Postępy Astronomii nr 4/1980

P OS T Ę P Y

A S T R O N O M I I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

TOM XXVIII — ZESZYT 4

PAŹDZIERNIK-GRUDZIEŃ 1980

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1981

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

PO STĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

TOM XXVIII - ZESZYT 4

PAŹDZIERNIK-GRUDZIEŃ 1980

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1981

KOLEGIUM REDAKCYJNE R e d a k to r naczelny: Je rz y S todólkiew icz, W arszaw a

C złonkow ie:

S tanisław G rzędzielski, W arszaw a A n d rz ej W oszczyk, T o ru ń

S ek reta rz R e dakcji: T om asz K w ast, W arszaw a

Adres Redakcji: 00-716 Warszawa, ul. Rartycka 18 C entrum Astronomiczne im. M. Kopernika (PAN)

W YDAW ANE Z ZASIŁKU PO LSK IEJ AKADEM II NAUK

Printed in Poland

Państw ow e W ydaw nictwo Naukow e Oddział w Łodzi 1981

W y d a n ie I. N ak ła d 802 + 98 egz. A rk. w yd. 6,7.1. A rk. d ru k . 5,00. P a p ie r o ffaeto u iy kl. U l; 90 g , 7 0 X 1 0 0 . O d d a n a do (k ła d u mc w rx e ln lu 1980

P o d p isa n o d o d ru k u w k w ietn iu 1981 r. D ruk u k o ń czo n o u j k w ie tn iu 1981 r. Z am ó w ien ie 603/80. G- 3 . C e n a zł 10,—

Zakład Graficzny W ydaw nictw Naukowych Łódź, ul. Żwirki 2

A R T YK U Ł Y

POSTĘPY ASTRONOMII

Tom XXVIII (1980). Zeszyt 4

WILEŃSKI SYSTEM FOTOMETRYCZNY

J O A N N A M I K O Ł A J E W S K A

Instytut Astronomii Uniwersytet M. Kopernika (Toruń)

BHJIbHIOCCKAfl (DOTOMETPHMECKAfl CMCTEMA

H. M H K o n a e B C K a C o A e p * a H H e

IIpeflC T aB neH a B w ib m o cc K a H (JwTOM eTpmiecKaH CHCTeMa. n p e flC T a a n e H b i: c h -C T e M b i, M e r o f lb i e'ć peanH 3ai[H H , c x e M a T p e x M e p H o i t (JjO T O M eip H M ecK O H K J i a c c H ^ H K a u H H u M e ­ r o n a OnpefleJieHHH Me>K3Be3,aHOH 3KCTHHKUHH. OnHCaHbl B03M 0)K H0CTH aCTpO(j)H3H>teCKHX npH M enaH H H h H e K 0 T 0 p w e p a 6 o T b i 0C H 0 B aH b i H a s t o h (Jj o t o m c t p h h.

VILNIUS PHOTOMETRIC SYSTEM S u m m a r y

The Vilnius photom etric system is presented. Definition o f the system and ways of its realisation are given. The scheme of the three-dimentional spectral classification o f stars and the m ethod of determ ination o f interstellar extinction are presented. Possible astrophysical applications and uptodate publications based on this photom etry are described.

1. WSTĘP

W ciągu ostatnich kilkunastu lat zaproponowano wiele różnych średnio- i wąskopasmowych systemów fotom etrycznych do celów wieloparametrowej klasyfikacji widmowej gwiazd. Więk­ szość z nich ogranicza się jednak do pewnych stosunkowo wąskich przedziałów typów wid­ mowych, klas jasności i populacji, bądź też umożliwia klasyfikację widmową tylko w przy­ padku niepoczerwienionych gwiazd.

Wielobarwny, średniopasmowy system fotom etryczny opracowany w Wileńskim Obserwa­ torium Astronomicznym może być użyty do czysto fotom etrycznego określenia: 1) typu

252 J. M ikołajew ska

widmowego, 2) parametru związanego z klasą jasności, 3) param etru opisującego skład chemicz­ ny, 4) poczerwienienia mi ędzygwiazdowego dla gwiazd w całym zakresie typów widmowych oraz klas jasności.

2. REALIZACJA SYSTEMU

Wileński system fotom etryczny pod względem teoretycznym został opracowany w latach 1963—1965 na podstawie opublikowanych do tego czasu danych o rozkładzie energii w wid­ mach gwiazd różnych typów. Tworzy go osiem barw o szerokościach połów kow ych krzywych reakcji rzędu 2 0 0 -5 0 0 A i średnich długościach fali:

Barwa U P X Y Z V T S

Xo [A] 3450 3750 4050 4600 5150 5440 6250 6550

Barwa U jest w całości położona w ultrafiolecie, za skokiem Balmera, będąc miarą jego natężenia; P znajduje się na samym skoku i jest bardzo czułą funkcją jego położenia, a tym samym klasy jasności gwiazdy. X leży nad skokiem Balmera i posiada maksimum m iędzy linia­ mi H& i H£, obejmuje swoimi skrzydłam i te linie oraz linie wyższych numerów serii Balmera. Barwa Y jest położona w punkcie załam ania krzywej poczerwienienia mi ędzygwiazdowego, tak jednak by uniknąć w pływ u silnego pasma mi ędzygwiazdowego 4430 A. Położenie S i Z zostało wybrane w sposób pozwalający uzyskać maksymalne rozdzielenie klas jasności p ó ź­ nych gwiazd na diagramie {QX z s ' * ? x y z )' Barwa % leży niemal w centrum silnego pasma utworzonego przez linie metali w gwiazdach typu G—K -M .

V w razie potrzeby może zastąpić S przy klasyfikacji gwiazd K—M na wykresie (QX Z V'

Qx y z )- Ponadto jej położenie pokrywa się z położeniem V w szerokopasmowym systemie

UBV i m iędzy nimi w ystępuje nieznaczna zależność od barwy. Pozwala to przenieść dość

łatw o punkt zerowy wielkości gwiazdowych z systemu UB V. Wreszcie barwa T leży w środku pasma TiO i w kombinacji z sąsiednimi barwami pozwala oddzielić gwiazdy typu M od po­ zostałych. D okładne uzasadnienie w yboru położenia krzywych reakcji systemu można zna­ leźć w pracach S t r a i ź y s a (1963, 1964, 1965, 1966) oraz S t r a i S y s a i Z d a - n a v i c i u s a (1964. 1965).

Realizację systemu opracowano z zastosowaniem trzech wariantów filtrów szklanych, mia­ nowicie filtrów radzieckich oraz filtrów produkow anych przez firmy Schott i Corning (S t r a i- z y:S 1977). Możliwość zastosowania filtrów interferencyjnych, obok zysku w postaci większej przepuszczalności, niesie problem y techniczne związane z niestabilnością term iczną oraz trudnościami w wykonaniu identycznych filtrów. Stosunkowo wąskie pasma poszczególnych barw stwarzają dużą dowolność wyboru typu fotopowielacza, Zasadniczo wszystkie barwy można realizować uż\Tvając fotopowielacza z fotokatodą typu S—20. Przepuszczalność w ultrafiolecie zapewnia si ę przez użycie zwierciadlanej lub kwarcowej o p ty k i.

Jako standardowy przyjęto system 48 cm reflektora Wileńskiego Obserwatorium Astrono­ micznego w Simeizie. Krzywe reakcji tego systemu (rys. 1) uzyskano po przemnożeniu krzywych: przepuszczania używanych filtrów, czułości fotopowielacza </>3 Y -7 9 , odbijania światła przez dwie aluminizowane powierzchnie oraz krzywej kwarcowej soczewki Fabry’ego (S t r a i 2 y s, Z d a n a v i S i u s 1970).

W 1974 r. w Moleckim OA na Litwie rozpoczęto fotoelektryczne obserwacje w wileńskim systemie fotom etrycznym z użyciem filtrów interferencyjnych (S t r a i z y s 1977). W

porów-Wileńs/ci system fotom etryczny 253

Rys. 1. Krzywe reakcji standardowego wileńskiego systemu fotom etrycznego. Na osi pionowej - umowne, względne jednostki ( S t r a i z y s , Z d a n a v i £ i u s 1970)

Rys. 2. Krzywe reakcji systemu VilGen ( S t r a i n s 1977)

naniu ze szklanymi, filtry te mają większą przepuszczalność. System jest realizowany z uży­ ciem wielowarstwowego fotopowielacza 0 9 Y —106 z mikowym oknem. W tym wariancie jed ­ ną barw ę nadal realizuje się z użyciem szklanego filtru, a mianowicie W z XQ = 3500 A, ' które zastąpiło U.

