CZY ISTNIEJĄ CZARNE DZIURY?

W ogólnej teorii względności istnieje ograniczenie na masę statycznej, sferycznie symetrycz­ nej konfiguracji, a mianowicie:

gdzie p0 jest gęstością na powierzchni.

W bimetrycznej teorii grawitacji brak jest takiej granicy dla nieściśliwej, statycznej sferycz­ nie symetrycznej gwiazdy. Wydaje się więc, że brak jest czarnych dziur w tej teorii grawitacji. Szczegółowo problem ten dyskutowali R o s e n i R o s e n (1975) dla chłodnych oraz R o s e n i R o s e n (1977) dla nieściśliwych gwiazd neutronowych. Założyli oni, że gwiazdy neutronowe są to sferycznie symetryczne konfiguracje złożone z materii jądrowej o gęstości p i ciśnieniu p. Wtedy riemanowski element liniowy oraz element liniowy przestrzeni płaskiej dane są przez:

d ? = exp [2

4

>\dt

2

- exp [ 2 0 ] (dr2 + r2 dO.2) (16)

da2 = d t 2 - dr2 - r2^ 2 (17)

gdzie: d£l2 = dd2 + sin20 d ^ \ r, 6, <p są współrzędnymi biegunowymi oraz $ i 0 — funkcja­ mi r.

Tensor gęstości energii-pędu posiada następujące, nie znikające składowe:

r ° = p(r); r j = l \ = 7^ = -p (r). (18)

Równania pola przyjmą postać: V20 = 47Tk(p + 3p) "I

\ (19)

V 2 \p = — 4itk(p — p)

J,

304 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier

p ’ + (p + p ) 0 ’ = 0 (20)

Jedynie w tym rozdziale ( ’) oznacza pochodną względem r.

Dla chłodnych gwiazd neutronowych przyjęto równanie stanu postaci:

p = p - po + (2X - l ) p o{l - [ ! + I ( £ - l ) ] 1/2} , (21)

gdzie: p Q = p(p = Cf) jest gęstością na powierzchni gwiazdy (dla r = R ), a parametr X dany jest przez zw iązek^-^ ^ _ Powyższe równanie stanu posiada tę własność, że dla p -» -*■ 00 (dp/dp) -*■ 1, czyli prędkość dźwięku dąży do prędkości światła c.

Po podstawieniu równania stanu (21) do (20) otrzymamy:

P = P0 [Xexp (—2 0 - 2a) + 1 - X]

(22)

P ~ PQ [Xexp (—20 - 2a) + (1 - 2 X ) e x p ( - 0 - a ) + X - 1],

gdzie a = - <t>(R).

Wprowadzając (22) do równań pola (19) i po ich rozwiązaniu dostajemy na rozwiązanie zewnętrzne dla r > R , czy p - p = 0, wyrażenia:

a - M ■ , M ’

<t> = i t = — , (23)

gdzie: M i M ' są stałymi reprezentującymi masy oraz M > M \ M odpowiada masie Newtona i określa ruch planety w dużej odległości od gwiazdy. Jest to po prostu masa gwiazdy. M ’ jest wtórną masą i jest ważna dla ciał poruszających się z dużymi prędkościami i dla odchylenia promieni świetlnych.

Rozwiązanie (23) przechodzi w rozwiązanie wewnętrzne dla r = R przy założeniu, że 0, t//, 0 ’ i i//’ są ciągłymi funkcjami. Przyjmując następujące warunki graniczne:

— dla centrum gwiazdy (r = 0 ) :

0X0) = W ) = 0, 0(0) < 0, 0(0) > 0, - dla powierzchni gwiazdy (r = R):

R </>\R) + 0 ( * ) = 0, R \p\R ) + K R ) = 0, wprowadzając bezwymiarowe zmienne postaci:

r = £ x R = £ a M = £ m M ’ = £ m ’

(gdzie £ = (16łrXp0) ^ 2exp (a/2)) i kładąc 0 = 0 — 0 (R) oraz 0 = otrzymamy po rozwiązaniu równań pola:

Teoria Rosena

305

<t>(R) = — a 6 \a ) \ m = —<l)(R')a = a20 '(a)\ m ’ = — 0(r) \p(a) = a\p(a). (24) R ów nania pola rozw iązuje się num erycznie z \ ja k o p aram etrem , w ybierając dow olnie 0 (0 ) i znajdując i//(0) sp ełniające w arunki graniczne. D la każdej w artości 0 (0 ) otrzy m u jem y Q = p ( 0 )/p o z rów nań (2 2 ), a n astęp n ie M i M ’ ja k o funkcje Q. W rozw iązaniach z a ad o p to ­ w ano ja k o najlepsze w artości X = 4 0 i p Q = 5 x 1 0 13 g • cm - 3 . U w zględniając niepew ność rów nania stanu m ożem y pow iedzieć, źe m aksym alna m asa c h ło d n e j gw iazdy n eutronow ej je s t ~ ( 6 —12) Mq w teo rii b im etrycznej w p o rów naniu z ( 1 —2 ) M Q w ogólnej te o rii w zględ|

ności.

D la nieściśliwej statycznej sferycznie sym etrycznej konfiguracji o rów naniu stanu P - PQ dla w szystkich p n um eryczne rozw iązania rów nań pola w skazują, że b ra k je st górnej granicy na m asę nieściśliwej gwiazdy w teorii bim etry czn ej, co sugeruje, że brak je s t czarnych dziur w tej teo rii. R easum ując należy stw ierd zić, że o trz y m a n o następujące stosunki m as czarnych dziur w teorii bim etry czn ej Mb m oraz ogólnej teo rii w zględności M q R dla ró żn y c h rów nań stanu:

(I) P 3 (p P0 ) » 1,7 ,

j m g r

< « ) P = P ~ P0 , - 1 7 * ,

m g r

(III) p = p dla w szystkich p,

M_{B M}

M G R

B rak je st p e łn eg o opisu przebiegu k o lap su graw itacyjnego w tej teo rii. N ależy je d n a k p rzy ­ p uszczać, że jego przebieg odbiega od istniejącego opisu w ogólnej te o rii w zględności. Po­ czątk o w o sugerow ano, że b rak czarnych d ziu r w skazuje n a v ty rzu t w ystarczającej ilości m a­ terii po d czas g w ałto w n eg o kolap su , prow adząc d o u tw o rzen ia stabilnego o b ie k tu . P óźniej R o s e n i R o s e n (1 9 7 7 ) stw ierdzili, że dla d o stateczn ie dużego ciśnienia, niezależnie od w ielkości m asy, m ateria staje się nieściśliwa i kolaps zakończy się. P rzeciw ko te m u opisow i przem aw ia fa k t, że w ted y p ręd k o ść d ź w ię k u b y ła b y nieskończona, co je s t sprzeczne ze szcze­ gólną te o rią w zględności.

4. M O D ELE KOSM OLOGICZNE

Istnieją znaczne różnice m ię d z y m odelam i kosm ologicznym i w pierwszej i drugiej wersji teo rii b im etrycznej R osena i dlatego p rze d y sk u tu je m y je oddzielnie.

W pierwszej wersji teorii b im etrycznej R osena m o żn a zbudow ać je d y n ie p ła sk ie (B a b a 1 a 1975; R o s e n 1977; C a v e s 1977) i o tw arte ( G o l d m a n i R o s e n 1976, 1977) m odele kosm ologiczne, b ra k je s t n ato m ia st m odeli z a m k n ię ty c h . O piszem y k r ó tk o ich w łasności.

D la p ła sk ic h m odeli kosm ologicznych riem anow ski elem ent liniow y je st d an y przez:

306 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier

a na tensor metryczny płaskiej przestrzeni przyjmuje się tensor Minkowskiego. Wtedy rów­ nania pola i równanie zachowania masy-energii dla jednorodnych i izotropowych modeli kosmologicznych, dla których T ° = p; T* = - p 5^ dla i, k = 1, 2, 3 przyjmą postać:

r 0 ” = —4łrexp [0 + 3 0 ] ( p + 3p)

0 " = e x p [0 + 30 ] ( p - p) (26)

1 p + 3 (p + p)\p' = 0,

gdzie: ( ’) oznacza ^ oraz t jest współrzędną czasową przyjmującą wartości w zakresie —00 < < t < +

