Tabela 5.2 ładunki elektryczne i stałe oddziaływania gL i gR dla cząstek MS
2. Zapisać równanie ruchu dla bozonu W w zewnętrznym polu EM w granicy małych pędów
Oddziaływaniem bozonu W z zewnętrznym polem EM opisywane jest przez lagranżjan (5.113) z którego np. dla bozony W− otrzymujemy równanie :
DνEM2 Wµ− − DµEM DνEM W−ν − 2ieFµν W−ν + mW2 Wµ− = 0 (5.140) Po zawężeniu takiego wyrażenia z Dµ i komutacji pochodnych kowariantnych sprowadza się ono do równości :
− ie∂µ Fµν Wν− + mW2 DµEM W−µ = 0 (5.141) Zakładając, że zewnętrzne pole EM w obszarze lokalizacji pola Wµ spełnia równania Maxwella bez źródeł, znajdujemy, że :
DµEM Wµ− = 0 (5.142)
Podstawiając taką równość do równania (5.140), otrzymujemy :
DνEM2 Wµ− − 2ieFµν W−ν + mW2 Wµ− = 0 (5.143) Dalej należy przejść do granicy małych pędów. W tym celu należy uwzględnić, że w rozpatrywanym przybliżeniu energia cząstki jest w przybliżeniu równa masie spoczynkowej mW. Dlatego, dokonując zamiany :
Wµ− = exp( −imWt ) W’µ (5.144)
można przyjąć, że pole W’µ słabo zależy od czasu, tj. będziemy zakładali iż spełnione są warunki :
| ∂/∂t W’µ | << | mW W’µ | (5.145)
Dokonując zamiany (5.144) w równaniach (5.142) i (5.143) otrzymujemy, że :
( ∂/∂t − imW − ieφ )W’0 + ( ∂ + ieA )W’ = 0 (5.146)
( ∂/∂t − imW − ieφ )2 W’ − ( ∂ + ieA )2 W’ − 2ieE W’0 − 2ie[ H × W’ ] + mW2 W’ = 0 (5.146) ( ∂/∂t − imW − ieφ )2 W’0 − ( ∂ + ieA )2 W’0 − 2ieE W’ + mW2 W’0 = 0 (5.146) gdzie W’µ = ( W’0, W’ )
Zaniedbując eφ i ∂/∂t w porównaniu z mW z pierwszych dwóch równań znajdujemy, że :
−imW W’0 + ( ∂ + ieA )W’ ≈ 0 (5.147)
− 2imW ( ∂/∂t − ieφ )W’ − ( ∂ + ieA )2 W’ − 2ieE W’0 − 2ie[ H × W’ ] ≈ 0 (5.147) Rugując W’0 z pierwszego równania i podstawiając do drugiego, ostatecznie otrzymujemy :
i ∂/∂t W’i ≈ (1/2mW )[ ( −i∂ + ieA )2 − eφ ) W’i − (e /mW2 ) Ei ( −i∂ + ieA ) W’ + (ie/mW ) εijk Hk W’j (5.148)
Równania dla W’0 nie będziemy analizowali, ponieważ na mocy pierwszego równania układu (5.147) wielkość :
W’0 ≈−(i/mW ) ( ∂ + ieA )2 W’ (5.149)
jest mała.