Wreszcie latem 1977 r. dokonano drugiej modyfikacji systemu, rozszerzając pasma prze­ puszczalności szklanych filtrów X, Y i V odpowiednio do 470, 400 i 480 A oraz zastępując

254 J. Mikołajewska T a b e l a 1

Filtry do realizacji systemu VilGen (S t r a i i y s 1977)

Barwa ZSRR Schott RFN Schott NRD Corning U BC 5 WG 5 WG 4 C 5840 y<DC 2 UG 11 UG 11 P C3C 22 BG 23 BG 23 C 9782 y<l)C 6 UG 1 UG 1 C 9863 X )KC 10 GG 395 GG 13 C 3060 0>C 7 BG 3 BG 3 C 5850 C3C 21 BG 23 BG 23 C 5305 Y )KC 12 GG 435 GG 5 C 3387 CC 15 BG 12 BG 12 C 5543 C3C 21 BG 23 BG 23 C 4305 Z >KC 17 GG 495 GG 11 C 3384 3C 7 VG 3 VG 3 — C3C 22 BG 23 BG 23 C 9782 V OC 11 OG 520 OG 1 C 3486 C3C 22 BG 23 BG 23 C 9782 T KC 11 RG 610 RG 1 C 2418 S KC 13 RG 630 RG 2 C 2408

filtr U filtrem W. W efekcie barwy W, X, Y i V stały się bardzo podobne do barw U, By, i?2 i Vy genewskiego systemu fotometrycznego. Krzywe reakcji tego systemu nazwanego systemem VilGen przedstawia rys. 2, a realizację tab. 1. W porównaniu ze standardowym „szklanym” wariantem wileńskiego systemu ma on większą przepuszczalność (12m na 63 cm reflektorze), a jednocześnie wskaźniki barwy bardzo łatw o transformują się do systemu standardowego. Zarówno wileńnki system, jak i system VilGen może zostać zrealizowany foto­ graficznie (S t r a i 2 y s 1977).

Wskaźniki barwy wileńskiego systemu fotom etrycznego zostały znormalizowane za pom o­ cą równania:

U - P = P - X = X - Y = Y - Z = Z - V = V - S = T - S = 0 (1) dla niepoczerwienionych gwiazd klasy O. W związku z tym wskaźniki barwy wszystkich normalnych gwiazd są dodatnie.

3. KLASYFIKACJA GWIAZD

Klasyfikację przeprowadza się na wykresach barwa-barwa lub diagramach ( q , g ), gdzie:

Wj - m £ '■

Q123 = ml - m2 ---^ ( w i j - m ) ,

w 2 - i v

Wileński system fo to m e try czn y 255

I. FOTOMETRYCZNY PODZIAŁ GWIAZD NA GRUPY SPEKTRALNE

Rozważamy sytuację, w której trzeba wyznaczyć typy widmowe, klasy jasności, skład chemiczny i poczerwienienie mi ędzygwiazdowe dla zbioru gwiazd o różnych tem peraturach, jasnościach absolutnych, przynależnościach populacyjnych i poczerwienieniach międzygwiaz-

dowych.

Diagram (X — Y, Y — Z) (rys. 3a i b) pozwala rozdzielić wszystkie gwiazdy na pięć grup spektralnych: B—1, B—2, A—F, G oraz K. Tabela 2 przedstawia skład gwiazdowy poszcze­ gólnych grup. Wszystkie gwiazdy mogą mieć dowolne poczerwienienia. Normalne gwiazdy O—K nie posiadają na rys. 3a żadnych większych zagięć przecinających linie poczerwienie- irienia, tworzące dość duży kąt z tym i ciągami. W efekcie param etr QX y z Jest j ednoznaczną funkcją typu widmowego, skażoną jednak efektami światłości i składu chemicznego, tak że w artość tego parametru służy jedynie do orientacyjnego, przybliżonego określenia typu wid­ mowego. Trudność sprawiają gwiazdy typu M wszystkich klas jasności, które na diagramie (X—Y, Y —Z) nakładają się na gwiazdy typu K. Dlatego sposród badanych gwiazd trzeba najpierw w yodrębnić gwiazdy typu M. Najlepiej to zrobić wykorzystując w nich obecność pasma TiO i używając parametru QZ T S ■ Podczas gdy dla gwiazd G -K wartość tego parametru jest niemal stała; w gwiazdach typu M następuje silny spadek jego wartości (S t r a i z y s,

Z d a n a v i c i u s 1965). Wartości niezbędne dla określenia różnych para­ m etrów Q można wziąć z pracy K u r i l i e n e ’a i S u d z i u s a (1974).

T a b e l a 2

Podział gwiazd na grupy spektralne (S t r a i z y s 1977)

Grupa Granice Q ^ y z Skład gwiazdowy

B - l 0.00-0.10 0 , wczesne B wszystkich klas jasności oraz Be B - 2 0 .1 0 -0 .1 6 ' późne B wszystkich klas jasności, sdF, nadolbrzymy A A - F 0 .1 6 -0 .4 0 A —F wszystkich klas jasności, Am, Ap, sd F - G ż ó łte

MDG

G 0 .4 0 -0 .6 6 G wszystkich klas jasności, sdG, MDG, olbrzymy G 8 -K , nadolbrzymy G 5 -K

K powyżej 0.66 K wszystkich klas jasności, czerwone MDG, wszystkie M

II. KLASYFIKACJA GWIAZD W POSZCZEGÓLNYCH GRUPACH

Gwiazdy z grupy B - l należy rozważać na diagramie (Qx z s , Q x y z ^ (rys‘ który po­ zwala oddzielić gwiazdy Be. N astępnie na diagramie ( Q j j x y ’ Q u y v ^ ^ s' ^ z ^ruP A - F i G wydziela się wszystkie podkarły (sd) i klasyfikuje względem 9 oraz [Fe/H] (rys.

256 J. M ikołajew ska

a)

Rys. 3 a) Schematyczny diagram (X -Y , Y -Z ) z naniesionymi ciągami gwiazd: V (linie ciągłe), III (kiót- występowania gwiazd Be, Am i sd. Linie poczerwienienia gwiazd BO, AO, FO, GO, KO dzielą płaszczyznę przerywanej linii b) Obserwacyjny diagram (X -Y Y -Z ) dla 700 gwiazd różnych typów i osobliwości

Wileński system fotometryczny 257

b)

kie kreski), I (długie krtski) klasy, jasności. Zaznaczono wysokotemperaturowe granice obszarów na obszary z określonym składem gwiazd. Wszystkie gwiazdy M leżą poniżej i na prawo od cienkiej ( S t r a i z y s , S v i d e r s k i e n e 1971)

258 J. M ikołajew ska O , XZ5 -0.2 - 0.1 0.0 0.1 - 0 1 0.0

o

Rys. 4. G w iazdy Be na diagramie (Q ^ Z S ’ ^X Y Z ^' oznaczają norm alne gw iazdy 0 - B 5 V —III ( S i t a i z y s 1970)

5b). Pozostałe gwiazdy w grupie B można uważać za normalne i dla określenia ich typu widmowego oraz jasności absolutnej wykorzystać wykres (Q UPy , Q p y v ^ ^rys‘ ^

Ekstremalne gwiazdy Am z grupy A—F wydziela się na podstawie diagramów (Q^YZ' ^ “ ^ ) ^ U P Y ’ ^XYV^ ( B a r t k e v i c i u s , S t r a i z y s 1970b). Olbrzymy z deficytem metali (MDG) występujące w grupach A - F , G oraz K separują się na diagramach (Q u p y . ^ x z s ^ ( B a r t k e v i c i u s , S t r a i z y s 1070c). Pozostałe, normalne gwiazdy A—F można klasyfi­ kować korzystając z diagramu (Q u p Y , ^XYV^ 7a ‘ w yj3tek stanowią gwiazdy A 5 -F 7 V—III, które należy klasyfikować posługując się zależnością wartości parametru QUXY ocl typu widmowego i klasy jasności, podaną przez S t r a i z y s a (1977).

Typy widmowe i jasności absolutne normalnych gwiazd typu G można wyznaczyć na podstawie diagramu (QUPy , Q x z s ^ ^r^ s’ ' ^)- oddzieleniu gwiazd MDG w grupie K gwiazdy G 8—K klasyfikuje się na diagramie (QXz s - ^XYZ^ ^ s' ^ Wreszcie dla

. Wileński system fo to m e try c zn y 259

a )

b)

Rys. 5. Diagram (QUXY' QuYV^: obserwacyjny. Kółka oznaczają podkarły, kropki - gwiazdy V kla­ sy jasności. W lewym dolnym rogu gwiazdy typu B, w prawej części rysunku - gwiazdy F -G . Linia ciąg­

ła - linia wieku zero; b) skalibrowany pod względem 8 oraz [Fe/H] (S t r a i z y s 1977)

gwiazd typu M typy widmowe i jasności absolutne wyznacza się również z diagramu (Qx z s , 0 Xy z ) Jedynie 7 inr)ą kalibracją (rys. 10).

Kalibrację diagramów systemu U P X YZV TS w zależności od typu widmowego i jasności absolutnej podali S v i d e r s k i e n e i S t r a i z y s (1971).

