FALE GĘSTOŚCIOWF, W DYSKACH GWIAZDOWYCH

I. KINEMATYCZNE FALE GĘSTOŚCIOWE

Idea kinematycznych fal gęstościowych oparta jest na koncepcjach pochodzących od L i n d b 1 a d a, choć on sam nigdy jej w pełni nie sformułował (obszerniej na temat związku prac L i n d b l a d a ze współczesną teorią fal gęstościowych pisze w swym artykule z roku 1977 T o o m r e)*"*. My potraktujemy ją jako bardzo wygodny punkt wyjścia do dalszych rozważań.

Rozpatrzmy na początek ruch pojedynczej gwiazdy w nieskończenie cienkim, różnicz­ kowo rotującym dysku gwiazdowym. Wprowadzając biegunowy układ współrzędnych (w,

0) rotujący z prędkością f2Q = fi(£?0) (6 rośnie w kierunku rotacji) i zakładając, że gwiazda w swym ruchu nigdy nie oddala się zbytnio od punktu odniesienia coo (co pozwala pominąć w równaniach ruchu wszystkie człony rzędu wyższego niż 1 względem przemieszczeń gwiazdy), otrzymujemy następujące rozwiązanie tych równań:

*Z punktu widzenia teorii fal gęstościowych składowa sferyczna jest jedynie źródłem części podstawo­ wego pola grawitacyjnego

galaktyki.-**W zestawieniu z późniejszym rozwojem teorii fal gęstościowych szczególnie interesująca jest koncepcja quasi-stacjonarnej struktury spiralnej zawarta w pracy L i n d b l a d a (1963).

284 G. Chlewicki S = C0Q + C 1 + Cq COS K ( t - f j ) ( 1 ) 2Ac.

„

2S2 cn e = ~ ~ (* ~ t0) k (t - r j), (2) o 0 rsi COq ^^2

gdzie: A = ----— jest stałą Oorta, cg, cj, tg i są stałymi określonymi przez warunki początkowe, a k będące funkcją w jest określone przez związek:

2 _ A t~,2 , w .o _ ^ > _ 3 <7(ó34 n 2 )

k - 4 0 + 2 f t ^ c o - w - j - g ---- (3)

Równania (1) i (2) opisują ruch po elipsie (epicyklu) o środku w punkcie u> = £>0 + Cj, którą gwiazda obiega z częstotliwością k = k(Hq + Cj) noszącą dlatego nazwę częstotliwości epicyklicznej. Szczególnie interesujący jest obraz ruchu gwiazdy w układzie rotującym z prędkością £1^ = - _ e (kq = k (łj0)). Oznaczając przez 0 kątową współrzędną w tym układzie, nadając indeks „1” współrzędnym w chwili t - oraz oznaczając przez i ?S(c) współrzędne środka epicykla, otrzymujemy:

Ć3(c ) = s 0 + C j ( 4 ) 0 ( 0 _ q(c) ( 5 ) w = S (c) + cQ cos 2 ( 0 ^ - ) (6) 2 SI cn _ , . 0 = e( c )--- ^ sin 2 (0(c) - 0*c) ), (7) K CO _{O o} 1 V ’

przy czym k = k(c5 + t^). Równania (4) i (5) opisują ruch środka epicykla, a równania (6) i (7) - ruch samej gwiazdy. Przy wszystkich opisanych przybliżeniach otrzymujemy więc tor gwiazdy w postaci elipsy obieganej z częstotliwością ~

2

K- Taką właśnie orbitę L i n d - b 1 a d nazwał „orbitą dyspersyjną” .

