W niniejszej rozprawie zostały przedstawione rezultaty dotyczące istnienia i liczby podwójnie dominujących jąder w grafach, nazywanych krótko (2-d)-jądrami. Wyka-zane zostało, że problem istnienia (2-d)-jądra jest N P-zupełny dla dowolnego grafu. Wskazane zostały klasy grafów posiadające (2-d)-jądro wraz z podaniem liczności tych jąder. Rezultaty odnoszące się do istnienia (2-d)-jąder w drzewach zostały powiązane z wynikami dotyczącymi 2-dominujących α-zbiorów otrzymanymi przez M. Blidia i in. w [11] i G. Gunthera i in. w [28].
W dowolnym grafie (2-d)-jądro nie musi być α-zbiorem. W klasie drzew (2-d)-jądro, o ile istnieje, jest α-zbiorem i pokazane zostało, że drzewo ma (2-d)-jądro wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie jeden α-zbiór.
W naturalny sposób nasuwają się pytania dotyczące charakteryzacji grafów, w któ-rych każdy α-zbiór jest (2-d)-jądrem oraz grafów mających (2-d)-jądra niebędące
α-zbiorami.
Problem istnienia i liczby (2-d)-jąder został również opisany w znanych produktach grafów, takich jak: produkt kartezjański, produkt tensorowy, uogólniona korona grafów i G-złączenie grafów. Pokazane zostało, że istnienie (2-d)-jądra w tych produktach nie wymaga istnienia (2-d)-jąder we wszystkich grafach składowych. W przypadku uogólnionej korony i G-złączenia podana została pełna charakteryzacja tych produktów posiadających (2-d)-jądro. W przypadku produktu kartezjańskiego i tensorowego opisane zostały warunki wystarczające i dla tych produktów należy kontynuować dalsze badania związane z istnieniem (2-d)-jądra.
W nawiązaniu do zagadnień zliczania zbiorów niezależnych w grafach i ich związ-ków z liczbami Fibonacciego rozważanych w [46] w niniejszej pracy podjęta została problematyka zliczania (2-d)-jąder w odniesieniu do interpretacji grafowych związanych z liczbami typu Fibonacciego. Podane konstrukcje grafów, w których liczba (2-d)-jąder jest liczbą typu Fibonacciego mogą być pomocne do wyznaczenia liczby (2-d)-jąder w szerszych klasach grafów, dla których liczbę (2-d)-jąder można jedynie oszacować,
Podsumowanie i dalsze kierunki badań 70
a ekstremalne wartości wyrażają się liczbami typu Fibonacciego.
Dalsze kierunki badań mogą dotyczyć także oszacowań wprowadzonych liczb (2-d)-jądrowych i podania charakteryzacji grafów, dla których J (G) = j(G). Badania mogą również dotyczyć uogólnienia (2-d)-jąder, które wprowadził Z. Nagy w 2017 roku w [44].
Wspomniane problemy, jak również inne, które będą pojawiać się w trakcie dalszych rozważań mogą wyznaczać kierunek przyszłych badań naukowych.
Bibliografia
[1] B. Alspach, J. Liu, On the Hamilton connectivity of generalized Petersen graphs, Discrete Mathematics, 309(17) (2009) 5461–5473.
[2] W. W. R. Ball, Mathematical recreations and problems of past and present times, Macmillan and Company, (1892).
[3] P. Bednarz, The existence and the number of (2-d)-kernels in graphs and their
products, manuskrypt.
[4] P. Bednarz, C. Hern´andez-Cruz, I. Włoch, On the existence and the number of
(2-d)-kernels in graphs, Ars Combinatoria, 121 (2015) 341–351.
[5] P. Bednarz, I. Włoch, On (2-d)-kernels in the cartesian product of graphs, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, sectio A–Mathematica, 70(2) (2016) 1–8.
[6] P. Bednarz, I. Włoch, An algorithm determining (2-d)-kernels in trees, Utilitas Mathematica, 102 (2017) 215–222.
[7] U. Bednarz, I. Włoch, M. Wołowiec-Musiał, Total graph interpretation of the
numbers of the Fibonacci type, Journal of Applied Mathematics, (2015) Article ID
837917, 7 pages.
[8] C. Berge, P. Duchet, Perfect graphs and kernels, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 16 (1988) 263–274.
