Istnienie i liczba (2-d )-jąder w produktach grafów

W rozdziale tym podamy warunki na istnienie (2-d)-jąder w wybranych produktach grafów. Przy pomocy własności mniejszych grafów składowych scharakteryzujemy produkty posiadające (2-d)-jądro. Pokażemy, że brak (2-d)-jądra w grafach składowych nie wyklucza istnienia (2-d)-jądra w ich produktach. Udowodnimy, że liczba (2-d)-jąder w produkcie tensorowym pewnych grafów wyraża się liczbami typu Fibonacciego.

Produkty dwóch grafów lub digrafów oraz ich uogólnienia w odniesieniu do problemów istnienia różnego typu jąder były rozważane między innymi w pracach [27, 34, 36, 48, 49, 55].

4.1 (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim

Produkt kartezjański dwóch grafów jest znanym, klasycznym produktem. Wiele własności tego produktu zostało przestawionych w [33]. Jądra i ich uogólnienia w pro-dukcie kartezjańskim dwóch grafów były rozważane przez M. Kwaśnik w [36], natomiast A. Włoch i I. Włoch w [55] podali warunki na istnienie jąder w uogólnionym produkcie kartezjańskim.

W tym podrozdziale przedstawimy warunki wystarczające na istnienie (2-d)-jąder w produkcie kartezjańskim dwóch grafów dwudzielnych. Rozważymy także przypadki gdy grafami składowymi produktu są ścieżki, cykle i grafy pełne.

Twierdzenie 4.1. (A. T. White [53]) Graf G  H jest grafem dwudzielnym wtedy

i tylko wtedy, gdy G i H są grafami dwudzielnymi.

Twierdzenie 4.2. (W. Imrich, S. Klavˇzar, D. F. Rall [33]) Graf G H jest grafem

4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim 45 Twierdzenie 4.3. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Jeżeli G i H są nietrywialnymi, spójnymi

grafami dwudzielnymi, to graf G H posiada dwa (2-d)-jądra będące podziałem zbioru

V (G  H).

Dowód. Niech G = G(V₁, V₂) oraz H = H(V₃, V₄) będą spójnymi grafami dwudzielnymi, gdzie |V (G)| ­ 2, |V (H)| ­ 2. Wtedy rodzina {V₁× V₃∪ V₂× V₄, V₂× V₃ ∪ V₁× V₄}

jest podziałem zbioru V (G H). Pokażemy, że zbiory J = (V1× V₃) ∪ (V₂× V₄) oraz

J^∗ = (V₂× V₃) ∪ (V₁ × V₄) są (2-d)-jądrami grafu G H. Z dwudzielności grafów G i H wynika, że zbiory Vi, i = 1, 2, 3, 4 są niezależne, więc niezależność zbiorów V1× V3,

V₂× V₄, V₂× V₃, V₁× V₄, jest oczywista. Niech (x_i, y_p) ∈ V₁× V₃ i (x_j, y_q) ∈ V₂ × V₄. Załóżmy nie wprost, że wierzchołki (x_i, y_p), (x_j, y_q) są sąsiednie w grafie G H. To oznacza, że x_i = x_j lub y_p = y_q, co jest sprzeczne z założeniem, że x_i ∈ V₁ i x_j ∈ V₂

(odpowiednio y_p ∈ V₃ i y_q ∈ V₄). Zatem J = (V₁×V₃)∪(V₂×V₄) jest zbiorem niezależnym. Analogicznie wykazujemy niezależność zbioru J^∗.

Pokażemy, że J jest zbiorem 2-dominującym. Załóżmy, że (xt, yr) ∈ V (G H) \ J. To oznacza, że (x_t, y_r) ∈ V₂× V₃ albo (x_t, y_r) ∈ V₁× V₄. Udowodnimy, że istnieją dwa wierzchołki w zbiorze J sąsiednie z wierzchołkiem (x_t, y_r). Niech (x_t, y_r) ∈ V₁×V₄. Wtedy

x_t∈ V₁ i y_r ∈ V₄. Ponieważ H jest spójnym grafem dwudzielnym i |V (H)| ­ 2, więc istnieje wierzchołek y_q∈ V₃ taki, że y_ry_q ∈ E(H). Z definicji grafu G  H otrzymujemy,

że (xt, y_q) ∈ V1 × V₃ ⊂ V (G  H), czyli (xt, y_q) ∈ J oraz (xt, y_r)(xt, y_q) ∈ E(G H). Analogicznie z własności grafu G wynika, że istnieje wierzchołek (xp, yr) ∈ V2× V4 ⊂ V (G  H). Ponadto (xp, y_r) ∈ J oraz (x_t, y_r)(x_p, y_r) ∈ E(G H). To oznacza, że każdy wierzchołek ze zbioru V₁× V₄ jest 2-dominowany przez zbiór J . Jeżeli (x_t, y_r) ∈ V₂× V₃, to analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że (x_t, y_r) jest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem zbiór J jest (2-d)-jądrem grafu G H. W ten sam sposób możemy udowodnić, że zbiór J^∗ jest (2-d)-jądrem grafu G H, co kończy dowód.

Wniosek 4.4. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Grafy P_n Pm oraz C_2n Pm dla n, m ­ 2 posiadają (2-d)-jądro.

Wniosek 4.5. (P. Bednarz [3]) Jeżeli G i H są nietrywialnymi, spójnymi grafami

dwudzielnymi, to σ(G H) ­ 2. Ponadto σ(Pn Pm) = σ(C_2n Pm) = 2 dla n, m ­ 2.

Dowód. Niech n, m ­ 2 będą liczbami naturalnymi i niech J będzie (2-d)-jądrem grafu P_n Pm. Załóżmy, że V (P_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n} i V (P_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m} z numeracją

wierzchołków na ścieżkach w naturalnej kolejności. W pierwszej kopii grafu Pm musimy wybrać do (2-d)-jądra J maksymalny zbiór niezależny A1, taki że zbiór V (Pm) \ A1

jest zbiorem niezależnym. W przeciwnym wypadku istnieją dwa sąsiednie wierzchołki (x₁, y_t−1), (x₁, y_t) /∈ J dla pewnego 2 ¬ t ¬ m. Aby (x₁, y_t−1), (x₁, y_t) były 2-dominowane przez zbiór J , to (x₂, y_t−1), (x₂, y_t) ∈ J . Ponieważ (x₂, y_t−1)(x₂, y_t) ∈ E(P_n Pm), stąd

4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim 46

otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że J jest (2-d)-jądrem. Wtedy w drugiej kopii grafu P_m żaden wierzchołek ze zbioru A₁ nie może należeć do (2-d)-jądra J . Niech

A₂ = V (P_m) \ A₁. W drugiej kopii grafu P_m każdy wierzchołek należący do zbioru A₂ ma dokładnie jednego sąsiada z trzeciej kopii grafu P_m, który może go dominować. To oznacza, że w drugiej kopii grafu Pm musimy wybrać do (2-d)-jądra J zbiór A2. W przeciwnym wypadku J nie jest zbiorem 2-dominującym. Rozumując analogicznie dochodzimy do wniosku, że w trzeciej kopii grafu P_m musimy wybrać do (2-d)-jądra J zbiór A₁. Niech A^(r)_i , i = 1, 2, r = 1, 2, . . . , n będzie maksymalnym zbiorem niezależnym

A_iw r-tej kopii grafu P_m. Wtedy, jeżeli n jest nieparzyste, to J = A⁽¹⁾₁ ∪A⁽²⁾₂ ∪A⁽³⁾₁ ∪. . .∪ A⁽ⁿ⁾₁ . Z kolei, jeżeli n jest parzyste, to J = A⁽¹⁾₁ ∪ A⁽²⁾₂ ∪ A⁽³⁾₁ ∪ . . . ∪ A⁽ⁿ⁾₂ . To oznacza, że przynależność wierzchołków w pierwszej kopii grafu Pmwymusza konstrukcję (2-d)-jądra w grafie Pn Pm. Ponieważ w pierwszej kopii grafu Pm możemy wybrać zbiór A₁ albo

A₂, więc σ(P_n Pm) = 2.

