FIGURES OF EQUILIBRIUM P arti
3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA TEORII FIGUR RÓWNOWAGI
Szczególne własności geometryczne elipsoid sprawiają, że ciała jednorodne o kształtach elipsoid mają wiele własności wspólnych z ciałami sferycznie symetrycznymi. Dzięki temu pewne zagadnienia teorii figur równowagi dają się rozwiązać ściśle podobnymi metodami, jak w przypadku symetrii sferycznej. Podamy tu kilka twierdzeń mających podstawowe zna
czenie w tej teorii.
Rozważmy kąt bryłowy co o wierzchołku w punkcie P oraz powierzchnię S otaczającą P. Niech równaniem tej powierzchni, we współrzędnych sferycznych o środku w punkcie P, będzie r = Ą d , ifi). Przypuśćmy, że część wnętrza kąta bryłowego c j, zawarta między punk tem P a powierzchnią S, została wypełniona jednorodną cieczą o gęstości p. Nazwijmy ten twór klinem stożkowym. Zachodzi wówczas:
L e m a t 1.
Składowa Fz siły grawitacyjnej klina stożkowego skierowana wzdłuż osi biegunowej współ rzędnych sferycznych wynosi w punkcie P:
gdzie G — stała grawitacyjna.
Dowód: Wybierzmy układ współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) tak, że współrzędny mi punktu / > s ą j c = > ' = z = 0. Wtedy element objętości klina dx dy dz znajdujący się w punkcie o współrzędnych (x, y , z) działa na punkt P siłą grawitacyjną, której składowa F,r wynosi dFz = G pz/(x2 + y 2 + z2)3^2 d x dy dz. Przejdźmy teraz do współrzędnych sfe rycznych: x = r sintfcost/?, y = r sintfsin^, z = r cos&. Wówczas d F 7 = Gpcosdsinddrd&d<fi. Zatem całkowita siła działająca na punkt P w kierunku osi z jest równa całce z dF po objętości klina, czyli:
Rozważmy teraz warstw ę cieczy jednorodnej zawartą w kącie bryłowym co o wierzchoł ku P, między powierzchniami S l i S 2 o równaniach odpowiednio r = f \ d , <p) i r = F(d,y). Mamy:
L e m a t 2.
Składowa Fz siły grawitacyjnej opisanej warstwy w punkcie P jest równa:
Fz = G p f f [ F { » , ip) — f (i9, ip)] cosdńnddddifi.
Dowód: wynika prosto z lematu 1. Zauważmy, że [F($, $) - /(#,'¥>)] jest długością od cinka wyciętego przez powierzchnie S j i S2 z półprostej o kierunku (d, <p) wychodzącej z punktu P.
Przejdźmy teraz do powierzchni elipsoid. D e f i n i cj a 1.
Homeoidem nazywamy porcję materii zawartą między dwiema podobnymi (tzn. jedno- kładnymi), współśrodkowymi elipsoidami, w której powierzchnie stałej gęstości są też elipsoi dami podobnymi do elipsoid ograniczających i współśrodkowymi z nimi.
Fz = Gp
JJ"
/{■&, ifi) cosćisinddddy,276 A. Krasiński
W yobraźmy sobie hom eoid przebity linią prostą k, która wnika do w nętrza jam y ho- meoidu lub jest styczna do niej. Powierzchnie ograniczające homeoid wyznaczają na k dwa odcinki, leżące wewnątrz materii hom eoidu. Zachodzi:
L e m a t. 3.
Długości opisanych wyżej odcinków są równe.
Dowód pozostawiam jako ćwiczenie dla Czytelników. Wystarczy zauważyć, że krzywa przecięcia powierzchni elipsoidy z płaszczyną jest zawsze elipsą, i rozpatrzyć parę elips powstającą przez przecięcie dwu powierzchni homeoidu płaszczyzną zawierającą k i prze chodzącą przez środek homeoidu. Elipsy te są podobne w tym samym stosunku, co elipsoidy ograniczające hom eoid. Pełny dowód lematu 3 podany jest w podręczniku K e 11 o g g a (1929). Teraz możemy już udow odnić
T w i e r d z e n i e 1 (Newtona).
