################################################################################
Klasyczna teoria pola
K. W. Степаньянц
Tytuł oryginału : Классическая теория пола Moskwa FIZMATLIT 2009
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2018
Ostatnia modyfikacja : 2019-10-10 Tłumaczenie całości książki (w oryginale 530 stron ).
************************************************************************************************
Wstęp własny.
Jako wprowadzenie do zagadnienia klasycznej teorii pola polecam tekst :
„Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej – relatywistycznej teorii pola”
W przedsłowiu podano również przegląd dostępnej literatury w języku polskim.
************************************************************************************************
Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.
CP – czasoprzestrzeń.
MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetyzm STW – szczególna teoria względności IUO – inercjalny układ odniesienia NIUO – nie inercjalny układ odniesienia TEP – tensor energii –pędu
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną np. F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
***********************************************************************************************
Przedsłowie
W prezentowanej książce mówimy o fizyce wysokich energii. I w pierwszej kolejności należy wyjaśnić, co będziemy rozumieli pod tym pojęciem. Duże energie wydzielają się np. przy wybuchu bomb. Przy tym energia charakterystyczna, wiązania chemicznego ma rząd ok. 1 [eV]. Znacznie większa energia wydziela się przy wybuchu bomby jądrowej.
Jest to związane z tym, że energia wiązania w jądrach atomowych ma rząd 1 [MeV], zatem przewyższa 106 razy energię wiązania chemicznego. Jednakże z punktu widzenia fizyki cząstek elementarnych takie energie wciąż są małe.
Przykładowo, skala charakterystyczna, na której oddziaływania – elektromagnetyczne i słabe łączą się w pewną jednolitą teorię, ma rząd 102 [GeV] i przewyższa ok. 105 razy energię wiązania w jądrach atomowych.
Maksymalna energia, która będzie dostępna po uruchomieniu wielkiego zderzacza hadronów w CERN’e będzie wynosiła ok. 104 [GeV]. W porównaniu z energią wiązania chemicznego taka wielkość jest ogromna.
Jednakże w fizyce cząstek elementarnych istnieje jeszcze jedna skala, wartość, której poraża wyobraźnie – jest to tzw.
masa Plancka, która jest energią charakterystyczną oddziaływania grawitacyjnego i co do rzędu wielkości jest ona równa 1019 [GeV]. Jak dziwnym by się to nie wydawało, na pierwszy wzgląd, to wnikliwa analiza oddziaływań silnego i elektrosłabego wskazuje na istnienie kolejnej skali energii – 1016 [GeV]. Jak się wydaje, przy takich energiach powinniśmy zaobserwować interesujące i nie trywialne zjawiska, których istota jak do tej pory nie jest w pełni zrozumiała.
Mimo, że duże skale energii są jeszcze bardzo dalekie od eksperymentalnych analiz, wiele rzeczy jest już znane.
Przykładowo, zbudowano teorię, która opisuje oddziaływania - silne, słabe i elektromagnetyczne, na podstawie tzw.
nieabelowych teorii cechowania. Na poziomie klasycznym zbudowana została również teoria oddziaływania grawitacyjnego. W chwili obecnej fizyka wysokich energii przedstawia sobą obszerny i szybko rozwijającą się gałąź fizyki. Współczesne analizy teoretyczne już pozwalają stawiać hipotezy o tym, jak zbudowany jest świat przy energiach rzędu masy Plancka. Przy tym szczególnie ważnym kierunkiem badań jest budowa jednolitej teorii oddziaływań fundamentalnych : silnego, słabego, elektromagnetycznego i grawitacyjnego.
Aby przyszli uczeni mogli łatwo znaleźć się w świecie badań naukowych, wymagane jest, aby w sposób mieli pojęcia o różnorodnych aspektach teorii takich oddziaływań. Przy tym nie powinna pojawiać się przeszkoda. Związana z tym, iż opis teorii grawitacji różni się istotnie od opisu pozostałych oddziaływań np. w ramach Modelu Standardowego.
W przedstawionej książce podajemy podstawowe konstrukcje klasycznej teorii pola. Przy tym szczególną uwagę poświęcono roli, jaką odgrywają różnorodne symetrie w pierwszej kolejności jest to symetria cechowania i ogólnie kowariantna. Wykorzystując omawiane konstrukcje podajemy opis wszystkich oddziaływań fundamentalnych, w miarę możliwości porównując je. Rozpatrujemy podstawowe zjawiska, do których takie oddziaływania prowadzą.
Poruszamy również szereg tematów szczególnych, zwłaszcza tych, które są wymagane do zrozumienia współczesnych kierunków fizyki wysokich energii np. najprostsze teorie o wyższych spinach lub supergrawitacja.
Tym niemniej wiele ważnych i zasadniczych zagadnień teorii pola nie mogliśmy uwzględnić, ponieważ wymagają one znajomości kwantowej teorii pola oraz problemów, które pojawiają się przy kwantowaniu.
W szczególności, nie rozpatrujemy np. supersymetrycznych modeli fizyki cząstek elementarnych, teorii Wielkiej Unifikacji i teorii strun. Oprócz tego, nie rozpatrujemy zagadnień związanych z efektami ogólnej teorii względności np.
ruchu planet lub zastosowania tej teorii w kosmologii.
Proponowany tutaj wykład jest przeznaczony w pierwszej kolejności dla studentów 3- 4 roku przystępujących do nauki współczesnej teorii pola. Być może przedstawiona książka przyda się również aspirantom i uczonym specjalizujących się fizyce wysokich energii.
Struktura książki podyktowana jest tym, że dla zrozumienia współczesnej fizyki wysokich energii wymagana jest znajomość wystarczająco złożonych konstrukcji matematycznych i umiejętność prowadzenia złożonych obliczeń.
Dlatego tez podstawowy materiał wyłożono krótko, a wszystkie szczegóły techniczne obliczeń prowadzone są w postaci szeregu dokładnie rozwiązywanych zadań na końcu każdego paragrafu.
Mam nadziej, ze taka struktura książki pozwoli z jednej strony nie tracić podstawowych idei i konstrukcji pośród długich rachunków, a z drugiej strony, pomoże czytelnikowi w pełnej mierze władać techniczną stroną rozpatrywanych
zagadnień. Chciałbym, aby przedstawiona książka stała się dobrym uzupełnieniem do wielu wykładów szczegółowych poświęconych różnym aspektom teorii pola, a które są przedstawiane przez kolegów autora na katedrze fizyki
teoretycznej wydziału fizycznego Uniwersytetu Moskiewskiego.
(* Dalej autor wyraża liczne podziękowania *)
P.S. W przedstawionym dalej spisie literatury autor chciałby wskazać wiele innych publikacji i monografii,
poświęconych zagadnieniom, poruszanym w niniejszej książce. Od razu przepraszam, jeśli taki spis okaże się niepełnym.
Literatura cytowana w tekście książki, zebrana jest na końcu każdego rozdziału.
Spis literatury
1. Książek, w których nie dokonuje się rozróżnienia pomiędzy teoria pola i grawitacją jest bardzo mało. Pośród nich wybrałem :
L.L Landau, E. M. Lifszyc – Fizyka teoretyczna tom 2 - Teoria pola ; Fizmatlit 2006 (* jest tłumaczenie polskie *)
Teoria pola -- L.D Landau, E.M Lifszyc Wydanie II PWN 1977 B. S. DeWitt – Dynamiczna teoria grup i pól – Moskwa Nauka 1987
(* Dynamical theory of groups and fields – Gordon and Breach New York 1965 *) 2. Z wielu podręczników do elektrodynamiki klasycznej wybrałem :
W. I. Denisow – Wykłady z elektrodynamiki ; Moskwa 2007 J. Jackson - Elektrodynamika klasyczna ; Moskwa Mir 1965 (* jest tłumaczenie polskie *)
Elektrodynamika klasyczna -- J. D. Jackson PWN 1982
I. E . Tamm - Podstawy teorii elektryczności ; Moskwa Fizmatlit 2003 (* jest tłumaczenie polskie *)
Podstawy teorii elektryczności -- I. E. Tamm ; WNT 1967 3. Elektrodynamika kwantowa opisana jest w książkach :
A. I. Achizer, W. B. Berestecki - Elektrodynamika kwantowa ; Moskwa Nauka 1981
L.L Landau, E. M. Lifszyc – Fizyka teoretyczna tom 4 – Elektrodynamika kwantowa ; Fizmatlit 2006 (* jest tłumaczenie polskie *)
A. A. Sokołów, I. M. Ternow, W. Cz. Żukowskij, A. W. Borisow – Elektrodynamika kwantowa ; Moskwa 1983 4. Szczegółowe przedstawienie zagadnień związanych z mechanika kwantową, można znaleźć w książkach : A. S. Dawidow - Mechanika kwantowa, Moskwa Nauka 1973
(* jest tłumaczenie polskie *)
L.L Landau, E. M. Lifszyc – Fizyka teoretyczna tom 3 – Mechanika kwantowa ; Fizmatlit 2006 (* jest tłumaczenie polskie *)
Mechanika kwantowa – teoria nie relatywistyczna -- L. D. Landau, E. M. Lifszyc PWN 1979 A. A. Sokołow, Ju. M. Łoskutow ,I. M. Ternow – Mechanika kwantowa, Moskwa 1965
5. Piękny wykład podstaw klasycznej teorii pola przedstawiono w książce :
Klasyczne pola cechowania. Teorie z fermionami - W. A. Rubakow; КомКнига МОСКВА 2005 (* dostępne tłumaczenie własne *)
6. Jednakże standardowo, klasyczna teoria pola rozpatrywana jest wraz z kwantową teorią pola : N. N. Bogoljubow, D. W. Szirikow – Wprowadzenie do teorii pól kwantowych, Moskwa nauka 1984 J. D. Bjorken, S. D. Drell - Relatywistyczna teoria kwantów, Nowokuznieck 2000