260

O)

b)

Rys. 6. Diagram (Qypy> Opyy^ do dwuwymiarowej klasyfikacji gwiazd typu B oraz nadolbrzymów A - F (S t r a i i y s 1977): a) skalibrowany względem typu widmowego i jasności absolutnej, b) obserwacyj­

b)

a)

Rys. 7. Diagram (Q upy* Q x Y v ) do klasyfikacji gwiazd A - F (S t r a i z y s 1977); a) skalibrowany, b) obserwacyjny

to On W ile ń sk i sy ste m fo to m e tr y c zn y

O)

b)

a ) ' ( • U l , * V X x » «V V S * * » * X „ tę x * v * * ; _{* *} x v K i ni X < y ° ° - \ X “ „ °-* « K 5 V K S Ill

Rys. 9. Diagram (Qx zs> QXYZ) do klasyfikacji gwiazd typu G 8 -K ( S t r a i n s 1977): a) skalibrowany.b) obserwacyjny

W ile ń sk i sy ste m fo to m e tr y c zn y 2 6 3

264 J. M ikołajew ska

Rys. 10. Skalibrowany diagram ( Q ^ z s ’ QxYZ^ 'clasyfi'ca9ji gwiazd typu M ( S t r a i z y s 1977)

III. WYZNACZANIE POCZERWIENIENIA MIĘDZYGWIAZDOWEGO

Po określeniu typu widmowego i jasności absolutnej badanych gwiazd istnieje możliwość wyznaczenia poczerwienienia międzygwiazdowego, Najlepiej nadają się do tego dwuparamet- rowe wykresy U — P, P — Y, U — X, X — Y oraz X — Y, Y - Z, na których linie poczerwie­ nienia tworzą duże kąty z ciągami normalnych gwiazd. Warto zwrócić uwagę, że dwupara- metrowe wykresy można także wykorzystać do klasyfikacji widmowej niepoczerwienionych gwiazd w okolicy Słońca.

Rysunki 11, 12, 13 przedstawiają skalibrowane diagramy. Nadwyżka barwy dowolnej gwiazdy jest różnicą obserwowanego wskaźnika barwy i wskaźnika barwy odpowiadające­ go punktowi przecięcia linii poczerwienienia przechodzącej przez daną gwiazdę, z linią jed­ nakowej dla niej światłości. Ten ostatni wskaźnik barwy można traktować jako normalny wskaźnik barwy w danym typie widmowym i jasności absolutnej. Dokładność wyzna­ czenia nadwyżki barwy zależy od dokładności przeprowadzenia linii jednakowej światło­ ści na dwuparametrowych diagramach. Szczególnie tam gdzie odległości pomiędzy tymi li­ niami są małe, dokładność jest duża i na odwrót.

Wileński system fotometryczny 265

i ■______ i______ i______ i______ I---i— i--- 1 i--- --

1---0.0 0 .5 4.0 (P~Y)o

Rys. 11. Skalibrowany diagram ( ( U - P ) Q, (P-v )0) ( S v i d e r s k i e n e , S t r a i i y s 1971)

4. OBSERWACJE W SYSTEMIE UPXYZVTS

Wileński system fotometryczny daje możliwość badania struktury Galaktyki w zagęszczo­ nych obszarach Drogi Mlecznej i sięgnięcia do gwiazd zbyt słabych, aby nadawały się do klasyfikacji MK z widm. Obecnie mierzy się gwiazdy aż do 13m używając fotopowielacza EMI 9502, pracującego w układzie licznika fotonów na 70 cm reflektorze. Zastąpienie szkla­ nych filtrów przez interferencyjne z maksymalną transmisją ponad 70-80% przesunie zasięg o co najmniej l m.

Możliwość sięgnięcia do tak słabych gwiazd pozwala rozwiązywać następujące problemy: 1. Badanie poczerwienienia i absorbcji mi ędzygwiazdowej w kierunku obiektów istotnych z punktu widzenia ewolucji gwiazd. Takimi obiektami są gromady kuliste, pulsary, kwaza- ry, nowe i supernowe, pewna ilość osobliwych gwiazd (zarówno stałych, jak i zmiennych) itp. W większości przypadków ekstynkcja międzygwiazdowa w kierunku tych obiektów jest znana tylko w przybliżeniu i niemożliwe jest otrzymanie dokładnego, prawdziwego roz­ kładu energii w ich widmach.

2. Badanie przestrzennego rozkładu gwiazd o różnych typach widmowych, jasnościach absolutnych i składzie chemicznym w różnych kierunkach od Słońca, zmiany przestrzennej struktury Galaktyki ze współrzędną z. Te badania są jednak dość pracochłonne, ponieważ

266

o.o

0.5

1.0 (X—Y)„

Wileński system fotometryczny ₂₆₇

0-0 0 5 (Y-Z)0

268 J. Mikołajewska

potrzebne są obserwacje setek gwiazd. Z drugiej strony uzyskuje się w ten sposób znacznie dokładniejsze wyniki niż przy użyciu innych m etod, gdyż używa się indywidualnych m o­ dułów odległości w miejsce statystycznych. Szczególnie uzasadnione i atrakcyjne b y ło b y zastosowanie w tym przypadku średnich rozmiarów kamery Schmidta i techniki fotogra­ ficznej.

3. Odkrywanie osobliwych obiektów. W trakcie badania absorbcji międzygwiazdowej lub przestrzennej struktury Galaktyki możliwe jest znalezienie gwiazd, które będą bezużyteczne dla tych badań z powodu ich osobliwości, ale bardzo ważne z astrofizycznego punktu widzenia. Mogą to być gwiazdy: z ekstremalnym deficytem metali, typu CH, barowe, podwójne i wielo­ krotne różnych typów , gwiazdy z liniami emisyjnymi, WR, symbiotyczne itp. Po fotometrycz- nym wykryciu można je będzie szczegółowo badać spektroskopowo i innymi metodami.

W ostatnich latach zbadano m. in. prawo poczerwienienia w Łabędziu, Cefeuszu, Per- seuszu i Jednorożcu (S u d z i u s 1974) oraz wyznaczono stosunki nadwyżek barwy w wileńskim systemie fotom etrycznym i systemie UBV, a także stosunki całkow itej absorbcji do selektywnej w systemie U P X YZV TS ( K u r i l i e n e , S u d z i u s 1 9 7 ^ . Badano rów­ nież możliwość separacji w tym systemie gwiazd Ap i Am ( S t r a i z y s , Z i t k e v i c i u s 1977), zdegenerowanych karłów ( B a r t k e v i c i u s 1976) oraz innych osobliwych obiek­ tów . Uzyskano pozytyw ne wyniki.

W 1975 r. prowadzono obserwacje Nowej V 1500 Cygni i okazało się, że niektóre zpasm systemu nadają się do obserwacji gwiazd nowych. W szczególności U (lub ewentualnie W),

V i S. U lub W, znajdująca się w ultrafiolecie za skokiem Balmera, jest dość dobrą miarą

emisji ciągłej, jako że w tym obszarze raczej nie obserwuje się silnych linii emisyjnych. Po­ dobnie V znajduje się w obszarze widma pozbawionym silnych linii i może być miarą spadku intensywności widma ciągłego. Wreszcie S z efektywną długością fali XQ = 6550 A doskona­ le mierzy natężenie emisji w linii Ha (K a 1 y t i s i in. 1979). Ponadto wyznaczono absorp­ cję mi ędzygwiazdową w kierunku tej nowej (S t r a i X y s i in. 1979).

Absorpcję międzygwiazdową bada się również w kierunku kilku podczerwonych obiek­ tów , gromad kulistych leżących blisko Drogi Mlecznej oraz galaktyk w lokalnej grupie. Zro­ biono już obserwacje aż do 13m w okolicy podczerwonej gwiazdy NML Cyg ( Z d a n a - v i J i u s, K a l y t i s 1974), w polu leżącym blisko Wielkiej Szczeliny w Łabędziu za­ wierającym grom adę otw artą 1C 4996 oraz gwiazdę P Cygni ( S u d z i u s , S t r a i i y s 1976), a także w okolicy gromady otwartej NGC 6871 (B o g d a n o v i S t r a i z y s 1972; B o g d a n o v i < 5 1973). Druga z wymienionych na końcu pr;ic b y ła wykonana me­ todą fotograficzną.

Do chwili obecnej przeprowadzono obserwacje ponad 2000 gwiazd. Oprócz dużej liczby gwiazd różnych typów widmowych i klas jasności przeznaczonych do kalibracji, obejmują one jasne gwiazdy BS 5 - 6 m bez klasyfikacji MK, gromady Plejad i Hiad oraz OriOB 1 (dla określenia ZAMS), podkarły i olbrzymy z deficytem m etali,gwiazdy Be, Ap, Am, Ba, CH, R, N, S, zdegenerowane k a rły i inne osobliwe gwiazdy, gwiazdy zmienne - cefeidy, RR Lyrae, nowe oraz wiele innych. Lista obserwacji opublikowanych do 1977 r. została podana w książce S t r a i z y s a (1977).

W chwili obecnej fotom etria wileńska wydaje się jedynym, jednolitym systemem fotom et­ rycznym pozwalającym na realizację aż tak szerokiego programu badań i zaczyna być sto­ sowana w coraz wi ększej liczbie obserwatoriów i ha coraz większych teleskopach.

Wileński system fotom etryczny 269

L I T E R A T U R A A l k s n i s A. , B o g d a n o v i ? A., Bull. Vilnius Obs., 37, 3 B a r t k e v i S i u s A., 1976, Bull. Vilnius Obs., 43, 18.

B a r t k e v i S i u s A., S t r a i S y s V. , 1970a, Bull. Vilnius Obs., 30, 3. B a r t k e v i c i u s A., S t r a i z y s V. , 1970b, Bull. Vilnius Obs. 30, 35. B a r t k c v i c i u s A. , S t r a i S y s V., 1970c, Bull. Vilnius Obs., 30, 16. B o g d a n o v i c A., S t r a i i y s V. , 1972, Bull. Vilnius Obs., 33, 15.

