Metoda Tuttego–Maxwella–Cremony

Metoda polega na przypisaniu wierzchołkom grafów wektora wysokości, przez co „podnoszą” się one z płaszczyzny i przyjmują położenie w przestrzeni. Pod-stawy tej metody sięgają dziewiętnastowiecznych prac J.C. Maxwella203

__________

202 Ogólniej: wielotopu, gdyż możliwość rekonstrukcji przestrzennej dotyczy również obiektów klasy wyższej niż 3.

i L. Cremony204 na temat konstrukcji dualnych i rzutowania odtwarzającego205 [32, s. 26]. Zasadniczy wkład w jej ostateczne opracowanie wniósł jednak niemal sto lat później W.T. Tutte206.

Konstrukcja wielościanu jest w tej metodzie przeprowadzana w dwóch etapach: najpierw graf musi zostać „prawidłowo narysowany” na płaszczyźnie, a następnie podniesiony w przestrzeni trójwymiarowej. Sekwencję postępowania przedstawiono na rysunku 5.2 [120, s. 122–140], [176, s. 626–628], [175, s. 114]. V = { v1,…vm } E = { e1,…,ep } F = { f1,…fn} graf kombinatoryczny Î graf Î graf naprężony Ð wielościan Í wykres Schlegla

Rys. 5.2. Schemat postępowania w metodzie Tuttego–Maxwella–Cremony

Rekonstrukcja przestrzenna grafu rozpoczyna się od 3-spójnego grafu planar-nego G = (V, E) o n wierzchołkach i zestawie wag przypisanych do krawędzi

: E R

ω → oraz rysunku, który jest jego geometryczną realizacją na płaszczyźnie (rys. 5.3a). W pierwszym kroku, dany rysunek jest przekształcany w taki sposób, aby otrzymana figura była planarnym przedstawieniem G , w którym wszystkie

krawędzie są reprezentowane przez nieprzecinające się odcinki, a ściany – przez wielokąty wypukłe (rys. 5.3b). Ten nowy rysunek jest nazywany grafem

naprężo-nym. Otrzymuje się go stosując twierdzenie Tuttego [120, s. 122]:

Twierdzenie 5.1. Niech G = {(1,…,n), E} będzie 3-spójnym grafem planarnym,

który ma ścianę (k+1, ... n) dla pewnego k < n. Niech pk+1, ..., pn będą wierzchoł-kami (w tej kolejności) wypukłego (n – k)-kąta. Niech ω: E′→R+ będzie przypisa-niem dodatnich wag do wewnętrznych krawędzi:

a) istnieje unikatowe położenie p1, ..., pk c R2 wierzchołków wewnętrznych, takie że wszystkie wierzchołki wewnętrzne są w równowadze,

__________

204 W pracy [37].

205 Ang. reciprocal projection.

b) wszystkie ściany c1, c2, ... grafu G są zrealizowane jako nienakładające się wielokąty wypukłe.

Na podstawie twierdzenia Tuttego, graf „naprężony” otrzymuje się przez prze-sunięcie wierzchołków początkowego rysunku w nowe położenie

(

1, , _n

)

,

P= p _K p tzw. położenie równowagi. Położenie to, będące odwzorowa-niem p V: →R2, jest unikatowe. Dowolny wierzchołek v V∈ jest w równowa-dze, jeżeli jest spełniony warunek:

( )

(, ) ^, 0 v w v w v w R p p ω ∈ − =

∑

(5.1)

Jeśli nie występują żadne dodatkowe ograniczenia, wagi przypisywane po-szczególnym krawędziom mogą mieć wartość 1. Zgodnie z twierdzeniem Tuttego, suma kwadratów długości wszystkich krawędzi grafu naprężonego jest minimalna [120, s. 124].

Proces przekształcania grafu zwykłego na naprężony rozpoczyna się od wyboru jednej trójkątnej ściany jako zewnętrznego wielokąta c0. Wierzchołki tego trójkąta umieszczane są odpowiednio w początku układu współrzędnych i w jednostko-wych odległościach od początku układu, na osiach x i y Wyrazy konfiguracji P są wyznaczane poprzez rozwiązanie równań

y x M y b b x M⋅ = i ⋅ = (5.2) gdzie:x=

(

x₁,...,x_n

)

^T,x=

(

y₁,...,y_n

)

^T, M – macierz naprężeń, y x b b i – wektory

Ciekawe jest, że konstrukcja konfiguracji P grafu naprężonego ma interpreta-cję fizyczną o typowo topologicznym charakterze. Jeżeli wyobrazimy sobie, że wszystkie krawędzie grafu są wykonane z pasków gumy, a następnie przymo-cuje się wierzchołki trójkąta zewnętrznego do podłoża w taki sposób, aby wszystkie krawędzie wewnętrzne były naciągnięte, to otrzymauje się położenie, w którym występuje równowaga sił [120, s. 122], [175, s. 626].