(* jest tłumaczenie polskie *)
Relatywistyczna teoria kwantów -- J. D. Bjorken, S. D. Drell ; PWN 1985 S. Weinberg Kwantowa teoria pola ; Moskwa Fizmatlit 2003
(* jest tłumaczenie polskie *)
Teoria pól kwantowych tom 1 -- Steven Weinberg podstawy 1999 PWN Teoria pól kwantowych tom 2 -- Steven Weinberg nowoczesne zastosowania 1999 PWN Teoria pól kwantowych tom 3 -- Steven Weinberg supersymetria 2001 PWN
C. Itzykson, J.B. Zuber – Kwantowa teoria pola, tom 1,2 Iżewsk 2001
M. Peskin, D. Schroeder – Wprowadzenie do kwantowej teorii pola, Moskwa, Iżewsk 1995 P. Ramon - Teoria pola. Współczesne wprowadzenie, Bibfizmat 1995
(* dostępne tłumaczenie własne *)
L. Ryder - Kwantowa teoria pola. Wołgograd, 1998 (* dostępne tłumaczenie własne *)
A. A. Sokołow, I. M. Ternow, W. Cz. Żukowskij. A. W. Borisow – Pola cechowania, Moskwa 1986 A. A. Sławnow, L. D. Faddeew - Wprowadzenie do kwantowej teorii pól cechowania, Moskwa Nauka 1972 K. Huang - Kwarki, leptony i pola cechowania, Moskwa, Mir 1985
(* Quarks leptons and gauge fields – K. Huang, World Scientific 1982 *)
Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li - Teorie cechowania w fizyce cząstek elementarnych, Moskwa Mir 1987 (* Gauge theory of elementary particle physics - Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li, Oxford 1984 *) 7. Zagadnienia związane z grawitacją i kosmologią wykładane są zazwyczaj oddzielnie od teorii pola : P. G. Berman – Wprowadzenie do teorii względności, Moskwa –Iżewsk 2003
W. L. Burke - Czasoprzestrzeń geometria i kosmologia, Moskwa Mir 1985 S. Weinberg - Grawitacja i kosmologia, Moskwa Mir 1975
(* Gravitation and cosmology – S. Weinberg, John Wiley 1972 *)
D. D. Iwanenko, P. I. Pronin, G. A. Sardanaszwili - Teoria grawitacji z cechowaniem,
Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskigo 1985
A. Lightman, W. Press, R. Price, S. Teukolsky - Zbiór zadań z teorii względności i grawitacji Moskwa Mir 1979
(* Problem book in relativity and gravitation - A. Lightman, W. Press, R. Price, S. Teukolsky
Princeton University Press 1975 *) Ch. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler – Grawitacja cz. I ,II, III; Moskwa Mir 1977
J. Synge – Ogólna teoria względności, Moskwa 1963
(* J. Synge – Relativity : the General theory ,Amsterdam 1960 *)
R. C. Tolman – Termodynamika relatywistyczna i kosmologia, Moskwa Mir 1974 (* R. Tolman – Relativity thermodynamics and cosmology , Oxford 1969
S. H. Hawking, G. F. Eliss − Wielkoskalowa struktura wszechświata, Moskwa Mir 1977
(*The large scale structure of space-time - S. H. Hawking, G. F. Eliss, Cambridge University Press 1973 *) (* dostępne tłumaczenie własne *)
G. t’Hooft − Wprowadzenie do ogólnej teorii względności, Moskwa Iżewsk 2003 I. W. Chripłowicz – Ogólna teoria względności, Moskwa –Iżewsk 2001
W. A. Fok – Teoria przestrzeni, czasu i ciążenia, Moskwa 2007 8. Teorie sypersymetrii przedstawiono np. w książkach :
I.L. Buchbinder, S. V. Kuzenko – Idesa and methods of supersymmetry and supergravity. Bristol and Philadelphia 1998 S. J. Gates, M. T. Gisaru, M. Rocek, W. Siegel – Superspace and thousand and one lessons in supersymmetry,
hep-th/0108200
J. Wess, J. Bagger − Supersymetria i supergrawitacja, Moskwa Mir 1986 P. West – Wprowadzenie do supersymetrii i supergrawitacji , Moskwa Mir 1989 (* P. West - Introduction to supersymetry and supergravity; World Scientific 1986 *) (* dostępne tłumaczenie własne *)
9. Inne współczesne zagadnienia fizyki cząstek elementarnych omawiane są np. w książkach :
R. N. Mohapatra – Unification and supersymmetry : the frontiers of quark –lepton physics, Springer 2003 W. M. Emeljanow – Model standardowy i jego rozszerzenia, Moskwa, Fizmatlit 2007
10. Definicje funkcji specjalnych i wiele użytecznych wzorów matematycznych zawarto w poradniku : I. S. Gradsztein, I. M. Ryżik – Tablice całek, sum, szeregów i iloczynów, Moskwa, Nauka 1971
Oznaczenia
W prezentowanej książce przyjmujemy, że przestrzeń Minkowskiego posiada sygnaturę (+ – – – ) lub (jeśli sygnatura nie jest oznaczona inaczej ( + – ... – ) dla przestrzeni o innych wymiarach.
Wymiary przestrzeni oznaczono standardowo jako D.
Tensor metryczny przestrzeni Minkowskiego oznaczamy jako ηµν, a tensor metryczny w przypadku zakrzywionej czasoprzestrzeni gµν Jego wyznacznik det gµν oznaczamy jako g.
Całkowicie antysymetryczny symbol Leviego-Civity (z indeksami Einsteina ) εαβγδ jest określony przez równość ε0123 = –1. Przy tym jego indeksy można opuszczać w sposób standardowy z pomocą tensora metrycznego.
Jako następstwo ε0123 = 1. ε- symbol z lokalnie lorentzowskimi indeksami otrzymujemy przez rzutowanie na tetradę.
W szczególności, jeśli wszystkie indeksy ε –symbolu są lokalnie lorentzowskie, to w naszych oznaczeniach ε0123 = √ | g |
Jeśli nie powiedziano inaczej, to h = c = 1. Przy tym stała struktury subtelnej α = e2 /4π, przy czym stała sprzężenia e w naszych oznaczeniach jest dodatnia ( W przypadku elektrodynamiki ładunek elektronu jest równy qe = –e )
Trójwymiarowe wektory, standardowo, wyróżniono czcionką pogrubioną.
Pochodne po współrzędnych xµ = (t, x) oznaczamy przez symbol ∂µ ≡ ∂/∂xµ W szczególności :
∂ = ex ∂/∂x + ey ∂/∂y + ez ∂/∂z (0.1)
Przy tym wykorzystujemy również oznaczenie :
∂2 ≡ ∂2∂µ = ∂02 – ∂2 (0.2)
Dla γ –macierzy Diraca, standardowo, wykorzystujemy reprezentacje w której :
γ0 = ( 0 1 ) , γi = ( 0 σi ) , γ5 = ( – 1 0 ) (0.3) ( 1 0 ) ( –σi 0 ) ( 0 1 )
Jednakże taka reprezentacja nie jest wykorzystywana zawsze. W szczególnych przypadkach dogodniejsze są inne reprezentacje. W takich przypadkach w tekście zaznaczono to szczególnie wyraźnie.
Antysymetryzowane iloczyny złożone z k macierzy γ oznaczone są następująco :
γµ1... µk ≡ (1/k!)( γµ1 γµ2 ... γµk ± permutacje ) (0.4)
( innych przypadkach definicji operacji symetryzacji lub antysymetryzacji zawierają również czynnik 1/k! ) Macierz sprzężenia ładunkowego w 4 –wymiarach jest zdefiniowana następująco : C = iγ0γ2.
Prawe i lewe składowe spinora Diraca mają postać :
ψR = ½ ( 1 + γ5 )ψ, ψL = ½ ( 1 – γ5 )ψ (0.5)
W naszych oznaczeniach, operacja sprzężenia diracowskiego jest zawsze wykonywana jako ostatnia, np. : ψ–
R ≡ (ψR )– (0.6)
Jeśli należy dokonać takiej operacji w odwrotnym porządku, to będziemy to oznaczali jako (ψ– )R.
Fermiony modelu standardowego są oznaczane według nazwy odpowiedniej cząstki pierwszego pokolenia, a indeksy numerujące pokolenia – dużymi literami łacińskimi.
Generatory zwartych grup cechowania przyjmujemy jako hermitowskie. Przy tym poprzez ta oznaczamy generatory reprezentacji fundamentalnej, które są normowane poprzez warunek :
tr(ta tb ) = ½ δab (0.7)
Ta oznaczają generatory grupy cechowania w dowolnej reprezentacji.
Stałe strukturalne algebry Liego są określone następująco :
[ Ta, Tb ] = ifabc Tc (0.8)
Rozkład pola Yanga- Millsa po generatorach zapisujemy w postaci :
Aµ ≡ ieAµa ta (0.9)
gdzie e – stała sprzężenia dla rozpatrywanej grupy cechowania.
Przy tym pole Aµ będzie elementem algebry Liego grupy cechowania.
Pochodna kowariantna związana z cechowaniem oznaczana jest następująco :
Dµ ≡ ∂µ + Aµ
Kanoniczny tensor energii –pędu (TEP ) oznaczamy jako Tµν , a symetryczny poprzez :
Θµν = (2/√–g ) δS/δgµν (0.10)
Tensor orbitalnego (kątowego ) momentu pędu zapisujemy poprzez symetryczny TEP : Jµαβ = xα Θµ
β – xβ Θµ
α (0.11)
W przypadku zakrzywionej CP, litery greckie oznaczają indeksy einsteinowskie, a łacińskie – lokalne lorentzowskie.
Tetrada oznaczona jest jako emµ lub emµ przy czym z definicji : emµ emν = δµν
Małe odchylenie tensora metrycznego gµν ( z indeksami dolnymi ) od metryki Minkowskiego, oznaczamy poprzez hµν , a małe odchylenie tetrady eαµ od ηαµ poprzez Hαµ.
Symbole Christoffela lub koneksje oznaczamy jako Γα
µν. Jeśli koneksja nie jest zgodna z metryką, to symbole Christoffela mogą być również oznaczane jako Γα
µν(e). Koneksja spinowa oznaczana jest jako ωµab.
Jeśli istotne jest podkreślenie faktu, że taka koneksja nie jest zgodna z metryką, to wykorzystujemy oznaczenie Γµab(e). Grawitacyjna pochodna kowariantna oznaczana jest jako ∇µ.
Tensor krzywizny definiowany jest następująco : Rµνα
β = ∂µΓα
νβ – ∂νΓα µβ + Γα
µγ Γγ νβ – Γα
νγ Γγ
µβ (0.12)
Tensor Ricciego : Rµβ ≡ Rανα
β
W szeregu przypadków dla symboli Christoffela, symboli koneksji i tensora krzywizny wykorzystujemy oznaczenia macierzowe :
( Γµ )α β = Γα
µβ ; ( ωµ )ab ≡ ωµab ; ( Rµν )αβ = Rµναβ (0.13)
Tensor skręcenia jest równy : Qµνa ≡ ∂µea
ν – ∂νea
µ + ebµ ωνba – ebν ωµba (0.14)
Stała kosmologiczna określona jest przez wyrażenie dla działania grawitacyjnego :
S = –(1/16πG)
∫
d4x √–g (R – 2Λ) (0.15)W tym przypadku jej wartość empiryczna jest dodatnia.
