Spis literatury
Rozdział 4 Nieabelowe teorie cechowania
6. Dowieść inwariantności lagranżjanu (4.17) względem przekształceń C, P, T
Inwariantność względem P -przekształceń jest oczywista, ponieważ przy takich przekształceniach wszystkie wielkości zmieniają się według prawa tensorowego.
Przy C – przekształceniach :
Dµϕ = ∂µϕ + Aµϕ → (Dµϕ )* = (Dµϕ† )T ; Fµν → F*µν (4.41) Dlatego :
£ → (1/2e2 ) (tr Fµν2 )* + (Dµϕ )T (Dµϕ† )T – V(ϕTϕ* ) (4.42) Uwzględniając, że wielkości Fµνa są rzeczywiste :
( tr (tatb ) )* = ½ δab
jak również dokonując transponowania dwóch ostatnich składowych, otrzymujemy, że :
£ → – ¼ ( Fµνa )2 + Dµϕ† Dµϕ – V(ϕ†ϕ ) = £ (4.43) Inwariantność działania względem T – przekształceń dowodzi się analogicznie.
4.1.2 Nieabelowe teorie cechowania.
W poprzednim podrozdziale na przykładzie najprostszego modelu wprowadziliśmy nieabelowe pola cechowania.
Teraz należy bardziej ściśle opisać podstawowe własności pól Y-M i podąć ogólniejszą funkcje Lagrange’a, opisującą oddziaływanie nieabelowego pola cechowania z polami materii.
W charakterze grupy cechowania wybierzemy pewną zwartą grupę Liego G. Wtedy (dodatek A.2 ) algebra Liego A grupy G, może być przedstawiona w postaci iloczynu prostego pewnej liczby algebr prostych i algebr u(1) :
A = A1 × A2 × … × An (4.44)
Dla uproszczenia będziemy zakładali, że grupa G również jest iloczynem prostym pewnej liczby prostych grup zwartych i grup U(1) :
G = G1 × G2 × … × Gn (4.45)
Aby zrozumieć jak powinna być zbudowana funkcja Lagrange’a w tym przypadku, rozpatrzymy pole skalarne, leżące w przestrzeni pewnej reprezentacji grupy cechowania G. Generatory G w takiej reprezentacji reprezentują sobą rodzinę generatorów TGk każdej z grup Gk :
Ta = { TaG1 , TaG2, ... , TaGn } (4.46)
(Przypomnijmy, że zakładamy słuszność równości (4.10), dzięki której możemy przyjąć, ze indeksy górne i dolne mogą być nie rozróżnialne )
Standardowo, przedstawmy pochodną kowariantną w postaci sumy standardowej pochodnej i pewnego elementu algebry Liego A :
n
Dµϕ = ∂µϕ + Aµϕ = ∂µϕ + Σ AµGk ϕ (4.47)
k=1 gdzie
n Aµ ≡ Σ AµGk k=1
a każde pole AµGk jest elementem algebry Liego Ak i może być rozłożone po generatorach TGk W zadaniu 1 pokazano, że przy przekształceniach cechowania z parametrem :
ω = ωG1ωG2 ... ωGn (4.48)
pochodna kowariantna (4.47) zmienia się według prawa : Dµϕ → ωDµω
jeśli :
AµGk → ωGk AµGk ωGk–1 + ωGk ∂µωGk–1 (4.49)
(Parametry ωGk są unitarne na mocy zwartości grupy cechowania G, zobacz dodatek A.1 )
Zatem, każde z pól AµGk w nietrywialny sposób zmienia się tylko pod działaniem przekształceń z grupy Gk i jest inwariantne względem przekształceń ze wszystkich pozostałych grup Gi , i ≠ k.
Stąd wynika, ze w przypadku, jeśli algebra Liego nie jest prosta, to wielkość tr ( Fµν )2 nie będzie jedynym gauge – inwariantnym obiektem, który może być zbudowany z pól AµGk
Rozważmy bowiem tensory :
FµνGk = ∂µ AνGk + [ AµGk , AνGk ] (4.50)
Jest jasne, ze przy przekształceniach cechowania z parametrem (4.48) przekształcają się one według prawa :
FµνGk → ωGk FµνGk ωGk–1 (4.51)
Zatem, n wielkości tr ( FµνGk2 ) jest gauge – inwariantne.
Dlatego też funkcja Lagrange’a może być przedstawiona w postaci kombinacji liniowej takich inwariantów o dowolnych współczynnikach :
n
£YM = Σ (1/2eGk2 ) tr ( FµνGk )2 (4.52)
k=1
Pola AµGk przy tym dogodnie jest rozłożyć względem generatorów grup Gk następująco
AµGk = ieGk AaµGk taGk (4.53)
Wtedy bowiem lagranżjan pól Y-M, odpowiadających grupie cechowania G, może być zapisany w postaci : n
£YM = – ¼ Σ ( FaµνGk )2 (4.54)
k=1
tak, że współczynniki stojące przed wszystkimi składowymi okazują się być takie jak w przypadku elektrodynamiki.
