Spis literatury
Rozdział 3 Pola spinorowe
9. Znaleźć jak przekształcają się kwadratowe kombinacje pól spinorowych przy odwróceniu czasu
Przy przekształceniach odwrócenia czasu :
ψ(t, x ) → γ1γ3 ψ*(–t, x ) (3.125) Dlatego odpowiedni diracowsko sprzężony spinor będzie przekształcał się według prawa :
ψ–(t, x ) → ψT(–t, x )γ0γ0 (γ3 )† γ0γ0 (γ1)† γ0 = ψT(–t, x ) γ0γ3γ1 (3.126) Przy znajdowaniu prawa przekształcenia iloczynu dwóch spinorów będziemy z definicji przyjmowali, że :
T : ψ’a χ’b(t, x ) = (γ1γ3 )ac (γ1γ3 )bd (ψcχd )*(–t, x ) = (γ1γ3 )ac (γ1γ3 )bd χ*d ψ*c(–t, x ) =
= – (γ1γ3 )ac (γ1γ3 )bd ψ*c χ*d(–t, x ) (3.127)
gdzie wykorzystaliśmy antykomutacje pól spinorowych, jak również definicje operacji sprzężenia zespolonego dla iloczynu dwóch pól spinorowych. Zatem :
ψ–χ(t, x ) → ψTγ0γ3γ1γ1γ3 χ*(–t, x ) = –ψTγ0χ*(–t, x ) (3.128) Wielkość ta oczywiście nie będzie zmieniała się przy transponowaniu.
Wykonując transponowanie, należy pamiętać o tym, że spinory są wielkościami antykomutującymi. Dlatego :
ψ– χ(t, x ) → χ† γ0ψ(–t, x ) = χ– ψ(–t, x ) (3.129) W analogiczny sposób otrzymujemy, że ( konkretnych argumentów spinorów dla uproszczenia nie będziemy
wypisywali ) :
ψ– γ5χ → –ψTγ0χ* = χ†γ5γ0ψ = – χ–γ5ψ (3.130) W celu znalezienia prawa przekształcenia wielkości ψ–γµχ wygodnie jest oddzielnie rozpatrzyć przypadki
µ = 0 i µ = i ≠ 0 :
ψ–γ0χ → –ψT(γ0 )2χ* = χ†ψ = χ–γ0ψ (3.131) ψ–γiχ → ψTγ0 (γi )* χ* = –χ†γ0γ0(γi )†γ0ψ = –χ–γiψ (3.131) Równości te można zapisać w jednolity sposób tak :
ψ–γµχ(t, x ) → –Λµ
ν χ–(–t, x )γνψ (3.132)
gdzie Λµ
ν = diag(–1, 1, 1, 1 ) – element grupy Lorentza, który realizuje przekształcenie inwersji czasowej.
Analogiczne obliczenia prowadza do równań :
nie jest jednakże inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania α = α(x).
Tak jak w przypadku pola skalarnego, lokalna inwariantność cechowania może być osiągnięta poprzez zamianę w funkcji Lagrange’a standardowych pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne :
∂µ – Dµ = ∂µ –ieAµ (3.135)
A ponieważ przy takiej zamianie pojawia się nowe pole Aµ, to do teorii należy dodać lagranżjan swobodnego pola EM.
W wyniku tego otrzymujemy elektrodynamikę klasyczną, opisywaną przez funkcje Lagrange’a :
£ = – ¼ Fµν2 + iψ– γµ Dµψ – mψ–ψ (3.136)
Przy tym pole wektorowe Aµ opisuje foton, a spinor ψ - elektron.
Lagranżjan (3.136) jest oczywiście inwariantny ze względu na lokalne przekształcenia cechowania :
ψ → exp[ –ieα(x)]ψ , Aµ → Aµ – ∂µα(x) (1.337) Odpowiednie równanie ruchu reprezentuje sobą zamknięty układ równań Maxwella i Diraca, który zapisujemy w postaci :
∂µFµν = –eψ–γνψ , ( iγµDµ – m )ψ = 0 (3.138)
Tak jak i wcześniej, łatwo jest sprawdzić, ze równanie Diraca hermitowsko sprzężone można zapisać następująco :
iγµDµψ–γµ + mψ– = 0 (3.139)
gdzie Dµψ– = (∂µ + ieAµ )ψ–
Jak pokazano w zadaniu 1, prąd odpowiadający inwariantności lagranżjanu (3.136) względem przekształceń cechowania z α ≠ α(x), tak jak wcześniej okazuje się równy :
jµ = –eψ–γνψ (3.140)
Tam też z pomocą jawnego rachunku sprawdzono spełnienie prawa zachowania ∂µjµ = 0.