K a l y t i s R. , S t r a i z y s V. , J o d i n s k i e n e E. , 1979, Bull. Vilnius Obs., 52, 18. K u r i l i e n e G. , S u d 1 i u s J., 1974, Bull. Vilnius Obs., 40, 10.

S t r a i z y s V., 1963, Bull. Vilnius Obs., 6 , 1. S t r a i i y s V., 1964, Bull. Vilnius Obs., 1 1 ,1 1 . S t r a i i y s V., 1965, Bull. Vilnius Obs., 15, 3. S t r a i z y s V., 1966, Transactions IAU, 12 B, 261. S t r a i z y s V., 1970, Bull. Vilnius Obs.,_28, 6. S t r a i z y s V., 1970, Bull. Vilnius Obs., 29, 33. S t r a i 2 y s V., 1973, IAU Symp. nr 50, s.

S t r a i z y s V., 1977, Mnogomietnaja fotom etria zuiezd, Wilno.

S t r a i i y s V., K a l y t i s R., S u d ź i u s J., 1979, Bull. Vilnius Obs., 52, 18. S t r a i z y s V., Z d a n a v i X i u s K., 1964, Bull. Vilnius Obs., ]_1, 1.

S t r a i i y s V. , Z d a n a v i S i u s K., 1965, Bull. Vilnius Obs., 14, 3. S t r a i i y s V. , Z d a n a v i J f i u s K., 1970, Bull. Vilnius Obs., 29, 15. S t r a i z y s V., Z i t k e v i l S i u s V., 1977, Astron. Zu., 54, 987. S u d ź i u s J., 1974, Bull. Vilnius Obs., 39, 41.

S u d i i u s J., S t r a i z y s V., 1976, Bull. Vilnius Obs., 43, 3.

S v i d e r s k i c n e Z., S t r a i z y s V., 1971, Bull. Vilnius Obs., 31, 3. Z d a n a v i £ i u s K., K a l y t i s R., 1974, Bull. Vilnius Obs., 38, 3.

"

-POSTĘPY ASTRONOMII Toni XXV11I (1980), Zeszyt 4

FIGURY RÓWNOWAGI* Część I

PODSTAWOWE TWIERDZENIA

A N D R Z E J K R A S I Ń S K I

Centrum Astronomiczne im. M. Kopernika PAN (Warszawa)

(DMryPbl PABHOBECMH

HacTb I

OCHOBHblE TEOPEMbl

A. K p a C H H Ł C K H

C o A e p x a u H e

I Ip e n c T a B J ie H o K o p o i K o e h H e3aBM CHM oe BBeflCHHe b HWTOHOBCKyio T e o p r a o <J>Hryp paB H O - BecH K B p a m a io m H x c H T e n . H acT b I n p e a c T a B jiH e T k o p o t k h h h c t o p h m c c k h h o 6 3 o p n p o & i e M b i h b b o h h t T e o p e M y H M TO H a (o T cy T C T B H e rp a B H T a u H H b H M e ro M e o H A a ) pH flO M c H e K O T o p w -MH AOnOJlHHTeJlbHblM H JI6M M 3M H. FIGURES OF EQUILIBRIUM P arti BASIC THEOREMS S u m m a r y

The paper presents a concise and self-sufficient introduction to the Newtonian theory of equilibrium figures o f rotating bodies. The present Part I gives a short account o f the history

*We wszystkich trzech częściach niniejszej pracy (będzie prześladowała Czytelników pewna dwuznacz­ ność terminologiczna. W geometrii analitycznej elipsoidą nazywa się powierzchnię dwuwymiarową o

rów-2 2 2

naniu postaci— + i _ + -Z— = 1. Dla potrzeb astronomii u ta rł się jednak zwyczaj, aby elipsoidami nazywać a2 b2 c2

272 A. Krasiński

o f the problem and introduces the Newton s theorem (no gravitation inside the cavity in a homoeoid) together with a few supplementary lemmas.

1. CO TO SĄ FIGURY RÓWNOWAGI?

Figurami równowagi nazywa się zwyczajowo newtonowskie modele wirujących stacjonar­ nych ciał płynnych. Mówiąc ściślej: są to rozwiązania newtonowskich równań ruchu (Eulera) i równań pola (Poissona i Laplace’a), które opisują w sposób kompletny (tzn. z po­ daniem rozkładów gęstości, ciśnienia, prędkości oraz potencjału grawitacyjnego wewnątrz i na zewnątrz) wirujące ciała płynne, o rozkładzie prędkości niezależnym od czasu. Nazwa: figury równowagi pochodzi jeszcze z czasów Newtona i dziś niezbyt ściśle oddaje treść tego działu hydrodynamiki. Początkowo bowiem usiłowano za pomocą teoretycznych modeli wirujących ciał płynnych wytłumaczyć jedynie zewnętrzny kształt planet i dopiero w mia­ rę gromadzenia wiadomości program ten stawał się coraz ambitniejszy.

Niestety, mimo tak dawnej tradycji i mimo faktu, że teorią figur równowagi zajmowali się najwybitniejsi matematycy i fizycy ( N e w t o n , M a c l a u r i n , J a c o b i , D i r i c h l e t , D e d e k i n d , R i e m a n n , P o i n c a r e , J e a n s , C a r t a n ) , nie osiągnięto znaczniej­ szych ogólnych rezultatów. Dzisiejsza teoria figur równowagi — to przede wszystkim modele ciał jednorodnych, zbudowanych z cieczy nieściśliwej. Na temat ciał niejednorodnych wiado­ mo bardzo niewiele, chociaż właśnie takie (ścisłe) rozwiązania byłyby dziś najbardziej interesujące jako modele gwiazd i byłyby ważne ze względu na możliwe związki z pewnymi problemami ogólnej teorii względności.

Najkompletniejszym i najbardziej systematycznym wykładem teorii figur równowagi jest podręcznik C h a n d r a s e k h a r a (1969). Niestety, niektóre spośród przytoczonych tam dowodów twierdzeń zawierają niedozwolone uproszczenia lub są wręcz błędne. Poprawne dowody można znaleźć w podręcznikach K e 1 1 o g g a (1929) i W e b s t e r a (1949), które jednak są poświęcone innemu tematowi (teorii potencjału), toteż ich tok wykładu utrudnia wyłowienie informacji o figurach równowagi.

Niniejszy artykuł ma za zadanie usunięcie tych niedogodności, tzn. przedstawienie wst ępu do teorii figur równowagi w sposób łączący systematyczność C h a n d r a s e k h a r a ze ścisłością K e l l o g g a i W e b s t e r a . Będzie on składał się z trzech części. W części I zostanie przedstawiona w skrócie historia problemu figur równowagi oraz podstawowe dla tego problemu twierdzenie Newtona (siła grawitacyjna wewnątrz jamy homeoidu jest rów­ na zeru) i ważne wnioski z niego. Część II będzie zawierała opis wewnętrznego i zewnętrz­ nego pola grawitacyjnego jednorodnych elipsoid i powłok elipsoidalnych oraz rozwiązanie Maclaurina, opisujące ciągłą rodzinę jednorodnych sferoid. W części III przedstawione zosta- ną przykłady niejednorodnych figur równowagi, a wśród nich — nowa ciągła rodzina roz­ wiązań znaleziona ostatnio przez autora ( K r a s i ń s k i 1980).

Oczywiście w artykule tym pomieści się tylko część standardowego materiału, lecz wy­ kład będzie prowadzony w sposób samowystarczalny, tak aby można było go czytać bez

również obiekty trójwymiarowe, których zewnętrzne powierzchnie są elipsoidami (w geom etrycznym sensie tego słow a). Chcąc dochow ać wierności tradycyjnej terminologii astronomicznej i równocześnie b y ć w zgodzie z terminologią matematyczną, zmuszony b y łem używ ać słow a „elipsoida” w obu tych znaczeniach, zamiennie. W każdym jednak przypadku jego sens powinien wynikać jednoznacznie z kontekstu.

Figury równowagi Cz. I 273 odwoływania się do innej literatury. Odsyłacze do starych, XVIII- i XIX-wiecznych prac, podaję za C h a n d r a s e k h a r e m (1969).

2 . KRÓTKA HISTORIA PROBLEMU NEWTONOWSKICH FIGUR RÓWNOWAGI Problem figur równowagi został po raz pierwszy postawiony przez N e w t o n a (Principia, Księga III, twierdzenia XVIII—XX). Pokazał on, że skutkiem powolnej rotacji musi być spłaszczenie wirującego, samograwitującego ciała płynnego i obliczył przybliżoną wielkość tego spłaszczenia. Zrobił to w następujący sposób.