Przy tym oprócz stałej grawitacyjnej G wykorzystuje się jeszcze dwie definiowane z jej pomocą wielkości :
k2 ≡ 8πG , MPl = 1/√G (0.16) Na koniec, pod pojęciem sfery Sn rozumiemy sferę o wymiarze n (która standardowo może być włożona w przestrzeń o wymiarze n + 1 ).
***********************************************************************************************
Rozdział 1 Opisanie oddziaływania elektromagnetycznego.
1.1 Elektrodynamika z źródłem zewnętrznym.
W charakterze najprostszego przykładu teorii pola można rozpatrzyć elektrodynamikę z zewnętrznym klasycznym źródłem [1].
Jeśli zadano prąd j i gęstość ładunku elektrycznego ρ, to natężenie pola elektrycznego i magnetycznego mogą być znalezione z równań Maxwella :
div H = ρ rot E = –(1/c) ∂H/∂t (1.1)
div E = 4πρ rot H = (4π/c)j + (1/c) ∂E/∂t
(w niniejszym paragrafie wykorzystujemy układ jednostek CGS ) Przy tym prąd powinien spełniać równanie ciągłości :
∂ρ/∂t + div j = 0 (1.2)
Pierwsza para równań Maxwella nie zawiera źródeł i może być rozwiązana poprzez wprowadzenie potencjałów ϕ i A, określonych przy pomocy następujących zależności :
H = rot A ; E = –(1/c) ∂A/∂t – ∂ϕ (1.3)
Łatwo sprawdzić, że tym przypadku pierwsze dwa równania (1.1) są spełnione tożsamościowo.
Zauważmy również że z równań (1.3) potencjały pola EM są określone nie jednoznacznie. Jeśli bowiem pewne funkcje ϕ i A spełniają (1.3), to rozwiązaniami są również :
A’ = A + ∂α ; ϕ’ = ϕ – (1/c) ∂α/∂t (1.4)
Gdzie α = α(x, t ) – dowolna funkcja współrzędnych i czasu.
Dlatego mówimy, że rozwiązanie równań (1.3) jest określone z dokładnością do przekształcenia cechowania
A → A + ∂α ; ϕ → ϕ – (1/c) ∂α/∂t (1.5)
Aby jawnie wyróżnić inwariantność relatywistyczną równań elektrodynamiki, należy je zapisać w oznaczeniach czterowymiarowych.
W tym celu rozpatrzymy przestrzeń Minkowskiego o współrzędnych xµ(ct, x) i sygnaturą (+ – – – ) To oznacza, że iloczyn skalarny dwóch czterowektorów a = (a0, a) ,b = (b0, a) definiujemy jako : (a, b ) = a0b0 – ab = aµbµ = aµηµν bν, gdzie :
ηµν = ηµν = ( 1 0 0 0 ) (1.6)
( 0 –1 0 0 ) ( 0 0 –1 0 ) ( 0 0 0 –1 )
Przy tym indeksy czterowektorów są podnoszone i opuszczane z pomocą tensora ηµν zgodnie z zasadami : aµ = ηµνaµ ; aµ = ηµν aν
W zadaniu 1 sprawdzono, że wprowadzając czterowektor potencjału Aµ = (ϕ, – A ), można przepisać równania (1.3) w postaci :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = ( 0 Ex Ey Ez ) (1.7)
( –Ex 0 –Hz Hy ) ( –Ey Hz 0 –Hx ) ( –Ez –Hy Hx 0 ) tak, że :
Ei = –F0i ; Hi = – ½ εijk Fjk (1.8)
Zbudowany w ten sposób tensor pola EM Fµν jest inwariantny względem przekształceń cechowania (zobacz zadanie 1 )
Aµ → Aµ – ∂µα (1.9)
Z użyciem tensora Fµν, jak również czterowektora prądu jµ = (cρ, j ), druga para równań Maxwella może być zapisana następująco :
∂µFµν = (4π/c) jν (1.10)
Zawężając (1.10) z ∂ν dochodzimy do równania ciągłości w formie :
∂µjµ = 0 (1.11)
co oczywiście pokrywa się z (1.2).
Pierwsza para równań Maxwella przedstawia sobą tożsamość Bianchiego :
∂µF~µν = 0 (1.12)
gdzie F~µν – dualny tensor pola, określony następująco :
F~µν = ½ εµναβ Fαβ = ( 0 Hx Hy Hz ) (1.13) ( –Hx 0 Ez –Ey )
( –Hy –Ez 0 Ex ) ( –Hz Ey –Ex 0 )
εµναβ – absolutnie antysymetryczny tensor Leviego- Civity. W naszych oznaczeniach : ε0123 = –1 , ε0123 = 1.
Równania (1.12), wynikają oczywiście z (1.13), ponieważ :
∂µF~µν = ½ εµναβ ∂µ ( ∂αAβ – ∂βAα ) = 0 (1.14)
Łatwo pokazać, że dowolne zawężenie tensora symetrycznego z tensorem antysymetrycznym jest równe 0 – zadanie 2.
Zadania.
1. Sprawdzić, że układ równań Maxwella (1.1) jest równoważna równaniom : Fµν = ∂µAν − ∂µAν ; ∂µFµν = (4π/c) jν
Dowieść inwariantności cechowania tensora pola Fµν.
W tekście paragrafu 1.1 pokazano, że z relacji Fµν = ∂µ Aν − ∂µ Aν wynika równanie ∂µFµν = 0.
Przyjmując do wiadomości, że Aµ = (ϕ, –A ), jak również uwzględniając zasady podnoszenia i opuszczania indeksów, otrzymujemy :
F01 = – (1/c) ∂Ax /∂t – ∂xϕ = Ex F12 = ∂y Ax – ∂xAy = – Hz
∂µFµ0 = ∂xEx + ∂yEy + ∂zEz = div E = (4π/c)j0 = 4πρ
∂µFµ1 = –(1/c) ∂Ex /∂t + ∂yHz – ∂zHy = [ –(1/c) ∂E /∂t + rot H ]x = (4π/c )j
∂µF~µ0 = ∂xHx + ∂yHy + ∂zHz = div H = 0
∂µF~µ1 = –(1/c) ∂Hx /∂t + ∂yEz – ∂zEy = [ –(1/c) ∂H /∂t – rot E ]x = 0 (1.16) Pozostałe równania sprawdzamy w analogiczny sposób.
Tensor pola Fµν jest inwariantny względem przekształceń cechowania (1.9), ponieważ przekształca się on w następujący sposób :
Fµν = ∂µ Aν − ∂µ Aν → Fµν + ∂µ ∂να – ∂ν ∂µα = Fµν (1.17)
2. Dowieść, że zawężenie dowolnego tensora symetrycznego z tensorem antysymetrycznym jest równe 0.
Rozpatrzmy pewien tensor symetryczny Sµν i tensor antysymetryczny Aµν.
Wtedy Sµν Aµν = – Sνµ Aµν
Zmieniając oznaczenia indeksów sumowania otrzymujemy, że wyrażenie będzie równe – SµνAµν, a zatem jest równe 0.
1.2 Formalizm Lagrange’a w teorii pola.
Równania (1.10) mogą być zapisane w formie Lagrange’a i mogą być wyprowadzone z zasady najmniejszego działania [2]. Przypomnijmy, że zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch dowolnego układu zachodzi w taki sposób, aby funkcjonał działania, definiowany jako całka po czasie od funkcji Lagrange’a :
S =
∫
dt L (1.18)była minimalna (* aby osiągała minimum lokalnie *)
W mechanice klasycznej funkcja Lagrange’a zależy od skończonej liczby współrzędnych uogólnionych i ich pochodnych po czasie. W teorii pola liczba współrzędnych uogólnionych staje się nieskończona.
Dokładniej, wartość zmiennej polowej ϕi w każdym punkcie czasoprzestrzeni reprezentuje sobą pewna niezależną współrzędna uogólnioną.
Matematycznie można to sformułować tak :
L = c
∫
d3x £(φi, ∂µϕi, r, t ) (1.19)gdzie £ - pewna funkcja zmiennych polowych, ich pochodnych, a także (być może ) współrzędnych i czasu, którą dalej będziemy nazywali funkcja Lagrange’a (* lagranżjanem *)
Ponieważ x0 = ct, działanie zapisujemy w postaci :
S =
∫
dt L =∫
d4x £(φi, ∂µϕi, xµ ) (1.20)Ponieważ w punkcie minimum wariacja takiego funkcjonału jest równa 0, to : 0 = δS = δ( c
∫
dt d3x £ ) =∫
d4x [(∂£/∂φi )δϕi + ∂£/ ∂(∂µϕi ) δ(∂µϕi )] ==
∮
dSµ ( ∂£/ ∂(∂µϕi ) δϕi +∫
d4x [(∂£/∂φi ) – ∂µ ( ∂£/ ∂(∂µϕi )] δϕi (1.21) Przy tym całka powierzchniowa∮
brana jest po nieskończenie dużej powierzchni, ograniczającej czterowymiarową czasoprzestrzeń. Można ja odrzucić, zakładając że wartości pól są ustalone i stałe na danej powierzchni(a zatem δϕ |x→∞ = 0 ).
Dlatego :
0 = δS =
∫
d4x [(∂£/∂φi ) – ∂µ ( ∂£/ ∂(∂µϕi )] δϕi (1.22) Ponieważ funkcja δϕ(x) są dowolne, to powyższa równość może być słuszna tylko, w tym przypadku jeśli :(∂£/∂φi ) – ∂µ ( ∂£/ ∂(∂µϕi ) = 0 (1.23) Równania (1.23) reprezentują sobą równania Lagrange’a (* Eulera – Lagrange’a *) w teorii pola.