Rozpatrzmy teraz zachowanie się układu gwiazd obiegających identyczne epicykle, któ­ rych środki rozmieszczone są równomiernie wzdłuż okręgu S = + Cj (rys. 1). Gwiazdy należące do układu leżą w każdej chwili na elipsie opisanej równaniami (4)—(7). Elipsa ta obraca się ze stałą prędkością kątową równą (względem układu inercjalnego), a poszczególne gwiazdy przemieszczają się w stosunku do ustalonego na niej punktu ze śred­

nią prędkością kątową y

Rysunek 2 oraz tab. 1 wykazują, że £2^ jest w przybliżeniu stałe (w naszej Galaktyce) dla ć2 zmieniających się w dość szerokim zakresie od ok. 4 do 20 kpc. Jeżeli więc wyobra­ zimy sobie system gwiazdowy złożony z wielu eliptycznych „pierścieni dyspersyjnych” , tj. układów podobnych do przedstawionego na rys. 1, to pierścienie te powinny w przybliżeniu zachowywać swą wzajemną konfigurację. Ponadto system taki będzie wykazywał symetrię względem obrotów o 180° wokół środka Galaktyki (co wynika z symetrii samych elips).

Struktura spiralna. Cz.

/

285

Rys. 1. Eliptyczny „pierścień dyspersyjny” złożony z 12 gwiazd. Wykres odnosi się do galaktyki, w której u n ( w ) = const. Kolejne rysunki wykonane dla różnych momentów czasu pokazują, że poszcze­ gólne gwiazdy obiegają centrum galaktyki z prędkością znacznie większą od tej, z jaką obraca się elipsa

( T o o m i e 1977)

Tabela 1

Rotacja i rozkład masy w Galaktyce wg modelu Schmidta

Ój(kpc) n(km /s)kpc) fc(km(s)kpc) n^(km (s)kpc) _{° o (^ © /pc2)} \y (k p c ) _{W km/S)} 4 53,21 84.98 10,72 521,35 12,259 88,62 5 45,33 72,57 9,05 421,33 13,584 83,87 6 39,68 62,82 8,27 337,83 14,539 77,69 7 35,22 54,44 8,00 266,69 15,282 70,77 8 31,46 46,74 8,09 205,84 16,003 63,63 9 28,10 39,20 8,50 154,58 17,080 56,96 10 25,00 31,62 9,19 113,82 19,337 52,01 11 22,19 26,49 8,95 85,52 20,699 46,64 12 19,80 2 2 3 0 8,40 65,87 21,509 41,73 13 17,76 19,97 7,78 51,81 22,067 37,48 14 16,04 17,70 7,19 41,48 22,477 33,85 15 14,56 15,85 6,64 53,72 22,791 30,73 16 13,29 14,31 6,14 27,79 23,039 28,05 17 12,19 13,01 5,69 23,17 23,237 25,72 18 1 U 3 11,90 5,28 19,52 23,400 23,69 19 10,39 10,94 4,92 16,59 23,535 21,91 20 9,64 10,11 4,59 14,23 23,649 20,33

Własności omawianego układu gwiazdowego (przy jednej z możliwych konfiguracji geomet­ rycznych) doskonale ilustruje rys. 3. Przedstawia on układ jedenastu elips, których wielkie osie zostały obrócone w stosunku do siebie wg wzoru 20{ = a ln A., gdzie A f jest długością wielkiej osi elipsy o numerze i Jak wynika z rysunku, obszary o największej gęstości gwiazd tworzą regularny wzorzec spiralny o dwóch ramionach, rotujący w przybliżeniu jak ciało

286

G. Chlewicki

Rys. 2.

a - 5 <1 .1 0

a * 46.7

Rys. 3. Trzy kinematyczne fale gęstościow e o różnych kątach nachylenia ramion otrzymane przez na­ łożen ie 11 eliptycznych pierścieni podobnych do przedstawionych na rys. 1 (K a 1 n a j s 1973)

sztywne z prędkością kątow ą Obszary o największej gęstości gwiazd związane są ze stałym i punktam i na poszczególnych elipsach,, co oznacza, że gwiazdy nie są na stałe związane z tym i obszarami, lecz poruszają się w stosunku do nich ze średnią prędkością kąto­ wą

X K.