3. Zapisać fermionową część lagranżjanu MS z użyciem pól Aµ , Wµ±, Zµ i φ.
Wyrażając składowe pola cechowania poprzez pola fizyczne Aµ , Wµ i Zµ zgodnie ze wzorami (5.10), (5.19) i (5.110) i podstawiając je do pochodnych kowariantnych pól spinorowych, otrzymujemy, że dla lewych spinorów :
Dµ ( νL ) = [ ∂µ + ½ ie1 AµU(1) + ie2 AaµSU(2) ½ σa ) ( νL ) = ( eL ) ( eL )
= ( ∂µνL + [ ie/sin(2ϑW )] ZµνL + [ ie/2 sin(ϑW)] Wµ+ eL ) (5.150) ( DµEMeL– ie ctg(2ϑW )ZµeL + [ ie/2 sin(ϑW )] Wµ−νL )
gdzie wykorzystano oznaczenie :
DµEMeL = ( ∂µ− ieAµ )eL ; DµEMeR = ( ∂µ− ieAµ )eR (5.151) W analogiczny sposób pochodne kowariantne prawych spinorów możemy zapisać w postaci :
DµeR= ∂µeR − ie1AµU(1)eR = DµEM eR + ietg(ϑW ) ZµeR (5.152) Podstawiając wyrażenia (5.150) i (5.152) do pierwszych dwóch składowych lagranżjanu (5.34), po niezłożonych
przekształceniach otrzymujemy, że : i( ν−L , e−
L ) γµ Dµ ( νL ) + i e−
R γµ Dµ eR = ( eL )
= ½ i ν−γµ (1 − γ5 ) ∂µν + ie−γµ DµEM e − [ e /2sin(2ϑW )] Zµ { ν− γµ (1 − γ5 )ν + + [ −1 + 2sin2(ϑW)] e−γµ (1 −γ5 )e + 2sin2(ϑW) e−γµ (1 −γ5 )e } −
− [ e/4sin(ϑW)] [ Wµ+ν−γµ (1 − γ5)e + Wµ− e− γµ (1 − γ5 )ν ] (5.153) W analogiczny sposób możemy znaleźć, ze pochodne kowariantne pól kwarkowych względem grupy SU(2) × U(1) (bez pól gluonowych, które powinny być dołączone w sposób standardowy ) można zapisać następująco :
DµSU(2)×U(1) ( uL ) = [ ∂µ + 1/6 ie1 AµU(1) + ie2 Aa
µSU(2) ½ σa ) ( uL ) =
( dL ) ( dL )
= ( DµEM uL + [ ie/sin(2ϑW )] ( 1 − 4/3 sin2(ϑW) ) ZµuL + [ ie/2 sin(ϑW)] Wµ+ dL ) (5.154) ( DµEM dL+ [ ie /sin(2ϑW )] ( − 1 + 2/3 sin2(ϑW )] ZµdL + [ ie/2 sin(ϑW )] Wµ−uL )
dla kwarków lewych oraz :
DµuR= ∂µuR + (2i/3)e1AµU(1)uR = DµEM uR − (2ie/3)tg(ϑW) ZµuR (5.155) DµdR= ∂µdR − (i/3)e1AµU(1)dR = DµEM dR − (ie/3)tg(ϑW) ZµdR (5.155) - dla kwarków prawych, przy czym :
DµEMu = [ ∂µ + (2ie/3)Aµ )u ; DµEmd = [ ∂µ − (ie/3)Aµ]d (5.156) Z wykorzystaniem wyrażeń (5.154) i (1.155) otrzymujemy, że :
i( u−
L , dL ) γµ Dµ ( uL ) + i d−
R γµ DµdR + i u−
R γµ DµuR = ( dL )
= i u−γµ DµEmu + id−γµ DµEM d − [ e /2sin(2ϑW )] Zµ { [ 1 − 4/3 sin2(ϑW )] u−γµ (1 − γ5 )u +
+ [ −1 + 2/3 sin2(ϑW)] d−γµ (1 − γ5 )d − 4/3 sin2(ϑW) u−γµ (1 − γ5 )u + 2/3 sin2(ϑW) d−γµ (1 + γ5 )d } −
− [ e/ 4sin(ϑW)] [ Wµ+u−γµ ( 1 − γ5 )d + Wµ− d−γµ (1 − γ5)u ] (5.157) Na koniec, składowe z oddziaływaniem Yukawy w cechowaniu unitarnym różnią się od sumy członów masowych o czynnik 1 + φ/v, ponieważ są one proporcjonalne do pierwszej potęgi pola skalarnego ϕ.