Przykładem zastosowania powyżej przedstawionego formalizmu może być klasyczna elektrodynamika z zewnętrznym źródłem, która jest opisywana przez działanie o postaci :
( teraz i dalej – jeśli nie powiedziano inaczej – będziemy przyjmowali, że po dwóch dowolnych indeksach prowadzimy zawężanie z ηµν tak, że :
aµbµ ≡ aµbµ ≡ aµbµ W szczególności Fµν2
= Fµν Fµν ) : Sel =
∫
d4x[ – (1/16πc) Fµν2 – (1/c2 ) jµAµ ] (1.24)
W zadaniu 1 pokazano, że odpowiednie równania Lagrange’a :
(∂£/∂Aν ) – ∂µ ( ∂£/ ∂(∂µAν ) = 0 (1.25) pokrywają się z drugą parą równań Maxwella (1.10).
Działanie (1.24) jest inwariantne względem przekształcenia cechowania (1.9) z dokładnością do całki od czterodywergencji, co pokazano w zadaniu 2.
( Zauważmy, że dodanie czterodywergencji do funkcji Lagrange’a nie zmienia równań Lagrange’a. Zadanie 3 ) Jeśli w charakterze źródła występuje naładowana cząstka punktowa, poruszająca się po zadanej trajektorii x(t), to :
j0 = cqδ3( x – x(t)) ; j = q v(t)δ3( x – x(t)) (1.26)
i druga składowa w (1.24) przechodzi w standardowe wyrażenie, opisujące oddziaływanie cząstki naładowanej z polem EM :
Sodd =
∫
dt [ (q/c) (vA) – qϕ ] (1.27)Zadania.
1. Pokazać, że równania Lagrange’a dla działania (1.24) pokrywają się z równaniami Maxwella (1.10).
Ponieważ ∂Aν /∂Aβ = δβ
ν , a ∂(∂µAν )/∂(∂αAβ ) = δα µ δβ
ν dla dowolnych funkcji Lagrange’a otrzymujemy następujące wyrażenia :
∂£/∂Aα = – (1/c )2 jµ δαµ = – (1/c2 )jα (1.28)
∂µ ( ∂£/ ∂(∂µAν ) = – (1/16πc ) 2Fσρ ( δβσ δαρ – δασ δµρ ) = – ( 1/4πc)Fµα (1.29) Dlatego równanie ruchu (1.25) może być zapisane w postaci :
∂µFµα = (4π/c) jα (1.30)
i pokrywa się z równaniem (1.10).
2. Sprawdzić, że działanie (1.24) jest inwariantne względem przekształceń cechowania (1.9) dokładnością do całki od czterodywergencji.
Ponieważ tensor pola Fµν jest inwariantny względem przekształceń cechowania, to : Sel. =
∫
d4x [ – (1/16πc) Fµν2 – (1/c2 ) jµ( Aµ – ∂µα )] =
= Sel. + (1/c2 )
∫
d4x [ ∂µ(jµα ) – ∂µjµα ] (1.31)Przyjmując do wiadomości równanie ciągłości ∂µjµ = 0 otrzymujemy, że :
Sel. → Sel. +
∮
dSµ jµα (1.32)skąd wynika dowodzone stwierdzenie.
3. Dowieść, że dodanie czterodywergencji do funkcji Lagrange’a nie zmienia równań Lagrange’a.
Załóżmy, że :
£ → £’ = £ + d/dxµ fµ(ϕi, x ) = £ + ( ∂fµ/∂ϕi ) ∂µϕi + ∂/∂xµ fµ (1.33)
gdzie pochodna dxµ działa na wszystkie xµ ( w tym i na argument ϕi ), a pochodna ∂/∂xµ – tylko na drugi argument fµ ( zauważmy, że w takich oznaczeniach ∂µ ≡ dxµ )
Z (1.33) jest oczywiste, że :
∂/ ∂(∂µϕi ) ( ∂νfν ) = ∂fµ/∂ϕi (1.34)
zatem :
0 = ∂µ[ ∂£’ / ∂(∂µϕj )] – (∂£’/∂ϕj ) = ∂µ[ ∂£ / ∂(∂µϕj )] – (∂£/∂ϕj ) + ∂µ( ∂fµ/∂ϕj ) – ∂/∂ϕj [ ∂µ (∂µfµ )] =
= ∂µ[ ∂£ / ∂(∂µϕj )] – (∂£/∂ϕj ) (1.35) Dlatego równania Lagrange’a, otrzymane z funkcji £’, pokrywają się z równaniami Lagrange’a, które wynikają z £.
1.3 Uwagi o wykorzystywanym układzie jednostek.
Dalej będziemy wykorzystywali układ jednostek, w którym (* naturalny układ jednostek *) :
stała Plancka/2π ≡ ħ = c = 1 (1.36)
W takim układzie wszystkie wielkości mają wymiar masy w pewnej potędze. W szczególności w zadaniu pokazano, że :
Masa [m] = m (1.37)
Energia [E] = m Pęd [p] = m
Współrzędna [x] = 1/m Czas [t] = 1/m
Pochodna po współrzędnej [∂µ ] = m Działanie [S] = 1
Potencjał pola EM [Aµ ] = m Prąd [ jµ ] = m3
Ładunek [q] = 1
Natężenie pola EM [ Fµν ] = m2 Stała grawitacyjna [G] = 1/m–2
Wymiar innych wielkości będziemy w razie konieczności wskazywać w tekście książki.
Oprócz tego, zredefiniujemy potencjał pola EM i moduł ładunku elektronu w następujący sposób :
Aµ → √4π Aµ , e → e/√4π (1.39)
Ponieważ prąd jest proporcjonalny do modułu ładunku elektronu e, to przy tym :
jν → (1/√4π) jν (1.40)
Po takich przekształceniach działanie pola EM z źródłem zewnętrznym (1.24) i stała struktury subtelnej zapisana będzie następująco :
Sel. = – ¼
∫
d4x Fµν2 –∫
d4x jµ Aµ , α = e2/4π (1.41)
a równania Maxwella otrzymane przy wariacji działania (1.41), przyjmują postać :
∂µ Fµν = jν (1.42)
Zadania.
Znaleźć wymiary wielkości fizycznych w układzie jednostek h = 1, c = 1.
[E] = [mc2 ] = [m] = m
[p] = [mc] = m
[x] = [h/p] = 1/[p] = 1/m [t] = [x/c] = [x] = 1/m
[∂µ ] = 1/[x] = m (1.43)
Oprócz tego, rozpatrując wyrażenie exp(iS/h), możemy wnioskować, że :
[S] = [h] = 1 (1.44)
Wykorzystując (1.24) i (1.44), otrzymujemy że :
[Fµν ] = sqrt( 1/ [x4 ] ) = m2
[Aµν ] = [Fµν ] / [∂µ ] = m
[jµ ] = 1/ [Aµx4 ] = m3
[q] = [j0x3 ] = 1 (1.45) Na koniec, wymiar stałej grawitacyjnej można obliczyć, wychodząc z prawa powszechnego ciążenia :
[G] = [Fx2] / [m2] = [mx/t2][x2] /[m2 ] = m–2 (1.46)
1.4 Emisja fal elektromagnetycznych.
Znajdziemy teraz rozwiązanie równań Maxwella przy warunku, że znamy składowe ze źródłami. Będziemy wykorzystywali cechowanie Lorenza ∂µAµ = 0, w którym równania Maxwella zapiszemy w postaci :
∂µ Fµν = ∂2Aν = jν (1.47) Rozwiązywać takie równanie jest wygodnie z pomocą przekształcenia Fouriera. Taki sposób rozwiązania dokładnie opisano w zadaniu 1, gdzie pokazano, że :
Aµ(x) =
∫
d4y G(x – y) jµ(y) (1.48)gdzie funkcja Greena G(x – y ) zapisana jest w postaci :
G(x – y ) = –
∫
[ d4x /(2π)2k2 ] exp[ –kα(xα – yα )] (1.49)przy czym k2 = k02 – k2
Jednakże wyrażenie to musi być wykorzystywane z ostrożnością, ponieważ przy całkowaniu po k0 napotykamy dwa bieguny na osi rzeczywistej. Aby poprawnie określić taką całkę należy wskazać dodatkowo zasady obejścia takich biegunów. W tym celu należy wykorzystać rozważania fizyczne – potencjał, który jest generowany przez pewien rozkład źródeł, powinien zależeć tylko od tego, jak źródła były rozłożone w przeszłości i nie powinien zależeć od tego, jak będą one rozłożone w przyszłości. Odpowiada to temu, że :
G(x – y ) = 0, jeśli x0 < y0 (1.50)
Aby taki warunek był spełniony, należy dookreślić funkcje Greena (1.49) w następujący sposób :
Gret(x – y ) = – lim
∫
[ d4x /(2π)2k2 ] { exp[ –kα(xα – yα )] / k02 – k2 + 2iεk0 } (1.51) (Funkcja Greena, określona w taki sposób, nazywa się opóźniona funkcją Greena )Bieguny mianownika w takim przypadku będą znajdowały się w punktach :
(iloczyn ε przez dowolną skończona liczbę dodatnią można przyjąć równy ε, ponieważ bierzemy granice przy ε → 0+ )
k0 = ± √k2 ( 1 – iεk0/k2 ) = ± √k2 – iε (1.52)
To oznacza, że oba bieguny będą znajdowały się poniżej osi rzeczywistej, równoważnie oba bieguny obchodzimy od góry na płaszczyźnie zespolonej. Jeśli przy tym x0 < y0, to zgodnie z lematem Jordana, przy obliczeniu całki po k0, należy dokonać zamknięcia konturu całkowania na górnej półpłaszczyźnie (rys. 1.1 )
Rys. 1.1 Kontur, wykorzystywany dla obliczenia całki po zmiennej k0.
Na górnej półpłaszczyźnie rozpatrywana funkcja nie posiada żadnej osobliwości, dzięki czemu całka od niej jest równa 0. To oznacza właśnie spełnienie warunku (1.50).
Obliczenie opóźnionej funkcji Greena przy x0 > y0 przeprowadzono w zadaniu2, w którym pokazano, że :
Gret(x – y ) = (1/4πr) δ(r – x0 ) (1.53)
gdzie r = √ x2
Podstawiając to wyrażenie do wzoru (1.48), otrzymujemy że rozwiązanie równań Maxwella może być przedstawione w postaci :
Aµ(t, x ) =
∫
d3y [ jµ( t – | x – y |, y ) / 4π | x – y | ] (1.54)Rozwiązanie to posiada bardzo prostą interpretacje – pole EM propaguje się z punktu y, gdzie znajduje się jego źródło, do punktu x, w którym je mierzymy, z prędkością c = 1.
Dlatego tez pole w punkcie x w chwili t jest określone przez wartość źródła jµ w punkcie y i w chwili t – | x – y |.