[9] C. Berge, P. Duchet, Recent problems and results about kernels in directed graphs, Discrete Mathematics, 86(1-3) (1990) 27–31.
[10] M. Blidia, P. Duchet, F. Maffray, On kernels of perfect graphs, Rutcor Research Report, RUTCOR, Rutgers University, (1988) 4–88.
[11] M. Blidia, M. Chellali, O. Favaron, Independence and 2-domination in trees, Australasian Journal of Combinatorics, 33 (2005) 317–327.
Bibliografia 72
[12] M. Borowiecki, M. Kuzak, On the k-stable and k-dominating sets of graphs, In
Graphs, Hypergraphs and Block Systems. Proc. Symp. Zielona Góra, (1976).
[13] D. Bród, Z. Skupień, Recurrence among trees with most numerous efficient
domi-nating sets, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 10(1) (2008)
43–56.
[14] S. R. Canoy Jr, N. Tuan, R. A. Namoco, Restrained independent dominating sets
and some realization problems, International Journal of Mathematical Analysis, 8
(42) (2014) 2083–2092.
[15] E. J. Cockayne, S. T. Hedetniemi, Towards a theory of domination in graphs, Networks, 7(3) (1977) 247–261.
[16] C. F. de Jaenisch, Applications de l’Analyse Mathematique an Jenudes Echecs, Petrograd, (1862).
[17] R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, Heidelberg, New York, (2005).
[18] L. A. Dosal-Trujillo, H. Galeana-S´anchez, The Fibonacci numbers of certain
subgraphs of circulant graphs, AKCE Int. J. Graphs Comb, 12(2-3) (2015) 94–103.
[19] J. F. Fink, M. S. Jacobson, n-Domination in graphs, In Graph theory with
applications to algorithms and computer science, 283–300. John Wiley & Sons, Inc.,
(1985).
[20] R. Frucht, F. Harary, On the corona of two graphs, Aequationes mathematicae, 4(3) (1970) 322–325.
[21] J. Fujisawa, A. Hansberg, T. Kubo, A. Saito, M. Sugita, L. Volkmann, Independence
and 2-domination in bipartite graphs, Australasian Journal of Combinatorics, 40
(2008) 265–268.
[22] Z. F¨uredi, The number of maximal independent sets in connected graphs, Journal of Graph Theory, 11(4) (1987) 463–470.
[23] H. Galeana-S´anchez, On monochromatic paths and monochromatic cycles in edge
coloured tournaments, Discrete Mathematics, 156(1-3) (1996) 103–112.
[24] H. Galeana-S´anchez, C. Hern´andez-Cruz, On the existence of (k, l)-kernels in
digraphs with a given circumference, AKCE Int. J. Graphs Combin, 10(1) (2013)
Bibliografia 73
[25] H. Galeana-S´anchez, C. Hern´andez-Cruz, On the existence of (k, l)-kernels in
infinite digraphs: A survey, Discussiones Mathematicae Graph Theory, 34(3) (2014)
431–466.
[26] H. Galeana-S´anchez, L. Pastrana Ram´ırez, Kernels in edge coloured line digraph, Discussiones Mathematicae Graph Theory, 18(1) (1998) 91–98.
[27] H. Galeana-S´anchez, R. S´anchez-López, H-kernels in the D-join, Ars Combinatoria, 98 (2011) 353–377.
[28] G. Gunther, B. Hartnell, D. F. Rall, Graphs whose vertex independence number is
unaffected by single edge addition or deletion, Discrete Applied Mathematics, 46(2)
(1993) 167–172.
[29] R. Hammack, W. Imrich, S. Klavˇzar, Handbook of Product Graphs, Second Edition, CRC Press, Inc., Boca Raton, FL, USA, 2nd edition, (2011).
[30] S. M. Hedetniemi, S. T. Hedetniemi, D. F. Rall, J. Knisely, Secondary domination
in graphs, AKCE Int. J. Graphs Comb, 5(2) (2008) 117–125.
[31] C. Hern´andez-Cruz, A Contribution to the Theory of (k, l)-kernels in Digraphs, PhD Dissertation, Universidad Nacional Autónoma de M´exico, (2011).
[32] R. Honsberger, A second look at the Fibonacci and Lucas numbers, Mathematical Gems III. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., (1985).
