Dowieść, że równanie (6.1800 może być przepisane w postaci (6.181)

Wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej, lewa cześć równania (6.181) może być zapisana tak :

∇µ Fµν

= ∂µ Fµν + ΓµµαFαν

+ ΓνµαFµα

(6.190)

Ostatnia składowa w tym wyrażeniu jest równa zero na mocy symetrii symboli Christoffela i antysymetrii tensora pola.

Podstawiając do drugiej składowej jawna postać symboli Christoffela (6.80) i wykorzystując tożsamość (6.88), Dzięki takiej równości, równanie (6.181) po pomnożeniu przez √−g przechodzi w równanie (6.180).

6.3 Formalizm tetradowy.

Przy budowaniu działania dla pól spinorowych w zakrzywionej czasoprzestrzeni pojawiają się pewne trudności.

Są one związane z tym, że pola spinorowe przy przekształceniach ogólnie kowariantnych z konieczności powinny pozostawać niezmienione.

W istocie – przy przekształceniach ogólnie kowariantnych wektory leżące w przestrzeni stycznej do zadanego punktu x0µ np. dxµ

zmieniają się według prawa : dx’µ = ωµν dxν

gdzie ωµν ≡ ∂x’µ/ ∂xν - ogólnie mówiąc, dowolna niezdegenerowana macierz, która należy do grupy GL(4, R).

Jeśli taka macierz również jest elementem O(1, 3), to lokalnie takie przekształcenia sprowadzają się do przekształceń z grupy Lorentza. Ponieważ grupa Lorentza jest podgrupa GL(4, R), to dowolna reprezentacja GL(4, R) indukuje

reprezentacje O(1, 3). Jednakże stwierdzenie odwrotne nie jest słuszne – dla grupy Lorentza istnieją reprezentacje, które nie są otrzymywane z reprezentacji GL(4, R). W szczególności, wiadomo, że reprezentacji spinorowej grupy Lorentza nie odpowiada żadna reprezentacja GL(4, R).

Dlatego tez przy przekształceniach ogólnie kowariantnych spinor powinien zachowywać się jak zbiór czterech pól skalarnych.

Niezmiennymi będą również (tak samo jak przy przekształceniach Lorentza ) macierze γ. Dlatego przy przekształceniach ogólnie kowariantnych wielkości typu ψ−γmψ ( γm – zbudowane wcześniej macierze γ, m = 0, ... , 3 ) przekształcają się jak skalary.

Zatem, dla opisania pól spinorowych w zakrzywionej przestrzeni należy znaleźć pewien formalizm, który pozwoli przejść od przekształceń ogólnie kowariantnych do przekształceń grupy Lorentza. W celu zbudowania takiego formalizmu na początku zapiszemy prawo przekształcenia metryki :

g’µν = ( ∂xα/∂x’µ ) ( ∂xβ/x’ν ) gαβ (6.192)

Wychodząc od niego, możemy dowieść (zadanie 3, podrozdział 6.1.2 ), że jeśli zadać pewien punkt x0, to istnieją takie (tzw. lokalnie inercjalne ) współrzędne x’µ w których w punkcie x0 metryka pokrywa się z metryką Minkowskiego.

Przy tym w przypadku ogólnym nie można przejść do takich współrzędnych jednocześnie nawet w małym otoczeniu wybranego punktu.

Niech xµ - będzie dowolnym układem współrzędnych, a x’m, m = 0, ... , 3 – lokalnie inercjalnym układem współrzędnych w pewnym wcześniej wybranym punkcie. Dla wygody dalszych oznaczeń wszystkie indeksy które odnoszą się do lokalnie inercjalnego układu współrzędnych będziemy pisali literami łacińskimi, a indeksy odnoszące się do wejściowego układu współrzędnych – literami greckimi.