Dowodząc analogicznie dla grafu C_2n Pm otrzymujemy, że σ(C_2n Pm) = 2.

Wniosek 4.6. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Niech n, m ­ 2 będą liczbami naturalnymi.

Wtedy

(i) j(P_n Pm) =^jnm₂ ^k, (ii) J (P_n Pm) =^lnm₂ ^m,

(iii) j(C_2n Pm) = J (C_2n Pm) = mn.

Istnieją produkty kartezjańskie dwóch grafów dwudzielnych, które posiadają więcej niż dwa (2-d)-jądra. Takim przykładem jest produkt C6 C6. Przyjmując V (C6) =

{x1, x2, . . . , x6} z numeracją wierzchołków na cyklu w naturalnej kolejności otrzymujemy,

że graf C₆ C6 oprócz dwóch (2-d)-jąder J₁, J₂ będących podziałem zbioru V (C₆ C6), gdzie J₁ = {(x_i, x_j); i, j = 1, 2, . . . , 6, i + j = 2k, k ∈ N}, J2 = {(x_i, x_j); i, j = 1, 2, . . . , 6, i + j = 2k + 1, k ∈ N} posiada (2-d)-jądro J3 = {(x_i, x_i); i = 1, 2, . . . , 6} ∪

{(x₁, x₄), (x₄, x₁), (x₂, x₅), (x₅, x₂), (x₃, x₆), (x₆, x₃)}.

Kolejne twierdzenie podaje warunek wystarczający na istnienie (2-d)-jądra w pro-dukcie kartezjańskim dwóch cykli.

Twierdzenie 4.7. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Jeżeli

n i m nie są liczbami względnie pierwszymi, to graf Cn Cm posiada (2-d)-jądro. Dowód. Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi.

1. Jeżeli n, m są parzyste, to N W D(n, m) ­ 2, czyli n, m nie są liczbami względnie pierwszymi. Cykle C_n, C_m są grafami dwudzielnymi i z Twierdzenia 4.3 wynika, że graf

4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim 47

2. Niech n, m są nieparzyste. Rozważmy przypadek, gdy n = m. Stąd N W D(n, n) = n, więc założenia twierdzenia są spełnione. Pokażemy, że graf C_n Cn posiada (2-d)-jądro

J . Niech V (C_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n} z numeracją wierzchołków na cyklu w naturalnej

kolejności. Konstrukcję zbioru J w grafie C_n  Cn możemy przedstawić definiując macierz An = [aij]n×n taką, że

aij =    1 jeżeli (xi, xj) ∈ J, 0 w przeciwym wypadku.

Z definicji produktu C_n Cn otrzymujemy, że a_ij = 1 jeżeli

i − j ∈ ⁿ−n + 2p; p = 1, . . . ,n−3

2

o

∪ⁿn − 2q − 1; q = 1, . . . ,ⁿ⁻¹₂ ^o.

W przeciwnym wypadku a_ij = 0.

Z powyższych rozważań mamy, że jeżeli n = 3, to

A₃ =      1 0 0 0 1 0 0 0 1      .

Z kolei dla n ­ 5 macierz An ma postać

A_n =                            1 0 0 1 0 . . . 1 0 1 0 0 1 0 0 1 . . . 0 1 0 1 1 0 1 0 0 . . . 1 0 1 0 0 1 0 1 0 . . . 0 1 0 1 1 0 1 0 1 . . . 1 0 1 0 .. . .._. .._. .._. .._. . .. ... ... ... ... 0 1 0 1 0 . . . 1 0 0 1 1 0 1 0 1 . . . 0 1 0 0 0 1 0 1 0 . . . 1 0 1 0 0 0 1 0 1 . . . 0 1 0 1                            .

Z postaci macierzy A_n bezpośrednio wynika, że dla n nieparzystych J jest (2-d)-jądrem grafu C_nCn. Niech n 6= m i załóżmy, że n, m nie są liczbami względnie pierwszymi, czyli

N W D(n, m) = k, k ­ 3 jest nieparzyste. Wykorzystując macierz A_k przedstawiającą (2-d)-jądro J w grafie Ck Ck pokażemy konstrukcję (2-d)-jądra J^∗ w grafie Cn Cm.

Niech A będzie macierzą blokową zdefiniowaną następująco

A =          A_k A_k . . . A_k A_k A_k . . . A_k .. . .._. . .. ... A_k A_k . . . A_k          .

4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim 48

Z postaci macierzy A wynika, że J^∗ jest (2-d)-jądrem grafu C_n Cm.

3. Niech dokładnie jedna z liczb n, m jest nieparzysta i załóżmy, że n, m nie są liczbami względnie pierwszymi, czyli N W D(n, m) = k, k ­ 3 jest nieparzyste. Wtedy analogicznie jak w przypadku 2. wykorzystując macierz A_k pokazujemy konstrukcję (2-d)-jądra w grafie Cn Cm, co kończy dowód.

Twierdzenie 4.8. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Niech n, m ­ 1 będą liczbami naturalnymi.

Graf K_n Km posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy n = m.

Dowód. Niech n, m ­ 1 będą liczbami naturalnymi i niech V (K_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n}, n ­ 1 oraz V (K_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m}, m ­ 1. Jeżeli m = n, to zbiór J = {(x_i, y_i); i = 1, 2, . . . , n} jest (2-d)-jądrem grafu K_n Kn.

Niech graf K_n Km posiada (2-d)-jądro J^∗ i załóżmy nie wprost, że n > m. Jest oczywiste, że w każdej kopii Kn oraz Km możemy wybrać co najwyżej jeden wierzchołek do zbioru J^∗. Bez straty dla ogólności rozważań załóżmy, że (x₁, y₁) ∈ J^∗. Wtedy w drugiej kopii K_m możemy wybrać do zbioru J^∗ dowolny wierzchołek (x₂, y_i), i 6= 1. Analogicznie w trzeciej kopii K_m wybieramy wierzchołek (x₃, y_j), j 6= 1, j 6= i. Ponieważ

n > m, więc w (m + 1)-szej kopii K_m dla każdego wierzchołka (x_m+1, y_p), p = 1, 2, . . . , m istnieje dokładnie jeden wierzchołek (x_r, y_p) ∈ J^∗, 1 ¬ r ¬ m taki, że (x_m+1, y_p), (x_r, y_p) są sąsiednie. Czyli J^∗∩ ({x_m+1} × V (K_n)) = ∅. To oznacza, że wierzchołki (xm+1, y_p),

p = 1, 2, . . . , m nie są 2-dominowane przez zbiór J^∗, sprzeczność z założeniem, że J^∗ jest (2-d)-jądrem, co kończy dowód.

Wniosek 4.9. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Niech n ­ 1 będzie liczbą naturalną. Wtedy

(i) σ(K_n Kn) = n!,

(ii) j(K_n Kn) = J (K_n Kn) = n.

