przez zbiór J. W przeciwnym wypadku J nie jest (2-d)-jądrem grafu G \ C. Ponieważ C jest parzysty, więc posiada dwa (2-d)-jądra J1 , J2 . Pokażemy, że J ∪ Ji , i = 1, 2 jest (2-d)-jądrem grafu G. Niezależność zbioru J ∪ Ji , i = 1, 2 jest oczywista. Rozważmy wierzchołek x ∈ V (G) \ (J ∪ J1 ). Jeżeli x ∈ V (G) \ V (C), to jest 2-dominowany przez J. Z kolei, jeżeli x ∈ V (C), to jest 2-dominowane przez zbiór J1 . Analogicznie dowodzimy, że zbiór J ∪ J2 jest zbiorem 2-dominującym. Rozważmy rodziny C (n) , n 0 grafów takie, że C (0) = {C2p ; p 2} oraz dla dowolnego n 1 każdy graf G należący do rodziny C (n) jest otrzymany z pewnego grafu H ∈ C (n−1) przez krawędziowe sklejenie grafu G i dowolnego cyklu C2k , k 2 wzdłuż ścieżki Pi , 1 ¬ i < 2k. Rodzinę C =. S. C (n) będziemy nazywać rodziną sklejonych parzystych cykli.. n0. Twierdzenie 2.36. (P. Bednarz [3]) Jeżeli G ∈ C, to G posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem zbioru V (G). Dowód (indukcyjny ze względu na n). Niech G ∈ C =. S. C (n) . Stąd G ∈ C (n) dla. n0. pewnego n 0. Wystarczy udowodnić, że dla dowolnego n 0 grafy należące do rodziny C (n) posiadają dwa (2-d)-jądra będące podziałem zbioru wierzchołków. Zastosujemy indukcję ze względu na n. Jeżeli n = 0, to G jest cyklem parzystym i twierdzenie jest oczywiste. Niech n 1. Załóżmy, że każdy graf należący do rodziny C (n−1) posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem jego zbioru wierzchołków. Pokażemy, że G ∈ C (n) posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem V (G). Ponieważ G ∈ C (n) , więc G jest grafem otrzymanym w wyniku sklejenia pewnego grafu H ∈ C (n−1) i cyklu C2k , k 2 wzdłuż drogi Pi , 1 ¬ i < 2k. Niech V (C2k ) = {x1 , x2 , . . . , x2k } z numeracją wierzchołków na cyklu w naturalnej kolejności. Załóżmy bez straty dla ogólności rozważań, że V (Pi ) = {x1 , x2 , . . . , xi }, 1 ¬ i < 2k. Z założenia indukcyjnego graf H posiada dwa (2-d)-jądra J1H , J2H , które są podziałem zbioru V (H), czyli JiH 6= ∅, i = 1, 2, J1H ∩ J2H = ∅, J1H ∪ J2H = V (H). Ponadto każdy wierzchołek ścieżki Pi należy do zbioru J1H albo J2H . Załóżmy, że x1 ∈ J1H . Jeżeli i jest nieparzyste, to zbiory J1H ∪ {xi+2 , xi+4 , . . . , x2k−1 }, J2H ∪ {xi+1 , xi+3 , . . . , x2k }, są (2-d)-jądrami grafu G. Jeżeli i jest parzyste, to zbiory.

(33) 2.3. (2-d )-jądra w grafach z cyklami. 32. J1H ∪ {xi+1 , xi+3 , . . . , x2k−1 }, J2H ∪ {xi+2 , xi+4 , . . . , x2k } są (2-d)-jądrami grafu G. W obu przypadkach te zbiory są podziałem zbioru V (G). Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe. Wniosek 2.37. (P. Bednarz [3]) Niech G ∈ C. Jeżeli (2-d)-jądra Ji ⊂ V (G), i = 1, 2 są podziałem zbioru V (G), to dla dowolnych x, y ∈ Ji , i = 1, 2 zachodzi dG (x, y) ≡ 0(mod 2). Istnieją grafy należące do rodziny C posiadające więcej niż dwa (2-d)-jądra. Rozważmy dla przykładu graf G ∈ C (3) przedstawiony na Rysunku 2.8, który oprócz dwóch (2-d)-jąder J1 = {v1 , v3 , v8 , v7 }, J2 = {v2 , v5 , v4 , v6 } będących podziałem zbioru V (G) posiada (2-d)-jądro J3 = {v2 , v5 , v8 , v7 }. Jest oczywiste, że rodzina J (G) = {J1 , J2 , J3 } nie jest podziałem zbioru V (G). Podziałem zbioru V (G) jest J ∗ (G) = {J1 , J2 }. v2. v3 v5. v1. v6 v8. v4. v7. Rys. 2.8: Graf G ∈ C (3) Niech n 5 będzie liczbą naturalną. Rozważmy cykl Cn i dopełnienie Cn , gdzie V (Cn ) = {x1 , x2 , . . . , xn }, V (Cn ) = {xc1 , xc2 , . . . , xcn } z numeracją wierzchołków na cyklu i jego dopełnieniu w naturalnej kolejności. Niech G(n) będzie grafem takim, że V (G(n)) = V (Cn ) ∪ V (Cn ) i E(G(n)) = E(Cn ) ∪ E(Cn ) ∪ {xi xci ; i = 1, 2, . . . , n}. Jeżeli n = 5, to G(5) jest izomorficzny z grafem Petersena. Twierdzenie 2.38. (P. Bednarz [3]) Niech n 5 będzie liczbą naturalną. Graf G(n) posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste. Dowód. Niech n 5 będzie nieparzyste. Pokażemy, że J = {xc2 , xc3 , x1 , x4 , x6 , . . . , xn−1 } jest (2-d)-jądrem grafu G(n). Niezależność zbioru J jest oczywista. Wykażemy, że J jest zbiorem 2-dominującym. Z definicji grafu G(n) możemy przyjąć, że xn+1 = x1 . Załóżmy, że y ∈ V (G(n)) \ J. Wtedy y ∈ V (Cn ) albo y ∈ V (Cn ). Niech y ∈ V (Cn ). Wtedy y = xk , k = 2, 3, 5, . . . , n. Jeżeli xck ∈ / J, to istnieją wierzchołki xk−1 , xk+1 ∈ J sąsiednie z wierzchołkiem xk . Jeżeli xck ∈ J, to k = 2 albo k = 3. Dla k = 2 wierzchołek x2 jest sąsiedni z wierzchołkami x1 , xc2 ∈ J. Z kolei dla k = 3 wierzchołek x3 jest sąsiedni z wierzchołkami x4 , xc3 ∈ J. Zatem każdy wierzchołek ze zbioru V (Cn ) jest 2-dominowany przez zbiór J. Niech y ∈ V (Cn ), stąd y = xck , k = 1, 4, 5, . . . , n. Wtedy wierzchołek xck , k = 5, 6, . . . , n jest sąsiedni z wierzchołkami xc2 , xc3 ∈ J. Jeżeli k = 1, to xc1 jest sąsiedni z wierzchołkami.