Dualność

Koncepcja dualności107 wywodzi sie ze spostrzeżenia, że w przypadku niektó-rych przekształceń, obiekty geometryczne występują parami108. Wszystkie wła-ściwości i twierdzenia dotyczące jednego z obiektów tej pary są ważne również dla drugiego z nich. Oba obiekty są nazywane wzajemnie dualnymi. Formalna definicja dualności odwołuje się do mapowania pomiędzy ścianami w wielotopie podstawowym i dualnym – definicja 2.12 [52, s. 46] lub do definiowania wieloto-pów poprzez zbiór wierzchołków (V-wielotop) lub zbiór ścian (H-wielotop) – definicja 2.13 [65, s. 361]. Warto zauważyć, że wielościany simplicjalne i proste są dualne – twierdzenie 2.9 [175. s. 8].

Definicja 2.12. Dwa d-wielotopy P i PΔ są względem siebie dualne, jeżeli ist-nieje wzajemnie jednoznaczne mapowanie Ψ pomiędzy zbiorem wszystkich ścian P i zborem wszystkich ścian PΔ, zachowujące inkluzję (tzn. ściany F1 i F2 wielotopu P spełniają warunek F1 ⊂ F2 wtedy i tylko wtedy, gdy ściany Ψ(F1) i Ψ(F2) wielo-topu PΔ spełniają warunek Ψ(F1) ⊂ Ψ(F2).

Definicja 2.13. Każda V-reprezentacja wielotopu P daje H-reprezentację

wielotopu PΔ i odwrotnie:

{

}

{

}

P=conv 1,..., n ⇔ Δ = ∈\d i, ≤1dla1≤ ≤

Twierdzenie 2.9. Jeżeli dwa wielotopy P i PΔ są względem siebie dualne, to jeden z nich jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy drugi jest simplicjalny.

Każdy wielotop ma swój dualny odpowiednik [52, s. 46]. Wielościan PΔ, dual-ny do wielościanu P, powstaje przez umieszczenie wierzchołków w środkach

__________

czworościanowi, dwudziestościan – wodzie, ośmiościan – powietrzu (które jest usytuowane pomiędzy ogniem i wodą), a sześcian – ziemi. Dwunastościan odpowiadał zewnętrznemu kształtowi wszechświata. Według Platona, nadmiar wody (czyli dwudziestościanów) w organi-zmie, wywoływał chorobę. Obecnie, stwierdzono, że wiele wirusów ma otoczkę białkową (kap-syd) o kształcie dwudziestościanu foremnego [103, s. 18].

107 W dawniejszych publikacjach w języku polskim używano określenia dwoistość na okre-ślenie dualności, np. [31, wyd. pol., s. 176] [39, wyd. pol., s. 116]. Podobnie, w dawniejszych publikacjach angielskojęzycznych można spotkać określenia reciprocation i reciprocal [29, s. 17]. Obecnie, znacznie częściej używane są określenia dualność i dualny (ang. duality, dual – np. [52, s. 46], ale również polarity – np. [65, s. 360], [175, s. 59]).

108 Pierwsze spostrzeżenia dotyczące dualności pojawiły się już w napisanej przez anonimo-wego autora ok. roku 300 n.e. w XIV księdze Elementów Euklidesa. Autor wpisał ośmiościan w sześcian, a sześcian w ośmiościan oraz dwunastościan w dwudziestościan i odwrotnie. Jako pierwszy zrozumiał i opisał istotę dualności prawdopodobnie sycylijski matematyk Franciscus Maurolycus z Messyny (Francesco Maurolico), w XVI w. Dokładną definicję dualności podał dopiero M. Brückner w pracy Vielecke under Vielflache Leipzig, Teubner (1900) [29, s. 30], [159, s. 1].

ścian wielościanu P. Jeżeli dwie ściany miały wspólną krawędź, to ich środki również łączymy krawędzią. Wielościan dualny PΔ ma tyle samo krawędzi co P; tyle wierzchołków, ile P ma ścian; tyle ścian, ile P miał wierzchołków. Wielo-ścian dualny do PΔ to ponownie P. W zapisie za pomocą symboli Schläfliego dualność ujawnia się poprzez zamianę pozycji: {p,q} → {q,p}. Na przykład bryłą dualną względem sześcianu jest ośmiościan foremny {4,3}→{3,4}, a dualną do ośmiościanu foremnego – ponownie sześcian{3,4}→{4,3} (rys. 2.30). Wielościa-ny o tej samej grupie symetrii są dualne.