Przy pomnożeniu równania Diraca z zewnętrznym polem EM, przez (–i γνDν – m ) (zadanie 2) otrzymujemy równanie :
( DµDµ – ½ ieγµν Fµν + m2 )ψ = 0 (3.141)
które reprezentuje sobą analog równania Kleina – Gordona – Foka.
Teraz zbadamy granicę nierelatywistyczną równania Diraca w zewnętrznym polu EM. Przy tym dogodne okazuje się pracować nie ze spinorem ψ, a ze spinorem (współczynnik 1/√2 wynika z wymogu unitarności macierzy M ) :
ψM ≡ Mψ = 1/√2 ( 1 1 )ψ (3.142)
( 1 –1 )
którego dwie dolne składowe w układzie spoczynkowym kµ = (m, 0, 0, 0 ) są równe zero w przypadku braku zewnętrznego pola EM, co wynika z wzoru (3.12).
Spinor ψM również spełnia równanie Diraca w polu zewnętrznym, jednakże równanie to różni się od pierwotnego zamianą γµ → M γµM–1 odpowiadającą przejściu do innej reprezentacji dla macierzy γ.
W zadaniu 3, pokazano, że w granicy nierelatywistycznej rozwiązanie równania Diraca może być w przybliżeniu zapisane tak :
ψM ≈ exp(–imt) ( ψe ) (3.143)
( 0 )
gdzie dwuskładnikowa kolumna ψe spełnia równanie Pauliego [2] :
i ∂ψe /∂t = [ (1/2m) (–i∂ +eA )2 –eϕ + (e/2m)(σH) ]ψe (3.144) ϕ, A – as odpowiednio potencjałem skalarnym i wektorowym pola EM, oraz Aµ = (ϕ, – A )
Takie równanie opisuje cząstkę nierelatywistyczną o ładunku –e, posiadającą niezerowy moment magnetyczny µ0, którego wartość jest równa wartości współczynnika stojącego przez iloczynem skalarnym (σH).
Można się o tym fakcie przekonać, porównując równanie (3.144) z klasycznym hamiltonianem :
H = (1/2m)( p – qA)2 + qϕ + µ0H (3.145)
i uwzględniając, że wartości własne operatora (σH) są równa ± | H |, ponieważ (σH)2 = σiσj HiHj = H2
Dlatego, na poziomie klasycznym elektrodynamika przewiduje, że wartość momentu magnetycznego elektronu jest równa :
µ0 = e/2m (3.146)
Jeśli zdefiniujemy tzw. czynnik Landego [3] jako :
µ = – (ge/2m )s (3.147)
to, ponieważ spin elektronu jest równy s = ½, z powyższej równości otrzymujemy g = 2, co dobrze się zgadza z danymi eksperymentalnymi [4].
Jednakże w istocie, eksperymentalna wartość g wciąż różni się od wartości 2 w wyniku istnienia poprawek kwantowych.
Aby zrozumieć sens fizyczny dwóch dolnych składowych spinora ψM zwrócimy uwagę, że równanie k02 – k2 = m2 posiada dwa rozwiązania : dodatnie z k0 = sqrt( k2 + m2 ) i ujemne z k0 = – sqrt( k2 + m2 ).
Pierwsze z nich oczywiście reprezentuje sobą związek pomiędzy energią i pędem elektronu. Rozwiązanie drugie, na pierwszy wzgląd, jest bezsensowne, ponieważ energia nie powinna przyjmować wartości ujemnych.
Jednakże możemy założyć, że w tym przypadku funkcje falowa należy utożsamić nie ze spinorem ψ, a z pewnym innym obiektem, zbudowanym jako kombinacja liniowa elementów ψ*. Ponieważ :
ψ*(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp(ikνxν ) δ( kα2 – m2 ) ψ*(k) (3.148) to energia okaże się równa E = – k02 = sqrt( k2 + m2 )Dla rozwiązania ujemnego funkcje falową utożsamimy z spinorem sprzężonym ładunkowo ψC, który jest definiowany poprzez relacje :
ψ–C = ψTC (3.149)
gdzie macierz C została zbudowana w części 3.1.2 i dana jest przez wyrażenie (3.52).
Przy tym w naszych oznaczeniach operacja sprzężenia diracowskiego jest wykonywana jako druga, tak że : ψ–C ≡ ( ψC )–
W zadaniu 4 pokazano, że :
ψC = γ0C†ψ* (3.150)
skąd wynika, że składowe ψC rzeczywiście są kombinacjami liniowymi składowych ψ*.
Łatwo sprawdzić (zadanie 4), że spinor ψC spełnia równanie :
( iγµ (∂µ + ieAµ ) – m ) ψC = 0 (3.151)
które różni się od równania pierwotnego znakiem stojącym przed ładunkiem, skąd staje się zrozumiały sens nazwy
„sprzężenie ładunkowe”. Oczywiście, że w granicy nierelatywistycznej równanie (3.151) sprowadza się do równania Pauliego dla cząstki o masie m i ładunku e, którą nazywa się pozytronem [5].