W następnym kroku rysunek grafu naprężonego G, tj. konfigurację,

(

p₁,...,p_n

)

,

P= interpretuje się jako wykres Schlegla pewnego wielościanu. Wykres ten zostanie następnie podniesiony, aby uzyskał trzeci wymiar.

Zakłada się, że wszystkie punkty P leżą na płaszczyźnie z= w R1 3. Każdy punkt p1 ma współrzędne (xi, yi, 1). Nadaje się ścianom wewnętrznym indeksy

, ..., ,

1 m a ściana zewnętrzna, odpowiadająca zewnętrznemu wielokątowi jest oznaczona c₀. Następnie, dla krawędzi wewnętrznych można wyróżnić zoriento-wane czwórki

(

b t L R, | ,

)

, gdzie b t, – odpowiednio górny i dolny wierzchołek krawędzi, L, R – lewa i prawa ściana incydentna z krawędzią.

a)

b)

Rys. 5.3. Graf planarny: a) dowolna realizacja (rysunek) na płaszczyźnie, b) „prawidłowy rysunek” – graf naprężony

Kolejnym krokiem jest znalezienie wektora podnoszącego dla każdej ściany wewnętrznej c_i(rys. 5.4). Odbywa się to przez procedurę rekurencyjną, w której [120, s. 138]:

( )

1 0, 0, 0 q = (5.3)

( )

, L b t b t R q =ω p ×p +q (5.4)

Rys. 5.4. Wektory podnoszące q1, przypisane poszczególnym ścianom

Wektory q_isą dobrze określone, tzn. że dla każdej ściany c_i, mają tylko jedną wartość, która nie zależy od wyboru konkretnej kolejności w procesie rekuren-cyjnym. Wystarczające jest wybranie kolejności ścian c₁ =c_L1,c_L2,...,c_Ll =c_j, gdzie dla i=1,...,l−1,ściany c_Li,c_Li+1 =c_Ri są jednocześnie incydentne z kra-wędzią

(

b t_i, _i

)

grafu G i można wyznaczyć wartość

1 i L q + na podstawie i L q . Wektory q_i określają funkcję podnoszącą f dla ściany c_i (również dobrze określoną)

( )

, _i

f x = x q , x c∈ _i (5.5)

Rys. 5.5. Wysokości podnoszenia dla wierzchołka nr 2, grafu

Ostatecznie, wysokość podnoszenia h_v punktu p_v∈c_i konfiguracji P po podniesieniu jest iloczynem skalarnym jego współrzędnych i wektora podnoszą-cego q_i, odpowiadającego ścianie c_i:

,

v v i

Wartości h_v wyznaczone rekurencyjnie w różnej kolejności są zgodne (rys. 5.5). Niezależnie od wybranej kolejności wyznaczania wektorów i funkcji podnoszących dla poszczególnych ścian wartości te są zawsze takie same.

Rys. 5.6. Wysokości podnoszenia dla wszystkich wierzchołków grafu

Po podniesieniu w podany sposób wszystkich wierzchołków (rys. 5.6), graf G

uzyskuje swoją przestrzenną reprezentację (rys. 5.7).

Rys. 5.7. Proces podnoszenia grafu

Wspomniane „gumowe” wyjaśnienie prawidłowego rysowania grafu, pozo-staje w związku ze statyczną interpretacją metody Tuttego–Maxwella–Cremony. Udowodniono, że w stanie równowagi, jeżeli wszystkie siły w krawędziach są dodatnie, to ściany grafu są wielokątami wypukłymi. Co więcej, rysunek 3-spójnego grafu planarnego, w którym krawędzie są odcinkami prostymi, może być podniesiony w przestrzeń d = 3, wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawidłowy w podanym sensie. Odpowiadające sobie krawędzie prawidłowo narysowanego grafu i jego grafu dualnego są ortogonalne [35, s. 63] [175, s. 117].

W dokumencie Topologia form strukturalnych : naturalne i tworzone przez człowieka prototypy form konstrukcyjnych w architekturze (Stron 142-148)