Wyobraźmy sobie, że przewiercono jeden szyb z bieguna do środka Ziemi i drugi — z rów­ nika do środka Ziemi, tak, że się spotkały. Następnie napełniono je cieczą nieściśliwą. Dla takich naczyń połączonych powinno istnieć położenie równowagi, przy którym słup cieczy z bieguna wywiera w środku Ziemi takie samo ciśnienie, jak słup cieczy z równika. Ale słup równikowy ma ciężar zmniejszony przez siłę odśrodkową, zatem powinien być dłuższy od biegunowego. Siła ciążenia we wnętrzu Ziemi (z założenia jednorodnym) i siła odśrod­ kowa, mierzone wzdłuż ‘ łupa równikowego, są proporcjonalne do odległości od środka Ziemi, zatem ich stosunek nie zależy od miejsca, w którym go mierzymy. Możemy więc dokonać pomiaru na powierzchni Ziemi. Niech stosunek ten wynosi m. Oznaczmy przez R i r — pro­ mień równikowy i promień biegunowy Ziemi, gR i gf - przyspieszenia grawitacyjne na rów­ niku i biegunie, p — gęstość cieczy. Ciśnienie słupa cieczy w szybie biegunowym wynosi wtedy ~ p rg r , zaś w szybie równikowym — pRgR (\ - m). Zatem:

RgR ( 1 - m ) = rgr. (1)

Dla ciała o niewielkim spłaszczeniu N e w t o n znalazł:

~ « 1 + { e + 0 ( e 2), (2)

g R D

gdzie e 1 - r/R. Zatem 1 - m * (1 - e ) (1 + -^-e) + 0 ( e 2) » 1 e+ 0 ( e 2), czyli:

e = - |

0(e2).

W czasach Newtona było wiadomo, że m » ■rj—, zatem e = — r .

2yu 216

Dokładność pomiarów geodezyjnych b y ła w XVIII w. tak niewielka, że wszystkich zado­ woliło samo wykrycie faktu, iż Ziemia jest rzeczywiście „rozciągnięta” siłą odśrodkową w płaszczyźnie równika. Odpowiednie pomiary wykonali po raz pierwszy M a u p e r t u i s i C l a i r a u t w 1738 r. w Laponii. Nawiasem mówiąc rozstrzygnęli oni w ten sposób dawną kontrowersję między N e w t o n e m a „szkołą Cassinich” , którzy — w oparciu o obserwacje astronomiczne — twierdzili, że Ziemia jest rozciągnięta wzdłuż osi biegunowej.

Według dzisiejszych pomiarów spłaszczenie Ziemi e « Różnica między tą wielkoś­ cią a wynikiem N e w t o n a (uzyskanym przy założeniu jednorodnego rozkładu gęstości wewnątrz ciała wirującego) jest skutkiem niejednorodności wnętrza Ziemi: masa Ziemi jest silniej skupiona ku jej środkowi.

274 A. Krasiński

N astępny krok w teorii figur równowagi w ykonał M a c l a u r i n w 1742 r. Znalazł on ścisły wzór na s iłę grawitacyjną wewnątrz jednorodnej sferoidy (tzn. elipsoidy obrotowej) wirującej sztywno z prędkością kątową f i, a z niego wyprow adził ścisłą zależność m iędzy £2, gęstością materii p i spłaszczeniem e.

M a c l a u r i n udow odnił, że jednorodne, sztywno wirujące ciało pły n n e m o ż e mieć k ształt sferoidy, lecz przez prawie 100 lat po tym odkryciu wszyscy byli przekonani, iż m u s i ono mieć taki k ształt. Wprawdzie L a g r a n g e (1811) rozważał możliwość istnienia figur równowagi w postaci niesymetrycznych elipsoid, ale z rozważań tych wyciąg­ n ą ł (nieprawdziwy) wniosek, że muszą one b y ć osiowo sym etryczne. Dopiero J a c o b i (1834) udow odnił, że niesymetryczna, sztywno wirująca trójosiowa elipsoida może być figurą równowagi. Nie zbadał on jednak wzajemnych zależności m iędzy sferoidami Maclauri- na a swoimi. Z robił to M e y e r w 1842 r. O kazało się, że przy dostatecznie m ałej wartości param etru s - ef SI" hrGp (gdzie G - stała grawitacyjna), a mianowicie s < 0,37423, mogą istnieć trzy figury równowagi: dwie sferoidy Maclaurina oraz jedna elipsoida Jacobiego. Jed­ na spośród dopuszczalnych sferoid Maclaurina przechodzi w granicy f i -*• 0 w kulę, druga — w nieskończenie cienki dysk o nieskończonym promieniu. Dla s / 0,37423 elipsoida Jaco­ biego przechodzi w jedną ze sferoid Maclaurina i dla 0,37423 < s < 0,4493 mogą istnieć tylko dwie sferoidy Maclaurina, które pokrywają się przy s = 0,4493. Dla s > 0,4493 nie istnieją elipsoidalne figury równowagi tej rodziny.

Co się dzieje przy prędkościach kątow ych większych od tej granicy? Z daw ałoby się, że siły odśrodkowe powinny rozerwać wirujące ciało. O kazało się jednak, że istnieją jeszcze dwie m oż­ liwe rodziny elipsoidalnych figur równowagi, tzw. elipsoidy Dedekinda (D i r i c h 1 e t 1860,

D e d e k i n d 1860) i elipsoidy Riemanna (R i e m a n n 1860). D e d | k i n d rozwiązał przypadek, gdy d a ło pły n n e ma ustalony kształt elipsoidy trójosiowej, ale elipsoida ta n i e o b r a c a s i ę w układzie inercjalnym, zachowując swój k szta łt dzięki w ew nętrz­ nym przepływ om , które są stacjonarne, ale niejednorodne (szybsze przez płaszczyznę naj­ mniejszego przekroju, wolniejsze przez płaszczyznę prostopadłą). Linie prądu cieczy są krzy­ wymi płaskim i. R i e m a n n uogólnił to rozwiązani#: okazało się, że mogą istnieć elipsoidy

równowagi, które są identyczne z elipsoidami Dedekinda. w swoim układzie spoczynkowym, lecz obracają się sztywno względem uk ład u inercjalnego.

Są to najogólniejsze znane dziś jednorodne figury równowagi. W późniejszych czasach zajmowano się raczej problemem stabilności figur równowagi przy użyciu m etod przybliżo­ nych. Na dłuższy czas uwagę astronomów zajęła hipoteza Poincare’ego (1885). Stw ierdził on, że rodzina elipsoid Jacobiego zawiera, podobnie jak rodzina sferoid Maclaurina, tzw. punkty rozgałęzienia, tzn. wartości prędkości kątow ej, przy przechodzeniu przez które pojawiają się nowe możliwe figury równowagi. W przypadku elipsoid Jacobiego są to figury o kształcie gruszki: ..elipsoida” staje się grubsza na jednym końcu. Z obserwacji tej P c 5 n - c a r e w ysnuł przypuszczenie, że przy dalszym zwiększaniu prędkości kątowej gruszko- wata figura przechodzi w sposób stabilny i ciągły w planetę z jednym satelitą, potem w pla- ^ netę z dwoma satelitami po przeciwnych stronach itd. Bezowocne w ysiłki w celu udow od­ nienia tej hipotezy podejmowali przez wiele lat D a r w i n , L i a p u n ow i J e a n s, aż wreszcie C a r t a n (1924) pokazał, że w punkcie rozgałęzienia Poincare’ego elipsoidy Jacobiego stają się niestabilne, a więc nie jest możliwa dalsza ciągła ewolucja w zdłuż tej g a łę ­ zi.

Figury równowagi. Cz. I 275

3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA TEORII FIGUR RÓWNOWAGI

Szczególne własności geometryczne elipsoid sprawiają, że ciała jednorodne o kształtach elipsoid mają wiele własności wspólnych z ciałami sferycznie symetrycznymi. Dzięki temu pewne zagadnienia teorii figur równowagi dają się rozwiązać ściśle podobnymi metodami, jak w przypadku symetrii sferycznej. Podamy tu kilka twierdzeń mających podstawowe zna­

czenie w tej teorii.

Rozważmy kąt bryłowy co o wierzchołku w punkcie P oraz powierzchnię S otaczającą P. Niech równaniem tej powierzchni, we współrzędnych sferycznych o środku w punkcie P, będzie r = Ą d , ifi). Przypuśćmy, że część wnętrza kąta bryłowego c j, zawarta między punk­ tem P a powierzchnią S, została wypełniona jednorodną cieczą o gęstości p. Nazwijmy ten twór klinem stożkowym. Zachodzi wówczas:

L e m a t 1.

Składowa Fz siły grawitacyjnej klina stożkowego skierowana wzdłuż osi biegunowej współ­ rzędnych sferycznych wynosi w punkcie P:

gdzie G — stała grawitacyjna.

Dowód: Wybierzmy układ współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) tak, że współrzędny­ mi punktu / > s ą j c = > ' = z = 0. Wtedy element objętości klina dx dy dz znajdujący się w punkcie o współrzędnych (x, y , z) działa na punkt P siłą grawitacyjną, której składowa F,r wynosi dFz = G pz/(x2 + y 2 + z2)3^2 d x dy dz. Przejdźmy teraz do współrzędnych sfe­ rycznych: x = r sintfcost/?, y = r sintfsin^, z = r cos&. Wówczas d F 7 = Gpcosdsinddrd&d<fi. Zatem całkowita siła działająca na punkt P w kierunku osi z jest równa całce z dF po objętości klina, czyli:

Rozważmy teraz warstw ę cieczy jednorodnej zawartą w kącie bryłowym co o wierzchoł­ ku P, między powierzchniami S l i S 2 o równaniach odpowiednio r = f \ d , <p) i r = F(d,y). Mamy:

L e m a t 2.