Wtedy zgodnie z wzorem (6.192) w rozpatrywanym punkcie macierz :

emµ ≡ ∂xµ /∂x’m (6.193)

będzie spełniała warunek :

ηmn = emµ gµν enν (6.194)

Jeśli teraz założymy, że lokalnie inercjalny układ współrzędnych x’m jest układem ustalonym, to przy przekształceniach ogólnie kowariantnych wielkość emµ będzie zmieniała się według prawa :

e’mµ = (∂x’µ /∂xν ) emν (6.195)

i może być rozpatrywana jako zbiór czterech pól wektorowych.

Jest oczywiste, że takie prawo przekształcenia prowadzi do tego, ze wzór (6.194) jest inwariantny względem przekształceń ogólnie kowariantnych.

Jednakże wybór lokalnie inercjalnych współrzędnych w zadanym punkcie nie jest jednoznaczny.

Wzór (6.194) pozostaje inwariantny przy lokalnie lorentzowskich przekształceniach : eµ

m(x) → e’µ

m(x) = Λmn(x) eµ

n(x) (6.196)

gdzie macierz Λmn reprezentuje sobą dowolny element grupy Lorentza O(1, 3).

Przekształcenia (6.196) odpowiadają przejściu od pewnych lokalnie inercjalnych współrzędnych x do innych lokalnie inercjalnych współrzędnych x’, które są określone wzorem :

x’m = Λm

nxn (6.197) Przy tym należy zauważyć, ze na mocy warunku pseudoortogonalności macierzy Λ (zobacz dodatek A.1 ) ma miejsce równość :

( Λ−1 )mn = ηmk Λł

k ηłn = Λnm (6.198)

Zadamy teraz pole tetrady emµ, które z definicji spełnia warunek (6.194) w każdym punkcie czasoprzestrzeni.

Dogodnie będzie również wprowadzić pole emµ, które z definicji spełnia równania : emν emµ = δνµ , enµ emµ = δm

n (6.199)

( drugie z nich wynika z tego, że jeśli AA−1 = 1, to A−1A = 1 na mocy własności macierzy odwrotnej ) Z pomocą takich wzorów, jak również równości (6.194) łatwo otrzymujemy, że :

gµν = emµ emν (6.200)

gdzie standardowo lokalnie lorentzowskie indeksy opuszczamy z pomocą metryki Minkowskiego ηmn.

Zauważmy, że obliczając wyznacznik obu stron takiej równości, można otrzymać użyteczną tożsamość :

det emµ = √−g (6.201)

Jest oczywiste, że przy przekształceniach ogólnie kowariantnych i przekształceniach lokalnie lorentzowskich pole emµ będzie się zmieniało zgodnie z wzorami :

e’mµ = (∂xν/∂x’µ ) emν ; e’mµ = Λm

n enµ (6.202)

Innymi słowy, pole tetrady posiada jeden indeks tensorowy ze względu na grupę przekształceń ogólnie kowariantnych (takie indeksy będziemy nazywali einsteinowskimi ) i jeden indeks tensorowy ze względu na lokalna grupę Lorentza (takie indeksy będziemy nazywali lorentzowskimi )

Jako tego następstwo, przy zawężeniach z polem tetrady można przekształcać indeksy einsteinowskie w lorentzowskie i na odwrót,

Przykładowo, przy zawężeniu pól emµ i enν z tensorem Tνµ otrzymamy skalar ze względu na grupę przekształceń ogólnie kowariantnych :

Tnm = emµ enν Tνµ (6.203)

Jednakże przy przekształceniach lokalnie lorentzowskich tj. przy przejściu w rozpatrywanym punkcie do innych współrzędnych lokalnie lorentzowskich, różniących się od współrzędnych wejściowych o przekształcenie (6.197) z parametrem Λ, zależnym od współrzędnych, taki skalar będzie się zmieniał jak tensor względem przekształceń Lorentza : T’nm = Λma Λn

b Tb

a = Λma ( Λ−1 )bn Tba (6.204)

Odwracając wzór (6.203) z pomocą pierwszej równości (6.199), możemy przekształcić tensor lokalnie lorentzowski Tnm w tensor ze względu na grupę przekształceń ogólnie kowariantnych :

Tνµ = emµ enν Tnm (6.205)

Indeksy einsteinowskie podnosimy i opuszczamy z pomocą tensorów metrycznych odpowiednio gµν i gµν, a indeksy lokalnie lotrentzowskie – z pomocą metryki Minkowskiego ηmn i ηmn np. gµνemµ = emν.