S iła grawitacyjna w dowolnym punkcie wewnątrz jam y jednorodnego hom eoidu jest rów na zeru (tzn. potencjał jest tam stały).
Dowód: Wybierzmy dowolny punkt P wewnątrz jam y hom eoidu, w spółrzędne sferyczne 0 początku w punkcie P i p ę k prostych przechodzących przez P, leżących na powierzchni ograniczającej kąt bryłow y co. Pęk ten wycina z naszego homeoidu d w i e warstwy leżące po przeciwnych stronach punktu P. Można do nich zastosować lemat 2, przy czym r = = F (d, v?) jest teraz równaniem zewnętrznej powierzchni hom eoidu, zaś r = f { p , <p) — rów naniem wewnętrznej powierzchni. Zauważmy, że dowolny punkt o w spółrzędnych (i3, </>) 1 punkt P leżą na jednej prostej z dowolnym punktem o w spółrzędnych (tt — d, tp + rr). Zatem, zgodnie z lematem 3 dl* homeoidu:
F(tf,
y )- /(
d ,=
F ( v - >p + ir) - A * - <P + n ).(4)
Z lematu 2 wynika, że składow a Fz siły grawitacyjnej w punkcie P, pochodząca od dwu opisanych warstw, wynosi:
F ~ Gp f f d d d i f i cosi? sini? [F(t?, <p) - f ( d , y>)] +
(5) + G p f f ddd<p cos(rr - i?) sin (łr - - d, + n) - f ( n - d , + tt)].
U)
Z pom ocą (4) widzimy łatw o, że F z = 0 niezależnie od wielkości kąta bryłow ego co. W szczególności zatem F , = 0 dla półpełnego kąta co, przy którym przyczynki do Fz daje cała materia hom eoidu. Ponieważ był kierunek osi z całkowicie dowolny, wniosek ten iest prawdziwy dla każdej składowej siły F, co oznacza, że siła grawitacyjna wewnątrz jam y hom eoidu jest równa zeru — c.b.d.o.
U w a g a : Powyższy dowód jest zaczerpnięty z K e l l o g g a (1929). Dowód C h a n d r a s e k h a r a (1969), przepisany od R a m s e y a (1961), zawiera niedozwolone uprosz czenia, które usprawiedliwiają się tylko praw idłow ym (jak wiadomo skądinąd) wynikiem końcowym.
Zauważmy teraz, że prawdziwy jest następujący
W n i o s e k : S iła grawitacyjna znika również wewnątrz jam y n i e j e d n o r o d n e g o hom eoidu.
Figury równowagi. Cz. I 277
D ow ódrD la niejednorodnego hom eoidu lemat 2 modyfikuje się w następujący sposób:
Fz - G J J cosi? sim? d d dtp s p{r,d,tp) dr, (6)
w /(<»,*)
przy czym z definicji hom eoidu p = const na powierzchni elipsoid podobnych do r = f{t),
tp) i r = F{d,tp) i nadal prawdziwy jest wzór (4). Zatem w (5) mamy:
F = G f f cosd sind d d dtp f p (r,d,tp) dr + z U) J F ( n - 6 , ip+rr) + G J f cos(7r-t> ) s in (rr -i? ) d d dtp f p (r , n - d , tp + łr) d r = w p+n) F ( d , i p ) F ( i r - d , ' P + n )
= G S S cosi? sini? d d d<p £ J p (r ,d ,tp )d r — J p ( r ,7T—i? ,< p + ir)d rj. (7 ) d c f
Ale z (4) wynika, że druga całka po r w (7) przebiega po takim samym odcinku a = F — f jak pierwsza, przy czym skoro p jest stałe na powierzchniach podobnych do r = / i r = F, to na odcinku a funkcja podcałkow a drugiej całki przybiera w odpowiednich punktach te same wartości, co funkcja podcałkow a w pierwszej całce (odpowiednimi punktam i są tu punkty leżące na jednej prostej i na tej samej elipsoidzie). Zatem F = 0 również w tym przypadku — c.b.d.o.