[33] W. Imrich, S. Klavˇzar, D. F. Rall, Topics in Graph Theory: Graphs and their
Cartesian Product, A.K. Peters Ltd., Wellesley Massachusetts, (2008).
[34] M. Kucharska, On (k, l)-kernel perfectness of special classes of digraphs, Discussio-nes Mathematicae Graph Theory, 25(1-2) (2005) 103–119.
[35] M. Kucharska, M. Kwaśnik, On (k, l)-kernels of special superdigraphs of Pm and Cm, Discussiones Mathematicae Graph Theory, 21(1) (2001) 95–109.
[36] M. Kwaśnik, On (k, l)-kernels on graphs and their products, PhD Dissertation, Technical University of Wrocław, (1980).
[37] F. Maffray, Kernels in perfect line-graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 55(1) (1992) 1–8.
[38] A. Meir, J. W. Moon, Relations between packing and covering numbers of a tree, Pacific Journal of Mathematics, 61(1) (1975) 225–233.
Bibliografia 74
[39] R. E. Merrifield, H. E. Simmons, Topological methods in chemistry, Jonh Wiley & Sons, New York, (1989).
[40] S. Minggang, On monochromatic paths in m-coloured tournaments, Journal of Combinatorial Theory, series B, 45(1) (1988) 108–111.
[41] J. W. Moon, L. Moser, On cliques in graphs, Israel Journal of Mathematics, 3(1) (1965) 23–28.
[42] O. Morgenstern, J. Von Neumann, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, (1944).
[43] Z. L. Nagy, Generalizing Erd˝os, Moon and Moser’s result—The number of k-dominating independent sets, Electronic Notes in Discrete Mathematics, 61 (2017)
909–915.
[44] Z. L. Nagy, On the Number of k-Dominating Independent Sets, Journal of Graph Theory, 84(4) (2017) 566–580.
[45] O. Ore, Theory of graphs, volume 38, American Mathematical Society, (1962).
[46] H. Prodinger, R. F. Tichy, Fibonacci numbers of graphs, Fibonacci Quarterly, 20(1) (1982) 16–21.
[47] B. Sands, N. Sauer, R. Woodrow, On monochromatic paths in edge-coloured
digraphs, Journal of Combinatorial Theory, series B, 33(3) (1982) 271–275.
[48] W. Szumny, A. Włoch, I. Włoch, On (k, l)-kernels in D-join of digraphs, Discus-siones Mathematicae Graph Theory, 27(3) (2007) 457–470.
[49] W. Szumny, A. Włoch, I. Włoch, On the existence and on the number of (k,
l)-kernels in the lexicographic product of graphs, Discrete Mathematics, 308(20)
(2008) 4616–4624.
[50] J. Topp, Domination, independence and irredundance in graphs, Dissertationes Math., Warszawa, (1995).
[51] S. Wagner, I. Gutman, Maxima and minima of the Hosoya Index and the
Merrifield-Simmons Index, Acta Applicandae Mathematicae, 112 (2010) 323–346.
[52] P. M. Weichsel, The Kronecker product of graphs, Proceedings of the American Mathematical Society, 13 (1962) 47–52.
Bibliografia 75
[53] A. T. White, The genus of repeated cartesian products of bipartite graphs, Transac-tions of the American Mathematical Society, 151(2) (1970) 393–404.
[54] A. Włoch, On 2-dominating kernels in graphs, Australasian Journal of Combina-torics, 53 (2012) 273–284.
[55] A. Włoch, I. Włoch, On (k, l)-kernels in generalized products, Discrete Mathematics, 164 (1997) 295–301.
[56] A. Włoch, I. Włoch, On (k, l)-kernels in the corona of digraphs, Int. J. Pure Appl. Math, 53(4) (2009) 571–582.
[57] I. Włoch, On kernels by monochromatic paths in the corona of digraphs, Central European Journal of Mathematics, 6(4) (2008) 537–542.
[58] I. Włoch, Some operations of graphs that preserve the property of well-covered by
monochromatic paths, Australasian Journal of Combinatorics, 40 (2008) 229–236.
[59] I. Włoch, On kernels by monochromatic paths in D-join, Ars Combinatoria, 98 (2011) 215–224.
[60] H. Zhao, X. Li, On the Fibonacci numbers of trees, Fibonacci Quarterly, 44(1) (2006) 32–38.