Ponieważ parametr przekształceń lokalnie lorentzowskich zależy od współrzędnych, to standardowa pochodna od tensora lokalnie lorentzowskiego nie będzie już dalej tensorem. Dlatego, należy zbudować odpowiednią pochodną kowariantną.

W tym celu rozpatrzymy np. pole wektorowe Ba i zdefiniujemy jego pochodną kowariantną następująco :

∇µ Ba = ∂µBa + ωµab Bb (6.206) gdzie ωµab - pewne pole, które nazywa się koneksją spinorową.

Ponieważ pochodna kowariantna powinna być tensorem ze względu na grupę przekształceń ogólnie kowariantnych, to pod ich działaniem koneksja spinorowa powinna przekształcać się według następującego prawa :

ω’µab = (∂xν/∂x’µ ) ωνab (6.207)

Przy przekształceniach lokalnie lorentzowskich Ba → Λab Bb a zatem, pochodna kowariantna powinna zmieniać się według prawa :

∇µ Ba→ Λab ∇ µ Bb (6.208)

Z takiego równania możemy otrzymać ( zadanie 1) prawo przekształcenia koneksji spinorowej. Przy tym dogodnie jest wykorzystywać następujące oznaczenia macierzowe.

Zbudujemy macierze ωµ i Λ przyjmując z definicji :

( ωµ )ab ≡ ωµab ; ( Λ )ab ≡ Λab (6.209)

Wtedy, zgodnie z wynikami zadania 1, ze wzoru (2.208) wynika, że przy przekształceniach lokalnie lorentzowskich koneksja spinorowa zmienia się zgodnie z prawem :

ω’µ = ΛωµΛ−1 + Λ∂µΛ−1 (6.210) Łatwo możemy zauważyć, że z dokładnością do oznaczeń, takie wyrażenie pokrywa się z prawem przekształceń

cechowania dla pola Y-M.

Dla przypadku nieskończenie małych przekształceń Lorentza z Λ = exp(α) ≅ 1 + α, ze wzoru (6.210) wynika (zadanie 2 ), że :

δωµab = −∇µαab (6.211)

Przy tym pochodna kowariantna dowolnego tensora może być określona zgodnie z następującą zasadą : dla indeksów einsteinowskich budowana jest ona z pomocą wzoru (6.85), a dla lokalnie lorentzowskich dodajemy zawężenia z koneksja spinorową, których postać ilustruje następujący przykład :

∇µ Taβb = ∂µTaβb−Γγµβ Taγb + ωµbc Taβc−ωµca Tcβb (6.212) W zadaniu 3 pokazano, że taka wielkość przy lokalnie lorentzowskich i ogólnie kowariantnych przekształceniach

zmienia się tak samo jak tensor Taβb.

Będziemy przyjmowali, że pochodna kowariantna od tensora ηab jest równa zero. Wtedy, jak pokazano w zadaniu 4, koneksje ωµab okazuje się antysymetryczna po ostatnich dwóch indeksach :

ωµab = −ωµba (6.213)

przy czym ostatni indeks koneksji jest opuszczany przy pomocy metryki Minkowskiego ηab.

To oznacza, że pochodna kowariantna dla górnych i dolnych indeksów lorentzowskich można zapisać jednoznacznie.