Na każdej z elips na rys. 3 leżą dwa punkty o najwyższej gęstości gwiazd, położóne sy­ metrycznie względem środka Galaktyki. Pojedyncza gwiazda napotykać więc będzie obsza­ ry o zwiększonej gęstości z częstotliwością dw ukrotnie wyższą od tej, z jaką obiega elipsę,

Zależność kątowej prędkości rotacji Galaktyki ( a ) oraz częstotliw ości epicyklicznej (k) od odległości od centrum wg modelu Schmidta (L i n i in. 1969)

Struktura spiralna. Cz. /

287

tzn. z częstotliwością O trzym ujem y stąd niezwykle istotny wniosek: jeżeli nie uwzględ­ niamy dodatkowego pola grawitacyjnego związanego z oscylacjami gęstości dysku gwiazdo­ wego, to lokalna częstotliwość tych oscylacji jest równa częstotliwości epicyklicznej k.

Wniosek ten możemy również sform ułow ać w postaci związku dyspersyjnego dla kinem atycz­ nych fal gęstościowych. Tak jak we wszystkich rozważanych dalej przypadkach, związek ten zapiszemy w hastępującej postaci: po prawej stronie w ystępow ać będzie kwadrat lokalnej częstotliwości oscylacji gęstości określonej przez przyjęte warunki fizyczne, po lewej natom iast kw adrat częstotliwości „sprężania” dysku przez wzorzec spiralny. Ta ostatnia jest równa różnicy pom iędzy kątow ym i prędkościam i rotacji materii i wzorca pomnożonej przez liczbę ramion m. Znak różnicy wybieramy tak, aby częstość ta b y ła ujemna, gdy materia rotuje szybciej niż wzorzec. Dla kinem atycznych fal gęstości otrzymujemy:

— fi)]2 = k2(Ćo). * (8)

Jak pokazują rys. 2 i tab. 1, S2 . nie jest dokładnie stałe nawet w niewielkich przedziałach zmienności G. Sprawia to, że konfiguracja taka jak na rys. 3 będzie z czasem niszczona przez różniczkową rotację; kinem atyczne fale gęstościowe nie rozwiązują więc w p ełn i problem u trw ałości struktury spiralnej. Zadaniem teorii fal gęstościowych, uwzględniającej w pływ własnej grawitacji zaburzeń gęstości, jest w ięc poszukiwanie odpowiedzi na pytanie: czy ist­ nieje zaburzenie gęstości o spiralnej konfiguracji, którego pole grawitacyjne tak modyfikuje lokalną częstotliwość oscylacji gęstości, że jest ona, w dostatecznie szerokim zakresie zmien­ ności równa częstotliwości sprężenia dysku przez rotujący dokładnie jak ciało sztywne wzorzec związany z tą konfiguracją.

II. WPŁYW GRAWITACJI NA PROPAGACJĘ FAL GĘSTOŚCIOWYCH

Rozwiązanie sform ułowanego wyżej zagadnienia wymaga przyjęcia kilku założeń, które pozw oliłyby uniknąć najpoważniejszych trudności m atem atycznych. Przyjmujemy więc, że rozpatrywany przez nas dysk jest nieskończenie cienki, a dyspersja prędkości jest m ała w stosunku do prędkości rotacji. Z m atematycznego punktu widzenia zagadnienie sprowadza się do równoczesnego rozwiązania dwóch równań: bezzderzeniowego równania Boltzmanna:

b f ^ ~ b f . • b f , ( ~ - 2 b V \ b f 1 b V b f _

*

3

? + " as + 9 ~bd + \ 030 -~b8l~bZ - f t T o Te " 0 (9)

oraz równania Poissona:

v 2 y = 4nGo8(z), (10)

a = m » / / 6) du3, dd, (11)

gdzie: f jest funkcją rozkładu gwiazd w przestrzeni fazowej, V oznacza potencjał grawita­ cyjny, a — powierzchniową gęstość materii w dysku, w* — średnią masę gwiazdy, 6 — funkcję Diraca. Równanie Boltzmanna w przytoczonej postaci obowiązuje w układzie inercjalnym.