Zatem w przypadku, jeśli grupa cechowania reprezentuje sobą iloczyn prosty grup zwartych i grup U(1), w teorii będą istniały różne stałe sprzężenia eGk, liczba których będzie równa liczbie czynników zawartych w iloczynie prostym.
Jest to istotna różnica od rozpatrywanego w poprzednim podrozdziale, przypadku grupy prostej SU(n), dla której mogła istnieć tylko jest stała sprzężenia.
Teraz przejdziemy do budowy funkcji Lagrange’a dla teorii cechowania, która składa się z lagranżjanu pól Y-M i lagranżjanów pól materii, oddziałujących z polem cechowania.
Przykładowo, w przypadku pola skalarnego gauge- inwariantny lagranżjan można zapisać tak :
£ϕ = Dµϕ† Dµϕ – V(ϕ†ϕ ) (4.55)
Przy tym pola skalarne w zasadzie mogą należeć do przestrzeni dowolnej (przy czym nie obowiązkowo przywiedlnej ) reprezentacji grupy cechowania.
Dlatego w pochodnej kowariantnej (4.47) pola AµGk powinny być rozłożone względem generatorów grup Gk w odpowiedniej reprezentacji, która oznaczymy jako TGk )
( Przypomnijmy, że generatory grupy Gk w reprezentacji fundamentalnej oznaczamy jako tGk. Są one unormowane przez warunek (4.10), który również ustala normalizacje generatorów TGk )
Zatem, w przypadku ogólnym pochodna kowariantna może być zapisana następująco : n n
Dµϕ = ∂µϕ + Σ AµGk ϕ = ∂µϕ + Σ ieGk AaµGk TaGk ϕ (4.56) k=1 k=1
Zauważmy, że w przypadku, kiedy pole ϕ leży w przestrzeni reprezentacji dołączonej grupy cechowania, dogodniej bywa wykorzystać inną formę zapisu pochodnej kowariantnej
W zadaniu 2 pokazano, że pochodna kowariantna w reprezentacji dołączonej (zobacz dodatek A.4) może być równoważnie zapisana w postaci :
Dµϕ = ∂µϕ + [ Aµ, ϕ ] (4.57)
jeśli przyjmiemy : Aµ = iaAa
µta Oraz ϕ = ieaϕa ta
W zadaniu 3 pokazano, że dla pochodnej kowariantnej słuszna jest zasada Leibnitza :
Dµ (ϕ1ϕ2 ) = (Dµϕ1 )ϕ2 + ϕ1Dµϕ1 (4.58)
oraz wzór całkowania przez części :
∫
d4x ϕ1† Dµϕ2 =∮
dSµ ϕ1†ϕ2 –∫
d4x Dµϕ1†ϕ2 (4.59)W zadaniu 4 dowiedziono następującej tożsamości : n
[ Dµ , Dν ] ϕ = Σ FµνGk ϕ (4.60)
k=1 gdzie :
FµνGk = ieGk FaµνGk TaGk
W szczególności dla przypadku prostej grupy Liego U(1) :
[ Dµ , Dν ] ϕ = Fµνϕ (4.61)
Aby zbudować oddziaływania pola Y-M z polem spinorowym, należy rozpatrzyć kolumnę, której każdy element jest pewnym spinorem. Przy tym macierze γ działają tylko na indeksy spinorowe każdego elementu takiej kolumny, podczas gdy macierze i generatory grupy cechowania działają tylko na elementy kolumny, a nie działają wcale na indeksy spinorowe.
Przykładowo, w przypadku grupy cechowania SU(2), której dowolny element może być zapisany jako :
ω = ( a b ), gdzie | a |2 + | b |2 = 1 (4.62)
( –b* a* )
łączne działanie ω i macierzy γ na spinor może być przedstawione tak :
Pochodna kowariantna pola spinorowego definiowana jest tak samo jak w przypadku pola skalarnego : n
Dµψ = ∂µψ + Σ AµGk ψ (4.64)
k=1
Ponieważ obecność indeksów spinorowych nie wpływa w żaden sposób na prawo przekształcenia cechowania, to w przypadku, jeśli ψ → ωψ, pochodna kowariantna zmienia się według prawa :
Dµψ → ωDµ ψ (4.65)
Dlatego, gauge- inwariantna funkcja Lagrange’a może być zapisana następująco :
£ψ = iψ– γµ Dµψ – mψ ψ–ψ (4.66) Ostatecznie, funkcja Lagrange’a dla pola Y-M, oddziałującego z polem skalarnym i spinorowym, z zwartą grupą
cechowania :
G = G1 × G2 × … × Gn
gdzie Gi grupy proste lub U(1), może być zapisana tak : n
£ = £YM + £ϕ + £ψ = Σ (1/2eGk2 ) tr ( FµνGk )2 + Dµϕ† Dµϕ – V(ϕ†ϕ ) + iψ– γµ Dµψ – mψ ψ–ψ (4.67) k=1
gdzie V(ϕ†ϕ ) – pewna gauge- inwariantna funkcja, a pochodne kowariantne pól skalarnego i spinorowego są określone przez wzory (4.47) i (4.64).