4. Wykluczyć pola Wµ± i Zµ z lagranżjanu (5.128) i otrzymać niskoenergetyczna teorię, opisującą oddziaływania słabe.
Ponieważ pola Wµ± i Zµ wchodzą do funkcji Lagrange’a (5.128) kwadratowo, to równania ruchu dla tych pól pozwalają wyrazić je poprzez inne pola danej teorii :
mZ2Zµ = [ e2 /cos(ϑW )] Zµ J0µ , mW2Wµ+ = ½ e2 Jµ− (5.158) Podstawiając wynik odwrotnie do lagranżjanu (5.128), otrzymujemy efektywną teorie z :
£ = − ( e22 / 8mW2 ) Jµ+ Jµ,− − [ e22 / 8 mZ2 cos2(ϑW )] J0µ J0µ =
= − (e22 / 8mW2 ) ( Jµ+ Jµ,− + J0µ+ J0µ ) (5.159)
5.5 Zagadnienie opisu neutrin.
5.5.1 Problem małej masy neutrin.
dostępne obecnie dane eksperymentalne (które opiszemy ciut dalej ) pozwalają wnioskować, że neutrino nie jest cząstką bezmasową. Posiada ono małą niediagonalną macierz masową, przy czym masa neutrina okazuje się być dużo mniejsza, niż masy pozostałych cząstek elementarnych.
Dlatego też powstaje pytanie, dlaczego pojawia się tak mała masa i jak najlepiej opisać neutrina w ramach MS ? Odpowiedź na takie pytanie jest nietrywialna. Problem w tym, że analiza poprawek kwantowych w MS (dokładniej w tzw. Minimalnie supersymetrycznym MS ) i porównanie wyników z danymi eksperymentalnymi wskazuje na to, że w przyrodzie istnieje nie tylko skala mas rzędu mW i mZ ( ok. 100 [GeV] ), ale również skala mas rzędu 1016 [GeV], na której jak się wydaje następuje unifikacja oddziaływań silnego i elektrosłabego. Przy tym można z dużą pewnością twierdzić, że bardziej złożone oddziaływania w takiej teorii zunifikowanej prowadza do pojawienia się nowych cząstek, które mają masę właśnie takiego rzędu wielkości.
Jak obecnie pokażemy, naturalna droga rozwiązania problemu pojawienia się małej masy neutrina jest ten fakt, że do teorii powinno być włączone prawe neutrino νR. Przy tym dla takiego neutrina należy dodać składową masową o masie M ~ 1016 [GeV]
Rozpoczniemy od tego, że dodamy do wcześniej rozpatrzonej teorii prawe neutrino i spróbujemy zapisać leptonowy lagranżjan analogicznie do lagranżjanu kwarkowego w postaci :
Przy tym, tak jak wszystkie prawe leptony MS, prawe neutrino nie zmienia się przy przekształceniach z grupy SU(3) × SU(2).
Jednakże podane powyżej wyrażenie dla lagranżjanu sektora leptonowego będzie SU(3) × SU(2) × U(1) – gauge inwariantne, tylko w tym przypadku, jeśli prawe neutrino również przekształca się pod działaniem grupy U(1).
W istocie – wykorzystując wcześniej zapisane prawa przekształceń pól pod działaniem grupy U(1), łatwo otrzymujemy, że :
Dlatego lokalna inwariantność cechowania funkcji Lagrange’a (5.160) względem grupy U(1) będzie miała miejsce tylko, jeśli prawe neutrino przy takim działaniu nie będzie się zmieniało.
Zatem, prawe neutrino pozostaje inwariantne przy przekształceniach grupy SU(3) × SU(2) × U(1).
Jako tego następstwo, pochodna kowariantna pola prawego neutrina pokrywa się z jego standardowa pochodną :
Dµ νR = ∂µνR (5.162)
Dlatego tez prawe neutrino w żaden sposób nie oddziaływuje z polami cechowania i w szczególności, z fotonem.
To oznacza w szczególności, że jego ładunek elektryczny jest równy zero.
Lagranżjan (5.160) jest bardzo podobny do lagranżjanu sektora kwarkowego MS (5.66) (różnica polega tylko w postaci pochodnych kowariantnych )
Dlatego, kiedy pole ϕ nabiera średniej wartości próżniowej (5.5) to, tak samo jak dla kwarków górnych, dla neutrina pojawia się (w przypadku ogólnym niediagonalna ) macierz masowa v (Yν )IJ.
Jednakże Yν - są stałymi bezwymiarowymi i rozsądnie jest zakładać, że ich wielkość nie może się różnić o wiele rzędów od 1.