Dowód. Niech n ­ 1 będzie liczbą naturalną. Załóżmy, że J ⊆ V (Kn  Kn) jest (2-d)-jądrem grafu Kn Kn. Jest oczywiste, że w pierwszej kopii grafu Kn możemy wybrać wierzchołek do zbioru J na n sposobów. Ponadto w p-tej kopii grafu K_n, 2 ¬ p ¬ n możemy wybrać wierzchołek do zbioru J na n − p + 1 sposobów. Zatem

σ(K_n Kn) = n · (n − 1) · . . . · 1 = n!. Z konstrukcji (2-d)-jąder w grafie K_n  Kn

wynika, że wszystkie (2-d)-jądra są równoliczne, więc j(K_n Kn) = J (K_n Kn) = n, co kończy dowód.

Graf G posiada V1V₂-lokalne (2-d)-jądro, jeżeli istnieją rozłączne i niepuste podzbiory

V1, V2 ⊂ V (G) takie, że V1 jest (2-d)-jądrem podgrafu G \ V2 i V2 jest (2-d)-jądrem podgrafu G \ V₁.

Z powyższej definicji wynika, że jeżeli G ma V₁V₂-lokalne (2-d)-jądro, to zbiory V₁,

4.1. (2-d )-jądra w produkcie kartezjańskim 49 Twierdzenie 4.10. (P. Bednarz, I. Włoch [5]) Niech G = G(J₁, J₂) będzie grafem

dwudzielnym takim, że J_i, i = 1, 2 są (2-d)-jądrami grafu G. Niech H będzie grafem mającym V₁V₂-lokalne (2-d)-jądro. Wtedy graf G H posiada (2-d)-jądro.

Dowód. Niech G = G(J₁, J₂) będzie grafem dwudzielnym takim, że J₁, J₂ są (2-d)-jądrami grafu G oraz niech H będzie grafem mającym V₁V₂-lokalne (2-d)-jądro. Pokaże-my, że G H posiada (2-d)-jądro. Niech V (H) = V1∪ V2∪ R. Jeżeli R = ∅, to rodzina {V₁, V₂} jest podziałem zbioru V (H). Ponieważ V_i, i = 1, 2 jest zbiorem niezależnym, to H jest grafem dwudzielnym i z Twierdzenia 4.3 wynika, że G H ma (2-d)-jądro. Załóżmy, że R 6= ∅. Wtedy zbiór V (GH) jest sumą parami rozłącznych zbiorów J1×V₁,

J₁×V₂, J₁×R, J₂×V₁, J₂×V₂, J₂×R. Wykażemy, że zbiór J = (J₁×V₁) ∪ (J₂×V₂) jest (2-d)-jądrem grafu GH. Ponieważ zbiory Ji, V_i, i = 1, 2 są niezależne, więc niezależność

zbiorów J1× V1, J2× V2 jest oczywista. Niech (xi, yp) ∈ J1× V1 i (xj, yq) ∈ J2× V2. Za-łóżmy nie wprost, że wierzchołki (x_i, y_p), (x_j, y_q) są sąsiednie w grafie GH. To oznacza, że x_i = x_j lub y_p = y_q, co jest sprzeczne z założeniem, że x_i ∈ J₁ i x_j ∈ J₂ (odpowiednio

y_p ∈ V₁ i y_q∈ V₂). Zatem J = (J₁ × V₁) ∪ (J₂× V₂) jest zbiorem niezależnym.

Pokażemy, że zbiór J jest zbiorem 2-dominującym. Załóżmy, że (x_t, y_r) ∈ V (GH)\J i rozważmy następujące możliwości.

1. (xt, yr) ∈ J2× V1.

Ponieważ J₁ jest (2-d)-jądrem grafu G, więc z definicji produktu kartezjańskiego otrzy-mujemy, że każdy wierzchołek ze zbioru J₂ × V₁ jest 2-dominowany przez zbiór J₁× V₁. 2. (x_t, y_r) ∈ J₁× V₂.

Dowodzimy w ten sam sposób jak w przypadku 1.

3. (x_t, y_r) ∈ J₁× R albo (x_t, y_r) ∈ J₂× R.

Ponieważ H posiada V1V₂-lokalne (2-d)-jądro, więc każdy wierzchołek yr ma co najmniej dwóch sąsiadów w zbiorze Vi, i = 1, 2. Stąd z definicji grafu G  H wynika, że każdy

wierzchołek ze zbioru J₁× R jest 2-dominowany przez zbiór J₁× V₁. Analogicznie każdy wierzchołek ze zbioru J₂ × R jest 2-dominowany przez zbiór J₂× V₂.

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 50

4.2 (2-d )-jądra w produkcie tensorowym

W tym podrozdziale rozważymy problem istnienia i liczby (2-d)-jąder w produkcie tensorowym dwóch grafów. W dalszej części wykorzystamy następujące własności tego produktu.

Twierdzenie 4.11. (P. M. Weichsel [52]) Niech G, H będą nietrywialnymi grafami

spójnymi. Jeżeli co najmniej jeden z grafów G lub H posiada cykl nieparzysty, to graf G × H jest spójny. Jeżeli grafy G i H są dwudzielne, to graf G × H ma dokładnie dwie komponenty spójności.

Twierdzenie 4.12. (R. Hammack, W. Imrich, S. Klavˇzar [29]) Jeżeli G jest grafem

dwudzielnym, to G × H jest grafem dwudzielnym, dla dowolnego grafu H.

W [54] zostało udowodnione następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.13. (A. Włoch [54]) Niech G = G(V₁, V₂) będzie grafem dwudzielnym.

Jeżeli d_G(x, y) ≡ 0(mod 2) dla dowolnych x, y ∈ L(G), to graf G posiada (2-d)-jądro. Podamy twierdzenia o istnieniu i liczbie (2-d)-jąder w grafie G × H, gdzie grafy składowe są ścieżkami, cyklami lub grafami pełnymi.

Twierdzenie 4.14. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 1 będą liczbami naturalnymi. Graf

P_n× P_m posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb n lub m jest nieparzysta.

Dowód. Niech n, m ­ 1 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że V (Pn) = {x₁, x₂, . . . , x_n}, V (P_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m} z numeracją wierzchołków na ścieżkach w naturalnej

kolejności. Jeżeli n = 1, to graf P₁× P_m jest grafem bezkrawędziowym, więc posiada (2-d)-jądro V (P₁×P_m). Niech n, m ­ 2. Załóżmy, że n, m są nieparzyste. Jeżeli n, m = 3,

to graf P₃× P₃ jest grafem niespójnym zawierającym dwie komponenty spójności C₄ i K1,4. Grafy C4 i K1,4 posiadają (2-d)-jądro, czyli graf P3× P₃ ma (2-d)-jądro. Niech

n ­ 3, m > 3. Ponieważ Pn i Pm są dwudzielne, więc z Twierdzenia 4.11 graf Pn× Pm

ma dwie komponenty spójności G₁, G₂. Z definicji grafu P_n× P_m wynika, że L(G₁) 6= ∅ oraz G₂ ∈ C, gdzie C jest klasą sklejonych parzystych cykli. Wtedy z Twierdzenia 2.36

wynika, że komponenta G₂ posiada (2-d)-jądro. Pokażemy, że komponenta G₁ ma (2-d)-jądro. Z definicji produktu tensorowego L(G₁) = {(x₁, y₁), (x₁, y_m), (x_n, y₁), (x_n, y_m)}. Ponieważ n, m są nieparzyste, więc każda droga pomiędzy wierzchołkami x1, xn w grafie