Lagranżjan (4.67) jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania :
ϕ → ωϕ , ψ → ωψ (4.68)
AµGk → ωGk AµGk ωGk –1 + ωGk∂µωGk –1 (4.68)
z parametrem ω(x) = ωG1ωG2 ... ωGn
W zadaniu 5 pokazano, że dla modeli (4.67) ma miejsce n (liczba czynników w grupie G ) praw zachowania : Dµ jµ
Gk= ∂µ jµ
Gk + [ AµGk , jµGk ] = 0 (4.69) gdzie prądy jµGk są określone przez relacje :
jµGk = ie jaµGk taGk (4.70)
jaµGk = ie( ϕ† TaGk Dµϕ – Dµϕ† TaGkϕ ) + eψ–γµ TaGkψ (4.70)
Zadania.
1. Dowieść, że przy lokalnych przekształceniach cechowania z parametrem ω = ωG1ωG
2 ... ωGn należącym do grupy
G = G1 × G2 × … × Gn
pola cechowania przekształcają się według prawa :
AµGk → ωGk AµGk ωGk –1 + ωGk∂µωGk –1 (4.71)
W poprzednich podrozdziałach otrzymaliśmy, że jeśli przy przekształceniach cechowania :
Dµϕ = ( ∂µϕ + Aµ) ϕ → ωDµϕ (4.72)
to pole Aµ powinno się zmieniać według prawa : Aµ→ ωAµω–1 + ω∂µω–1
Dlatego dla prawidłowego prawa przekształcenia pochodnej kowariantnej wymagane jest, aby : n n
Σ AµGk → ω( Σ AµGk )ω–1 + ω∂µω–1 (4.73)
k=1 k=1
Ponieważ ω = ωG1ωG2 ... ωGn i jednocześnie wszystkie macierze ωGk komutują między sobą, to :
ω∂µω–1 = Σ ωGk ∂µωGn–1 (4.74)
ωAµGk ω–1 = ωGk AµGk ωGn–1 (4.74)
gdzie wykorzystano to, że pole AµGk z racji swojej konstrukcji komutuje ze wszystkimi macierzami ωGnł przy k ≠ ł.
Dlatego : n n
Σ AµGk → Σ ( ωGk AµGk ωGn–1 + ωGk∂µωGk–1 ) (4.75)
k=1 k=1
Przy tym ponieważ AµGk i ωGkAµGk ωGk–1 + ωGk∂µωGk–1 można rozłożyć tylko po generatorach taGk,to na mocy liniowej niezależności generatorów :
AµGk → ωGkAµGk ωGk–1 + ωGk∂µωGk –1 Co właśnie mieliśmy dowieść.
2. Dowieść, że pochodna kowariantna pola ϕ = ieϕa ta leżącego w przestrzeni reprezentacji dołączonej grupy cechowania, może być zapisana w postaci :
Dµϕ = ∂µϕ + [ Aµ, ϕ ] (4.57)
jeśli Aµ ≡ ieAaµ ta
Pochodna kowariantna pola ϕ lezącego w pewnej reprezentacji grupy G , jest definiowana tak :
Dµϕ = ∂µϕ + Aµϕ (4.78)
Gdzie Aµ = ieAa
µ Ta , a ϕ - jest to kolumna z elementami ϕa
W przypadku, jeśli ϕ leży w reprezentacji dołączonej, to może być ono zapisane również w postaci rozkładu po generatorach jako ϕ = ieϕa ta jednocześnie (zobacz dodatek A.4) generatory grupy cechowania w reprezentacji dołączonej mają postać :
( Ta )b
c = ifacb Daltego :
(Dµϕ )b = ∂µϕb + ieAaµ (Ta)bc ϕc = ∂µϕb – efacbϕcAaµ (4.79)
Mnożąc to równanie przez ietb i uwzględniając, że : [ ta , tc] = ifacbtb
na mocy zwartości rozpatrywanej grupy, otrzymujemy że :
Dµϕ = ∂µϕ + ie2facb tb Aaµ ϕc = ∂µϕ – e2 [ ta , tc] Aaµ ϕc (4.80)
Jesli teraz z definicji przyjmiemy : Aµ= ieAaµ ta
to powyższe wyrażenie można zapisać tak :
Dµϕ = ∂µϕ + [ Aµ, ϕ ] (4.81)
Łatwo sprawdzić, że taki wzór będzie słuszny również w przypadku, jeśli pole w reprezentacji dołączonej i pole cechowania można rozłożyć względem generatorów dowolnej innej reprezentacji :
ϕ = ieϕa Ta , Aµ = ie Aa
µ Ta (4.82)