Dlatego rozwiązanie równań Maxwella (1.54) nazywa się potencjałem opóźnionym.
Jednakże rozwiązanie (1.54) nie zawsze jest dogodne, ponieważ zawiera zbyt złożone całkowanie. Przy tym typową jest sytuacja, kiedy źródła są skupione w pewnym ograniczonym obszarze przestrzeni, a pole EM mierzymy w punkcie dalekim od obszaru źródłowego.
Okazuje się, że w takim przypadku można znacząco uprościć wzory dla potencjału opóźnionego, wykorzystując przybliżenie r >> L, gdzie poprzez L oznaczamy rozmiar charakterystyczny, w którym umiejscowione źródła, r – odległość od tego obszaru do punktu, w którym mierzymy pole EM.
Przy tym będziemy przyjmowali, że układ ładunków, które są źródłami pola EM globalnie jest elektrycznie neutralny.
Przy r >> L, przyjmujemy, że źródła znajdują się w pobliżu początku współrzędnych, można ograniczyć się do niższych rzędów rozkładu :
| x – y | = r – ny + O(1/r) (1.55)
gdzie r = √ x2 , n = x/r – wektor jednostkowy, który „patrzy” z punktu w którym znajdują się źródła, do punktu w którym znajduje się odbiornik fal EM.
Innymi słowy n, reprezentuje sobą wektor jednostkowy wskazujący kierunek propagacji fal EM.
W najniższym przybliżeniu :
Aµ(t, x ) ≈ (1/4πr )
∫
d3y jµ( t – r , y ) (1.56)Jednakże zerowa składowa powyższego wyrażenia okazuje się równa 0 na mocy prawa zachowania ładunku elektrycznego i neutralności elektrycznej układu :
q =
∫
d3y j0(t, y) = 0 (1.57)Dlatego w celu znalezienia pierwszego nietrywialnego wkładu do składowej zerowej potencjału należy uwzględnić następujący porządek.
Przyjmując do wiadomości, że zerowa składowa prądu reprezentuje sobą gęstość ładunku elektrycznego ρ i wykorzystując rozkład w szereg Taylora, otrzymujemy :
J0( t – | x – y |, y ) = ρ( t – r + ny + O(1/r),y ) ≈ ρ(t – r ) + ∂/∂t ρ( t – r, y ) ny (1.58) Ważnym jest zauważyć, że ograniczamy się tylko do dwóch pierwszych składowych rozkładu tej wielkości w szereg Taylora i zaniedbujemy pozostałe. Można to zrobić w tym przypadku, jeśli każdy kolejny człon rozkładu jest istotnie mniejszy od poprzedniego. Jeśli ruch ładunków następuje według prawa harmonicznego z częstością ω, to ∂0ρ ~ ωρ.
Dlatego druga składowa będzie istotnie mniejsza od pierwszej w przypadku, jeśli ωy << 1. Jednakże przy drganiach harmonicznych wielkość ωy reprezentuje sobą wielkość charakterystyczna prędkości ładunków. Dlatego przedstawiony przez nas rozkład będzie słuszny w tym przypadku, jeśli prędkość ruchu ładunków, generujących pole EM, będzie mała w porównaniu z prędkością świtała c = 1.
Dalej zauważmy, że wielkość :
p =
∫
d3y ρ(t, y)y = p(t) (1.59) reprezentuje sobą moment dipolowy układu ładunków, które generują pole EM.Dlatego też zgodnie z wzorami (1.54) i (1.58) składowa zerowa potencjału pola cechowania będzie w przybliżeniu równa :
A0 ≈ np•(t – r)/4πr (1.60)
Teraz obliczymy składowe przestrzenne potencjału pola EM. W zadaniu 3 pokazano, że okazują się one różne od zera już w niższym rzędzie rozkładu w szereg Taylora wzoru (1.54) i są równe :
A ≈ (1/4πr )
∫
d3y j( t – r, y ) = p•/4πr (1.61)Dlatego też w rozpatrywanym przybliżeniu potencjał skalarny I wektorowy pola EM są odpowiednio równe :
ϕ = np•(t – r)/4πr , A = p•(t – r)/4πr (1.62)
Ważną cechą takich wyrażeń, w porównaniu z wzorem (1.54) jest nie występowanie złożonego całkowania. Zauważmy również (zadanie 4 ), ze potencjały (1.62) spełniają cechowanie Lorenza :
∂µAµ = ∂0ϕ + ∂A = 0 (1.63)
z dokładnością do składowych O(1/r2 ), które wystarczająco szybko zanikają w nieskończoności przestrzennej i w rozpatrywanym przybliżeniu mogą być odrzucone. W zadaniu 5 pokazano, że z dokładnością do takich że składowych pola – elektryczne i magnetyczne, odpowiadające potencjałom (1.62), mogą być przedstawione w postaci :
E = [ n × [ n × p•• ]] / 4πr ; H = – [ n × p•• ]] / 4πr (1.64)
W celu obliczenia strumienia energii, który przenosi pole EM, należy znaleźć wartość wektora Umowa – Poytinga : ( wektor ten reprezentuje sobą składową 0i symetrycznego TEP, który zostanie zbudowany dalej – wzór (2.79))
[ E × H ] = { [ n × p•• ]2/ 4πr } n (1.65)
( równość ta wynika z tego, że wektory E i H są oczywiście do siebie prostopadłe, a ich iloczyn wektorowy, jak można łatwo pokazać, ma kierunek n.
Dobrze wiadomo, że ( zobacz np. dalej cześć 2.3.2 ), że moduł wektora [ E × H ] reprezentuje sobą energię, która przenosi fala EM przez jednostkowe pole powierzchni w jednostkowym czasie.
Dlatego, jeśli oznaczymy przez ϑ kąt pomiędzy wektorem p•• i wektorem n, który wskazuje kierunek propagacji fali EM, to energia, emitowane w jednostce czasu w kąt bryłowy dΩ, będzie równa :
dI = { p••2 sin2 (ϑ) / (4π)2 } dΩ (1.66)
Całkowity strumień energii w jednostce czasu obliczono w zadaniu 6, okazuje się on równy :
I = p••2 / 6π (1.67)
Jeszcze raz należy podkreślić, że przy otrzymaniu potencjałów (1.62) (a zatem wszystkich dalszych wzorów ) ograniczyliśmy się tylko do niższych członów rozkładu Taylora, co faktycznie odpowiada rozkładowi po małych prędkościach ładunków, generujących pole EM. Przy tym wynik dla potencjałów wyraża się poprzez wielkość
elektrycznego momentu dipolowego układu ładunków. Dlatego mówimy, że odpowiadające im fale EM otrzymywane są w wyniki promieniowania dipolowego. Wszystkie pozostałe składowe można uwzględnić formułując w odpowiedni sposób rozkład potencjałów pola EM. Taki rozkład nazywa się rozkładem mulitpolowym.
Zadania
1. Znaleźć rozwiązanie równań Maxwella w cechowaniu Lorenza.
Pole cechowania i prąd przedstawimy w postaci całki Fouriera :
Aµ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ikαxα ) A~µ(k) (1.68)jµ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ikαxα ) j~µ(k) (1.68)Podstawiając takie wyrażenia do równania Maxwella w cechowaniu Lorenza, które zapisujemy w postaci :
∂2Aν = jν otrzymujemy :
A~ν(k) = –(1/k2 )j~ν(k) (1.69)
gdzie k2 = k02 – k2
Dokonując odwrotnego przekształcenia Fouriera, ostatecznie otrzymujemy :
Aµ(x) = –
∫
[ d4k/ (2π)4 ] (1/k2 )∫
d4y exp(ikαyα ) jµ(y) (1.70)Co można przepisać równoważnie w formie (1.48) i (1.49).
2. Obliczyć opóźnioną funkcje Greena (1.51) przy x0 > y0.
Na początku obliczymy całkę po dk0. W tym celu dokonujemy zamknięcia konturu całkowania, które w rozpatrywanym przypadku prowadzimy na dolnej półpłaszczyźnie, tak jak to pokazano na rysunku 1.1.Przy tym wyrażenie podcałkowe będzie posiadało dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach k0 = ±k – iε, gdzie k = √k2.
Obliczając residuua w takich biegunach otrzymujemy : ∞
– lim
∫
[ dk0 /2π ] exp( –ik0x0 )( 1/ k02 – k2 + 2iεk0 ) = (i/2k )[ exp(–ikx0 ) – exp(ik0 )] (1.71) ε→0 –∞dlatego, opóźniona funkcja Greena będzie równa :
Gret(x) =
∫
[ d3k/ (2π)3 ] [ sin(kx0)/k ] exp(ikx ) (1.72) Całka ta może być obliczona we współrzędnych sferycznych. Przy tym oś z dogodnie jest skierować wzdłuż wektora x, dzięki czemu kx = kr cos(ϑ), gdzie r ≡ √x2, a miara całkowania okazuje się równa :∞ π 2π
∫
d4k =∫
dk k2∫
dϑ sin(ϑ)∫
dϕ (1.73)0 0 0
Ponieważ wyrażenie podcałkowe nie zależy od kąta ϕ, to całka po nim daje 2π. Przy całkowaniu po dϑ, dogodnie jest dokonać zamiany x = cos(ϑ). Z jej pomocą otrzymujemy :
∞
Gret(x) = 2
∫
[d3k /(2π)2r ] sin(kx0) sin(kr) = 0∞
=
∫
[dk /(2π)2r ] [ cos(kx0 – kr) – cos(kx0 + kr)] (1.74)0
Aby obliczyć taka całkę, można wykorzystać całkową reprezentacje δ –funkcji : ∞ ∞ ∞
δ(x) = (1/2π)
∫
dk exp(ikx ) = (1/2π)∫
dk cos(kx ) = (1/π)∫
dk cos(kx ) (1.75) –∞ –∞ 0Wynik ten można sprawdzić również bezpośrednio. W tym celu dookreślimy rozpatrywana całkę w następujący sposób :
∞ ∞
∫
dk exp(ikx ) ≡ lim ½∫
dk [ exp(–εk + ikx ) – exp(εk – ikx )] = lim ε /x2 + ε2 (1.76) 0 ε→0 0W przypadku, jeśli x ≠ 0, to powyższa granica jest równa 0. Jeśli x = 0, to przy ε → +0, otrzymujemy +∞.