Składowa Fz siły grawitacyjnej opisanej warstwy w punkcie P jest równa:

Fz = G p f f [ F { » , ip) — f (i9, ip)] cosdńnddddifi.

Dowód: wynika prosto z lematu 1. Zauważmy, że [F($, $) - /(#,'¥>)] jest długością od­ cinka wyciętego przez powierzchnie S j i S2 z półprostej o kierunku (d, <p) wychodzącej z punktu P.

Przejdźmy teraz do powierzchni elipsoid. D e f i n i cj a 1.

Homeoidem nazywamy porcję materii zawartą między dwiema podobnymi (tzn. jedno- kładnymi), współśrodkowymi elipsoidami, w której powierzchnie stałej gęstości są też elipsoi­ dami podobnymi do elipsoid ograniczających i współśrodkowymi z nimi.

Fz = Gp

JJ"

276 A. Krasiński

W yobraźmy sobie hom eoid przebity linią prostą k, która wnika do w nętrza jam y ho- meoidu lub jest styczna do niej. Powierzchnie ograniczające homeoid wyznaczają na k dwa odcinki, leżące wewnątrz materii hom eoidu. Zachodzi:

L e m a t. 3.

Długości opisanych wyżej odcinków są równe.

Dowód pozostawiam jako ćwiczenie dla Czytelników. Wystarczy zauważyć, że krzywa przecięcia powierzchni elipsoidy z płaszczyną jest zawsze elipsą, i rozpatrzyć parę elips powstającą przez przecięcie dwu powierzchni homeoidu płaszczyzną zawierającą k i prze­ chodzącą przez środek homeoidu. Elipsy te są podobne w tym samym stosunku, co elipsoidy ograniczające hom eoid. Pełny dowód lematu 3 podany jest w podręczniku K e 11 o g g a (1929). Teraz możemy już udow odnić

T w i e r d z e n i e 1 (Newtona).

S iła grawitacyjna w dowolnym punkcie wewnątrz jam y jednorodnego hom eoidu jest rów­ na zeru (tzn. potencjał jest tam stały).

Dowód: Wybierzmy dowolny punkt P wewnątrz jam y hom eoidu, w spółrzędne sferyczne 0 początku w punkcie P i p ę k prostych przechodzących przez P, leżących na powierzchni ograniczającej kąt bryłow y co. Pęk ten wycina z naszego homeoidu d w i e warstwy leżące po przeciwnych stronach punktu P. Można do nich zastosować lemat 2, przy czym r = = F (d, v?) jest teraz równaniem zewnętrznej powierzchni hom eoidu, zaś r = f { p , <p) — rów­ naniem wewnętrznej powierzchni. Zauważmy, że dowolny punkt o w spółrzędnych (i3, </>) 1 punkt P leżą na jednej prostej z dowolnym punktem o w spółrzędnych (tt — d, tp + rr). Zatem, zgodnie z lematem 3 dl* homeoidu:

F(tf,

- /(

=

(4)

Z lematu 2 wynika, że składow a Fz siły grawitacyjnej w punkcie P, pochodząca od dwu opisanych warstw, wynosi:

F ~ Gp f f d d d i f i cosi? sini? [F(t?, <p) - f ( d , y>)] +

(5) + G p f f ddd<p cos(rr - i?) sin (łr - - d, + n) - f ( n - d , + tt)].

U)

Z pom ocą (4) widzimy łatw o, że F z = 0 niezależnie od wielkości kąta bryłow ego co. W szczególności zatem F , = 0 dla półpełnego kąta co, przy którym przyczynki do Fz daje cała materia hom eoidu. Ponieważ był kierunek osi z całkowicie dowolny, wniosek ten iest prawdziwy dla każdej składowej siły F, co oznacza, że siła grawitacyjna wewnątrz jam y hom eoidu jest równa zeru — c.b.d.o.

U w a g a : Powyższy dowód jest zaczerpnięty z K e l l o g g a (1929). Dowód C h a n ­ d r a s e k h a r a (1969), przepisany od R a m s e y a (1961), zawiera niedozwolone uprosz­ czenia, które usprawiedliwiają się tylko praw idłow ym (jak wiadomo skądinąd) wynikiem końcowym.

Zauważmy teraz, że prawdziwy jest następujący

W n i o s e k : S iła grawitacyjna znika również wewnątrz jam y n i e j e d n o r o d ­ n e g o hom eoidu.

Figury równowagi. Cz. I 277 D ow ódrD la niejednorodnego hom eoidu lemat 2 modyfikuje się w następujący sposób:

Fz - G J J cosi? sim? d d dtp s p{r,d,tp) dr, (6)

w /(<»,*)

przy czym z definicji hom eoidu p = const na powierzchni elipsoid podobnych do r = f{t),

tp) i r = F{d,tp) i nadal prawdziwy jest wzór (4). Zatem w (5) mamy:

F = G f f cosd sind d d dtp f p (r,d,tp) dr + z U) J F ( n - 6 , ip+rr) + G J f cos(7r-t> ) s in (rr -i? ) d d dtp f p (r , n - d , tp + łr) d r = w p+n) F ( d , i p ) F ( i r - d , ' P + n )

= G S S cosi? sini? d d d<p £ J p (r ,d ,tp )d r — J p ( r ,7T—i? ,< p + ir)d rj. (7 ) d c f

Ale z (4) wynika, że druga całka po r w (7) przebiega po takim samym odcinku a = F — f jak pierwsza, przy czym skoro p jest stałe na powierzchniach podobnych do r = / i r = F, to na odcinku a funkcja podcałkow a drugiej całki przybiera w odpowiednich punktach te same wartości, co funkcja podcałkow a w pierwszej całce (odpowiednimi punktam i są tu punkty leżące na jednej prostej i na tej samej elipsoidzie). Zatem F = 0 również w tym przypadku — c.b.d.o.

Formalny dowód rachunkowy tego faktu jest podany w dodatku na końcu arty k u łu . Przyda się nam również:

T w i e r d z e n i e 2.

S tały potencjał wewnątrz jam y jednorodnego hom eoidu o półosiach zew nętrznych a. i w ew nętrznych ma., gdzie m < 1, / = 1,2,3, jest równy:

V = j G p ( l - m 2 ) f f r2du>, (8)

gdzie: p - gęstość cieczy w homeoidzie, S - zew nętrzna powierzchnia hom eoidu, r - od­ ległość punktu na powierzchni S od środka homeoidu.

U w a g a ; W niniejszym artykule przyjmiemy dla potencjału grawitacyjnego konwencję, że siła grawitacji F wyraża się wzorem chociaż potencjałem grawitacyjnym jest naprawdę wielkość V o własności F . = — | £ , a więc V = - D. Zrobimy tak dla uniknięcia częstego powtarzania znaku

Dowód: Skoro potencjał w jamie jest sta ły , to wystarczy obliczyć go w środku jamy. Wynosi on tam:

2 TT TT . F ( 0 ,tfi) 2 n TT

ft = J * dtp J * d& J " r 2 sini)d r = Gp J * dtp J sin'iM# J r dr =

278 A. Krasiński \

2 n it

(

)

(zastosowaliśmy oznaczenia lematów 1 i 2, przy czym teraz punkt P leży w środku homeoidu). Ale ponieważ powierzchnie homeoidu są, z założenia, podobnymi elipsoidami, zaś F i / są tym razem odległościami punktów jednokładnych od wspólnego środka obu elipsoid, to f = mF, m = const. Zatem (9) pociąga za sobą (8), ponieważ r 1^ = F(d,y) — c.b.d.o. W n i o s e k : Potencjał wewnątrz nieskończenie cienkiej elipsoidalnej powłoki S o ma­ sie M wynosi:

gdzie: a a 2, a3 są półosiami powłoki, zaś r ma to samo znaczenie, co w twierdzeniu 2. Dowód: Objętość elipsoidy o półosiach av av wynosiĄ n a ^ a ^ , zatem masa homeoidu z twierdzenia 2 wynosi:

Nieskończenie cienką pow łokę o masie M otrzymujemy teraz przechodząc do granicy m -> 1, przy czym M, a. pozostają stałe. Granica ta jest równa wyrażeniu (10) — c.b.d.o. W powyższym dowodzie wymigaliśmy się od obliczania powierzchniowego rozkładu gę­ stości materii na powłoce S. Intuicyjnie można by oczekiwać, że będzie to rozkład jedno­ rodny skoro jest granicą rozkładu przestrzennie jednorodnego. Okazuje się jednak, że nie jest to prawdą. Będziemy to mogli wykazać dopiero w drugiej części pracy, po wyliczeniu potencjału na zewnątrz powłoki. Powierzchniowa gęstość materii jest równa skokowi skła­ dowej normalnej gradientu potencjału na powierzchni S, z dokładnością do stałego współ­ czynnika.

DODATEK

Pokażemy w sposób czysto rachunkowy, że w (7) F = 0. Wprowadźmy definicje:

(

10

4 ,

M = — na1a2aJ(l - m 3)p .