288

G. Chlewicki

Dalsze uproszczenie polega na założeniu, że spiralna fala gęstości stanowi niewielkie tylko zakłócenie podstawowego stacjonarnego stanu galaktyki. Wprowadzamy więc do rów­ nań ( 9 ) - ( l

l j f

i

V

w postaci:

gdzie indeks „ 0 ” odnosi się do stanu podstawowego, a indeks „1” — do zakłócenia. Omówi­ my dalej wyłącznie rozwiązania opisujące liniowe fale gęstościowe, uzyskane po zaniedba­ niu w równaniach wyrazów rzędu wyższego niż 1 względem wielkości opisujących zakłóce­ nie. Zakładać będziemy, że stan podstawowy charakteryzują: symetria osiowa, schwarzschil- dowski rozkład prędkości oraz równowaga dynamiczna zapewniona przez spełnienie związku:

Istotną konsekwencją założenia, że spiralna fala gęstościowa wprowadza niewielkie za­ burzenia do dysku, jest fakt, że m ały dodatkowy potencjał

V

j nie może znacząco zmienić torów pojedynczych gwiazd. Po wprowadzeniu potencjału Kj orbita gwiazdy nie odchyla­ jącej się znacznie od toru kołowego (jeśli dyspersja prędkości jest mała, to warunek ten jest spełniony dla większości gwiazd) pozostanie nadal orbitą epicykliczną. Oznacza to w szczegól­ ności, że częstotliwość indywidualnych oscylacji gwiazd będzie nadal równa częstotliwości epicyklicznej. Wpływ niewielkiego spiralnego pola grawitacyjnego modyfikuje natomiast znacz­ nie częstość kolektywnych oscylacji dysku.

Dążąc do wyjaśnienia trwałości struktury spiralnej, interesować się będziemy głównie takimi oscylacjami gęstości dysku galaktycznego, które nie prowadzą do grawitacyjnej niesta­ bilności. Dlatego rozpoczynamy rozważanie grawitacyjnych fal gęstościowych od przedsta­ wienia wyników przeprowadzonej przez T o o m r e ’ e g o (1969) analizy stabilności dys­ ków galaktycznych względem zakłóceń gęstości.

Przypuśćmy, że w pewnym punkcie dysku w odległości óoQ od centrum wytworzyliśmy nadwyżkę gęstości. Związane z tą dodatkową masą przyciąganie grawitacyjne, działając na położone w obszarze zaburzenia gwiazdy, zmierzać będzie do powiększenia początkowej nadwyżki gęstości. W nieskończenie cienkim dysku istnieją dwa czynniki przeciwstawiające się temu przyciąganiu. Pierwszym z nich jest rotacja. Wynikające z niej względne przyspiesze­ nia różnych punktów dysku są tym większe, im bardziej punkty te są od siebie oddalone. Stabilizujące działanie tych przyspieszeń powinno więc rosnąć ze wzrostem obszaru objęte­ go przez zaburzenie. Potwierdzenie tych przewidywań uzyskujemy analizując wyidealizowa- ny przypadek dysku o zerowej dyspersji prędkości. Rozważając dla uproszczenia radialną falę gęstościową

(o^

dla takiej fali powinno być proporcjonalne do exp

i (co t +

^ Ć o )) i przyj­ mując, że jej długość spełnia warunek-^r 1, otrzymujemy następujący związek dyspersyjny:

f

=

f 0

+

f i

(

12

)

S r ( c j ) c O = - T T . (13)

A. Stabilność dysku

Struktura spiralna. Cz. I 289

2tr

gdzie: k = jest radialną składową wektora falowego (zazwyczaj wielkość ta jest niezupeł­ nie ściśle nazywana radialną liczbą falową, a oQ niezakłóconą gęstością dysku. Z równania (14) otrzymujemy natychmiast, że zakłócenia o długości fali większej niż:

47r2 Ga„ KT = K

-x r = - r - 0 (15)

są stabilne, natomiast rotacja nie wystarcza do zapewnienia stabilności zaburzeń o X < A_.