W przypadku ogólnym, jeśli równanie Diraca nie opisuje elektronu, a jakąś inna cząstkę, mówimy, że rozwiązanie ujemne odpowiadają tzw. antycząstkom.
Pozytron jest antycząstką dla elektronu. Wkrótce po jego przewidzeniu teoretycznym, został on odkryty eksperymentalnie [6].
Ponieważ w reprezentacji (3.142) macierz C zapisujemy następująco :
CM = M*CM–1 = ( 0 0 0 –1 ) (3.152)
( 0 0 1 0 ) ( 0 –1 0 0 ) ( 1 0 0 0 )
to w takiej reprezentacji operacja sprzężenia ładunkowego faktycznie zamienia miejscami górne i dolne składowe czteroskładnikowego spinora.
Zatem, składowe dolne spinora czteroskładnikowego faktycznie odpowiadają pozytronowi, który posiada przeciwny znak ładunku elektrycznego i tę samą masę, co elektron.
Dalej wymienimy pewne własności operacji sprzężenia ładunkowego. W zadaniu 5 pokazano, że spinor sprzężony ładunkowo przy przekształceniach Lorentza zmienia się tak samo jak i dowolny inny spinor. Kwadrat operacji sprzężenia ładunkowego (zadanie 6) okazuje się równy 1 :
(ψC )C = ψ (3.153)
Przypomnijmy, że takie własności posiadały operacje P- , T- inwersji, które określiliśmy w poprzednim podrozdziale.
W wielu aspektach, sprzężenie ładunkowe jest do nich podobne. W szczególności, zastosowanie sprzężenia ładunkowego do kwadratowych kombinacji pól spinorowych prowadzi do równości :
ψ–CχC = χ–ψ ; ψ–Cγ5χC = χ–γ5ψ (3.154) ψ–Cγα χC = –χ–γαψ ; ψ–Cγα γ5 χC = χ–γαγ5ψ (3.154) ψ–Cγαβ χC = –χ–γαβψ (3.154) które dowiedziono w zadaniu 7.
Zauważmy, że przy wyprowadzeniu takich równań istotnie wykorzystano antykomutacje pól spinorowych.
Równoważny zapis wzorów (3.154) podano również w tabelach 3.1 i 3.2.
Porównując różnorodne przekształcenia, podane w w/w tabelach, można zauważyć, że wszystkie dodatkowe czynniki –1 skracają się, jeśli kolejno dokonujemy przekształceń C,P,T.
Przy tym (zadanie 8) pod działaniem CPT – przekształceń :
ψ(t, x ) → iγ5ψ(–t, – x ) (3.155) Teraz zauważmy, że równanie Diraca będzie inwariantne względem operacji sprzężenia ładunkowego, jeśli przyjmiemy że pod działaniem takiej operacji pole cechowanie zmienia się według prawa :
C : Aµ → (Aµ )C ≡ –Aµ (3.156) Równania Maxwella również będą inwariantne względem C –przekształcenia, ponieważ na mocy wzoru (3.154) prąd jµ = –eψ–γµψ
tak samo jak pole cechowania, zmienia znak przy sprzężeni ładunkowym.
Jest to związane z tym, że jak łatwo się przekonać, lagranżjan (3.136) jest inwariantny względem C – przekształceń ψ → ψC, Aµ → –Aµ
Oprócz tego, z praw przekształceń, podanych w tabeli 3.1, wynika, ze działanie elektrodynamiki również będzie inwariantne względem P- i T- przekształceń, jeśli przyjmiemy :
P : (A’ )µ(t, x ) = Λµ
ν Aν(t, –x ) , T : (A’ )µ(t, x ) → –Λµ
α Aν(–t, x ) (3.157)
gdzie macierze Λµ
ν dla R i T –przekształceń podano np. w tabeli 3.1.
Przy CPT –przekształceniach, oczywiście : Aµ (t, x ) → –Aµ(–t, –x ) = Λµ
ν Aν(–t, –x ) (3.158)
gdzie Λµ
ν = diag(–1, –1, –1, –1 ).
Zauważmy (zobacz tabelę 3.2 ), że pod działaniem CPT –przekształceń zarówno Aµ jak i wszystkie kwadratowe kombinacje, zbudowane ze spinorów, przekształcają się według prawa tensorowego. To samo jest słuszne i dla innych pól (np. dla pola skalarnego i pola Y-M, prawa przekształceń których podano dalej, zobacz wzór (4.21))
Dlatego, dowolna teoria, inwariantna względem przekształceń Lorentza, będzie również inwariantna również CPT –przekształceń. Takie stwierdzenia nazywa się twierdzeniem CPT [7].
Zadania.
1. Znaleźć prąd zachowany, odpowiadający globalnej inwariantności cechowania ψ → exp(–ieα)ψ lagranżjanu