a) {4,3}→{3,4} b) {3,4}→{4,3}

Rys. 2.30. Wielościany dualne – sześcian i ośmiokąt foremny: a) sześcian opisany na ośmioboku, b) ośmiościan opisany na sześcianie

Inną metodą konstrukcji wielościanów dualnych jest zastosowanie inwersji sferycznej109. Związek z przekształceniem biegunowym i z geometrią rzutową wyjaśnia zachowywanie właściwości wielościanu oryginalnego przez wielościan dualny110. W metodzie tej rozpatrujemy sferę styczną do punktów środkowych krawędzi wielościanu. Następnie konstruujemy wielościan dualny, którego kra-wędzie są styczne do sfery w tych samych punktach, ale prostopadłe do krawędzi wielościanu oryginalnego. Odmiana tej metody, nazywana konstrukcją Dormana-Luke’a, polega na skonstruowaniu figury wierzchołkowej wielościanu, poprzez połączenie punktów środkowych krawędzi wokół wierzchołka (rys. 2.31a),

opisa-__________

109 Stąd, spotykane w literaturze, alternatywne określenie wielościanów dualnych:

wielościa-ny biegunowe lub biegunowo symetryczne (ang. polar lub polar reciprocal) [29, s. 17], [159,

s. 1], [38, s. 239].

110 Zasada dualności w odniesieniu do geometrii rzutowej została sformułowana przez J.D. Gergonna w Philosophie mathématique. Considérations philosophiques sur les élémens de la

science de l'étendue. Ann. Math. 16 (1825–1826), 209–231, a w odniesieniu do przekształcenia

biegunowego – przez J.-V. Ponceleta w Questions résolues. Solution du dernier des deux

problémes de géométrie proposés à la page 36 de ce volume; suivie d'une théorie des pôlaires réciproques, et de réflexions sur l’limination. Ann. Math. 8 (1817–1818), 201–232 [197, s. 3–4],

niu na tej figurze okręgu i skonstruowania wielokąta stycznego do tego okręgu (rys. 2.31b) [159, s. 30]. Poniżej przedstawiono sposób wykonania tej konstrukcji dla wielościanów z rysunku 2.3: ośmiościanu (rys. 2.32a) i sześcianu (rys. 2.32b) oraz złożenie dwóch brył dualnych (rys. 2.32c). Linie na ścianach zaznaczają figury wierzchołkowe.

a) b)

Rys. 2.31. Konstrukcja wielościanu dualnego metodą Dormana–Luke’a: a) konstrukcja figury wierzchołkowej,

b) konstrukcja okręgu opisanego na figurze wierzchołkowej i wielokąta stycznego do tego okręgu

a) b) c)

Rys. 2.32. Metoda Dormana–Luke’a zastosowana do konstrukcji figur dualnych: a) ośmiościanu foremnego, b) sześcianu, c) złożenie brył dualnych

W przypadku rysunków płaskich wielościanów111 stosowane są dwie kon-wencje przedstawiania figur dualnych. Pierwsza nawiązuje bezpośrednio do przedstawionej zasady zastępowania ścian wierzchołkami i odwrotnie (rys. 2.32c). W drugiej konwencji wierzchołek figury dualnej, odpowiadający ścianie zewnętrznej figury podstawowej jest pomijany, a incydentne z nim krawędzie są zakończone symbolizującymi go strzałkami (rys. 2.33) [72, s. 120], [87, s. 49].

__________

a) b)

Rys. 2.33. Dwie konwencje rysowania figur dualnych do płaskich rysunków wielościanów: a) z zaznaczeniem wierzchołka odpowiadającego ścianie zewnętrznej,

b) z pominięciem tego wierzchołka

Zgodność właściwości geometrycznych wielościanów dualnych dotyczy zwłaszcza takich cech, jak wypukłość, regularność, symetria, zgodność typu kom-binatorycznego. Analiza cech strukturalnych pozwala dostrzec jeszcze jedną for-mę dualizmu: dualizm prętowo-płytowy. Przy zamianie walentności ścian z wa-lentnością wierzchołków zmienia się charakter pracy konstrukcji, z układu prętowego na płytowy (i odwrotnie), podczas gdy liczba krawędzi pozostaje stała [160, s. 4]. Ta zależność jest szczególnie istotna w analizie form strukturalnych spotykanych w naturze112.

Można również zauważyć, że operacja tworzenia wielościanów dualnych nale-ży, wraz z innymi operacjami przekształcającymi wielościany, takimi jak ścinanie wierzchołków i tworzenie wielościanu gwiaździstego113, do grupy przekształceń, w których wszystkie lub część elementów danej klasy jest zastępowana elemen-tami innej klasy (np. ściany – wierzchołkami) [87, s. 39].