Formalny dowód rachunkowy tego faktu jest podany w dodatku na końcu arty k u łu . Przyda się nam również:
T w i e r d z e n i e 2.
S tały potencjał wewnątrz jam y jednorodnego hom eoidu o półosiach zew nętrznych a. i w ew nętrznych ma., gdzie m < 1, / = 1,2,3, jest równy:
V = j G p ( l - m 2 ) f f r2du>, (8)
gdzie: p - gęstość cieczy w homeoidzie, S - zew nętrzna powierzchnia hom eoidu, r - od ległość punktu na powierzchni S od środka homeoidu.
U w a g a ; W niniejszym artykule przyjmiemy dla potencjału grawitacyjnego konwencję, że siła grawitacji F wyraża się wzorem chociaż potencjałem grawitacyjnym jest naprawdę wielkość V o własności F . = — | £ , a więc V = - D. Zrobimy tak dla uniknięcia częstego powtarzania znaku
Dowód: Skoro potencjał w jamie jest sta ły , to wystarczy obliczyć go w środku jamy. Wynosi on tam:
2 TT TT . F ( 0 ,tfi) 2 n TT
ft = J * dtp J * d& J " r 2 sini)d r = Gp J * dtp J sin'iM# J r dr =
278 A. Krasiński \
2 n it
(
9)
(zastosowaliśmy oznaczenia lematów 1 i 2, przy czym teraz punkt P leży w środku homeoidu). Ale ponieważ powierzchnie homeoidu są, z założenia, podobnymi elipsoidami, zaś F i / są tym razem odległościami punktów jednokładnych od wspólnego środka obu elipsoid, to f = mF, m = const. Zatem (9) pociąga za sobą (8), ponieważ r 1^ = F(d,y) — c.b.d.o. W n i o s e k : Potencjał wewnątrz nieskończenie cienkiej elipsoidalnej powłoki S o ma sie M wynosi:
gdzie: a a 2, a3 są półosiami powłoki, zaś r ma to samo znaczenie, co w twierdzeniu 2. Dowód: Objętość elipsoidy o półosiach av av wynosiĄ n a ^ a ^ , zatem masa homeoidu z twierdzenia 2 wynosi:
Nieskończenie cienką pow łokę o masie M otrzymujemy teraz przechodząc do granicy m -> 1, przy czym M, a. pozostają stałe. Granica ta jest równa wyrażeniu (10) — c.b.d.o. W powyższym dowodzie wymigaliśmy się od obliczania powierzchniowego rozkładu gę stości materii na powłoce S. Intuicyjnie można by oczekiwać, że będzie to rozkład jedno rodny skoro jest granicą rozkładu przestrzennie jednorodnego. Okazuje się jednak, że nie jest to prawdą. Będziemy to mogli wykazać dopiero w drugiej części pracy, po wyliczeniu potencjału na zewnątrz powłoki. Powierzchniowa gęstość materii jest równa skokowi skła dowej normalnej gradientu potencjału na powierzchni S, z dokładnością do stałego współ czynnika.
DODATEK
Pokażemy w sposób czysto rachunkowy, że w (7) F = 0. Wprowadźmy definicje:
(
10
)4 ,
M = — na1a2aJ(l - m 3)p .