Przy tym :
∞
∫
dx (ε /x2 + ε2 ) = π (1.77)–∞
Dlatego można przyjąć, że :
∞
∫
dk cos(kx) = πδ(x) (1.78)0
Wykorzystując takie równanie, ze wzoru (1.74) znajdujemy, że :
Gret(x) = (1/4πr) [ δ(r – x0) – δ(r + x0 ) ] = (1/4π) δ(r – x0 ) (1.79)
Ponieważ r > 0 i x0 > 0, zatem druga δ –funkcja okazuje się być równa 0.
3. Obliczyć potencjał wektorowy pola EM w niższym rzędzie rozkładu multipolowego.
Zachowując we wzorze dla składowych przestrzennych potencjału opóźnionego (1.54) tylko składowe wiodące rozkładu w szereg Taylora, otrzymujemy że :
A = (1/4π)
∫
d3y j(t – r, y ) (1.80)Aby przepisać tę wielkość nieco inaczej, rozpatrzymy :
∫
d3y yi div j =∫
d3y yi ∂kjk = –∫
d3y ji (1.81)(ostatnia równość otrzymana została z pomocą całkowania przez części z uwzględnieniem tego, ze prądy skupione są w pewnym skończonym obszarze przestrzeni )
Wykorzystując następnie równanie ciągłości (1.2), otrzymujemy że :
∫
d3y j = ∂/∂t∫
d3y ρy = p• (1.82)gdzie p – elektryczny moment dipolowy układu ładunków, generujących pole EM.
Dlatego, ostatecznie potencjał wektorowy możemy zapisać w formie :
A = p•/4πr (1.83)
4. Sprawdzić, że potencjały (1.62) spełniają warunek cechowania Lorenza z dokładnością do członów rzędu 1/r2.
W pierwszej kolejności zauważymy, że przy różniczkowaniu potencjałów po współrzędnych przestrzennych pochodna czynnika 1/r prowadzi do składowych rzędu 1/r2. Ponieważ takie składowe wystarczająco szybko zanikają w
przestrzennej nieskończoności, to można je zaniedbać, jeśli tylko źródło znajduje się wystarczająco daleko od odbiornika. Jako następstwo tego faktu, pochodna po współrzędnych przestrzennych będzie działała tylko na r, który zawarty jest w argumencie momentu dipolowego. Przy tym słuszna jest tożsamość :
∂r = x/ r = n (1.84)
która wynika z równości :
∂/∂x sqrt(x2 + y2 + z2 ) = x / sqrt(x2 + y2 + z2 ) (1.85)
Dlatego, wykorzystując wzory dla pochodnej funkcji złożonej, otrzymujemy, że :
∂µAµ = ∂ϕ/∂t + ∂A = [ np•(t – r)/4πr ] – ∂r [ p•(t – r)/4πr ] + O(1/r2 ) = O(1/r2 ) (1.86) 5. Znaleźć wyrażenia dla pól elektrycznego i magnetycznego, które odpowiadają potencjałom (1.62).
Przy obliczaniu pola magnetycznego słuszne są wszystkie uwagi jakie poczyniliśmy przy dowodzeniu słuszności cechowania Lorenza w zadaniu 4. W szczególności, pochodne przestrzenne działają tylko na r, stojący w argumencie momentu dipolowego, dzięki czemu z wykorzystaniem równania (1.84) pole magnetyczne można zapisać w następujący sposób :
H = rot A = –(1/4πr) [ ∇r × p•(t – r )] + O(1/r2 ) = – { [ n × p•] /4πr } + O(1/r2 ) (1.87)
W analogiczny sposób, przy obliczeniu pola elektrycznego również można różniczkować tylko argumenty momentu dipolowego :
A = –∂A/∂t – ∇A0 = – (p••/4πr ) + [ n(np•• )/4πr ] = [ n × [ n × p••] ] /4πr (1.88) Przy wyprowadzeniu powyższego równania wykorzystaliśmy wzór dla podwójnego iloczynu wektorowego :
[ A × [ B × C ]] = B(AC) – C(AB) (1.89)
dla dowiedzenia słuszności którego dogodnie jest wykorzystać wyrażenie dla składowych iloczynu wektorowego zapisane poprzez ε –symbol I wzór dla iloczynu dwóch symboli ε :
[ A × [ B × C ]]i = εijk Aj εkmn BmCn = | δim δin | AjBmCn = | δjm δjn |
= Bi (Aj Cj ) – Ci (Aj Cj ) (1.90)
6. Znaleźć całkowite natężenie elektrycznej emisji dipolowej.
Ponieważ we współrzędnych sferycznych element kąta bryłowego zapisujemy w postaci dΩ = sin(ϑ)dϑdϕ, to całkowite natężenie elektrycznego promieniowania dipolowego, jest równe :
π 2π 1
I =
∫
dϑ sin(ϑ)∫
dϕ [ p•2 sin2(ϑ) /(4π)2 ] = ( p••2/8π )∫
dx ( 1 – x2 ) = p••2/6π (1.91) 0 0 –1Spis literatury
1. Z ogromnej liczby dobrych podręczników do klasycznej elektrodynamiki można polecić np. : W. I Denisow – wykłady z elektrodynamiki; Moskwa 2007
J. D. Jackson - Elektrodynamika klasyczna ; PWN 1982
L.D Landau, E.M Lifszyc – Fizyka teoretyczna, tom 2 - Teoria pola; PWN 1977 I. E. Tamm - Podstawy teorii elektryczności ; WNT 1967
2. Piękny wykład podstaw formalizmu Lagrange’a i Hamiltona przedstawiono w książce : L.D Landau, E.M Lifszyc – Fizyka teoretyczna, tom 1 - Mechanika; PWN 1977
************************************************************************************************
Rozdział 2 Podstawy klasycznej teorii pola.
2.1 Lokalna inwariantność cechowania.
Najprostszym modelem teorii pola jest teoria, opisująca zespolone pole skalarne ϕ(x). Pojęcie pola skalarne mówi o tym, że przy obrotach układu współrzędnych przekształca się ono według prawa ϕ(x) → ϕ’(x), przy czym ϕ’(x’) = ϕ(x).
Niezbyt ściśle, pole skalarne można sobie wyobrazić jako funkcje współrzędnych, która nie zmienia indeksów lotrentzowskich.
Aby zbudować funkcje Lagrange’a dla pola skalarnego rozsądnie będzie założyć, że powinna być ona kwadratowa po pierwszych pochodnych, np. :
£ = ∂µϕ* ∂µϕ – m2ϕ*ϕ (2.1)
Równania ruchu dla lagranżjanu (2.1) , to równania Kleina – Gordona –Foka [1] :
∂2ϕ + m2ϕ = 0 (2.2)
gdzie ∂2 ≡ ∂µ∂µ = ∂02 – ∂2
Przechodząc do reprezentacji pędowej, z (2.2) znajdujemy (zadanie 1 ), że :
ϕ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)2 ] exp( –ixµkµ ) δ(kα2 – m2 )ϕ(k) (2.3)Ponieważ dla cząstki swobodnej w mechanice kwantowej E = k0, p = k, to warunek kµ2 = k02 – k2 = m2 reprezentuje sobą związek pomiędzy energią i pędem cząstki relatywistycznej o masie m.
Dlatego parametr m będziemy nazywali masą pola skalarnego.
W ogólniejszym przypadku dla pola skalarnego można zapisać następującą funkcje Lagrange’a :
£ = ∂µϕ* ∂µϕ – V(ϕ*ϕ) (2.4)
gdzie V – pewna funkcja rzeczywista, którą często nazywa się potencjałem.
Lagranżjan (2.4) nie zmienia się (jest inwariantny ) względem globalnych przekształceń cechowania :
ϕ → exp(–ieα) ϕ ; ϕ* → exp(ieα)ϕ* (2.5)
gdzie α∈ Re – dowolna stała rzeczywista, która jest parametrem takich przekształceń (e – również jest pewną stałą, której sens wyjaśnimy dalej )
Pojęcie „globalne” (przekształcenie ) oznacza, że stała α jest jednakowa we wszystkich punktach przestrzeni tj. α ≠ α(x).
Jednakże, jak łatwo sprawdzić nie jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania, które co do formy pokrywają się z (2.5), ale teraz α = α(x), ponieważ w tym przypadku :
∂µϕ → exp[ –ieα(x)] [ ∂µϕ – ie∂µα(x)ϕ ] (2.6)
Spróbujemy teraz zmodyfikować funkcje Lagrange’a w taki sposób, aby nie zmieniała się ona również przy α = α(x).
W tym celu przypomnimy sobie, że działanie pola EM jest inwariantne względem przekształceń :
Aµ → Aµ – ∂µα (2.7)
Zatem, zamienimy w lagranżjanie (2.4) standardowe pochodne cząstkowe ∂µϕ i ∂µϕ* na pochodne kowariantne, które zdefiniujemy następująco :
Dµϕ = ∂µϕ – ieAµϕ ; Dµϕ* ≡ (Dµϕ )* = ∂µϕ* + ieAµϕ* (2.8)
W zadaniu 2 pokazano, że przy lokalnych przekształceniach cechowania :
Dµϕ → exp[ –ieα(x)] Dµϕ ; Dµϕ* → exp[ieα(x)] Dµϕ* (2.9)
Dlatego wyrażenie :
£1 = Dµϕ* Dµϕ – V(ϕ*ϕ) (2.10)
jest inwariantny względem przekształceń :
ϕ → exp[ –ieα(x)]ϕ , ϕ* → exp[ ieα(x)]ϕ* , Aµ → Aµ – ∂µα(x) (2.11) Obecność w lagranżjanie (2.10) potencjału Aµ świadczy o oddziaływaniu pomiędzy polami skalarnym i polem EM.
Jednakże przy obecności pola EM, do teorii należy dodać również jego lagranżjan :
£2 = – ¼ Fµν2 (2.12)
(w danym przypadku zakładamy brak źródła zewnętrznego pola EM )
Dlatego ostateczne wyrażenie dla funkcji Lagrange’a, inwariantne względem lokalnych przekształceń cechowania (2.11) i opisujące układ oddziałujących pól – skalarnego i EM, można zapisać tak :
£1 = £1 + £2 = – ¼ Fµν2 + Dµϕ* Dµϕ – V(ϕ*ϕ) (2.13)
Odpowiednie równania ruchu otrzymano w zadaniu 3, mają one postać :
Dµ2ϕ + V(ϕ*ϕ)ϕ = 0 (2.14)
∂µFµν = jν = –ie(ϕ*Dνϕ –ϕDνϕ* ) (2.15)
Widzimy, że drugie równanie co do formy pokrywa się z równaniami Maxwella, ale w miejsce czterowektora prądu stoi w nim pewna funkcja pola ϕ. To oznacza, ze w danym przypadku pole skalarne reprezentuje sobą źródło dla pola EM.