Ograniczymy nasze rozważania do omówienia rozwiązania równań pola dla przypadku Wszechświata pyłowego (p = 0). Z prawa zachowania masy-energii mamy:

p = K exp ( - 3 0 ) ,

gdzie K jest dodatnią stałą, co po podstawieniu do równań pola daje rozwiązanie postaci:

exp <ł> = -, exp ip = exp [V (0) + 2 (fk't ] cosh2 fit. (27) c o s h fit

W wyrażeniach tych X' gra rolę parametru, a 0 (0 ) i 0(0) są wartościami funkcji 0 i 0 dla t = = 0. Zależnie od wartości tego parametru mamy więc trzy różne modele kosmologiczne, a mianowicie:

dla X* > 1 modele ekspandujące od osobliwości p -*• 00 (dla t -* — °°) do p -*> 0 (dla t -+ +«). dla X* = 1 modele ekspandujące od p skończonego (dla t -> —°°) do p -»■ 0 (dla t -*■ +°°) oraz

dla —1 < X* < 1 modele, dla których po kontrakcji następuje ekspansja.

Dla riemanowskiej interpretacji metryki gjk, dla której czynnik skali R dany jest przez R = const (—^ j j ) 1/2 , parametr Hubble’a H i parametr hamowania ą przyjmą postać:

" / / = -£ ^ = 2 exp [—0 (0 )1 0(X* + tanh fit) cosh2 fit

R d T (28)

q = - ^{d 2R 3 1 - X ' 2 .?.2>}

H2 R d T 2 2 2 (X' + tanh fit)2

gdzie: T jest czasem kosmicznym czy czasem własnym określonym przez zależność:

T = / exp [ 0 ] d t (29)

oraz (•) oznacza Dla dyskutowanych modeli kosmologicznych q przyjmuje wartości ujem­ ne. R o s e n (1977) wprowadził „kosmologiczny” człon do równań pola i pokazał, że dla odpowiednich warunków brzegowych możemy otrzymać 0 = 0 i parametr a 2 =

0-Teoria Rosena 307 G o l d m a n i R o s e n (1977) dyskutowali otwarte modele kosmologiczne, przyjmując dla elementów liniowych następujące wyrażenia na element liniowy płaskiej przestrzeni:

da2 = dt2 - t2 ( dx2 + sinh2x d d 2), (30)

gdzie r - t sinhx oraz na element liniowy Riemana:

[ds2 = exp [2(pit)]dP‘ - t2 ex p [2\[/(0] (^ x 2 + sinh2x ^ f i 2) . (31) Wtedy równania pola oraz prawo zachowania masy-energii przyjmą postać:

" <t>" + ~ r ~ sinh 2 (<t> - \p) = - 47rexp [<p + 3i//] (p + 3p)

1 r

tp" + - j - + — sinh 2 (0 - \p) = 47rexp [<p + 3\p](p - p ) / ' + ¥ +

4

(32)

P + (P + P) ( 3 ^ ' + 7 ) = 0 .

Rozwiązali oni równania pola dla duiych wartości r, rozwijając <p i ^ wg potęg f - 1 . Otrzy­ mali model ekspandujący od osobliwości. Dla t -*• °° czasoprzestrzeń przechodzi w płaską. Po przejściu do czasu kosmicznego T uzyskali na gęstość p, parametr Hubble’a H i parametr hamowania q następujące wyrażenia:

P = ~3 \_ l + ( 3C + I ) 8 n A T ~ 1 + 4 *A T ~ 1 In ( 8 n A T 1) + ...

H = r - 1 ^ 1 + ( c + - | ^ 8 v A T ~ l + J tiA T~1 1h(8ił47~ 1) +

...J

_ q = ^ n A T ~ l ,

gdzie A i c są stałymi. Dla obecnie obserwowanych epok można przyjąć, że Tq jest duże, czyli A = PqTq i parametry obserwacyjne dane są przez:

308 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier

Uzyskana wartość qo pokrywa się z wartością dla jednorodnych i izotropowych modeli Friedmana. Wartości parametru * zmiany stałej grawitacyjnej z czasem zależą od obser­ wowanej wartości qQ, która jest bardzo niepewna. Dla qQ = 0,02 ( S a n d a g e 1975) i T =