Zatem, znajdując p z (11) i podstawiając wynik do (8) dostajemy:
UD
Figury równowagi Cz. I 279 def . J = J x ~ J r (A.3) Wtedy w (7) mamy: F2 = G / / c o s d sin d d d d y J . (A.4) OJ Wprowadźmy też: def
A7(i?,^) = F (d, p) - F(n - &,<p + n). (A.5)
Na mocy (4) mamy:
#,</>) = /(fl,v>) - /( tt -&#> + 7 r ) . (A.6) Zauważmy też, że:
A7(łr - i?,*? + w) = - A7[d,<p). (A.7)
Dokonajmy w (A.2) zmiany zmiennych całkowania:
r = t - A3\d*>). (A.8)
Mamy wtedy z pomocą (A.5) i (A.6). F(a,*)
J 2 ~ J p if' - j r - d , tp + n) dr! (A.9)
/(-3.V-)
Teraz dokonujemy pod drugą całką w (7) zamiany zmiennych: d = n - d',
Ifl - <p' + 7T. (A.10)
Pomijając primy i pamiętając, że mamy do czynienia wyłącznie z funkcjami okresowymi, których wartości dla (if + 2n) są równe wartościom dla <p,oraz korzystając z (A.7) widzimy, że (A.4) i (A.3) pozostają prawdziwe, przy czym J2 przechodzi na:
F (a r — w)
J l
=
J p (f+
p)>$, V )d r'. ( A .l l )DoKonując teraz zamiany zmiennych r = r ' — A?"(i),(/)) oraz korzystając z (A.5) i (A.6) do stajemy:
280 A. Krasiński
J 2 ~ J = 0, (A .12)
zatem rzeczywiście F = 0.
L I T E R A T U R A
C a r t a n E. , 1928, w: Proceedings o f the International Mathematical Congress held in Toronto, August 1 1 -1 6 , 1924 (2-nd Congress). The University o f Toronto Press, T oronto, t. 2, s. 2.
C h a n d r a s e k h a r S., 1969, Ellipsoidal figures o f equilibrium. Yale University Press, New Haven and London, 252 ss.
D e d e k i n d R., 1860, J. Reine Angew. Math., 58, 217. D i r i c h 1 e t G. L., 1860, J. Reine Angew. Math., 58, 181.
J a c o b i C. G. J., 1834, Poggendorff Annalen der Physik und Chemie, 33, 229.
K e l l o g g O. D., 1929, Foundations o f potential theory. Frederick Ungar Publishing Company, New York, s. 22, 39 i 192.
K r a s i ń s k i A., 1980, Phys. L ett. A. 80, 238. L a g r a n g e J. L., 1811, Mecanique Celeste. M a c 1 a u r i n C., 1742, A Treatise on Fluxions. P o i n c a r e H., 1885, Acta Math., 7, 259.
R a m s e y A. S., 1961, A n introduotion to the theory o f Newtonian attraction. Cambridge University Press, Cambridge, s. 162.
R i e m a n n B., 1860, Abhandl. Kónigl. Gesell. Wiss. Gottingen, 9, 3.
W e b s t e r A. G., 1949, The dynam ics o f particles and o f rigid, elastic and fluid bodies. Hafner Publishing Company, New York, s. 415.
POSTĘPY ASTRONOM II
T om X X VIII (1980). Z eszyt 4
TEORETYCZNA INTERPRETACJA STRUKTURY SPIRALNEJ GALAKTYK Część I
G R Z E G O R Z C H L E W I C K I
In s ty tu t A stronom ii U niw ersytetu im. M. K opernika (T oruń)
TEOPETHqECKAfl MHTEPnPETAUHfl d lH P A H b H O ft CTPYKTYPbl TAJIAKTHK
MacTb I r. X n e B H U K H
B CTaTbe KpaTKO OnHCaHbl OCHOBHbie nOHHTHH T e o p H H raJiaKTHMeCKHX BOJJH i u i o t h o c t h.
Eonee n o n p o S H O o6cy> K fleH hi C B O H C T B a O H cnepcH O H H oro ypeBHeHHH J lr a a h IUy. THEORETICAL INTERPRETATION OF GALACTIC SPIRAL STRUCTURE
Part I
S u m m a r y
The article contains a brief description of the basic concepts of density wave theory. The properties o f the Lin-Shu dispersion relation are discussed in some detail.