Zatem, znajdując p z (11) i podstawiając wynik do (8) dostajemy:

UD

Figury równowagi Cz. I ₂₇₉ def . J = J x ~ J r (A.3) Wtedy w (7) mamy: F2 = G / / c o s d sin d d d d y J . (A.4) OJ Wprowadźmy też: def

A7(i?,^) = F (d, p) - F(n - &,<p + n). (A.5)

Na mocy (4) mamy:

#,</>) = /(fl,v>) - /( tt -&#> + 7 r ) . (A.6)

Zauważmy też, że:

A7(łr - i?,*? + w) = - A7[d,<p). (A.7)

Dokonajmy w (A.2) zmiany zmiennych całkowania:

r = t - A3\d*>). (A.8)

Mamy wtedy z pomocą (A.5) i (A.6). F(a,*)

J 2 ~ J p if' - j r - d , tp + n) dr! (A.9)

/(-3.V-)

Teraz dokonujemy pod drugą całką w (7) zamiany zmiennych: d = n - d',

Ifl - <p' + 7T. (A.10)

Pomijając primy i pamiętając, że mamy do czynienia wyłącznie z funkcjami okresowymi, których wartości dla (if + 2n) są równe wartościom dla <p,oraz korzystając z (A.7) widzimy, że (A.4) i (A.3) pozostają prawdziwe, przy czym J2 przechodzi na:

F (a r — w)

J l

=

+

DoKonując teraz zamiany zmiennych r = r ' — A?"(i),(/)) oraz korzystając z (A.5) i (A.6) do­ stajemy:

280 A. Krasiński

J 2 ~ J = 0, (A .12)

zatem rzeczywiście F = 0.

L I T E R A T U R A

C a r t a n E. , 1928, w: Proceedings o f the International Mathematical Congress held in Toronto, August 1 1 -1 6 , 1924 (2-nd Congress). The University o f Toronto Press, T oronto, t. 2, s. 2.

C h a n d r a s e k h a r S., 1969, Ellipsoidal figures o f equilibrium. Yale University Press, New Haven and London, 252 ss.

D e d e k i n d R., 1860, J. Reine Angew. Math., 58, 217. D i r i c h 1 e t G. L., 1860, J. Reine Angew. Math., 58, 181.

J a c o b i C. G. J., 1834, Poggendorff Annalen der Physik und Chemie, 33, 229.

K e l l o g g O. D., 1929, Foundations o f potential theory. Frederick Ungar Publishing Company, New York, s. 22, 39 i 192.

K r a s i ń s k i A., 1980, Phys. L ett. A. 80, 238. L a g r a n g e J. L., 1811, Mecanique Celeste. M a c 1 a u r i n C., 1742, A Treatise on Fluxions. P o i n c a r e H., 1885, Acta Math., 7, 259.

R a m s e y A. S., 1961, A n introduotion to the theory o f Newtonian attraction. Cambridge University Press, Cambridge, s. 162.

R i e m a n n B., 1860, Abhandl. Kónigl. Gesell. Wiss. Gottingen, 9, 3.

W e b s t e r A. G., 1949, The dynam ics o f particles and o f rigid, elastic and fluid bodies. Hafner Publishing Company, New York, s. 415.

POSTĘPY ASTRONOM II

T om X X VIII (1980). Z eszyt 4

TEORETYCZNA INTERPRETACJA STRUKTURY SPIRALNEJ GALAKTYK Część I

G R Z E G O R Z C H L E W I C K I

In s ty tu t A stronom ii U niw ersytetu im. M. K opernika (T oruń)

TEOPETHqECKAfl MHTEPnPETAUHfl d lH P A H b H O ft CTPYKTYPbl TAJIAKTHK

MacTb I r. X n e B H U K H

B CTaTbe KpaTKO OnHCaHbl OCHOBHbie nOHHTHH T e o p H H raJiaKTHMeCKHX BOJJH i u i o t h o c t h.

Eonee n o n p o S H O o6cy> K fleH hi C B O H C T B a O H cnepcH O H H oro ypeBHeHHH J lr a a h IUy. THEORETICAL INTERPRETATION OF GALACTIC SPIRAL STRUCTURE

Part I

S u m m a r y

The article contains a brief description of the basic concepts of density wave theory. The properties o f the Lin-Shu dispersion relation are discussed in some detail.

1. WSTĘP

Zagadka spiralnej struktury galaktyk przyciąga uwagę wielu badaczy zajmujących się roż­ nymi dyscyplinami astronomii obserwacyjnej, jest też od lat atrakcyjnym tematem dla teore­ tyków. Szczególne zainteresowanie problem ten budził w ciągu ostatnich dziesięciu lat. S tało się tak dzięki zastosowaniu nowych metod obserwacyjnych, ale przede wszystkim dzięki przełom ow i w teoretycznej interpretacji struktury spiralnej, jaki dokonał się pod koniec lat sześćdziesiątych.

Nawet najpowszechniej znane, podstawowe fakty obserwacyjne dotyczące struktury spi­ ralnej galaktyk nasuwają natychm iast wiele pytań, na które każda teoria tej struktury powinna udzielać odpowiedzi. Ramiona spiralne są obszarami, gdzie koncentrują się bardzo jasne

282 G. Chlewicki

obiekty (gwiazdy najwcześniejszych typów widmowych, obszary H II) o wieku nie przekra­ czającym kilkudziesięciu milionów lat (np. B e c k e r i F e n k a r t 1970). W ramionach wyraźnie podwyższona jest też gęstość gazu i p y łu . Co więc sprawia, że obszary o zwiększo­ nej gęstości gazu i związane z nimi miejsca powstawania gwiazd układają się w niektórych galaktykach w dość regularne odcinki spiral? Jak i dlaczego cecha ta skorelowana je st z inny­ mi własnościami galaktyki? Ogólna konfiguracja struktury spiralnej (wzorzec spiralny) wy­ kazuje najczęściej obecność dwóch głów nych ramion, na które nakładają się liczne rozwidle­ nia, m osty pom iędzy ramionami i inne „drugorzędne” elem enty struktury spiralnej. Jak pogodzić występowanie tak w yraźnych prawidłowości z ogromną różnorodnością struktury spiralnej w różnych galaktykach? Dlaczego obok galaktyk o wąskich, bardzo wyraźnie zary­ sowanych i regularnych ramionach (np. M51, S a n d a g e 1961) istnieją galaktyki, w których ramiona są słabsze, jak gdyby „rozm yte” , o przebiegu mniej regularnym (np. M33, S a n d a g e 1961)?

Informacją obserwacyjną, która okazała się szczególnie ścisłym kryterium słuszności poszczególnych teorii jest fakt, że występowanie struktury spiralnej w galaktykach jest zja­ wiskiem bardzo powszechnym. Wnioskujemy stąd, że czas jej trwania w poszczególnych galaktykach nie może być krótki w porównaniu z ich wiekiem, bo gdyby tak b y ło , to za­ obserwowanie galaktyki o wyraźnej strukturze spiralnej powinno b yć faktem wyjątkowym. Ten właśnie warunek trw ałości struktury spiralnej pozwala natychm iast wyeliminować nie­ które jej teoretyczne interpretacje. Najprostszym wyjaśnieniem struktury spiralnej jest kon­ cepcja „ramion m aterialnych” , zgodnie z którą ramiona stanowią obszary o ’podwyższo­ nej gęstości materii, przy czym tworząca je m ateria jest na stałe z nimi związana. W róż­ niczkowo rotującej galaktyce z ramionami materialnymi wiąże się jednak tzw. paradoks kinem atyczny (W o 1 t j e r 1965). Dwa punkty leżące w obszarze ramienia materialnego w różnych odległościach od centrum galaktyki poruszają się na skutek różniczkowej rotacji z niejednakowymi prędkościami kątow ym i, co sprawia, że kąt nachylenia ramienia (okre­ ślony dla dowolnego punktu położonego wewnątrz ramienia jak o kąt, który ramię tworzy z przechodzącym przez ten p u nkt okręgiem o środku w centrum galaktyki) będzie się zmie­ niał. Charakterystyczny czas tych zmian okazuje się b yć bliski okresowi obrotu w okół centrum galaktyki, a więc c wiele za kró tk i na to, by ramiona materialne m ogły spełniać warunek trwałości.

Istnieją trzy efekty pozwalające uniknąć paradoksu kinematycznego: pierwszym jest przepływ w zdłuż ramienia kompensujący różnice prędkości wynikające z rotacji, drugim — istnienie oddziaływania, które „usztyw niałoby” ramiona przeciwstawiając się działaniu rotacji, trzecim — istnienie w galaktyce spiralnej fali gęstościowej (w tym wypadku materia nie byłaby związana na stałe z ramionami, lecz przepływ ałaby przez nie, ulegając zagęszcza­ niu wewnątrz ramion). Niezależnie od tego, k tó rą z tych trzech koncepcji wybierzemy, musimy wskazać oddziaływanie, jakie wywołuje efekt przeciwstawiający się rotacji. Zwią­ zek ramion spiralnych z gazem (na co wskazywał już fakt powstawania gwiazd w ramionach, a co potw ierdziły obserwacje neutralnego w odoru w linii 21 cm) spowodował, że przez wiele lat ź ró d ła tego oddziaływ ania dopatryw ano się w międzygwiazdowych polach magne­ tycznych. Gdy jednak okazało się, że są one zbyt słabe, aby podtrzym ać strukturę spiralną, a równocześnie stworzono formalizm pozwalający rozwijać konkurencyjną teo­ rię fal gęstościowych, ta w łaśnie teoria zaczęła dominować w badaniach struktury spiral­ nej. Dwie zasadnicze cechy odróżniają tę koncepcję od innych teorii: przepływ materii przez ramiona, który sprawia, że wzorzec spiralny ma charakter fali okresowo sprężającej materię w galaktyce, oraz założenie, że oddziaływ aniem , umożliwiającym istnienie takiej

Struktura spiralna. Cz. I 283

fali jest grawitacja. Tego typu koncepcje pojawiły się już kilkadziesiąt lat temu w pracach L i n d b 1 a d a, był on jednak przez wiele lat samotnym ich głosicielem. Dopiero praca L i n a i S h u (1964) i następująca po niej seria badań, których wyniki ogłoszono w koń­ cu lat sześćdziesiątych, zapoczątkowały szybki rozwój teorii fal gęstościowych w jej współ­ czesnej postaci.