P_n oraz każda droga pomiędzy y₁, y_m w grafie P_m jest parzysta. Z definicji produktu tensorowego P_n× P_m i założenia, że n, m są nieparzyste wynika, że odległość pomiędzy wierzchołkami ze zbioru L(G₁) jest parzysta. Ponadto z Twierdzenia 4.12 wynika, że

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 51

graf G₁ jest dwudzielny i z Twierdzenia 4.13 otrzymujemy, że G₁ posiada (2-d)-jądro. Niech n jest nieparzyste i m parzyste. Jeżeli n ­ 3, m = 2, to graf P_n × P₂ jest grafem niespójnym zawierającym dwie komponenty spójności izomorficzne ze ścieżką

P_n. Ponieważ n jest nieparzyste, stąd z Twierdzenia 2.16 wynika, że P_n posiada (2-d)-jądro. Zatem graf Pn× P₂ ma (2-d)-jądro. Niech n ­ 3, m > 2. Z Twierdzenia 4.11 otrzymujemy, że graf Pn× Pm jest niespójny i ma dwie komponenty spójności H₁, H₂. Ponadto z definicji produktu tensorowego obie komponenty są izomorficzne i zawierają liście. Dowodząc analogicznie jak w przypadku komponenty G₁ otrzymujemy, że H₁,

H₂ mają (2-d)-jądro. Zatem graf P_n× P_m ma (2-d)-jądro.

Dla dowodu w drugą stronę przypuśćmy, że graf P_n× P_m posiada (2-d)-jądro J . Załóżmy nie wprost, że n, m są parzyste. Jeżeli n = 2 i m = 2k, k ­ 1, to graf P2× P_2k

jest grafem niespójnym zawierającym dwie komponenty spójności izomorficzne ze ścieżką P_2k. Z Twierdzenia 2.16 wynika, że P_2k nie posiada (2-d)-jądra, co jest sprzeczne z założeniem, że graf P_n× P_m ma (2-d)-jądro. Niech n, m > 2. Wtedy z Twierdzenia 4.11 wynika, że graf P_n×P_m jest niespójny i ma dwie komponenty spójności A₁, A₂. Ponadto, z definicji produktu tensorowego otrzymujemy, że obie komponenty są izomorficzne i zawierają liście. Ponieważ graf Pn× P_m ma (2-d)-jądro J , stąd graf Ai, i = 1, 2 posiada (2-d)-jądro J_i. Rozważmy graf A₁. Bez straty dla ogólności rozważań załóżmy, że L(A₁) =

{(x₁, y₁), (x_n, y_m)}. Stąd wierzchołki (x₁, y₁), (x_n, y_m) ∈ J₁ i (x₂, y₂), (x_n−1, y_m−1) /∈ J₁. Ponieważ NPn×Pm((x₁, y_2t−1)) = {(x₂, y_2t), (x₂, y_2t−2)}, t = 2, 3, . . . ,^m₂ i (x₂, y_2t) /∈ J,

więc (x₁, y_2t−1) ∈ J₁. W analogiczny sposób dowodzimy, że (x_2j−1, y_2s−1) ∈ J₁, j = 2, 3, . . . ,ⁿ₂, s = 1, 2, . . . ,^m₂. To oznacza, że (x_n−1, y_m−1) ∈ J₁. Ponieważ (x_n, y_n) ∈

J1 jest sąsiedni z wierzchołkiem (xn−1, ym−1) ∈ J1, więc otrzymujemy sprzeczność z niezależnością zbioru J₁, co kończy dowód.

Wniosek 4.15. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 2 będą liczbami naturalnymi. Jeżeli graf

P_n× P_m posiada (2-d)-jądro, to (i) σ(P_n× P_m) =

  

1 jeżeli m jest parzyste i n nieparzyste, 2 jeżeli n i m są nieparzyste,

(ii) j(P_n× P_m) =

  

m ·^ln₂^m jeżeli m jest parzyste i n nieparzyste,

minⁿm ·^ln₂^m, n ·^lm₂^mo jeżeli n i m są nieparzyste, (iii) J (P_n× P_m) =

  

m ·^ln₂^m jeżeli m jest parzyste i n nieparzyste,

maxⁿm ·^ln₂^m, n ·^lm₂^mo jeżeli n i m są nieparzyste.

Dowód. Niech n, m ­ 2 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że V (P_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n}, V (P_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m} z numeracją wierzchołków na ścieżkach w naturalnej

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 52

(i) Rozważmy przypadek, gdy n jest nieparzyste i m jest parzyste. Jeżeli n ­ 3, m = 2, to σ(P_n × P₂) = σ(P_n)σ(P_n) = 1. Niech n ­ 3, m > 2. Wtedy graf

P_n× P_m jest niespójny i ma dwie izomorficzne komponenty spójności H₁, H₂. Stąd

σ(P_n× P_m) = σ(H₁)σ(H₂) = σ2(H₁). Dowodząc analogicznie jak w Twierdzeniu 4.14 wnioskujemy, że zbiór J = ⁿ(x2s−1, y_2t−1); s = 1, 2, . . . ,^ln₂^m, t = 1, 2, . . . ,m

2

o

jest jedy-nym (2-d)-jądrem grafu H₁. Zatem σ(Pn× Pm) = 1.

Załóżmy, że n, m są nieparzyste. Jeżeli n = m = 3, to σ(P₃×P₃) = σ(C₄)σ(K_1,4) = 2. Niech n ­ 3, m > 3. Wtedy graf P_n × P_m jest niespójny i ma dwie komponenty spójności G₁, G₂. Stąd σ(P_n × P_m) = σ(G₁)σ(G₂). Załóżmy, że L(G₁) 6= ∅ oraz

G₂ ∈ C. Dowodząc analogicznie jak w Twierdzeniu 4.14 wnioskujemy, że zbiór J =

n

(x2s−1, y_2t−1); s = 1, 2, . . . ,^ln₂^m, t = 1, 2, . . . ,^lm

2

mo

jest jedynym (2-d)-jądrem grafu G1. Stąd σ(G₁) = 1. Pokażemy, że graf G₂ posiada dokładnie dwa (2-d)-jądra. Niech J₂ będzie (2-d)-jądrem grafu G₂. Rozważmy następujące przypadki.

1. (x₁, y₂) /∈ J₂.

Wtedy (x₂, y_2k−1) ∈ J₂, k = 1, 2, . . . ,^lm₂^m. W przeciwnym wypadku wierzchołki (x₁, y_2i),

i = 1, 2, . . . ,^jm₂^k nie są 2-dominowane. To oznacza, że (x₃, y_2i) /∈ J₂, i = 1, 2, . . . ,^jm₂^k. Rozumując analogicznie wnioskujemy, że J2 = ⁿ(x2a, y_2b−1); a = 1, 2, . . . ,^jn₂^k, b =

1, 2, . . . ,^lm₂^{m o}jest jedynym (2-d)-jądrem grafu G₂ niezawierającym wierzchołka (x₁, y₂). 2. (x₁, y₂) ∈ J₂.

Dowodząc tak jak w przypadku 1. pokazujemy, że J₂ =ⁿ(x_2a−1, y_2b); a = 1, 2, . . . ,^ln₂^m, b = 1, 2, . . . ,^jm₂^{k o} jest jedynym (2-d)-jądrem grafu G₂ zawierającym wierzchołek (x₁, y₂).