1. WSTĘP
Zagadka spiralnej struktury galaktyk przyciąga uwagę wielu badaczy zajmujących się roż nymi dyscyplinami astronomii obserwacyjnej, jest też od lat atrakcyjnym tematem dla teore tyków. Szczególne zainteresowanie problem ten budził w ciągu ostatnich dziesięciu lat. S tało się tak dzięki zastosowaniu nowych metod obserwacyjnych, ale przede wszystkim dzięki przełom ow i w teoretycznej interpretacji struktury spiralnej, jaki dokonał się pod koniec lat sześćdziesiątych.
Nawet najpowszechniej znane, podstawowe fakty obserwacyjne dotyczące struktury spi ralnej galaktyk nasuwają natychm iast wiele pytań, na które każda teoria tej struktury powinna udzielać odpowiedzi. Ramiona spiralne są obszarami, gdzie koncentrują się bardzo jasne
282 G. Chlewicki
obiekty (gwiazdy najwcześniejszych typów widmowych, obszary H II) o wieku nie przekra czającym kilkudziesięciu milionów lat (np. B e c k e r i F e n k a r t 1970). W ramionach wyraźnie podwyższona jest też gęstość gazu i p y łu . Co więc sprawia, że obszary o zwiększo nej gęstości gazu i związane z nimi miejsca powstawania gwiazd układają się w niektórych galaktykach w dość regularne odcinki spiral? Jak i dlaczego cecha ta skorelowana je st z inny mi własnościami galaktyki? Ogólna konfiguracja struktury spiralnej (wzorzec spiralny) wy kazuje najczęściej obecność dwóch głów nych ramion, na które nakładają się liczne rozwidle nia, m osty pom iędzy ramionami i inne „drugorzędne” elem enty struktury spiralnej. Jak pogodzić występowanie tak w yraźnych prawidłowości z ogromną różnorodnością struktury spiralnej w różnych galaktykach? Dlaczego obok galaktyk o wąskich, bardzo wyraźnie zary sowanych i regularnych ramionach (np. M51, S a n d a g e 1961) istnieją galaktyki, w których ramiona są słabsze, jak gdyby „rozm yte” , o przebiegu mniej regularnym (np. M33, S a n d a g e 1961)?
Informacją obserwacyjną, która okazała się szczególnie ścisłym kryterium słuszności poszczególnych teorii jest fakt, że występowanie struktury spiralnej w galaktykach jest zja wiskiem bardzo powszechnym. Wnioskujemy stąd, że czas jej trwania w poszczególnych galaktykach nie może być krótki w porównaniu z ich wiekiem, bo gdyby tak b y ło , to za obserwowanie galaktyki o wyraźnej strukturze spiralnej powinno b yć faktem wyjątkowym. Ten właśnie warunek trw ałości struktury spiralnej pozwala natychm iast wyeliminować nie które jej teoretyczne interpretacje. Najprostszym wyjaśnieniem struktury spiralnej jest kon cepcja „ramion m aterialnych” , zgodnie z którą ramiona stanowią obszary o ’podwyższo nej gęstości materii, przy czym tworząca je m ateria jest na stałe z nimi związana. W róż niczkowo rotującej galaktyce z ramionami materialnymi wiąże się jednak tzw. paradoks kinem atyczny (W o 1 t j e r 1965). Dwa punkty leżące w obszarze ramienia materialnego w różnych odległościach od centrum galaktyki poruszają się na skutek różniczkowej rotacji z niejednakowymi prędkościami kątow ym i, co sprawia, że kąt nachylenia ramienia (okre ślony dla dowolnego punktu położonego wewnątrz ramienia jak o kąt, który ramię tworzy z przechodzącym przez ten p u nkt okręgiem o środku w centrum galaktyki) będzie się zmie niał. Charakterystyczny czas tych zmian okazuje się b yć bliski okresowi obrotu w okół centrum galaktyki, a więc c wiele za kró tk i na to, by ramiona materialne m ogły spełniać warunek trwałości.