= 2 x 1010 lat mamy a 2 * 0,03 i (G/G)o = 3 x 10-12/rok, a dla qQ = 0,03 (G o t t °i in. 1974) a

2

= 0,04 a więc niewiele powyżej granicy W i l l a wynoszącej 0,03 ( W i l l 1971), zaś (G/G)q as 4 x 10_ 1 2 /rok w porównaniu z górną granicą 4 x 10“ 10/rok podaną przez S h a p i r o i in. (1971), czy 10- 1 0 /rok wykazaną przez C h i n a i S t o t h e r s a (1976) oraz - (9 ± 4) x 10“ n /rok przez V a n F l a n d e r n a (1975). Z powyższej dyskusji wynika,

ie dyskutowane otwarte modele kosmologiczne są podobne do modeli Friedmana, podczas gdy modele płaskie znacznie się od nich różnią. Pokazaliśmy więc, że można zbudować mo­ dele kosmologiczne oparte na bimetrycznej teorii grawitacji Rosena. Pozostała jednak obawa, czy w procesie uogólniania i ekstrapolacji teorii od małego obszaru (Układ Słoneczny) do Wszechświata nie pojawiają się nowe elementy. Chcąc tego uniknąć R o s e n (1978) sfor­ m ułował drugą wersję tej teorii idąc w odwrotnym kierunku. Zastosował on doskonałą za­ sadę kosmologiczną dla metryki tła y jk przyjmując, że opisuje ona czasoprzestrzenie o stałej krzywiźnie. Jak już wspominaliśmy, y jk określa geometrię pustej czasoprzestrzeni otrzymanej po usunięciu materii i promieniowania ze Wszechświata. Stosując współrzędne biegunowe i czas własny, otrzymamy następujące elementy liniowe tła dla dyskutowanych modeli kosmo­ logicznych:

— płaskiego:

da2 = d t2 - ex p [2 f/a] (dr2 + r^dO? ) , (33)

— zamkniętego:

da2 = dt2 - a2 cosh2(r/a) (dx 2 + sin2xdf22) , (34)

— otwartego:

da2 = d t2 - a2 sinh2(r/a) (d x 2 + sinh2x^£22) • (35)

Początek skali czasu i współrzędnych jest dowolny i a jest czynnikiem skali tła.

Kiedy rozważamy obszary przestrzeni o rozmiarach małych w porównaniu z czynnikiem skali a i w okresie czasu krótkim w porównaniu z a, możemy przyjąć na y jk tensor Minkow- skiego. Ogólna postać równań pola jest identyczna jak w pierwszej wersji teorii bimetrycznej Rosena, gdyż nie zależy ona od y {k. Według R o s e n a dla dużych wartości t [(r > . ł ) — obecne epoki] równania pola dla k = ± 1 są prawie identyczne jak dla k = 0 i opisują to samo za­ chowanie się Wszechświata. Ograniczymy więc dysuksję do przypadku izotropowego płaskie­ go modelu kosmologicznego. Natomiast dla pozostałych modeli jakościowy opis jest następu­ jący: dla modelu otwartego mamy osobliwość przy t = 0 i następnie ciągłą ekspansję; dla no- delu zamkniętego równania pola są symetryczne względem punktu / = 0, brak jest osobliwości i model kurczy się od momentu t = — ° ° d o / = 0 i następnie ekspanduje.

W przypadku modelu płaskiego mamy osobliwość i ciągłą ekspansję. Dla modeli płaskich jednorodnych i izotropowych, dla których = p, T'k. = - ph‘k dla i, k - 1 ,2 , 3 oraz g0Q = = exp [20] zaśgjk = exp [2i//] y jk. Równania pola i równanie zachowania masy-energii przyjmą wtedy postać:

Teoria Rosena 309 <p" sinh2(0 — 0) = — 4nrexp [0 + 30] (p + 3p), a a V + 7 f + -^7 sinh2(0 - 0) = 4?rexp [ 0 + 3 0 ] (p - p) , . (36) a P +. 3(p + p) (0 ' + a- 1 ) = 0 .