Z powyższych przypadków otrzymujemy, że σ(G₂) = 2. Zatem σ(P_n× P_m) = 2. Z konstrukcji (2-d)-jąder w grafie Pn× Pm wynika, że j(Pn× Pm) = J (Pn× Pm) =

m·^ln₂^m, gdy n jest nieparzyste i m jest parzyste oraz j(P_n×P_m) = minⁿm ·^ln₂^m, n ·^lm₂^mo

i J (P_n × P_m) = maxⁿm ·^ln₂^m, n ·^lm₂^mo, gdy n, m są nieparzyste, co dowodzi (ii) oraz (iii).

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 53 Twierdzenie 4.16. (P. Bednarz [3]) Niech n, m będą liczbami naturalnymi. Wtedy

grafy (i) P_n× C_m dla n ­ 1, m ­ 3, (ii) C_n× C_m dla n, m ­ 3, (iii) P_n× K_m dla n ­ 1, m ­ 3, (iv) C_n× K_m dla n, m ­ 3, (v) Kn× Km dla n ­ 1, m ­ 3 posiadają (2-d)-jądro.

Dowód. (i) Niech n ­ 1, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Pokażemy, że graf P_n× C_m ma (2-d)-jądro. Załóżmy, że V (P_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n}, V (C_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m}

z numeracją wierzchołków na ścieżce i cyklu w naturalnej kolejności. Jeżeli n = 1, to graf P₁× C_m jest grafem bezkrawędziowym, więc posiada (2-d)-jądro V (P₁× C_m). Niech n = 2. Jeżeli m jest nieparzyste, to P2× C_m jest izomorficzny z grafem C2m, czyli posiada (2-d)-jądro. Jeżeli m jest parzyste, to P2× Cm jest grafem niespójnym posiadającym dwie komponenty spójności, obie izomorficzne z grafem C_m. Zatem

P₂ × C_m, m ­ 3 posiada (2-d)-jądro. Niech n ­ 3. Przyjmijmy V_i = {x_i} × V (C_m),

i = 1, 2, . . . , n. Pokażemy, że zbiór J = dn

2e

S

j=1

V_2j−1 jest (2-d)-jądrem grafu P_n× C_m. Z definicji produktu tensorowego wynika, że V_i jest zbiorem niezależnym dla dowolnego

i = 1, 2, . . . , n. Ponadto składowa P_n w produkcie P_n× C_m gwarantuje niezależność zbioru J . Pokażemy, że J jest zbiorem 2-dominującym. Niech (x_a, y_b) ∈ V (P_n× C_m) \ J ,

a = 1, 2, . . . , 2j, j = 1, 2, . . . ,^jn₂^k, b = 1, 2, . . . , m. Wtedy (x_a, y_b) ∈ bn 2c S j=1 V_2j. Ponieważ dla każdego b = 1, 2, . . . , m zachodzi deg_Cm(yb) = 2, więc każdy wierzchołek ze zbioru

V_2j, j = 1, 2, . . . ,^jn₂^k jest 2-dominowany przez zbiór V_2j−1 ⊆ J. To oznacza, że zbiór J

jest (2-d)-jądrem grafu P_n× C_m.

(ii) Niech n, m ­ 3. Dowodząc analogicznie jak w przypadku (i) pokazujemy, że zbiór

J = bn

2c

S

i=1

V_2i−1 jest (2-d)-jądrem grafu C_n× C_m.

(iii) Niech n ­ 1, m ­ 3. Dowodząc analogicznie jak w przypadku (i) pokazujemy, że

zbiór J =

dn

2e

S

i=1

V_2i−1 jest (2-d)-jądrem grafu P_n× K_m.

(iv) Niech n, m ­ 3. Dowodząc analogicznie jak w przypadku (i) pokazujemy, że zbiór

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 54

(v) Niech n ­ 1, m ­ 3. Dowodząc analogicznie jak w przypadku (i) pokazujemy, że zbiór J = V (K_n) × {y₁} jest (2-d)-jądrem grafu K_n× K_m.

Twierdzenie 4.17. (P. Bednarz [3]) Niech n ­ 1, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi.

Wtedy

(i) σ(P_n× C_m) =

  

pv_n+1 jeżeli m jest nieparzyste,

(pvn+1)² jeżeli m jest parzyste, (ii) j(P_n× C_m) = m ·^ln₃^m,

(iii) J (P_n× C_m) = m ·^ln₂^m.

Dowód. Niech n ­ 1, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że V (P_n) =

{x₁, x₂, . . . , x_n} i V (C_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m} z numeracją wierzchołków na ścieżce i cyklu

w naturalnej kolejności i niech V_i = {x_i} × V (C_m), i = 1, 2, . . . , n.

(i) Rozważmy następujące przypadki.

1. m jest nieparzyste.

Wtedy graf P_n× C_m jest spójny dla każdego n ­ 2. Jeżeli n = 1, 2, to odpowiednio

σ(P₁ × C_m) = 1 = pv₂ i σ(P₂× C_m) = 2 = pv₃. Jeżeli n = 3, to rodzina J (P₃× C_m) wszystkich (2-d)-jąder ma postać J (P₃×C_m) = {V₁∪V₃, V₂}. Czyli σ(P₃×C_m) = 2 = pv₄. Załóżmy, że n ­ 4. Pokażemy, że σ(P_n× C_m) = pv_n+1. Niech J ⊂ V (P_n× C_m) będzie (2-d)-jądrem grafu Pn× C_m. Rozważmy następujące możliwości.

1.1. (x_n, y₁) ∈ J .

Wtedy (x_n−1, y₂) /∈ J. Ponieważ deg_Pn×Cm((x_n, y₃)) = 2 i wierzchołki (x_n−1, y₂), (x_n, y₃) są sąsiednie w grafie P_n×C_m, stąd (x_n, y₃) musi należeć do (2-d)-jądra J . W przeciwnym wypadku wierzchołek (xn, y₃) nie jest 2-dominowany przez zbiór J . Ponieważ m jest nieparzyste, to rozumując analogicznie wnioskujemy, że (xn, yk) ∈ J , k = 1, 2, . . . , m. Stąd V_n ⊂ J. Wtedy V_n−1∩ J = ∅ i ponadto każdy wierzchołek ze zbioru V_n−1 jest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem J = J^∗∪ V_n, gdzie J^∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu P_n−2× C_m. Stąd σ_(xn,y1)(P_n× C_m) = σ(P_n−2× C_m).

1.2. (x_n, y₁) /∈ J.

Wtedy (x_n−1, y₂), (x_n−1, y_m) ∈ J . Dowodząc analogicznie jak w 1.1. otrzymujemy, że

Vn−1⊂ J i Vn∩ J = ∅ = Vn−2∩ J. Stąd każdy wierzchołek ze zbioru Vn−2∪ Vn jest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem J = J^∗∗∪ V_n−1, gdzie J^∗∗jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu P_n−3× C_m. Stąd σ−(xn,y₁)(P_n× C_m) = σ(P_n−3× C_m).

Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 55

Uwzględniając warunki początkowe σ(P₁× C_m) = 1 i σ(P₂× C_m) = σ(P₃× C_m) = 2 otrzymujemy, że σ(P_n× C_m) = pv_n+1 dla n ­ 1.

2. m jest parzyste.