'J _ ■«

Krytyczną długość fali \ T nosi nazwę długości fali Toomre’ego, a k T = y - radialnej liczby falowej Toomre’ego. Wartości dla modelu Schmidta rozkładu masy w fialaktyce podaje tab. 1. Trzeba jednak pamiętać, że oQ w równaniu (15) oznacza gęstość powierzchniową dysku, model Schmidta pozwala natomiast jedynie na obliczenie całkowitej gęstości powierzch­ niowej materii w Galaktyce (dysk + składowa sferyczna). Podane w tabeli wartości są więc tylko pewnym oszacowaniem \ T , choć dla zewnętrznych części Galaktyki, gdzie dysk po­ winien skupiać w sobie przeważającą część masy, oszacowanie* to powinno być dość dokład­ ne.

Jak wynika z tab. 1 wartości \ T oraz u> są zwykle podobnego rzędu. Oznacza to, że fale o długości bliskiej XT nie spełniają założenia g ^ l . Równanie (15) uzyskane więc zostało przez ekstrapolację związku (14) poza obszar, w którym spełnione są założenia przyjęte przy jego wyprowadzaniu. Pomimo tego zastrzeżenia \ T dobrze oddaje fizyczną istotę w pły­ wu rotacji na stabilność dysku gwiazdowego, przydatna w dalszych rozważaniach okaże się również formalna definicja \ T poprzez równanie (15).

Drugim czynnikiem działającym stabilizująco na dyski galaktyczne jest dyspersja prędkości. Istnienie ruchów przypadkowych sprawia, że gwiazdy, które znalazły się w obszarze zaburze­ nia gęstości będą miały tendencję do ucieczki z tego obszaru. Ucieczka ta następuje tym

n K <-< «•» v

A ./ A t

Rys. 4. Stabilność dysku gwiazdowego względem zaburzeń radialnych. Punkty położone w obszarze ograniczonym krzywą odpowiadają oscylacjom niestabilnym. Punkty leżące poza tym obszarem i na

290 G. Chlewicki

skuteczniej im mniejszy jest obszar zaburzenia, efekt ten wpływa więc na stabilność oscyla­ cji o małej długości fali. Rozpatrując ponownie fale radialne spełniające warunek 75 < 1,

CO

uwzględniając jednak niezerową dyspersję prędkości, otrzymujemy przedstawiony na rys. 4 związek pomiędzy dyspersją radialną cf , a długością fali odpowiadającą granicy stabilności (X^). Obszar ograniczony narysowaną tam krzywą odpowiada oscylacjom niestabilnym, puńkty położone poza tym obszarem oraz na samej krzywej charakteryzują stabilne fale radialne. Jak wynika z rysunku, dysk o dyspersji prędkości nie mniejszej niż:

_ V 5 2 8 5 7 _ 3 ’358 go '

k T k ^ ^

jest całkowicie stabilny względem zaburzeń radialnych.

B. Przybliżenie WKBJ. Związek dyspersyjny Lina i Shu Przyjmijmy, że zakłócający potencjał Kj ma postać:

Kj(u;, 0, r ) = exp i (<1> (w ) - mO + oj t), - (17) gęstość powierzchniowa będzie wówczas postaci:

0, t) = S(uj) exp i ( u t - m6), (18)

przy czym <4(w) zmienia się wolno w porównaniu z <t(cj). Gdyby udało się stwierdzić, że w dostatecznie szerokim przedziale wartości w potencjał (17) i gęstość (18) mogą spełniać równocześnie liniowe równania Boltzmanna i Poissona dla zaburzenia gęstości materii w dysku, to tym samym rozwiązalibyśmy problem sformułowany pod koniec rozdziału I. Jak bo­ wiem widać z równania (17), powierzchnie stałej fazy dla potencjału i gęstości o powyższej postaci rotują jak ciało sztywne z prędkością kątową:

O , = —

P m

(19)v

’

i w kierunku zgodnym z kierunkiem rotacji galaktyki. Wielkość: d $

k = l u '

(2°)

pełni funkcję radialnej liczby falowej z poprzedniego podrozdziału. Jeśli przyjmiemy, że <t<3) jest funkcją monotoniczną, to wówczas powierzchnie stałej fazy będą miały kształt spiralny, m - azymutalna liczba falowa będzie zarazem liczbą ramion, k < 0 odpowiada spiralom typu trailing, natomiasr k > 0 — spiralom typu leading*. Problem znalezienia związku

’ Ramiona typu trailing skierowane są przeciwnie do kierunku rotacji galaktyki, tzn. zwiększając u> przemieszczalibyśmy się wzdłuż takiego ramienia przeciwnie do kierunku rotacji. Ramiona typu leading skierowane są zgodnie z kierunkiem rotacji.

Struktura spiralna. Cz. I 291 dyspersyjnego dla fali określonej równaniami (17) i (18) rozwiązali L i n i S h u ( L i n 1968; L i n i in. 1969; S h u 1970a, b) przy użyciu metody nazywanej, przez analogię ze sto­ sowaną w mechanice kwantowej metodą rozwiązywania równania Schródingera, przybliże­ niem WKBJ. W metodzie tej zakładamy, że |& | u> > 1, a następnie zaniedbujemy w rów­ naniach wszystkie człony, których rząd względem (| k | c j f 1 jest większy od ustalonej wartości. Założenie | k | co 1 oznacza, że kąt nachylenia ramion:

i = arc

tg[ |I T ^ '] (21)

jest m ały, ramiona są więc niemal kołowe. Oznacza to,że pole grawitacyjne wzorca spiral­ nego nie powinno różnić się zbytnio od pola wytworzonego przez radialną falę gęstościową rozważaną w poprzednim podrozdziale. Dlatego też oczekiwać możemy, że uzyskane przez T o o m r e ’ e g o wyniki dotyczące stabilności dysków względem zaburzeń radialnych po­ zostaną słuszne również i w obecnym przypadku.

W najniższym względem ( k w )~ 1 rzędzie przybliżenia otrzymujemy związek dyspersyjny, który dalej będziemy nazywać związkiem L—S:

K S 2 P - n ) ] 2 = k 2 - 2ttG |fc| oqFv(x) , ( 2 2 ) gdzie: 0 3 ) 1 * GJix)

=2

- J C O S ,5 e x p [ - x ( l + c o s s ) ] d s , ( 2 4 ) — TT k 2c2 x = - y = 0 ,2 8 5 7 Q , (2 5 ) K KT m(£2

- J2)

* = ---

h

--- « (26)

k T oznacza radialną liczbę falową Toomre’ego, cf jest radialną dyspersją prędkości, a Q = = crlcrmm jest stosunkiem tej dyspersji do minimalnej wartości zapewniającej stabilność dysku, określonfej przez równanie (16), v jest częstotliwością „sprężania” materii dysku przez wzorzec wyrażoną w jednostkach częstotliwości epicyklicznej. Związek dyspersyjny (22) jest, jak można było oczekiwać, bardzo podobny do związku dyspersyjnego (14), częstość sprężania materii przez wzorzec nie jest jednak równa a), lecz a) - mO., a gęstość powierzchniową w równaniu (14) należy zastąpi; efektywną gęstością = % F ,(x ). Po­ równując z kolei związek L -S ze związkiem (8) dla kinematycznych fal gęstościowych wi­ dzimy, że wpływ grawitacji sprowadza się do redukcji lokalnej częstości oscylacji gęsto­ ściowych poniżej częstotliwości epicyklicznej. Porównanie z równaniem (14) wykazuje na­ tomiast, że wpływ grawitacji jest ograniczony przez dyspersję prędkości. Wynika to z faktu, że < aQ, ponieważ F y( x) < 1 w całym obszarze zmienności v i x (^„(x) -* 1 dla x -*0).