Dość naturalny w teorii fal gęstościowych podział galaktyki na trzy składowe: złożo­ ną z najstarszych gwiazd składową sferyczną, dysk gwiazdowy, na który składają się „śred­ nio stare” gwiazdy o wieku 108—109 lat oraz dysk gazowy, znajduje odbicie również w tematach publikowanych prac, w tym także artykułów przeglądowych. Artykuły omawiają­ ce w zwięzłej formie cały niemal zakres teorii (T o o m r e 1977) pomijają wiele bardzo ważnych zagadnień szczegółowych, pozostałe natomiast dotyczą głównie dysku gwiazdo­ wego (L i n 1970, 1971, 1975), albo też w całości poświęcone są dyskom gazowym ( R o b e r t s 1975, 1977a, b)*. Celem obecnego przeglądu jest prezentacja podstawowych pojęć teorii fal gęstościowych, a także wyników i rozwoju teorii. Zamknięcie wszystkich tych zagadnień w ramach jednego artykułu okazało się jednak niemożliwe. Prezentowa­ na obecnie część I przeglądu obejmuje jedynie podstawy teorii fal gęstościowych. Część II zawierać będzie omówienie galaktycznych fal uderzeniowych, natomiast niektóre zagadnie­ nia szczegółowe (np. problem kofrontacji z obserwacjami) znajdą się w części III.

W zupełnej na pozór sprzeczności z danymi obserwacyjnymi rozpoczynamy rozważania od wyników dotyczących dysków gwiazdowych. W następnym rozdziale pominiemy całko­ wicie fakt istnienia dysków gazowych. Analizie zachowania się gazu międzygwiazdowego w galaktykach spiralnych poświęcona będzie w całości druga część przeglądu.

2. FALE GĘSTOŚCIOWF, W DYSKACH GWIAZDOWYCH

I. KINEMATYCZNE FALE GĘSTOŚCIOWE

Idea kinematycznych fal gęstościowych oparta jest na koncepcjach pochodzących od L i n d b 1 a d a, choć on sam nigdy jej w pełni nie sformułował (obszerniej na temat związku prac L i n d b l a d a ze współczesną teorią fal gęstościowych pisze w swym artykule z roku 1977 T o o m r e)*"*. My potraktujemy ją jako bardzo wygodny punkt wyjścia do dalszych rozważań.

Rozpatrzmy na początek ruch pojedynczej gwiazdy w nieskończenie cienkim, różnicz­ kowo rotującym dysku gwiazdowym. Wprowadzając biegunowy układ współrzędnych (w,

0) rotujący z prędkością f2Q = fi(£?0) (6 rośnie w kierunku rotacji) i zakładając, że gwiazda w swym ruchu nigdy nie oddala się zbytnio od punktu odniesienia coo (co pozwala pominąć w równaniach ruchu wszystkie człony rzędu wyższego niż 1 względem przemieszczeń gwiazdy), otrzymujemy następujące rozwiązanie tych równań:

*Z punktu widzenia teorii fal gęstościowych składowa sferyczna jest jedynie źródłem części podstawo­ wego pola grawitacyjnego

galaktyki.-**W zestawieniu z późniejszym rozwojem teorii fal gęstościowych szczególnie interesująca jest koncepcja quasi-stacjonarnej struktury spiralnej zawarta w pracy L i n d b l a d a (1963).

284 G. Chlewicki S = C0Q + C 1 + Cq COS K ( t - f j ) ( 1 ) 2Ac.

„

gdzie: A = ----— jest stałą Oorta, cg, cj, tg i są stałymi określonymi przez warunki początkowe, a k będące funkcją w jest określone przez związek:

2 _ A t~,2 , w .o _ ^ > _ 3 <7(ó34 n 2 )

k - 4 0 + 2 f t ^ c o - w - j - g ---- (3)

Równania (1) i (2) opisują ruch po elipsie (epicyklu) o środku w punkcie u> = £>0 + Cj, którą gwiazda obiega z częstotliwością k = k(Hq + Cj) noszącą dlatego nazwę częstotliwości epicyklicznej. Szczególnie interesujący jest obraz ruchu gwiazdy w układzie rotującym z prędkością £1^ = - _ e (kq = k (łj0)). Oznaczając przez 0 kątową współrzędną w tym układzie, nadając indeks „1” współrzędnym w chwili t - oraz oznaczając przez i ?S(c) współrzędne środka epicykla, otrzymujemy:

Ć3(c ) = s 0 + C j ( 4 ) 0 ( 0 _ q(c) ( 5 ) w = S (c) + cQ cos 2 ( 0 ^ - ) (6) 2 SI cn _ , . 0 = e( c )--- ^ sin 2 (0(c) - 0*c) ), (7) K CO _{O o} 1 V ’

przy czym k = k(c5 + t^). Równania (4) i (5) opisują ruch środka epicykla, a równania (6) i (7) - ruch samej gwiazdy. Przy wszystkich opisanych przybliżeniach otrzymujemy więc tor gwiazdy w postaci elipsy obieganej z częstotliwością ~

2

Rozpatrzmy teraz zachowanie się układu gwiazd obiegających identyczne epicykle, któ­ rych środki rozmieszczone są równomiernie wzdłuż okręgu S = + Cj (rys. 1). Gwiazdy należące do układu leżą w każdej chwili na elipsie opisanej równaniami (4)—(7). Elipsa ta obraca się ze stałą prędkością kątową równą (względem układu inercjalnego), a poszczególne gwiazdy przemieszczają się w stosunku do ustalonego na niej punktu ze śred­

nią prędkością kątową y

Rysunek 2 oraz tab. 1 wykazują, że £2^ jest w przybliżeniu stałe (w naszej Galaktyce) dla ć2 zmieniających się w dość szerokim zakresie od ok. 4 do 20 kpc. Jeżeli więc wyobra­ zimy sobie system gwiazdowy złożony z wielu eliptycznych „pierścieni dyspersyjnych” , tj. układów podobnych do przedstawionego na rys. 1, to pierścienie te powinny w przybliżeniu zachowywać swą wzajemną konfigurację. Ponadto system taki będzie wykazywał symetrię względem obrotów o 180° wokół środka Galaktyki (co wynika z symetrii samych elips).

Struktura spiralna. Cz.

/

Rys. 1. Eliptyczny „pierścień dyspersyjny” złożony z 12 gwiazd. Wykres odnosi się do galaktyki, w której u n ( w ) = const. Kolejne rysunki wykonane dla różnych momentów czasu pokazują, że poszcze­ gólne gwiazdy obiegają centrum galaktyki z prędkością znacznie większą od tej, z jaką obraca się elipsa

( T o o m i e 1977)

Tabela 1

Rotacja i rozkład masy w Galaktyce wg modelu Schmidta

Ój(kpc) n(km /s)kpc) fc(km(s)kpc) n^(km (s)kpc) _{° o (^ © /pc2)} \y (k p c ) _{W km/S)} 4 53,21 84.98 10,72 521,35 12,259 88,62 5 45,33 72,57 9,05 421,33 13,584 83,87 6 39,68 62,82 8,27 337,83 14,539 77,69 7 35,22 54,44 8,00 266,69 15,282 70,77 8 31,46 46,74 8,09 205,84 16,003 63,63 9 28,10 39,20 8,50 154,58 17,080 56,96 10 25,00 31,62 9,19 113,82 19,337 52,01 11 22,19 26,49 8,95 85,52 20,699 46,64 12 19,80 2 2 3 0 8,40 65,87 21,509 41,73 13 17,76 19,97 7,78 51,81 22,067 37,48 14 16,04 17,70 7,19 41,48 22,477 33,85 15 14,56 15,85 6,64 53,72 22,791 30,73 16 13,29 14,31 6,14 27,79 23,039 28,05 17 12,19 13,01 5,69 23,17 23,237 25,72 18 1 U 3 11,90 5,28 19,52 23,400 23,69 19 10,39 10,94 4,92 16,59 23,535 21,91 20 9,64 10,11 4,59 14,23 23,649 20,33

Własności omawianego układu gwiazdowego (przy jednej z możliwych konfiguracji geomet­ rycznych) doskonale ilustruje rys. 3. Przedstawia on układ jedenastu elips, których wielkie osie zostały obrócone w stosunku do siebie wg wzoru 20{ = a ln A., gdzie A f jest długością wielkiej osi elipsy o numerze i Jak wynika z rysunku, obszary o największej gęstości gwiazd tworzą regularny wzorzec spiralny o dwóch ramionach, rotujący w przybliżeniu jak ciało