Wtedy z Twierdzenia 4.11 otrzymujemy, że graf P_n× C_m, n ­ 2 ma dwie komponenty spójności G₁, G₂. Ponadto z definicji produktu tensorowego wynika, że obie komponenty są izomorficzne. Zatem σ(Pn× Cm) = σ(G1)σ(G2) = (σ(G1))². Niech V_i¹ = {xi} × {y_2t−1; t = 1, 2, . . . ,^m₂}, V2

i = {x_i} × {y_2t; t = 1, 2, . . . ,^m₂} dla i = 1, 2, . . . , n. Bez straty

dla ogólności rozważań załóżmy, że (x₁, y₁) ∈ V (G₁). Jeżeli n = 1, 2, to odpowiednio

σ(P₁ × C_m) = 1 = (pv₂)2 i σ(P₂ × C_m) = 4 = (pv₃)2. Jeżeli n = 3, to rodzina

J (P₃ × C_m) wszystkich (2-d)-jąder ma postać J (P₃ × C_m) = {V1 1 ∪ V1

3, V2

2}. Czyli σ(P₃ × C_m) = 2² = (pv4)². Dla n ­ 4 dowodząc analogicznie jak w przypadku 1. otrzymujemy, że σ(G1) = pvn+1. To oznacza, że σ(Pn× Cm) = (pvn+1)².

Z konstrukcji (2-d)-jąder w grafie P_n× C_m wynika, że m ·^ln₃^m¬ |J| ¬ m ·^ln

2

m

. Zatem

j(P_n× C_m) = m ·^ln₂^m i J (P_n× C_m) = m ·^ln₂^m, co dowodzi (ii) oraz (iii). Dowodząc analogicznie jak w Twierdzeniu 4.17 otrzymujemy

Twierdzenie 4.18. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Wtedy

(i) σ(P_n× K_m) = pv_n+1, (ii) j(P_n× K_m) = m ·^ln₃^m, (iii) J (P_n× K_m) = m ·^ln₂^m.

W dowodzie kolejnego twierdzenia wykorzystamy następującą tożsamość.

Lemat 4.19. (P. Bednarz [3]) Dla dowolnego n ­ 5 zachodzi pr_n = pv_n−2+ pv_n−4+ 2pv_n−5.

Dowód (indukcyjny ze względu na n). Jeżeli n = 5, 6, 7, to równość zachodzi z definicji

liczb Padovana i Perrina. Niech n ­ 8 i załóżmy, że równość jest prawdziwa dla wszystkich liczb k < n. Pokażemy, że pr_n = pv_n−2+ pv_n−4+ 2pv_n−5. Z definicji liczb Perrina i założenia indukcyjnego pr_n= pr_n−2+ pr_n−3 = pv_n−4+ pv_n−6+ 2pv_n−7+ pv_n−5+

pv_n−7+ 2pv_n−8 = pv_n−2+ pv_n−4+ 2pv_n−5, co należało pokazać. Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe.

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 56 Twierdzenie 4.20. (P. Bednarz [3]) Niech n ­ 3 będzie liczbą naturalną. Wtedy

(i) σ(C_n× C₃) = 3 + pr_n, (ii) j(C_n× C₃) = n,

(iii) J (C_n× C₃) = 3 ·^jn₂^k.

Dowód. Niech n ­ 3 będzie liczbą naturalną. Załóżmy, że V (C₃) = {y₁, y₂, y₃} i V (C_n) =

{x₁, x₂, . . . , x_n} z numeracją wierzchołków na cyklu C_n w naturalnej kolejności. Niech

X_i = {x_i} × V (C₃), i = 1, 2, . . . , n i niech Y_j = V (C_n) × {y_j}, j = 1, 2, 3.

(i) Niech n = 3, 4, 5, 6. Wtedy rodzina J (C₃× C₃) wszystkich (2-d)-jąder ma postać

J (C3 × C3) = {X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3}, czyli σ(C3 × C3) = 6 = 3 + pr3. Rodzina

J (C₄× C₃) ma postać J (C₄× C₃) = {X₁∪ X₃, X₂∪ X₄, Y₁, Y₂, Y₃}, czyli σ(C₄× C₃) = 5 = 3 + pr₄. Rodzina J (C₅× C₃) ma postać J (C₅ × C₃) = {X₁ ∪ X₃, X₁∪ X₄, X₂ ∪ X₄, X₂∪X₅, X₃∪X₅, Y₁, Y₂, Y₃}, czyli σ(C₅×C₃) = 8 = 3+pr₅. Rodzina J (C₆×C₃) ma postać J (C₆× C₃) = {X₁∪ X₃∪ X₅, X₁∪ X₄, X₂∪ X₄∪ X₆, X₂∪ X₅, X₃∪ X₆, Y₁, Y₂, Y₃},

czyli σ(C6× C₃) = 8 = 3 + pr6. Niech n ­ 7. Pokażemy, że σ(Cn× C₃) = 3 + prn. Niech J ⊂ V (Cn× C3) będzie (2-d)-jądrem grafu Cn× C3. Rozważmy następujące przypadki. 1. (x_n, y₁) ∈ J .

Wtedy (x_n−1, y₂), (x_n−1, y₃), (x₁, y₂), (x₁, y₃) /∈ J. Rozważmy wierzchołek (x_n, y₂). Jeżeli (x_n, y₂) ∈ J , to (x_n, y₃) ∈ J . W przeciwnym wypadku (x_n, y₃) nie może być 2-domino-wany przez zbiór J . To oznacza, że X_n ⊂ J i X_n−1∩ J = ∅ = X₁∩ J. Ponadto każdy

wierzchołek ze zbioru X₁∪ X_n−1 jest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem J = J^∗∪ X_n, gdzie J^∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Pn−3× C3. To oznacza, że σ(Pn−3× C3) jest liczbą (2-d)-jąder J , które zawierają wierzchołki (x_n, y₁) i (x_n, y₂). Jeżeli (x_n, y₂) /∈ J,

to (x_n−1, y₁), (x₁, y₁) ∈ J . W przeciwnym wypadku wierzchołek (x_n, y₂) nie jest 2-dominowany. Wtedy (x_n, y₃) /∈ J i ponadto (x_n−2y_k), (x₂, y_k) /∈ J, k = 2, 3.

Rozumu-jąc analogicznie wnioskujemy, że Y₁ ⊂ J oraz Y₂ ∩ J = ∅ = Y₃ ∩ J. To oznacza, że

zbiór Y₁ jest jedynym (2-d)-jądrem grafu C_n× C₃ zawierającym wierzchołek (x_n, y₁) i niezawierającym wierzchołka (xn, y2). Zatem σ_(xn,y1)(Cn× C3) = σ(Pn−3× C3) + 1. 2. (x_n, y₁) /∈ J.

Rozważmy następujące możliwości.

2.1. (xn−1, y₁), (x₁, y₁) /∈ J.

Wtedy oczywistym jest, że zbiory Y₂, Y₃ są jedynymi (2-d)-jądrami grafu C_n× C₃. 2.2. (x_n−1, y₁) ∈ J i (x₁, y₁) /∈ J.

Pokażemy, że wierzchołek (x_n, y₁) jest 2-dominowany przez (x_n−1, y₂), (x_n−1, y₃) ∈ J . W przeciwnym wypadku co najmniej jeden z wierzchołków (x₁, y₂) lub (x₁, y₃) należy

4.2. (2-d )-jądra w produkcie tensorowym 57

do (2-d)-jądra J . Jeżeli (x₁, y₂) ∈ J , to wierzchołek (x₁, y₃) nie może być 2-dominowany przez zbiór J . Jeżeli (x₁, y₂), (x₁, y₃) ∈ J , to wierzchołek (x₁, y₁) nie jest dominowany. To oznacza, że X_n∩ J = ∅ = X₁∩ J oraz X_n−1 ⊂ J. Wtedy X₂ ⊂ J aby wierzchołki ze

zbioru X₁ były 2-dominowane. Ponadto X_n−2∩J = ∅ = X₃∩J oraz każdy wierzchołek ze

zbioru X1∪X₃∪X_n−2∪X_njest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem J = J^∗∗∪X₂∪X_n−1, gdzie J^∗∗ jest dowolnym (2-d)-jądrem grafu Pn−6× C₃. To oznacza, że σ(Pn−6× C₃) jest liczbą (2-d)-jąder J , które zawierają wierzchołek (x_n−1, y₁) i nie zawierają wierzchołków (x₁, y₁) i (x_n, y₁).