Istnieją trzy efekty pozwalające uniknąć paradoksu kinematycznego: pierwszym jest przepływ w zdłuż ramienia kompensujący różnice prędkości wynikające z rotacji, drugim — istnienie oddziaływania, które „usztyw niałoby” ramiona przeciwstawiając się działaniu rotacji, trzecim — istnienie w galaktyce spiralnej fali gęstościowej (w tym wypadku materia nie byłaby związana na stałe z ramionami, lecz przepływ ałaby przez nie, ulegając zagęszcza niu wewnątrz ramion). Niezależnie od tego, k tó rą z tych trzech koncepcji wybierzemy, musimy wskazać oddziaływanie, jakie wywołuje efekt przeciwstawiający się rotacji. Zwią zek ramion spiralnych z gazem (na co wskazywał już fakt powstawania gwiazd w ramionach, a co potw ierdziły obserwacje neutralnego w odoru w linii 21 cm) spowodował, że przez wiele lat ź ró d ła tego oddziaływ ania dopatryw ano się w międzygwiazdowych polach magne tycznych. Gdy jednak okazało się, że są one zbyt słabe, aby podtrzym ać strukturę spiralną, a równocześnie stworzono formalizm pozwalający rozwijać konkurencyjną teo rię fal gęstościowych, ta w łaśnie teoria zaczęła dominować w badaniach struktury spiral nej. Dwie zasadnicze cechy odróżniają tę koncepcję od innych teorii: przepływ materii przez ramiona, który sprawia, że wzorzec spiralny ma charakter fali okresowo sprężającej materię w galaktyce, oraz założenie, że oddziaływ aniem , umożliwiającym istnienie takiej
Struktura spiralna. Cz. I 283
fali jest grawitacja. Tego typu koncepcje pojawiły się już kilkadziesiąt lat temu w pracach L i n d b 1 a d a, był on jednak przez wiele lat samotnym ich głosicielem. Dopiero praca L i n a i S h u (1964) i następująca po niej seria badań, których wyniki ogłoszono w koń cu lat sześćdziesiątych, zapoczątkowały szybki rozwój teorii fal gęstościowych w jej współ czesnej postaci.
Dość naturalny w teorii fal gęstościowych podział galaktyki na trzy składowe: złożo ną z najstarszych gwiazd składową sferyczną, dysk gwiazdowy, na który składają się „śred nio stare” gwiazdy o wieku 108—109 lat oraz dysk gazowy, znajduje odbicie również w tematach publikowanych prac, w tym także artykułów przeglądowych. Artykuły omawiają ce w zwięzłej formie cały niemal zakres teorii (T o o m r e 1977) pomijają wiele bardzo ważnych zagadnień szczegółowych, pozostałe natomiast dotyczą głównie dysku gwiazdo wego (L i n 1970, 1971, 1975), albo też w całości poświęcone są dyskom gazowym ( R o b e r t s 1975, 1977a, b)*. Celem obecnego przeglądu jest prezentacja podstawowych pojęć teorii fal gęstościowych, a także wyników i rozwoju teorii. Zamknięcie wszystkich tych zagadnień w ramach jednego artykułu okazało się jednak niemożliwe. Prezentowa na obecnie część I przeglądu obejmuje jedynie podstawy teorii fal gęstościowych. Część II zawierać będzie omówienie galaktycznych fal uderzeniowych, natomiast niektóre zagadnie nia szczegółowe (np. problem kofrontacji z obserwacjami) znajdą się w części III.
W zupełnej na pozór sprzeczności z danymi obserwacyjnymi rozpoczynamy rozważania od wyników dotyczących dysków gwiazdowych. W następnym rozdziale pominiemy całko wicie fakt istnienia dysków gazowych. Analizie zachowania się gazu międzygwiazdowego w galaktykach spiralnych poświęcona będzie w całości druga część przeglądu.