Dlatego masa neutrina otrzymana w taki sposób, powinna posiadać w przybliżeniu ten sam rząd wielkości, co masy kwarków i leptonów. Jednakże jest to sprzeczne z danymi eksperymentalnymi, które świadczą o tym, że masa neutrina jest o wiele rzędów wielkości mniejsza niż masa np. elektronu.
Dlatego też taki mechanizm generacji masy neutrina nie jest odpowiedni.
Tym niemniej, można zmodyfikować nieco podana powyżej funkcje Lagrange’a tak, aby neutrino w sposób naturalny nabrało masy [13]. Przy tym kluczową role odgrywają następujące, już wcześniej podkreślane fakty :
1) Prawe neutrino nie przekształca się przy działaniu grupy cechowania SU(3) × SU(2) × U(1) 2) W MS istnieje skala mas rzędu 1016 [GeV]
Jako tego następstwo, można dołączyć do lagranżjanu składowe gauge- i lorentzowsko- inwariantne :
£M = − ½ MIJ (( νR )C )− νI
R − ½ MIJ† ν−I
R (νR )C I (5.163)
gdzie C – oznacza operacje sprzężenia ładunkowego, a elementy macierzy masowej MIJ mają rząd 1016 [GeV]
( zbudowana w ten sposób składowa masowa nazywa się masą majornowską. Sens takiej nazwy stanie się jaśniejszy później )
Teraz pokażemy, że lagranżjan £lept + £M prowadzi do pojawienia się małej masy neutrina. Na początku zauważymy, że po spontanicznym naruszeniu symetrii składowe w funkcji Lagrange’a, które zawierają pole neutrina, w przybliżeniu kwadratowym przyjmą następującą postać :
W takim wyrażeniu dogodnie jest przejść od spinorów Weyla do spinorów Majorany. W zadaniu 1 pokazano, ze możemy jednoznacznie określić spinory Majorany ν+ i ν− tak, że :
νR = ½ ( 1 + γ5 )ν+ , νL = ½ ( 1 − γ5 )ν− (5.165)
( Stwierdzenie to jest podobne do wyników zadania 4, podrozdziału 3.1.6 )
Z użyciem spinorów Majorany ν± lagranżjan (5.164) możemy przepisać tak (zadanie 2 ) :
£ν = ½ iν−I− γµ ∂µνI− + ½ iν−I+ ∂µ νI
( Z tego wzoru jest zrozumiałe, dlaczego składowa masowa (5.163) nazywa się majoranowską – z użyciem spinorów Majorany przy rzeczywistym M jest ona zapisywana jak standardowa macierz masowa )
Aby wnioskować o spektrum cząstek w takiej teorii, należy z pomocą pewnego przekształcenia pól sprowadzić funkcję Lagrange’a do postaci diagonalnej, eliminując człony proporcjonalne do ν−− ν+.
Na początku w celach poglądowych rozpatrzymy przypadek, kiedy w teorii istnieje tylko jedno pokolenie cząstek elementarnych, a parametry m i M są rzeczywiste :
£ν = ½ ν−− γµ ∂µν− + ½ iν−+ ∂µ ν+ − m ν−−ν+ − ½ Mν−+ ν+ (5.167) Przekształcenie, które sprowadza taki lagranżjan do postaci diagonalnej, zbudowano w zadaniu 3.
Tam też pokazano, że w spektrum cząstek będą występowały dwa spinory Majorany, których masy są równe modułom wartości własnych wejściowej macierzy masowej :
( 0 m ) (5.168)
( m M )
W granicy M >> m takie wartości własne okazują się być w przybliżeniu równe M i −m2/M.
Jako następstwo tego faktu, jedna z otrzymanych cząstek będzie miała masę rzędu M ~ 1016 [GeV].