2.3. (xn−1, y₁) /∈ J i (x₁, y₁) ∈ J .

Wtedy dowodzimy analogicznie jak przypadek 2.2.

2.4. (xn−1, y₁), (x1, y₁) ∈ J .

Wtedy Xn∩ J = ∅ oraz X1 ⊂ J i Xn−1 ⊂ J. W przeciwnym wypadku J nie jest zbiorem

2-dominującym. To oznacza, że X₂∩ J = ∅ = X_n−2∩ J. Ponadto każdy wierzchołek ze

zbioru X₂∪X_n−2∪X_njest 2-dominowany przez zbiór J . Zatem J =J ∪ Xe ₁∪X_n−1, gdzie

e

J jest dowolnym (2-d)-jądrem gafu P_n−5× C₃. To oznacza, że σ(P_n−5× C₃) jest liczbą (2-d)-jąder J , które zawierają wierzchołki (x_n−1, y₁), (x₁, y₁) i nie zawierają wierzchołka (xn, y₁).

Zatem σ−(xn,y1)(Cn× C3) = 2 + 2σ(Pn−6× C3) + σ(Pn−5× C3).

Z powyższych przypadków oraz z podstawowej zasady zliczania (2.1) otrzymujemy zależność rekurencyjną postaci

σ(C_n× C₃) = 3 + σ(P_n−3× C₃) + 2σ(P_n−6× C₃) + σ(P_n−5× C₃). Z Twierdzenia 4.17 wynika równość

σ(C_n× C₃) = 3 + pv_n−2+ 2pv_n−5+ pv_n−4.

Korzystając z Lematu 4.19 i uwzględniając warunki początkowe σ(C₃ × C₃) = 6,

σ(C₄× C₃) = 5 i σ(C₅× C₃) = σ(C₆× C₃) = 8 otrzymujemy, że

σ(C_n× C₃) = 3 + prn, n ­ 3,

Z konstrukcji (2-d)-jąder w grafie C_n × C₃ wynika, że n ¬ |J | ¬ 3 ·^jn₂^k. Zatem

4.3. (2-d )-jądra w uogólnionej koronie grafów 58

Dowodząc analogicznie jak w Twierdzeniu 4.20 otrzymujemy

Twierdzenie 4.21. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Wtedy

(i) σ(Cn× Km) = prn+ m,

(ii) j(C_n× K_m) = n,

(iii) J (C_n× K_m) = m ·^jn₂^k.

Twierdzenie 4.22. (P. Bednarz [3]) Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Wtedy

(i) σ(Kn× Km) = n + m,

(ii) j(K_n× K_m) = min{n, m},

(iii) J (K_n× K_m) = max{n, m}.

Dowód. Niech n, m ­ 3 będą liczbami naturalnymi. Załóżmy, że V (K_n) = {x₁, x₂, . . . , x_n} i V (K_m) = {y₁, y₂, . . . , y_m}. Niech X_i = {x_i} × V (K_m), i = 1, 2, . . . , n oraz

Y_j = V (Kn) × {yj}, j = 1, 2, . . . , m.

(i) Niech J ⊂ V (Kn× Km) będzie (2-d)-jądrem grafu Kn× Km. Bez straty ogólności niech (x_s, y_t) ∈ J , 1 ¬ s ¬ n, 1 ¬ t ¬ m. Wtedy (x_q, y_t) ∈ J , 1 ¬ q ¬ n, q 6= s albo (x_s, y_r) ∈ J , 1 ¬ r ¬ m, r 6= t. W przeciwnym wypadku J nie jest zbiorem niezależnym. Jeżeli (x_q, y_t) ∈ J , to N_Kn×K_m((x_s, y_t) ∪ (x_q, y_t)) = V (K_n× K_m) \ Y_t. Wtedy J = Y_t. Z kolei jeżeli (x_s, y_r) ∈ J , to rozumując analogicznie jak wcześniej otrzymujemy, że J = Xs. To oznacza, że rodzina J (Kn × K_m) wszystkich (2-d)-jąder ma postać J (Kn× Km) = {Xi; i = 1, 2, . . . , n} ∪ {Yj; j = 1, 2, . . . , m}. Zatem

σ(K_n× K_m) = n + m. Ponadto |X_i| = m, i = 1, 2, . . . , n i |Y_j| = n, j = 1, 2, . . . , m, stąd j(K_n× K_m) = min{n, m} i J (K_n× K_m) = max{n, m}, co dowodzi (ii) oraz (iii).

4.3 (2-d )-jądra w uogólnionej koronie grafów

W tym podrozdziale rozważymy problem istnienia (2-d)-jąder w uogólnionej koronie grafów. Klasyczna definicja korony grafów wprowadzona została przez R. Fruchta i F. Harary’ego w [20]. Problemy niezależności i dominowania w uogólnionej koronie grafów były rozważane między innymi w [50, 57].

Niech G będzie grafem takim, że V (G) = {x₁, x₂, . . . , x_n}, n ­ 1 i niech h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}}będzie ciągiem dowolnych grafów. Koroną grafu G i ciągu h_n nazywamy

graf G ◦ h_ntaki, że V (G ◦ h_n) = V (G) ∪ Sⁿ

i=1

V (H_i) oraz E(G ◦ h_n) = E(G) ∪ Sⁿ

i=1 E(H_i) ∪ n S i=1 {x_iy; y ∈ V (H_i)}.

4.3. (2-d )-jądra w uogólnionej koronie grafów 59 Twierdzenie 4.23. (P. Bednarz [3]) Niech G będzie dowolnym n-wierzchołkowym

grafem, n ­ 1 i niech h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}} będzie ciągiem n nietrywialnych grafów. Graf G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy grafy H_i, i ∈ I posiadają

(2-d)-jądro.

Dowód. Załóżmy, że grafy H_i, i ∈ I posiadają (2-d)-jądro J_i. Ponieważ H_i są nietry-wialne, więc dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n, graf Hi ma co najmniej dwa wierzchołki. Stąd

|J_i| ­ 2. Pokażemy, że dla dowolnego n-wierzchołkowego grafu G zbiór J = Sⁿ

i=1

J_i

jest (2-d)-jądrem korony G ◦ hn. Z definicji korony G ◦ hn wynika, że J jest zbiorem niezależnym. Ponieważ |J_i| ­ 2, i = 1, 2, . . . , n, więc każdy wierzchołek grafu G ma co

najmniej dwóch sąsiadów w zbiorze J_i. Stąd J jest (2-d)-jądrem grafu G ◦ h_n.

Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro J . Pokażemy, że J ∩ V (G) = ∅. Niech x_s ∈ V (G), dla pewnego 1 ¬ s ¬ n oraz załóżmy nie wprost,

że xs ∈ J. Wtedy V (H_s) ∩ J = ∅. Ponieważ |V (Hs)| ­ 2, więc zbiór J nie jest zbiorem 2-dominującym, co jest sprzeczne z założeniem, że J jest (2-d)-jądrem. Zatem

J ∩ V (G) = ∅. Ponieważ G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro J oraz J ∩ V (G) = ∅, więc każdy graf H_i musi posiadać (2-d)-jądro J_i. Ponadto każdy wierzchołek x_i ∈ V (G) ma co

najmniej dwóch sąsiadów w zbiorze J_i, stąd |J_i| ­ 2, czyli |V (H_i)| ­ 2, dla wszystkich

i = 1, 2, . . . , n, co kończy dowód.

Wniosek 4.24. (P. Bednarz [3]) Niech G będzie dowolnym n-wierzchołkowym grafem,

n ­ 1 i niech hn= (Hi)i∈I={1,2,...,n} będzie ciągiem n nietrywialnych grafów. Jeżeli grafy H_i, i = 1, 2, . . . , n posiadają (2-d)-jądro, to (i) σ(G ◦ h_n) = Qⁿ i=1 σ(H_i), (ii) j(G ◦ h_n) = Pⁿ i=1 j(H_i), (iii) J (G ◦ hn) = Pⁿ i=1 J (Hi).

Rozważmy przypadek korony, gdy grafy z ciągu h_n są dowolne.

Niech h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}} będzie ciągiem dowolnych grafów. W szczególności grafy z ciągu h_n mogą być trywialne lub puste. Niech I = I₀ ∪ I₁ ∪ I₂, gdzie I₀ =

4.3. (2-d )-jądra w uogólnionej koronie grafów 60 Twierdzenie 4.25. (P. Bednarz [3]) Niech G będzie dowolnym n-wierzchołkowym

grafem, n ­ 1 i niech h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}} będzie ciągiem n dowolnych grafów. Graf G ◦ h_n ma (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy H_r, r ∈ I₂ ma (2-d)-jądro i podgraf

(G ◦ h_n) \ S

r∈I2

(V (H_r) ∪ {x_r}) ma (2-d)-jądro.

Dowód. Załóżmy, że graf G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro J . Wtedy graf H_r, r ∈ I₂ musi posiadać (2-d)-jądro J_r aby wierzchołki ze zbioru V (H_r) \ J_r były 2-dominowane. Ponieważ N_G◦hn[J_r] = V (H_r) ∪ {x_r}, r ∈ I₂, stąd podgraf (G ◦ h_n) \ S

r∈I2

(V (H_r) ∪ {x_r})

musi posiadać (2-d)-jądro.

Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że graf H_r, r ∈ I₂ posiada (2-d)-jądro J_r oraz że podgraf (G ◦ h_n) \ S

r∈I2

(H_r∪ {x_r}) ma (2-d)-jądro J∗. Pokażemy, że zbiór

J = J^∗∪ S

r∈I2

J_r jest (2-d)-jądrem grafu G ◦ h_n. Niezależność zbioru J wynika z definicji korony G ◦ h_n. Pokażemy, że J jest zbiorem 2-dominującym. Niech v ∈ V (G ◦ h_n) \ J . Jeżeli v ∈ V (H_r) ∪ {x_r}, r ∈ I₂, to wierzchołek v jest 2-dominowany przez zbiór J_r, jeżeli v ∈ S

k∈I0∪I₁

{x_k}, to wierzchołek v ma co najmniej dwóch sąsiadów w zbiorze J∗. To oznacza, że zbiór J jest (2-d)-jądrem grafu G ◦ h_n.

Wniosek 4.26. (P. Bednarz [3]) Niech G będzie dowolnym n-wierzchołkowym grafem,

n ­ 1 oraz h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}} będzie ciągiem n dowolnych grafów i niech G₁ ∼₌

(G ◦ hn) \ S

r∈I2

(V (Hr) ∪ {xr}). Jeżeli graf G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro, to (i) σ(G ◦ h_n) = Q r∈I2 σ(H_r) · σ (G₁) , (ii) j(G ◦ h_n) = P r∈I2 j(H_r) + j (G₁) , (iii) J (G ◦ hn) = P r∈I2 J (H_r) + J (G1) .

Twierdzenie 4.27. (P. Bednarz [3]) Niech G będzie dowolnym n-wierzchołkowym

grafem, n ­ 1 i niech h_n = (H_i)_{i∈I={1,2,...,n}} będzie ciągiem n dowolnych grafów. Graf G ◦ h_n ma (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie warunki

(i) Hr, r ∈ I2 ma (2-d)-jądro,

(ii) podgraf indukowany przez zbiór {x_j; j ∈ I₀} ma (2-d)-jądro J∗,

(iii) dla t ∈ I₁ istnieje i ∈ I₀ takie, że x_t, x_i są sąsiednie w grafie G i x_i ∈ J∗. Dowód. Załóżmy, że graf G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro J . Wtedy graf H_r, r ∈ I₂ musi posiadać (2-d)-jądro J_r, aby wierzchołki ze zbioru V (H_r) \ J_rbyły 2-dominowane. Zatem warunek (i) jest spełniony. Pokażemy, że podgraf indukowany przez zbiór {x_j; j ∈ I₀}

4.4. (2-d )-jądra w G-złączeniu grafów 61

jest zbiorem niezależnym. Niech J^∗ = V (G) ∩ J . Ponieważ J jest (2-d)-jądrem grafu

G ◦ h_n, stąd J^∗jest (2-d)-jądrem podgrafu indukowanego przez zbiór {x_j; j ∈ I₀}. Zatem

warunek (ii) jest spełniony. Dla każdego t ∈ I₁ zachodzi |N_G◦hn(x_t) ∩ (J \ V (G))| = 1. Aby wierzchołki x_t, t ∈ I₁ były 2-dominowane, to musi istnieć wierzchołek x_i ∈ J∗,

i ∈ I₀ sąsiedni z wierzchołkiem xt w grafie G. Zatem warunek (iii) jest spełniony. Dla dowodu w drugą stronę załóżmy, że zachodzą warunki (i), (ii), (iii). Pokażemy, że graf G ◦ h_n posiada (2-d)-jądro postaci J = S

r∈I2

J_r ∪ S

t∈I1

V (H_t) ∪ J^∗, gdzie J_r jest (2-d)-jądrem grafu Hr dla r ∈ I2 oraz J^∗ jest (2-d)-jądrem podgrafu indukowanego przez zbiór {x_j; j ∈ I₀}. Niezależność zbioru J wynika z definicji korony G ◦ h_n. Pokażemy, że

J jest zbiorem 2-dominującym. Niech v ∈ V (G ◦ h_n) \ J . Jeżeli v ∈ V (H_r) ∪ {x_r}, r ∈ I₂, to wierzchołek v jest 2-dominowany przez zbiór J_r. Jeżeli v = x_t, t ∈ I₁, to wierzchołek

v jest 2-dominowany przez zbiór V (H_t) ∪ J^∗. Jeżeli v = x_j, j ∈ I₀, to wierzchołek v jest 2-dominowany przez zbiór J^∗. Zatem zbiór J jest (2-d)-jądrem grafu G ◦ h_n, co kończy dowód.

4.4 (2-d )-jądra w G-złączeniu grafów

W tym podrozdziale rozważymy istnienie (2-d)-jąder w G-złączeniu grafów. Pokaże-my, że dla istnienia (2-d)-jądra nie jest konieczne istnienie (2-d)-jąder we wszystkich grafach składowych.

Problemy istnienia różnych typów jąder w złączeniu digrafów były rozważane między

W dokumencie Index of /rozprawy2/11354 (Stron 45-66)