292 G. Chlewicki

Związek dyspersyjny L—S zapisywany jest często w postaci bezwymiarowej:

k

- j ^ O - * ' 2 ) = F M (27)

Związek (22) lub (27) może być słuszny jedynie dla M < 1. Dla |j>| > 1 niemożliwe jest bowiem znalezienie rozwiązania spełniającego równocześnie równanie Boltzmanna i Poissona (por. równanie (53) w pracy S h u 1970b). Punkty określone przez warunek v = +1 noszą nazwę rezonansów Lindblada — odpowiednio: wewnętrznego i zewnętrznego (zgodnie z po­ łożeniem w stosunku do centrum galaktyki). Jak wynika z równania (26), rezonanse Lin­ dblada są punktami, w których częstotliwość „sprężania” materii przez falę gęstościową staje się równa częstotliwości oscylacji indywidualnych gwiazd, tzn. częstotliwości epicyklicznej.

Nierówność \v\ < 1 po wykorzystaniu definicji (26) sprowadza się do układu nierówności określającego obszar, w którym może istnieć wzorzec:

S 2 - — < n < f t + — .

m P m

(28)

Obszar ten jest tym węższy, im większe jest m, co może tłum aczyć, dlaczego stosunkowo rzadko spotyka się galaktyki o m > 2 . Przypadek m = 2 będzie jedynym, którym będziemy się dalej zajmować, choć teoria w przedstawionej postaci nie wyklucza spiral o m = 1.

Wyprowadzenie związku dyspersyjnego L—S staje się możliwe po przyjęciu obok pod­ stawowych założeń, które zostały wyżej opisane, kilku dalszych uproszczeń. Jednym z nich jest przyjęcie, że niezakłócony (tj. odbywający się jedynie pod wpływem potencjału VQ) ruch gwiazdy odbywa się po orbicie epicyklicznej*. Przyjęcie tych założeń sprawia, że wy­ prowadzenie związku L—S nie jest słuszne w pobliżu rezonansów Lindblada (C o n t o • p o u 1 o s 1973) oraz w pobliżu tzw. rezonansu cząsteczkowego (particle resonance) lub inaczej obszaru korotacji, w którym materia rotuje z tą samą prędkością co wzorzec (f2 = = tip , v = 0). Jak przekonamy się dalej, pomimo tych ograniczeń związek dyspersyjny L—S obowiązuje niemal w całym obszarze obejmującym optyczną strukturę spiralną.

Związek dyspersyjny L—S nie zależy od znaku liczby falowej k ani od znaku częstotli­ wości v. Jego rozwiązanie wystarczy więc przedstawić tylko dla im k dodatnich. Rysunek 5 przedstawia v jako funkcję bezwymiarowej długości fali dla dysku znajdującego się na granicy stabilności (co oznacza, że cf = cm in i Q = 1). Każdej wartości v odpowiadają dwie różne wartości X/X^,. Wynika stąd, że dla określonej wartości otrzymujemy dwa rozwią­ zania związku dyspersyjnego, a więc dwa różne wzorce spiralne. Dla jednego z tych

rozwią-* Konieczność wprowadzenia do rozważań równań niezakłóconej orbity gwiazdy wynika z tego, ie formalizm L i n a i S h u opięra się na doprowadzeniu równania Boltzmanna do równania całkowego postaci:

Przejście to jest możliwe wtedy, gdy ó , 6, u>, i 0*zależą od czasu tak, jak współrzędne gwiazdy poruszają­ cej się po niezakłóconej orbicie przechodzącej w chwili t przez punkt przestrzeni fazowej o współrzęd­ nych u j

,

e, S3, e.