Przy tym równanie ciągłości :
∂µjµ = 0 (2.16)
które jest wymagane dla samozgodności (2.15), teraz automatycznie wynika z (2.14), co jawnie sprawdzono w zadaniu 3.
Zadania.
1. Rozwiązać równanie Kleina – Gordona –Foka z pomocą przejścia do reprezentacji pędowej.
Przedstawiając ϕ(x) w postaci czterowymiarowej całki Fouriera :
ϕ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ixµkµ ) ϕ~(k) (2.17) i podstawiając (2.17) do równania Kleina – Gordona –Foka (2.2), otrzymujemy :(kµ2 – m2 )ϕ~(k) = 0 (2.18) To oznacza, że ϕ~(k) jest proporcjonalna do δ(kµ2 – m2 ) i może być przedstawiona następująco :
(funkcje ϕ(x) i ϕ(k) są oczywiście różne. Oznaczono je jedną i tę samą literką tylko dla wygody )
ϕ~(k) = δ(kµ2 – m2 )ϕ(k) (2.19)
Dlatego, ostatecznie :
ϕ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ixµkµ ) δ(kα2 – m2 )ϕ(k) (2.20)2. Wyjaśnić, jak przekształcają się pochodne kowariantne Dµϕ i Dµϕ* pod działaniem lokalnych przekształceń cechowania (2.11).
Dµϕ = (∂µ – ieAµ )ϕ → ( ∂µ – ieAµ + ie∂µα )[ exp(–ieα)ϕ ] =
= exp(–ieα)( ∂µ– ieAµ )ϕ = exp(–ieα)Dµϕ (2.21)
Dµϕ* = (∂µ + ieAµ )ϕ* → ( ∂µ + ieAµ – ie∂µα )[ exp(ieα)ϕ* ] =
= exp(ieα)( ∂µ+ ieAµ )ϕ* = exp(ieα)Dµϕ* (2.22)
3. Znaleźć równania ruchu dla lagranżjanu :
£ = – ¼ Fµν2 + Dµϕ* Dµϕ – V(ϕ*ϕ) (2.23)
I dowieść, że są one zgodne.
Otrzymujemy :
∂£/∂ϕ* = [ ∂£/∂(Dµϕ* )] [ ∂(Dµϕ*)/∂ϕ* ] – [ ∂V’(ϕϕ*)/∂ϕ* ] = ieAµDµϕ – V(ϕ*ϕ)ϕ (2.24)
∂£/∂(∂µϕ* ) = Dµϕ (2.24) (Pochodna V’ brana jest po pełnym argumencie ϕ*ϕ )
Podstawiając te wyrażenia do równania Lagrange’a, otrzymujemy równanie ruchu dla pola skalarnego :
0 = ∂µDµϕ – ieAµDµϕ + V’(ϕ*ϕ)ϕ = Dµ2ϕ + V’(ϕ*ϕ)ϕ (2.25) Tak jak wcześniej (zadanie 1, cześć 1.2 ) :
∂£/∂(∂µAν ) = –Fµν (2.26) Oprócz tego :
∂£/∂Aν =[ ∂£/∂(Dµϕ* )] [ ∂(Dµϕ*)/∂Aν ] + [ ∂£/∂(Dµϕ )] [ ∂(Dµϕ*)/∂Aν ] = ie(ϕ*Dνϕ – ϕDνϕ*) (2.27) Dlatego równaniem ruchu dla pola Aν jest :
∂µFµν = ie(ϕ*Dνϕ – ϕDνϕ*) ≡ jν (2.28) Aby równanie (2.28) posiadało rozwiązanie, należy spełnić warunek ∂µjµ = 0.
Pokażemy teraz, że jest on następstwem (2.25). Otrzymujemy :
∂µjµ = –ie∂µ (ϕ*Dνϕ – ϕDνϕ* ) (2.29) Rozpatrzmy teraz wyrażenie :
∂µ(ϕ*Dµϕ ) = ∂µϕ*Dµϕ + ϕ*∂µDµϕ = (Dµϕ* – ieAµϕ* )Dµϕ + ϕ*(Dµ2 + ieAµDµ )ϕ = Dµϕ*Dµϕ + ϕ*Dµ2ϕ (2.30)
Analogicznie :
∂µ(ϕDµϕ* ) = DµϕDµϕ* + ϕDµ2ϕ* (2.31)
Dlatego, przyjmując do wiadomości równanie ruchu (2.25) znajdujemy :
∂µjµ = –ie(ϕ*Dµ2 – ϕ Dµ2ϕ* ) = –ie( –ϕ*V’ϕ + ϕV’ϕ* ) = 0 (2.32) To oznacza, że układy równań ruchu (2.25) i (2.28) są samo zgodne.
2.2 Masywne i bezmasowe pola wektorowe.
Teraz spróbujemy wyjaśnić w jaki sposób można zbudować teorię, która opisuje masywne pole wektorowe. W tym celu rozpatrzymy lagranżjan o postaci :
£ = – ¼ Fµν2 + ½ m2Aµ2 ; gdzie Fµν = ∂µAν – ∂νAµ (2.33) Dla funkcji Lagrange’a (2.33) w przypadku m ≠ 0 otrzymujemy równania o postaci (zobacz zadanie ) :
∂2Aµ + m2Aµ = 0 ; ∂µAµ = 0 (2.34)
Dokonując przekształcenia Fouriera, analogicznie do przypadku pola skalarnego, znajdujemy :
Aµ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ixνkν ) δ(kα2 – m2 ) Aµ(k) (2.35)Przy czym kµAµ(k) = 0
Porównując równanie kα2 = k02 – k2 = m2 z relacją pomiędzy energią i pędem cząstki relatywistycznej, możemy wnioskować, że parametr m reprezentuje sobą masę pola wektorowego.
Równanie kµAµ = 0 mówi o tym, że z czterech funkcji Aµ(k) tylko trzy są niezależne. Przykładowo, w układzie odniesienia, gdzie kµ = (m , 0, 0, 0 ), otrzymujemy że A0 = 0, a składowymi niezależnymi są A1, A2, A3.
Dlatego mówimy, ze masywne pole wektorowe posiada trzy stopnie swobody.
Zwróćmy uwagę, że lagranżjan (2.33) nie jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania :
Aµ → Aµ – ∂µα (2.36)
przy m ≠ 0, co jest jego istotnym mankamentem.
W przypadku m = 0 liczba stopni swobody staje się równa 2 dzięki takiej właśnie inwariantności cechowania.
Dzięki bowiem inwariantności (2.36) nie wszystkie Aµ są fizyczne, część z nich może być wyeliminowana z pomocą specjalnego wyboru funkcji α(x) np. zawsze można wybrać α(x) tak, aby została spełniona zasada cechowania Lorenza :
∂µAµ = 0 (2.37)
Warunek (2.37) ustala funkcje α(x) z dokładnością do ostatecznych przekształceń cechowania :
Aµ → Aµ – ∂µα ; ∂2α = 0 (2.38)
Wtedy przy m = 0 rozwiązanie równania ruchu ∂µFµν = 0 w cechowaniu (2.37) okazuje się równe :
Aµ(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ixνkν ) δ(kα2 )Aµ(k) (2.39)Przy czym w reprezentacji pędowej warunek Lorenza i ostateczna inwariantność cechowania może być zapisana tak :
kµAµ(x) = 0 ; Aµ(k) → Aµ(k) – ikµα(x) (2.40)
gdzie :
α(x) =
∫
[ d4k/ (2π)4 ] exp( –ixνkν ) δ(kα2 )α(k) (2.41)Równanie kµ2 = 0 pozwala wybrać układ odniesienia, w którym kµ = (k, 0, 0, k ), tak że warunki (2.40) można przepisać w postaci :
k(A0 + A1 ) = 0 ; A0 → A0 – ikα ; A3 → A3 + ikα (2.42) Zatem, poprzez wybór α(k) = –i A0(k)/k możemy jednocześnie sprawić, że A0 i A3 będą równe zero.
Różnymi od zera pozostaną prostopadłe do wektory pędu k = (0, 0, k), składowe A1 i A2.
Dlatego dzięki inwariantności cechowania bezmasowe pole wektorowe posiada tylko dwa rzeczywiste stopnie swobody.
Zadanie.
Znaleźć równania ruchu dla masywnego pola wektorowego, opisywanego przez funkcje Lagrange’a (2.33).
Łatwo zauważyć, że z lagranżjanu (2.33) otrzymujemy równanie Lagrange’a :
∂µFµν + m2Aν = 0 (2.43)
które w przypadku m ≠ 0 przy zawężeniu z ∂ν daje :
∂νAν = 0 (2.44)
Podstawiając (2.44) do (2.43) otrzymujemy :
0 = ∂µ ( ∂µAν – ∂νAµ ) + m2Aν = ∂2Aν + m2Aν (2.45)
2.3 Twierdzenie Noether : symetrie i prawa zachowania.
2.3.1 Twierdzenie Noether.
W mechanice klasycznej dobrze wiadomo, że wielkości zachowane w wielu przypadkach mogą być łatwo budowane z wykorzystaniem funkcji Lagrange’a. Przykładowo, jeśli funkcja Lagrange’a L, jawnie nie zależy od czasu, to zachowuje się energia uogólniona :
E = ( ∂L/∂qi• ) – L (2.46)
Jeśli nie zależy ona od jednej współrzędnej uogólnionej, to całką ruchu będzie odpowiednia składowa pędu uogólnionego :
pi = ∂L/∂qi• (2.47)
Takie prawa zachowania są przypadkiem szczególnym ogólnego twierdzenia, które nazywa się twierdzeniem Noether [2]. Istotą tego twierdzenia jest stwierdzony fakt, że każdej symetrii klasycznego działania odpowiada pewna wielkość zachowana. W szczególności, w przypadku skończonej liczby stopni swobody (przypadek takie rozpatruje się w mechanice klasycznej punktów i układów punktów, ciał materialnych ) inwariantność działania względem przesunięć w czasie prowadzi do zachowania energii uogólnionej, a inwariantność względem przesunięć po współrzędnej cyklicznej – do zachowania odpowiedniej składowej pędu uogólnionego.
Podobne twierdzenie może być dowiedzione w teorii pola tj. dla przypadku nieskończonej liczby stopni swobody.