Przykładowo :

∇µ Taβb = ∂µTaβb− Γγµβ Taγb + ωµbc Taβc− ωµa

c Tcβb (6.214) Zauważmy, że dla dowolnego pola ϕi (poprzez i jest oznaczany cały zbiór indeksów ), które nie posiada indeksów einsteinowskich i przekształca się zgodnie z pewną reprezentacją lokalnej grupy Lorentza, dokładnie tak samo jak w przypadku pola Y-M, pochodna kowariantna może być zapisana w postaci :

∇µϕi = ∂µϕi + ωµij ϕj , gdzie ωµij ≡ − ½ iωµab (Tab )i j (6.215) Przy tym poprzez ωµij oznaczono koneksje spinorową w reprezentacji lokalnej grupy Lorentza, w której znajduje się pole ϕi, a wielkości (Tab )i j są generatorami lokalnej grupy Lorentza. Przypomnijmy, że w naszych oznaczeniach przy nieskończenie małych lokalnie lorentzowskich przekształceniach zmiana pola ϕi można zapisać w postaci :

δϕi = − ½ i (Tab )i j ϕj αab (6.216)

W zadaniu 5 jawnie sprawdzono, ze przy nieskończenie małych przekształceniach Lorenza pochodna kowariantna (6.215) zmienia się tak samo jak samo pole ϕi. Dla przypadku przekształceń skończonych można to dowieść jeśli zauważymy, że na mocy relacji komutacyjnych dla (Tab )i j koneksje ωµij w oznaczeniach macierzowych również przekształcają się zgodnie z wzorem (6.210).

Oprócz tego, można dodatkowo wymagać, aby pochodna kowariantna od pola tetrady była równa zero :

∇µ ebβ = 0 (6.217)

W tym przypadku, jak pokazano w zadaniu 6, wyrażenie dla koneksji spinorowej będzie równe :

ωµab = eaαΓαµβ ebβ + eaβ∂µ ebβ (6.218)

Przy tym interesującym jest podkreślić podobieństwo tego wzoru do prawa przekształcenia cechowania pól Y-M (4.8).

W istocie, jeśli zdefiniujemy macierz (e)bβ≡ ebβ, to wzór (6.218) można przepisać w postaci :

ωµ = eΓµ e−1 + e∂µe−1 (6.219)

W przypadku, jeśli słuszny jest wzór (6.218), to mówimy, że koneksja spinorowa jest zgodna z metryką.

Zgodnie z zadaną koneksją ωµab możemy zbudować tensor krzywizny :

Rµνab = ∂µωνab − ∂νωµab + ωµac ωνcb − ωνac ωµcb (6.220) W oznaczeniach macierzowych taka definicja pokrywa się z wyrażeniem dla tensora natężenia pola Y-M (4.11) :

Rµν = ∂µων − ∂νωµ + [ ωµ , ων ] (6.221)

Przy tym grupą cechowania okazuje się być lokalna grupa Lorentza O(1, 3) (lub analogiczna pseudoortogonalna lub ortogonalna grupa w przypadku przestrzeni o innym wymiarze lub sygnaturze )

Przyjmując do wiadomości, ze koneksja spinorowa różni się od symboli Christoffela o „przekształcenie cechowania”

( w sensie wzoru (6.219), a przy przekształceniach cechowania tensor pola zmienia się zgodnie z prawem :

Fµν → ωFµν ω−1 (6.222)

Tensor krzywizny (6.220) będzie związany z tensorem krzywizny, określonym wzorem (6/123), w następujący sposób : Rµνab

= eaαRµναβ ebβ (6.223)

Wzory te łatwo sprawdzić jawnie, prowadząc obliczenia, analogiczne do tych które zostały przeprowadzone w zadaniu 3, podrozdziału 4.1.1.

Zatem, przekonujemy się, że wzory (6.123) i (6.220) określają jeden i ten sam obiekt.

Na zakończenie zauważymy, że dla dowolnego pola ϕ, które posiada tylko indeksy lokalnie lorentzowskie, komutator pochodnych kowariantnych może być przedstawiony w postaci (zadanie 7) :

[ ∇µ , ∇ν ] ϕi = Rµνij ϕj (6.224)

gdzie Rµνij reprezentuje sobą tensor krzywizny, pomnożony przez generatory grupy Lorentza w takiej reprezentacji, w której znajduje się pole ϕi :

Rµνij = − ½ i Rµνab ( Tab )ij = ∂µωνij −∂νωµij + ωµik ωνkj −ωνik ωµkj (6.225)

Zadania.

W dokumencie Klasyczna teoria pola (Stron 158-162)