Struktura spiralna. C l. 1 293

Rys. 5 . Związek dyspersyjny L - S dla dysku gwiazdowego znajdującego się na granicy stabilności (Q = 1). Wykres przedstawia bezwymiarową częstotliw ość jako funkcję bezwymiarowej d łu gości fali (S h u 1970b)

zań długość fali zmierza do zera w pobliżu rezonansu Lindblada (jest to tzw. postać krótkofalowa), dla drugiego natomiast długość fali w pobliżu rezonansu dąży do nieskoń­ czoności (postać długofalowa). Ze względu jednak na duże wartości \ j , jedynie postać krótkofalowa spełnia założenie 1, natomiast postać długofalowa ma jedynie formalne znaczenie matematyczne.

Niezależność związku L—S od znaku k ma poważne konsekwencje fizyczne. Oznacza ona, że dla każdej wartości v związek dyspersyjny jest spełniony przez dwie wartości k (nawet wtedy, gdy ograniczymy się tylko do postaci krótkofalowej), różniące się jedynie znakiem. Dla danej wartości otrzymujemy więc dwa wzorce krótkofalowe — jeden z nich jest typu trailing (k < 0), drugi natomiast typu leading (k > 0). Teoria, którą się zaj­ mujemy nie wyróżnia w żaden sposób jednego z tych wzorców. Ogólne rozwiązanie związku dyspersyjnego L—S powinno więc być sumą ob« tych rozwiązań (o równych amplitudach). Suma ta nie przedstawia już wzorca spiralnego, lecz falę o charakterze „obracającego się koła wozu” , dla której powierzchnie stałej fazy mają przebieg radialny. Rezultat ten jest przejawem działania ogólniejszego twierdzenia noszącego nazwę twierdzenia antyspiralnego (L y n d e n-B e l l i O s t r i k e r 1967). Twierdzenie to obowiązuje w układach, w któ­

rych nie został wyróżniony żaden kierunek upływu czasu. W rozważaniach, które przepro­ wadziliśmy, pominęliśmy proces dyssypacji energii (zaniedbując zderzenia) wprowadzający automatycznie „strzałę czasu” . W takim wypadku dopiero uwzględnienie procesów wy­ miany energii pomiędzy falą a poszczególnymi gwiazdami, zachodzących w obszarach rezo­ nansowych (które również wyłączyliśmy z rozważań) wyróżnia kierunek upływu czasu. For­ malna analiza niezależna od przybliżenia WKBJ (S h u 1970a) wykazuje, że uwzględnienie rezonansów istotnie sprawia, iż twierdzenie antyspiralne przestaje obowiązywać.

Jak pokazuje rys. 6 (v jako funkcja \ = - j^ - ), parametr Q ma poważny wpływ na prze­ bieg wzorca spiralnego. Niestety, poza bezpośrednim otoczeniem Słońca nie mamy prawie żadnych danych o dyspersji prędkości w dyskach gwiazdowych. Rozważania teoretyczne prowadzą jedynie do wniosku, że Q nie powinno być mniejsze od jedności. Dla Q < 1 możliwe są bowiem niestabilne zakłócenia dysku, które mogą zwiększać ruchy przypadko­ we aż do osiągnięcia Q = 1 (S h u 1970b). Nie ma natomiast zgodności co do konkretnej

294 G. Chlewicki

Rys. 6.

wartości Q, nie wiadomo również, czy Q w istocie jest niezależne od co. Zagadnieniem tym zajmiemy się obszerniej w rozdziale poświęconym konfrontacji teorii z obserwacjami. Rysu­ nek 6 ilustruje ważną właściwość rozwiązań z Q > 1 — istnienie w okół obszaru korotacji szerokich stref w zbronionych (np. dla Q = 2 strefa ta rozciąga się aż poza v = 0,7). Nie stwarza to jednak w istocie poważniejszych trudności. Przy odpowiednim doborze £2 obszar dozwolony może jeszcze obejmować dość znaczną część galaktyki nawet przy Q w yraźnie

W dokumencie Postępy Astronomii nr 4/1980 (Stron 38-55)