Dla a nie zależącego od czasu oraz równania stanu p = £ p równanie zachowania masy-energii daje:

p = A exp [ - 3 ( 1 + £ ) ( 0 + te- 1 ) ] , (37) gdzie A jest stałą,/! > 0. Po podstawieniu (37) do równań pola i wprowadzeniu następujących założeń (R o s e n 1978):

a) | 0 - 0 | - małe i stąd sinh 2 ( 0 - 0) * 2 ( 0 - 0).

b) 0 = 0O + £ i 0 = 0O + łj, gdzie 0Q = const oraz $ i 17 są niewielkimi funkcjami t. Założenie to wydaje się być słuszne dla rozważanych epok t.

otrzymuje się rozwiązania postaci:

£ = b ( - j at + ± a 2 + e j exp [ - 3 - ^ ] + c2 + c3 exp [ 1 ,7 - ^ ] + + c4 e x p [ - 4 )7 - ^ J

V = B ( - ± a t a2 + Cj) exp [ —3 ~^] + c2 - 1 c3 ex p [ l , 7 - - 1 c4 e x p [ - 4 , 7 - i ] ,

gdzie fi = 4nAe\p[<j>o ]. Przyjmując dodatkowe uproszczenia, a mianowicie: a) początek skali czasu taki, że c. = 0,

b) włączenie c2 do <j>Q,

c) założenie, że <?3 = 0, gdyż szukamy rozwiązania, dla którego £ i tj -*• 0 przy t -*■ «*>, tzn. -*• const r?.^,

d) zaniedbanie członu z c^, ponieważ t/a jest bardzo duże dla dyskutowanych epok, otrzymamy następujące przybliżone rozwiązania:

. £

_Jg(_Iflr + |a2)eXp[_3i]

310 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier

Kiedy rozważamy Wszechświat promienisty ( e = 1/3) i zastosujemy wszystkie przybliżenia oprócz d), to rozwiązania przyjmą postać ( K r y g i e r i K r e m p e ć-K r y g i e r 1979):

-

i

=

litA a 2e \p ^ _ - 4 + d Ąe \p

£-

4,7

£ ]

(39) -

17

= - \ TtAa2e \p [ - 4 J - y d^exp [ -4 ,7 ,

czyli rj = — oraz A i d4 są stałymi. Adaptacja również założenia d) pozostawia jedynie pierwsze człony powyższych rozwiązań.

Poszukamy pewnych ograniczeń dla tej wersji teorii, wynikających z obecnych wartości parametrów obserwacyjnych. Ogólna postać parametrów obserwacyjnych dana jest przez: — parametr Hubble’a H = (^' + a ~ 1) exp [— <t>0 ],

— parametr hamowania q = — 1 + a<t>'Ka\l/' + 1) — a2 i//"/(ai// + l)2 , — PPN parametr = exp [2 ( 0 — ^)] — 1 .

Po zastosowaniu dyskutowanych przybliżeń otrzymamy:

Ha = exp [ - <t>0] (an' + 1),

. q = —1 + a £ I ( a r f + 1) - a2 r)"l(ar}' + l)2 , (40)

. 02 * 2 ( | - Tj).

Jak wspominaliśmy wcześniej, L e e i in. (1976) wykazali, że PPN parametr a2 nie musi znikać w teorii bimetrycznej Rosena. Dla obecnie obserwowanych epok Wszechświata (duże t) otrzymamy q < 0. Przyjęcie na obecną gęstość materii po ~ 5 x 10~31 g • cm- 3 , na stałą Hubble’a H~ 1 = 2 x 1010 lat oraz ograniczenia na a- podanego przez W i l l a prowadzi do

O i i

wieków dla modeli Wszechświata pyłowego rzędu (8 -2 8 ) x 10 lat dla zakresu rozważanych możliwych wartości A. To wskazywałoby, że otrzymane wieki Wszechświata są większe od uzyskiwanych dla modeli Friedmana. Należy jednak pamiętać, że nie znamy początku skali cza­ su, dane obserwacyjne są bardzo niepewne i występuje co najmniej jeden swobodny parametr w tej wersji teorii bimetrycznej Rosena. Można by zastosować następne przybliżenie, lecz w tym przypadku dochodzi drugi swobodny parametr i rozważania jeszcze bardziej się kompliku­

W dokumencie Postępy Astronomii nr 4/1980 (Stron 58-65)