Genus i charakterystyka Eulera

Jak przedstawiono w rozdz. 2.2.1, mapy na płaszczyźnie są topologicznie równoważne mapom na sferze. Sfera jest przykładem powierzchni gładkiej82 zorientowanej. Intuicyjnie, dwuwymiarowa powierzchnia83 w przestrzeni R3 jest zorientowana, jeżeli ma stronę „wewnętrzną” i „zewnętrzną” albo, jeżeli leżąca na niej dwuwymiarowa figura nie może być przekształcona w swoje lustrzane odbicie wyłącznie poprzez przesunięcie po tej powierzchni. Na rysunku 2.20a przedstawiono powierzchnię zorientowaną – pierścień kołowy. Przykładem powierzchni niezorientowanej jest wstęga Möbiusa84 (rys. 2.20b). Jest to najbar-dziej elementarna spośród powierzchni niezorientowanych. Wszelkie inne po-wierzchnie tego typu określa się, badając czy zawierają podzbiory, które są

__________

Wcześniej stosowano określenia geometria situs lub analysis situs. Za pierwszy topologiczny topologiczny wynik w matematyce uważane jest rozwiązanie przez L. Eulera problemu mostów w Królewcu: czy możliwe jest przejście przez wszystkie siedem mostów na Pregole, które znaj-dują się w tym mieście, tak aby przez każdy przejść tylko jeden raz? Euler w pracy Solutio

problematis ad geometriam situs pertinentis, przedstawionej w 1735 r. w Petersburskiej

Akade-mii Nauk (opublikowana w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae w 1741 r.), udowodnił, że jest to niemożliwe. Rozwiązanie miało typowo topologiczny charakter, gdyż nie zależało od długości mostów, ich odległości od siebie, kształtu koryta rzeki itd. Określenie

geometria situs Euler zapożyczył z analysis situs G.W. Leibnitza, który już wcześniej miał

świadomość istnienia pewnych relacji o czysto topologicznym charakterze. W Euclidis Prota, które jest próbą uściślenia aksjomatów Euklidesa, pisze on: „…mam kilka definicji linii prostej. Prosta jest krzywą, której każdy fragment jest podobny do całości i jako jedyna ma tę właści-wość, nie tylko pomiędzy krzywymi, ale i wśród zbiorów”. Tym stwierdzeniem wyprzedził pojawienie się topologii o ponad dwieście lat [93]. Innym, ważnym wynikiem Eulera w topologii było jego twierdzenie wiążące ze sobą liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanów, patrz pkt 2.3.1.

81 Patrz rozdz. 3.4.

82 Gładkiej – czyli nieskończenie różniczkowalnej. Sfera jest ponadto powierzchnią zamkniętą, tzn. nie mającą konturów brzegowych.

83 Dokładniej: rozmaitość różniczkowalną, patrz pkt 2.1.3.1.

homeomorficzne do wstęgi Möbiusa. Przykładem zamkniętej powierzchni zorientowanej jest tzw. butelka Kleina85, 86, zawierająca dwie rodziny wstęg Möbiusa, rys. 2.20c.

a) b) c)

Rys. 2.20. Przykłady powierzchni zorientowanych i niezorientowanych (opis w tekście) Jeżeli dwie krzywe zamknięte, określone na rozmaitości, np. φ0 i φ1, mogą być wzajemnie jednoznacznie przekształcone na siebie w sposób ciągły, to nazywamy je

homotopijnymi, a samo przekształcenie – homotopią. W szczególnym przypadku,

gdy krzywa zostaje przekształcona w sposób ciągły na punkt, mówimy, że jest ho-motopijna z punktem lub ściągalna do punktu. Ilustruje to poniższy przykład dwóch rozmaitości M i M'. Krzywa φ0 leżąca na powierzchni M (rys. 2.21a) jest przekształ-cana na kolejne krzywe φ1, φ2, φ3, … z rodziny φt, aż w granicy staje się punktem x. Każda z krzywych φt leży na M. Takie przekształcenie jest również możliwe dla dowolnej innej krzywej γ0 leżącej na M. Dla krzywej φ0 leżącej na powierzchni M' (rys. 2.21b) takie przekształcenie jest niemożliwe, ponieważ nie wszystkie krzywe z rodziny φt leżą w całości na rozmaitości M'. Podobnie nie jest możliwe dla krzy-wej η0, ale jest możliwe dla krzywej γ0 – wszystkie krzywe z rodziny γt leżą na M'. Krzywe φ0, η0 i γ0, należą do trzech, topologicznie różnych rodzin.

Mapowanie, które przekształca krzywe zamknięte z jednej rozmaitości w od-powiednie krzywe zamknięte w drugiej rozmaitości, jest mapowaniem homotopij-nym. Takie mapowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy obie rozmaitości mają ten sam stopień spójności.