Mianowicie ma miejsce następujące twierdzenie.
Twierdzenie Noether. Załóżmy, że działanie :
S =
∫
d4x £(ϕi ,∂µϕi , xµ ) (2.48) jest inwariantny względem nieskończenie małych przekształceń współrzędnych i pól :{ xµ → x’µ + δxµ (2.49)
{ϕ(x) → ϕ’(x) przy czym ϕ’i(x’ ) = ϕi(x) + δ~ϕi(x)ν
W przypadku, jeśli obszar całkowania M jest dowolny (w pierwszej całce można oznaczyć zmienną całkowania dowolną literą, co oczywiście nie zmienia obszaru całkowania ) :
∫
d4x’ £(ϕ’i(x’ ),(∂µϕ’i )(x’ ), x’ ) =∫
d4x £(ϕi(x ),∂µϕi(x), x ) (2.50) M’ Mgdzie (∂µϕ’i )(x’ ) ≡ ∂µϕ’(x’)/∂x’µ.
Wtedy na równaniach ruchu :
d/dxµ { {[ ∂£/∂(∂µϕi )] ∂µϕi – δµν£ } – [ ∂£/∂(∂µϕi )] δ~ϕi } = 0 (2.51) (dowód podano w zadaniu )
Zwróćmy uwagę, że przy dowodzeniu powyższego równania, bardzo istotne jest to, że działanie powinno być inwariantne dla przypadku, jeśli całkowanie prowadzimy po dowolnym obszarze.
W szczególności, jeśli przy przekształceniach (2.49) do działania dodamy pewne człony powierzchniowe, to prawo zachowania w formie (2.51) nie będzie już spełnione.
Zauważmy również, że całkowita zmiana pola ϕi w punkcie x jest związana z wielkością δ~ϕi we wzorze (2.49) poprzez równanie :
δϕi = ϕ’i(x) – ϕi(x) = δ~ϕi – ∂µϕi dxµ (2.52)
Równanie (2.51) prowadzi do zachowania w czasie określonej wielkości. W istocie może ono być bowiem zapisane w postaci : ∂µJµ = 0. Wielkość Jµ przy tym nazywamy noetherowskim prądem zachowanym. Całkując taką równość, po trójwymiarowej przestrzeni przy założeniu, że wszystkie pola dążą do 0 w nieskończoności przestrzennej,
otrzymujemy, że :
0 =
∫
d3x ∂µJµ = d/dt∫
d3x J0 +∮
dS J = d/dt Q (2.53)gdzie : Q ≡
∫
d3x J0W przypadku elektrodynamiki analogiczne prawo zachowania ma miejsce dla prądu jµ = (ρ, j ), przy czym całka po całej trójwymiarowej przestrzeni od j0 reprezentuje sobą całkowity ładunek elektryczny. Dlatego też w analogii do
elektrodynamiki, wielkość Q nazywa się również zachowanym ładunkiem noetherowskim.
Zadanie.
Dowieść twierdzenia Noether.
Ponieważ działanie jest inwariantne względem przekształceń (2.49), to :
0 = δS =
∫
d4x’ £(ϕ’i(x’ ),(∂’µϕ’i )(x’ ), x’ ) –∫
d4x £(ϕi(x ),∂µϕi(x), x ) (2.54) M’ MGdzie ∂’µ ≡ ∂/∂x’µ
Przechodząc w pierwszej całce od całkowania po x’, do całkowania po x z pomocą zamiany zmiennych, otrzymujemy że :
δS =
∫
d4x { det(∂x’α /∂xβ ) £(ϕ’i(x ), (∂x’ν /∂xµ )∂νϕ’i(x’ ), x’ ) – £(ϕi(x ),∂µϕi(x), x ) } (2.55) Mgdzie x’ powinny być wyrażone poprzez x.
Zwróćmy uwagę, że przy tym obszar całkowania M zakłada się jako dowolny.
Ponieważ x’’α = xα + δxα to jakobian przejścia można zapisać następująco :
det (∂x’α /∂xβ ) = | 1 + ∂0δx0 ∂1δx0 ∂2δx0 ∂3δx0 | (2.56) | ∂0δx1 1 + ∂1δx1 ∂2δx1 ∂3δx1 |
| ∂0δx2 ∂1δx2 1 + ∂2δx2 ∂3δx2 | | ∂0δx3 ∂1δx3 ∂2δx3 1 + ∂3δx3 |
Ponieważ wielkości ∂βδxα są małe w niższym rzędzie przybliżenia to taki wyznacznik jest równy 1.
Łatwo sprawdzić, ze w kolejnym rzędzie przybliżenia człony pierwszego rzędu po δxα mogą pojawiać się tylko z iloczynu elementów diagonalnych i okazują się one równe :
∂0δx0 + ∂1δx1+ ∂2δx2 + ∂3δx3 = ∂µδxµ (2.57)
Zatem, z dokładnością do członów pierwszego rzędu małości po δxα :
det (∂x’α /∂xβ ) ≈ 1 + ∂µδxµ (2.58)
Zauważmy, że równość ta może być rozpatrywana jako następstwo wzoru tr ln M = ln det M, który dowodzimy w Dodatku A.2 (zadanie 7).
Z takiego wzoru wynika, że :
det ( δµν + ∂µδxν ) = exp[ tr ln(δµν + ∂µδxν )] ≈ exp[ tr (∂µδxν )] = exp(∂µδxµ ) ≈ 1 + ∂µδxµ (2.59) Z małości δxµ wynika, że :
∂xν /∂x’µ = ∂/∂x’µ (x’ν – δxν ) ≈ δµν + ∂µδxν (2.60)
Dlatego wariacja działania (2.55) może być zapisana jako :
δS =
∫
d4x {(dδxµ /dxµ )£ + (∂£/∂ϕi )δ~ϕi + [ ∂£/∂(∂µϕi )] [ ∂µδ~ϕi – ∂µdxν ∂νϕi ] + (∂£/∂xµ )δxµ } (2.61) Ponieważ funkcja Lagrange’a zależy od współrzędnych zarówno w sposób jawny,, jak i poprzez zmienne polowe ϕi(x), to :∂£/∂xµ = (∂£/∂ϕi )] ∂µϕi + [ ∂£/∂(∂νϕi )] ∂µ∂ν ϕi + (∂£/∂xµ ) (2.62) gdzie pochodne zupełne działają na wszystkie xµ , jawnie występujące w funkcji Lagrange’a
Wyrażając pochodną cząstkową funkcji Lagrange’a ze wzoru (2.62) i podstawiając ją do (2.61), otrzymujemy, że δS może być przepisana następująco :
δS =
∫
d4x {(∂£/∂ϕi )(δ~ϕi – ∂νϕi dxν ) + [ ∂£/∂(∂µϕi )] ∂µ( δ~ϕi – ∂νϕidxν ) + d/dxµ (£δxµ ) } ==
∫
d4x d/dxµ {[ ∂£/∂(∂µϕi )] ( δ~ϕi – ∂νϕidxν ) + £δxµ } +∫
d4x {(∂£/∂ϕi ) – ∂µ [ ∂£/∂(∂µϕi )] (δ~ϕi – ∂νϕidxν ) (2.63) Ostatnia składowa znika przy wykorzystaniu równań Lagrange’a, tak że na równaniach ruchu :0 = δS =
∫
d4x d/dxµ {[ ∂£/∂(∂µϕi )] ( δ~ϕi – ∂νϕidxν ) + £δxµ } (2.64) Na mocy dowolności obszaru całkowania, wyrażenie podcałkowe powinno być równe zero, przy dowolnej wartości współrzędnych. Dlatego, ostatecznie :d/dxµ { [ [ ∂£/∂(∂µϕi )] ∂νϕi – δνµ£ ]δxµ – [ ∂£/∂(∂µϕi )] δ~ϕi } = 0 (2.65) 2.3.2 Zachowanie tensora energii-pędu (TEP)
Rozpatrzmy teraz pewne ważne przypadki szczególne zastosowania twierdzenia Noether.
Ponieważ prawa fizyczne są jednakowe we wszystkich punktach przestrzeni i we wszystkich chwilach czasu, to funkcja Lagrange’a nie powinna jawnie zależeć od współrzędnych tj. :
£ = £(ϕi, ∂µϕi ) (2.66)
Dalej będziemy rozpatrywali tylko te modele, które spełniają takie wymaganie.
Przy spełnieniu warunku (2.66), funkcjonał działania jest inwariantny względem translacji :
{ xµ → x’µ = xµ + aµ (2.67)
{ϕi(x) → ϕ’i(x) przy czym ϕ’i(x’ ) = ϕi(x) gdzie aµ – pewne stałe
ponieważ wtedy przy całkowaniu po dowolnym obszarze M:
S’ =
∫
d4x’ £(ϕ’i(x’),∂µϕ’i(x’ )) =∫
d4x’ £(ϕi(x),∂µϕi(x) ) =∫
d4x £(ϕi(x),∂µϕi(x)) (2.68) M’ M’ MNa mocy dowolności aµ z twierdzenia Noether, wynika prawo zachowania TEP (sens nazwy „tensor energii- pędu”
stanie się jaśniejszy nieco później ) :
Tµν = [ ∂£/∂(∂µϕi )] ∂νϕi – δνµ£ (2.69)
które zapisuje się w postaci :
∂µTµν = 0
Słuszność tego prawa sprawdzona zostanie w zadaniu 1, poprzez jawny rachunek.
Tensorowi energii- pędu Tµν odpowiada zachowana w czasie wielkość :
Pν =
∫
d4x T0ν =∫
d3x { [∂£/∂(∂0ϕi )] ∂νϕi – η0ν£ } (2.70)Porównując P0 z wyrażeniem dla uogólnionej energii (2.46), przyjmując do uwagi równość (1.19) i uwzględniając, ze analogiem współrzędnych uogólnionych są teraz pola ϕi(x), możemy wnioskować, że E = P0.
A ponieważ Pµ = (E, P ) dla cząstki punktowej reprezentuje sobą czterowektor, to jego pozostałe składowe powinniśmy utożsamiać z pędem konfiguracji polowej. Dlatego sens nazwy „tensor energii- pędu” staje się teraz jaśniejszy.
Zauważmy, że ponieważ całka po współrzędnych przestrzennych od składowej T00 jest równa energii, to taka składową można utożsamić z gęstością energii pola. Analogicznie, składowe T0i reprezentują sobą gęstość pędu.