Współczesne możliwości techniczne nie pozwalają obserwować takiej cząstki eksperymentalnie. Jednakże masa drugiej cząstki, jest równa m2/M i jest anomalnie mała. W istocie – jeśli przyjmiemy, ze masa m ma rząd 100 [GeV] (wcześniej pokazano, że wartość średniej próżniowej jest równa v = 174 [GeV] ), a masa M ~ 1016 [GeV], to m2/M ~ 10−3 [eV]
Właśnie ta cząstka powinna być utożsamiona z eksperymentalnie obserwowalnym neutrinem. (interesującym jest zauważyć, że jeśli masa m, tak jak dla większości kwarków, okaże się dużo mniejsza niż 100 [GeV], to prawe neutrino powinno posiadać masę istotnie mniejsza niż 1016 [GeV] )
Tym samym udaje się wyjaśnić pochodzenia anomalnie małej masy neutrina w porównaniu z masami pozostałych cząstek elementarnych MS. Opisany powyżej mechanizm generacji takiej masy nazywa się mechanizmem huśtawki.
W przypadku kilku pokoleń sytuacja będzie analogiczna, jednakże macierz masowa będzie posiadała wymiar 6 × 6 i będzie się składała z czterech bloków o wymiarze 3 × 3. Przy tym 3 wartości własne będą miały wartość rzędu M, a pozostałe 3 – rzędu m2/M.
Będą ona odpowiadały masom obserwowanych neutrin. Aby opisać taka sytuację szczegółowo, zauważymy, że jeśli analizujemy obszary energii dużo mniejsze, niż 1016 [GeV], to w porównaniu z członem masowym, możemy zaniedbać składowe z pochodnymi dla prawego neutrina.
W zadaniu 4 pokazano, że w takim przypadku granicznym równanie ruchu dla prawego neutrina w formie macierzowej można zapisać następująco :
( Re m + iγ5 Im m )T ν− + ( Re M + iγ5 Im M ) ν+ = 0 (5.169) (transponowanie w tej równości działa na indeksy, numerujące pokolenia )
Rozwiązując takie równanie względem νI
+ i podstawiając rozwiązanie odwrotnie do funkcji Lagrange’a (zadanie 3 ), otrzymujemy, że przy energiach, dużo mniejszych niż 1016 [GeV], składowa masowa dla pola neutrina może być zapisana tak :
½ ( (νL )C )I )− ( mM−1 mT )+IJνJ
L + ½ (ν−L )I ( mM−1 mT )IJ (νL )CJ (5.170) gdzie m i M są macierzami o wymiarze 3 × 3.
Przy tym w przypadku ogólnym macierz mM−1m jest niediagonalna i zespolona.
W szczególności oznacza to, że lagranżjan już nie jest inwariantny względem przekształceń (5.39) dla każdego pokolenia w oddzielności. Jako tego następstwo, stają się możliwe procesy, które naruszają prawa zachowania liczby leptonowej dla konkretnego pokolenia. Jednakże całkowita liczba leptonowa, która jest suma liczb leptonowych dla wszystkich pokoleń, będzie zachowana.
Jest to związane z tym, że istnieje inwariantność względem przekształceń (5.39), w których cząstki wszystkich pokoleń zmieniają się jednakowo. Analiza zjawisk fizycznych, związanych z niediagonalnością macierzy masowej neutrina, zostanie podana w następnym podrozdziale.
Zadania.
1. Dowieść, że można jednoznacznie zbudować spinory Majorany ψ±, które spełniają równania :
ψR = ½ ( 1 + γ5 )ψ+ , ψL = ½ ( 1 − γ5 )ψ− (5.171)
Wykorzystując jawną postać macierzy γµ (wzór (3.48)), łatwo zauważyć, że prawe i lewe spinory mogą być zapisane w postaci :
ψR = ( 0 ) ; ψL = ( ψ1 ) (5.172)
( 0 ) ( ψ2 ) ( ψ3 ) ( 0 ) ( ψ4 ) ( 0 )
Teraz zbudujemy spinory ψ± w następujący sposób :
ψ+ = ( −ψ*4 ) ; ψ− = ( ψ1 ) (5.173)
( ψ3 ) ( ψ2 ) ( ψ3 ) ( ψ*2 ) ( ψ4 ) ( −ψ*1 )
Zgodnie z wynikami z podrozdziału 3.1.6 (wzory (3.216)) będą one spinorami Majorany.
A ponieważ :