__________

85 Przykład jednostronnej powierzchni bez brzegu został podany przez F. Kleina w 1882 r. Prawdopodobnie początkowo była ona nazywana powierzchnią Kleina lecz niemieckie słowo „powierzchnia” (Fläche) błędnie przetłumaczono jako „butelka” (Flasche). Nazwa ta, ze względu na charakterystyczny kształt powierzchni, została szybko zaakceptowana i jest dziś powszechnie używana.

86 Ściślej, jest to model butelki Kleina, której realizacja wymaga czterech wymiarów (patrz np. S.L. Segal Unknown Quantity – Book Review. Notices of the American Mathematical Society, Vol. 55, No. 5 (2008), s. 585).

a) b)

Rys. 2.21. Homotopijność krzywej z punktem na powierzchniach o różnym stopniu spójności (opis w tekście): a) na sferze, b) na torusie

Dla powierzchni jednospójnej, np. dla sfery, każda leżąca na niej zamknięta krzywa może być przekształcona w inną leżącą na niej krzywą zamkniętą lub ściągniętą do dowolnego punktu, bez opuszczania tej powierzchni (rys. 2.21a). Na powierzchniach wielospójnych występują rodziny krzywych homotopijnych, które mogą być wzajemnie w sposób ciągły na siebie przekształcane. Niemożliwe jest natomiast przekształcenie ciągłe krzywej z jednej rodziny na krzywe z drugiej rodziny lub ściągnięcie ich do tego samego punktu. Obszar M (rys. 2.21a) jest jednospójny, a obszar M' (rys. 2.21b) – dwuspójny. Na rysunku 2.21b pokazano trzy rodziny krzywych homotopijnych dla torusa.

Stopień spójności powierzchni jest charakteryzowany przez ich genus. Jest to stała, oznaczana literą g, o wartościach całkowitych. Dla powierzchni zorientowa-nych liczba genusa oznacza „liczbę otworów” w zamkniętej powierzchni lub licz-bę „rączek” doczepionych do sfery. Poniżej przedstawiono przykłady powierzchni zorientowanych o różnym genusie. Dla sfery i walca g = 0 (rys. 2.22a), dla torusa lub sfery z jedną „rączką” g = 1 (rys. 2.22b), dla sfery z dwoma „rączkami” lub „obwarzanka” g = 2 (rys. 2.22c) itd.

Różne stopnie spójności uniemożliwiają mapowanie homotopijne sfery na to-rus – nie są to zatem obiekty topologicznie równoważne. Aby obiekty były tej samej klasy, muszą być mapowalne na przestrzeń \k o tym samym wymiarze i mieć ten sam genus.

Dla powierzchni niezorientowanych genus jest określany jako liczba całkowita dodatnia, oznaczana literą k, wyrażająca liczbę topologicznych równoważników wstęgi Möbiusa doczepionych do sfery87. Na przykład, genus dla butelki Kleina wynosi g = 2.

__________

a) g = 0 b) g = 1 c) g = 2

Rys. 2.22. Przykłady powierzchni zorientowanych o różnych genusach (opis w tekście) Spójność powierzchni ma związek z przedstawianiem modeli topologicznych wielościanów abstrakcyjnych. Każdy z nich (np. graf z rys. 2.19a) może być zaw-sze przedstawiony („narysowany”) na pewnej zorientowanej powierzchni za-mkniętej w taki sposób, żeby jego krawędzie się nie przecinały88. Stopień spójno-ści tej powierzchni określa pewne właspójno-ściwospójno-ści grafów. Z tego powodu, dla danego wielościanu abstrakcyjnego należy zawsze rozpatrywać związaną z nim powierzchnię, na której może być przedstawiony bez przecięć, poprzez przypisa-nie do przypisa-niego genusa lub charakterystyki Eulera.

Charakterystyka Eulera, oznaczana literą χ, jest związaną z genusem stałą (niezmiennikiem topologicznym), opisującą kształt lub strukturę przestrzeni topologicznej89. Definiowana jest równaniami dla:

– powierzchni zorientowanych zamkniętych

(

)

= 12

χ (2.3a)

– powierzchni zorientowanych z brzegami

(

)

χ (2.3b)

– powierzchni niezorientowanych

__________

88 Na przykład, wielościany platońskie mogą być przedstawione na sferze. Patrz rozdz. 2.2.8 i twierdzenie Steinitza, w rozdz. 4.1.

89 Charakterystyka Eulera była pierwotnie zdefiniowana dla wielościanów (jako stała o war-tości równej 2, w równaniu Eulera – patrz pkt 2.3.1 [177, s. 186]) i stosowana przy formułowa-niu różnych twierdzeń z tego zakresu oraz klasyfikacji brył platońskich [121, s. 2]. Obecnie jest stosowana również w wielu innych zagadnieniach topologii algebraicznej.

k −